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Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis.   II

Tabellenverzeichnis   II

1.  Einleitung.  1

1.1  Zielsetzung  1

1.2  Überblick  2

1.3  Grundlagen der Evolutionären Algorithmen.  2

1.4  Grundlagen der Finite-Elemente-Methode (FEM)  3

2.  Verwendete Komponenten  5

2.1  Modellbildung mit GiD 7.2  5

2.2  Bewertung mit Impact 0.5.2b.  7

2.3  Evolvierung mit ECJ 12  10

2.4  Eigene Komponenten  11

2.5  Veränderte Impact-Komponenten  16

3.  Durchgeführte Experimente  18

3.1  Genetischer Algorithmus mit direkter Repräsentation  18

3.2  Genetischer Algorithmus mit Polynomrepräsentation.  20

3.3  Evolutionsstrategie mit Spiegelung.  20

3.4  Evolutionsstrategie mit Spline-Interpolation.  22

3.5  Evolutionsstrategie mit gewölbtem Werkstück  23

3.6  Evolutionsstrategie mit Mutationsschrittweitenregulierung  25

3.7  Alternative Materialien  29

3.8  Mehrzieloptimierung  30

4.  Fazit.  33

4.1  Zusammenfassung der Ergebnisse  33

4.2  Ausblick  35

Literaturverzeichnis   37

II

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Prototyp des Versuchsbleches  

Abbildung  2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm  

Abbildung  3a: Entwicklung der Fitness bei Genetischem Algorithmus  

Abbildung  3b: Repräsentationen der besten Individuen bei Gen. Algorithmus  

Abbildung  4a: Entwicklung der Fitness bei Evolutionsstrategien  

Abbildung  4b: Repräsentationen der besten Individuen bei Evolutionsstrategien  

Abbildung  5a: Entwicklung der Fitness bei Wölbung  

Abbildung  5b: Repräsentationen der besten Individuen bei Wölbung  

Abbildung  6a: Entwicklung der Fitness bei Mutationsschrittweitenregulierung  

Abbildung  6b: Repräsentationen der besten Individuen bei MSR  

Abbildung  7: Entwicklung der Mutationsschrittweiten  

Abbildung  8a: Entwicklung der Fitness bei Aluminium  

Abbildung  8b: Repräsentationen der besten Individuen bei Aluminium  

Abbildung  9: Repräsentationen ausgew. Individuen bei Mehrzieloptimierung  

Abbildung  10: Pareto-Rand bei Mehrzieloptimierung  

Tabellenverzeichnis   

Tabelle 1:  Ergebnis-Tabelle der Evolutionsstrategien  

Tabelle 2:  Ergebnis-Tabelle der restlichen Versuche  

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1. Einleitung

1.1 Zielsetzung

Weltweit waren 1997 über 480 Millionen Autos in Betrieb, mit stark steigender Tendenz (ANSELM (1997), S. 19). Angesichts des Trends zu immer üppiger ausgestatteten und dadurch schwereren Fahrzeugen auf der einen Seite und der Problematik der Ressourcenknappheit und des Umweltschutzes andererseits scheint eine Gewichtsreduktion dringend geboten. Die Fahrzeugkarosserie besitzt den größten Einfluss auf die Sicherheit der Insassen und hat mit 25%-30% (ohne Glas und Stoßfänger) den größten Anteil am Gesamtgewicht eines Automobils (ebd., S. 151). Sie ist daher ein lohnendes Ziel um sowohl Steifigkeit als auch Gewicht zu optimieren. Nach ANSELM (1997, S. 147) ist eine Gewichtsreduktion um 10% bei Anwendung von „Wachstumssimulationen“ möglich, jedoch ist nicht ganz klar, ob er sich hierbei konkret auf Evolutionäre Algorithmen bezieht.

Evolutionäre Algorithmen simulieren das Prinzip der Evolution (Weitergabe des Erbguts über Generationen, Mutation, Selektion etc.) und sind gut geeignet, komplexe mehrdimensionale Probleme zu lösen bzw. eine hinreichend gute Lösung zu ermitteln. Im Falle von mehreren berücksichtigten Zielgrößen gibt es in den seltensten Fällen eine Lösung, die alle Repräsentationen in allen Kriterien dominiert. Stattdessen existieren meistens mehrere pareto-optimale Lösungen, unter denen der Benutzer anhängig von seinen Präferenzen eine Entscheidung trifft. Im Rahmen dieses Praktikums soll nun überprüft werden, inwieweit dieser Lösungsansatz auf Konstruktionsprobleme des Automobilbaus angewendet werden kann und ob dieses Verfahren Vorteile gegenüber den "klassischen" Konstruktionsmethoden aufweist. Dabei ist es nicht der Anspruch dieses Praktikums, tatsächlich praxisrelevante Ergebnisse zu produzieren. Dies wäre aufgrund der komplexen Problemstellung und Modellbildung zu umfangreich. Es handelt sich vielmehr um eine Machbarkeitsstudie, die untersuchen soll, welche Softwarepakete hierfür verfügbar sind und wie diese miteinander gekoppelt werden können. Deshalb soll zunächst an dem einfachen Modell eines zweidimensionalen Metallstreifens überprüft werden, welche Formen bzw. Materialdickeverteilungen die besten Steifigkeitseigenschaften bei gleichzeitig möglichst geringem Gewicht aufweisen.

