Risk Measurement

Inhaltsverzeichnis

  Abbildungsverzeichnis  III

1  Einleitung  1

2  Axiomatische Betrachtung von Risikomaÿen  2

2.1  Kohärente Risikomaÿe - Das Axiomensystem von  

  Artzner, Delbaen, Eber und Heath  3

2.2  Weitere Axiomensysteme  5

3  Risikomaÿe  5

  Zweiseitige Risikomaÿe - Varianz σ 2 und Standardabweichung σ  

3.1   6

3.2  Downside-Risikomaÿe  7

3.2.1  Untere Semivarianz  7

3.2.2  Lower Partial Moments (LP M )  7

3.2.3  Value at Risk  8

3.2.4  Volatilität und Value at Risk können Risiko unterschied  

  lich bewerten  10

3.2.5  Conditional Value at Risk / Expected Shortfall  11

3.3  Klassen von Risikomaÿen  12

4  Anwendungsbeispiel: Solvency II  12

4.1  Ziel und Aufbau  13

4.2  Angewendetes Risikomaÿ: CV aR  14

5  Schluss  15

  Literatur  16

II

Abbildungsverzeichnis

1 Kummulierte Prot-and-Loss Verteilungsfunktion (P&L) und Value at Risk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Welche Verteilung ist risikoreicher? . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Prot-and-Loss Verteilungsfunktion (P&L), Value at Risk, Conditional Value at Risk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

III

1 Einleitung

Risiko entsteht aus einer Ungewissheit über zukünftige Zustände heraus. In allen Lebensbereichen, wie z.B. im Wirtschaftsleben, im politischen Bereich oder bezüglich technologischen Fortschritts, können sich riskante Situationen ergeben (Albrecht, 2003). Aus diesem Grunde ndet man in der Literatur sehr viele Arbeiten aus unterschiedlichsten akademischen Bereichen zu diesem Thema. So zählen Pedersen & Satchell (1998) Psychologie, experimentelle Psychologie, Operational Research und Management Science auf. Diese Arbeit soll sich allerdings auf Finanzrisiken und deren Messung beschränken. Diese treten bei Finanzinstituten wie Versicherungen oder Banken, aber auch bei Privatpersonen, die beispielsweise ein Aktienportfolio halten, auf. Es wird weder auf die psychologischen Hintergründe der Risikowahrnehmung noch auf Entschei-dungstheorie eingegangen.

Als Beispiele für nanzielle Risiken führt Jorion (1997, S. 1418) Marktrisiken, Kreditrisiken, Liquiditätsrisiken und operationale Risiken an. Unter Marktrisiken kann man vor allem Preisänderungsrisiken, wie z.B. bei Aktienkursen, Zinssätzen und Währungen, verstehen. Kreditrisiken entstehen durch die Unfähigkeit eines Kreditnehmers, seinen vertraglichen Verpichtungen nachzukommen. Eng im Zusammenhang mit Kreditrisiken stehen die rechtlichen Risiken. Jorion (1997, S. 18) führt folgendes Beispiel an: In Groÿbritannien haben Stadträte 1 investiert, welche sehr hohe Verluste herbeigeführt haben. Diese

in Zinsswaps

Geschäfte wurden später vom British High Court für ungültig erklärt, da die Stadträte nicht für solche Transaktionen bevollmächtigt waren. Somit waren die Städte aus der Verantwortung entlassen und die Gegenparteien machten rund 800 Millionen Dollar Verlust. Liquiditätsrisiken tauchen bei Kreditinstituten und Versicherungen auf, wenn deren Zahlunsverpichtungen das Vermögen übersteigen (Albrecht, 2003). Schlieÿlich sind operationale Risiken mögliche Verluste, die beispielsweise auf menschliche Fehler, Systemausfälle, Betrug, aber auch Unfälle von Schlüsselpersonen einer Firma zurückzuführen sind. Werden die genannten Risiken nicht richtig gemessen, so können bei der Risikosteuerung erhebliche Fehler auftreten. Deshalb ist die Risikomessung ein elementarer und enorm wichtiger Bestandteil im Risiko-Managementprozess. 1 Ein Zinsswap ist ein Tausch von festen und variablen Zinsverpichtungen auf zwei nominellen Kapitalbeträgen für einen festgelegten Zeitraum.

1

Dieser setzt sich aus den Phasen der Risikoidentizierung, Risikomessung, Risikosteuerung und Risikoüberwachung zusammen (Vanini, 2006). Albrecht (2003) unterscheidet grundsätzlich zwei Risikokonzeptionen:

• Risiko im Sinne einer Abweichung von einer Zielgröÿe und

• Risiko als notwendiges Kapital.

Beide Konzeptionen werden in Kapitel 2 aufgegrien. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Axiomensystemen, d.h. mit Anforderungen an Risikomaÿe. Dies soll als Einstieg dienen, damit die in Kapitel 3 vorgestellten Risikomaÿe auf sinnvolle Eigenschaften hin überprüft werden können. Es werden die zweiseitigen Risikomaÿe Varianz und Standardabweichung, aber vor allem die Downside-Risikomaÿe Untere Semivarianz, Lower Partial Moments, Value at Risk und Conditional Value at Risk vorgestellt. Gerade V aR und CV aR erlangen durch ihre Anwendung in Basel II und Solvency II hohe Bedeutung. Die Solvabili-tätsvorschriften Solvency II sind Thema des 4. Kapitels. Sie sollen als Anwendungsbeispiel für das Risikomaÿ CV aR dienen. Ziel dieser Arbeit ist es, einen Überblick über die Riskomessung und Risikomaÿe zu geben und ihre Einbindung in die Praxis anhand eines Beispiels zu erläutern.

2 Axiomatische Betrachtung von Risikomaÿen

Um beurteilen zu können, ob ein Risikomaÿ in der Lage ist, Risiko richtig bzw. realitätsgetreu zu quantizieren, wurden verschiedene Axiomensysteme aufgestellt. Mit diesen soll überprüft werden, inwiefern die verschiedenen Risikomaÿe die gegebenen sinnvollen Anforderungen erfüllen. Dies ist insofern wichtig, als dass auf diesen Risikokennzahlen aufbauend innerbetriebliche Steuerungsmaÿnahmen vorgenommen werden (Kürsten & Straÿberger, 2004). Als Beispiel seien an dieser Stelle die Entscheidungen einer Bank bezüglich ihres Kreditportfolios genannt. Im Folgenden werden die wichtigsten und bekanntesten Axiomensysteme vorgestellt, damit bei der späteren Betrachtung der verschiedenen Maÿe eine Beurteilung erfolgen kann.

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2.1 Kohärente Risikomaÿe - Das Axiomensystem von

Artzner, Delbaen, Eber und Heath

In der Literatur hat das Axiomensystem von Artzner et al. (1997, 1999) groÿe Bedeutung erlangt. Die Autoren stellen einen Anforderungskatalog auf, der bei 2

Einhaltung ein kohärentes also verständliches und stimmiges Risikomaÿ zur Folge haben soll.

Ein Risikomaÿ ρ(X) im Sinne von Artzner et al. ist ein reelwertiges Risikomaÿ, das bei positivem Wert als minimales zusätzliches Kapital angesehen werden kann, welches in Kombination mit der risikobehafteten Position diese zu einer risikolosen macht. Bei negativem Wert kann dagegen Kapital in Höhe von |ρ(X)| abgezogen werden ohne die Sicherheit der Position zu gefährden (Artzner et al., 1999; Albrecht, 2003). Diese Interpretation wird durch das Axiom der Translationsinvarianz verdeutlicht.

Die Axiome (Artzner et al., 1999; Albrecht, 2003; Kürsten & Straÿberger, 2004) lauten:

Translationsinvarianz

Investiert man zusätzlich zu einem (risikobehafteten) Portfolio X einen Betrag Z zum risikofreien Zinssatz r f , so verringert sich das Risiko ρ(X) des Portfolios um diesen Betrag. ρ(X + (1 + r f ) · Z) = ρ(X) − Z (1)

Wird also ein Betrag Z in Höhe von Z = ρ(X) zusätzlich angelegt, so neutralisiert man das Risiko des Ausgangsportfolios, wie aus Gleichung 2 hervorgeht:

ρ(X + (1 + r f ) · ρ(X)) = ρ(X) − ρ(X) = 0 (2)

Das Theorem der Translationsinvarianz hebt also die Denition des Risikomaÿes als mindestens zu investiernden Betrag, um aus einer risikobehafteten Position eine risikolose zu generieren, hervor.

2 Bezüglich Kritik an kohärenten Risikomaÿen siehe Goovaerts et al. (2001, 2003), Barbosa & Ferreira (2004) und Albrecht (2003). In dieser Arbeit soll darauf nicht sehr detailliert eingegangen werden, da trotz einiger Kritikpunkte eine allgemeine Akzeptanz gegenüber den folgenden Axiomen vorherrscht.

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