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1.2 Überblick

Der Einsatz von Evolutionären Algorithmen im Bereich der Konstruktion bzw. der Ingenieurswissenschaften wurde von vielen Arbeiten in verschiedensten Bereichen untersucht und beweist die Leistungsfähigkeit dieser Optimierungsform. So untersuchte z.B. SASAKI (2002) die Form des Flügels eines zukünftigen Überschallflugzeugs. Ziel der Optimierung war eine Minimierung des Überschallknalls bei gleichzeitig möglichst geringem Luftwiderstand. EBNER (2003b) verglich die Evolvierbarkeit von Szenen-Graphen in den 3D-Beschreibungssprachen OpenInventor und VRML am Beispiel der Effizienz von Rotorblättern. Im Bereich des Automobilbaus sollen zwei Arbeiten erwähnt werden. KANAZAKI (2002) variierte mit Hilfe von Evolutionären Algorithmen Zusammenschlüsse und Rohrdurchmesser eines Abgaskrümmers. Durch eine Mehrzieloptimierung konnte sowohl eine bessere Katalysatorleistung durch eine höhere Abgastemperatur als auch eine höhere Motorenleistung erreicht werden. Die Untersuchung von YOSHIMURA (2003) konzentriert sich auf die Betrachtung des Querschnitts von Fahrzeugrahmen. Auch hier soll eine möglichst große Steifigkeit bei möglichst geringem Gewicht erreicht werden unter Verwendung eines genetischen Algorithmus. Jedoch werden die Individuen nicht mittels Finite-Elemente-Methode bewertet, sondern durch analytische Methoden. Dies ermöglicht einerseits eine sehr schnelle Berechnung (212 Sek. auf einem Pentium 2,4 GHz für 160.000 Bewertungen), andererseits bleibt eine derartige Analyse sehr einfachen Formen vorbehalten.

1.3 Grundlagen der Evolutionären Algorithmen

Durch Evolutionäre Algorithmen wird das Prinzip der Fortpflanzung von Lebewesen simuliert. Eine Population besteht wie in der Realität aus vielen Individuen, die jeweils eine Lösung des „Problems“ darstellen. Was dieses Problem im Einzelfall ist, legt der Anwender durch die sogenannte Fitnessfunktion fest. Diese bestimmt die relevanten Größen, an denen ein Individuum gemessen wird. Analog zur Natur werden die Informationen eines Individuums in seinem Genom gespeichert. Um die Fitnessfunktion zu maximieren bzw. minimieren stehen die genetischen Operatoren

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Mutation, Crossover und Selektion zur Verfügung. Bei der Selektion wird je nach Verfahren gemäß Darwins Gesetz („Survival of the fittest“) ein gewisser Anteil der besten Individuen entweder zufällig oder deterministisch zu den Eltern der nächsten Generation. Die restlichen Individuen werden verworfen. Der Crossover bezeichnet den Austausch von Teilen des Erbguts zwischen zwei Eltern bei der Erzeugung eines neuen Individuums (EBNER (2003a)).

Grundsätzlich werden zwei Verfahren unterschieden. Bei einem Genetischen Algorithmus wird ein Individuum durch einen Bit-String kodiert, d.h. jedes Bit entspricht einem Gen. Andere Datentypen werden in die binäre Darstellungsweise überführt. Mit einer vom Anwender festgelegten Mutationswahrscheinlichkeit wird ein Gen „gekippt“, d.h. sein Wert wird von „0“ auf „1“ gesetzt oder umgekehrt. Ein anderes Konzept liegt bei den Evolutionsstrategien vor. Hier wird die Anzahl der zu selektierenden Individuen (µ) und die von jedem selektierten Individuum zu erzeugende Anzahl von Nachkommen (λ) von vorneherein festgelegt. Die Mutationen erfolgen kugelförmig, d.h. standardnormalverteilt mit einem Erwartungswert von 0 und einer Varianz von 1 / n je Gen, sodass der Zufallsvektor im Mittel die Länge 1 hat (EBNER (2003a)).

Die Verwendung dieser Verfahren in den durchgeführten Experimenten wird in Kapitel 3 näher beschrieben.

1.4 Grundlagen der Finite-Elemente-Methode (FEM)

Nachdem in den 40er bis 60er Jahren viele neue Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen entwickelt wurden, erschien 1967 das erste Buch über FEM (KLEIN (1990), S. 2). Zusammen mit der Rechenleistung von Personalcomputern entwickelte sich die FEM schnell weiter, sodass sie seit den 80er Jahren zur Lösung von Problemen im Ingenieursbereich eingesetzt werden konnte. Das Prinzip der FEM beruht auf der Zerlegung einer komplexen Struktur in viele finite, also endlich große Elemente, deren physikalischen Eigenschaften bekannt sind. Durch die Verknüpfung der Elemente entsteht ein lineares Gleichungssystem, das numerisch gelöst wird (KUNOW (1998), S. 4). Ursprünglich in der Luft- und Raumfahrtindustrie eingesetzt, breitete sich die Nutzung schnell auf die Automobilindustrie aus. Die Anwendungsbereiche beschränken sich inzwischen nicht nur auf die Simulation von Materialverformung und -belastung; durch spezielle Pakete sind ebenso Strömungs-

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simulationen, Akustiksimulationen, Wärmeleitungssimulationen und Simulationen von elektrostatischen und elektromagnetischen Feldern möglich (ebd., S. 2f.). Die FEM für Festigkeitsprobleme lässt sich in vier Kategorien unterteilen (KLEIN (1990), S. 9). Die lineare Elastostatik ist geeignet für reversible, linear-elastische Verformungen. Außerdem darf die Verformung nur klein sein, damit die Kräfte als am unverformten Bauteil wirkend betrachtet werden können (STEINBUCH (1998), S. 76). In der nichtlinearen Elastostatik sind auch Belastungen über den linearelastischen Bereich eines Materials hinaus möglich; es treten dann dauerhafte, plastische Verformungen oder sogar bei zu großer Belastung Materialrisse auf. In diesem Modell wird mit dem Inkrementalverfahren gearbeitet. Das bedeutet, dass ausgehend von einer bekannten Lösung iterativ in kleinen Zeitschritten solange neue Lösungen berechnet werden, bis das Ergebnis hinreichend exakt ist (KUNOW (1998), S. 226)

Beide Modelle können um den dynamischen Aspekt erweitert werden, d.h. Verschiebungen sind dann nicht nur orts- sondern auch zeitabhängig (KLEIN (1990), S. 188). Die lineare und nichtlineare Elastodynamik ermöglichen somit Untersuchungen von z.B. Eigenschwingungen und erzwungenen Schwingungen.

Auf die mathematisch-physikalische Begründung der Finite-Elemente-Methode wird an dieser Stelle verzichtet. Der interessierte Leser findet zu diesem Thema zahlreiche Literatur, z.B. KUNOW (1998), KLEIN (1990) oder STEINBUCH (1998).

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2. Verwendete Komponenten

2.1 Modellbildung mit GiD 7.2

Bei GiD 7.2 handelt es sich um einen Pre- und Postprozessor. Preprocessing bedeutet, dass GiD verschiedene geometrische Formen zur Verfügung stellt, um ein zwei- oder dreidimensionales Modell zu erstellen. Durch das Anwenden von Operationen (Drehen, Duplizieren, Extrudieren, Verknüpfen u.a.) auf simple Formen können so beliebig komplexe Gebilde entstehen. Nachdem die geometrische Form feststeht, muss eine Gitterstruktur (englisch: mesh) für das Modell festgelegt werden. Dazu muss zunächst der Elementtyp gewählt werden (z.B. Dreiecks-, Vierecks-, Balken-, oder Pyramidenelement). Anschließend wird die Genauigkeit des Gitters über die Anzahl der zu verwendenden Knotenpunkte bestimmt. Die einzelnen Knotenpunkte werden nun gemäß der Elementvorgabe miteinander verknüpft. Bei Bedarf können besonders interessierende Regionen markiert werden, in denen die Gitterdichte dann vom Gittergenerator auf Kosten der Genauigkeit in anderen Regionen automatisch erhöht wird. Dabei ist zu beachten, dass ein feineres Gitter die realen Verhältnisse exakter abbildet, dies jedoch mit einem überproportionalen Anstieg der Rechenzeit erkauft werden muss. Bevor die Weitergabe des Modells an das FEM-Programm erfolgen kann, muss die Art des Export-Filters (in diesem Falle „Impact“) festgelegt und die sogenannten Randbedingungen bestimmt werden. Unter Randbedingungen versteht man die Zuordnungen von Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Krafteinwirkungen zu einzelnen Knoten. Die akademische, kostenfreie Version von GiD unterstützt 700 2D-Elemente oder 3000 3D-Elemente, was für die Zwecke dieses Praktikums ausreichend war. Soll jedoch ein komplexeres Teil eines Automobils untersucht werden, dürfte diese Grenze schnell überschritten werden. Bereits das von Audi zur Verfügung gestellte Modell eines einfachen Schalters (im STL-Format) besteht aus 1752 3D-Elementen. Das Postprocessing ist für die Auswertung der Daten nach der FEM-Berechnung des Modells zuständig. In dieser Arbeit wurde für die Berechnung das Programm Impact (siehe Kapitel 2.2) verwendet. Die von diesem generierte Ergebnisdatei (Dateiendung: „.res“) kann von GiD gelesen und als Sequenz mit farblicher Visualisierung der Spannungen und Verschiebungen abgespielt werden.