In dieser schriftlichen Referatsausarbeitung werde ich nach einer knappen Rekapitulation unseres gesicherten Wissens über Euklid von Alexandria zwei konträre moderne erkenntnistheoretische Vereinnahmungsversuche des Theoretikers Euklid darstellen und kritisch gegeneinander diskutieren.

Inhaltsverzeichnis

1 Gesichertes Wissen über Euklid 3

1.1 Euklids Leben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Euklids Werk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Die »Elemente« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Euklid als Projektionsfläche 5

2.1 Der Mundwerker Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Die handwerkliche Produktion geometrischer Objekte . . . . . . . 6 2.1.2 Exkurs: Janichs unzulängliche Ebenen-Definition . . . . . . . . . . 8 2.1.3 Janichs Definitionsmacht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.4 Janichs Pragmatismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.5 Probleme bei Janich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.6 Schmitz: Euklid schuf synthetische Urteile a priori durch syllogistisches Schließen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Theoretisieren über Theorie anhand antiken Theoretikers 16

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1 Gesichertes Wissen über Euklid

Euklid von Alexandria, der Autor der »Elemente«, hier zitiert nach [Thaer 1937], wird als Vater der systematischen Geometrie und der logisch-deduktiv verfahrenden Mathematik angesehen. Für lange Zeit und insbesondere in der Entstehungszeit der neuzeitlichen Physik galt das auf die Euklidschen »Elemente« bezogene Attribut »more geometrico«, „Nach Art der Geometrie“, als Auszeichnung besonderer wissenschaftlicher Stringenz oder als Indiz für wissenschaftliches Arbeiten überhaupt.

Unser Wissen über Euklid ist sehr stark eingeschränkt. Zudem wird die Forschung dadurch erschwert, dass Euklid ein sehr gebräuchlicher Name im Altertum war, weswegen beispielsweise eine Verwechslung mit dem etwa 100 Jahre älteren Sokrates-Schüler Euklid von Megara vermieden werden muss.

Laut [O’Connor/Robertson 1999] gibt es dank dieser Ungewißheit über die Person Euklid auch drei grundsätzliche Hypothesen dazu, um wen oder was es sich beim Verfasser der »Elemente« handelt. Neben der Hypothese, dass es die Person Euklid gegeben habe, die auch alleiniger Verfasser der »Elemente« gewesen sei, gibt es noch die Vorstellung, dass Euklid bloß die wichtigste Gestalt einer Gruppe von Mathematikern gewesen sei, die gemeinsam und auch über den Tod Euklids hinaus an den »Elementen« gearbeitet hätten. Die dritte Hypothese entfernt sich noch weiter von der Vorstellung eines Autors namens Euklid für das grundlegende geometrische Werk: ihr zufolge sei Euklid nur das Pseudonym einer Gruppe von Mathematikern gewesen, die gemeinsam gearbeitet hätten. Das Pseudonym sei dieser Hypothese zufolge eine Referenz auf Euklid von Megara.

1.1 Euklids Leben

Sofern wir nicht der dritten Hypothese folgen, lebte Euklid von Alexandria etwa 325 bis 265 vor unserer Zeitrechnung. Gestorben ist er in Alexandria. Gewirkt hat er vermutlich ebenfalls dort. Außerdem wissen wir, dass er als geduldiger und disziplinierter Lehrer beschrieben wird. Vielmehr ist jedoch über sein Leben nicht bekannt.

1.2 Euklids Werk

Neben geometrischen und arithmetischen Untersuchungen hat sich Euklid mit Astronomie, Optik und Harmonik befasst. Viele seiner Werke sind allerdings verloren gegangen.

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1.2.1 Die »Elemente«

Peter Janich betont, dass die antike Geometrie in Form der »Elemente« für 2500 Jahre das Erkenntnisideal bildete. Sein Lob kennt keine Grenzen: Es handle sich bei den »Elementen« um eine „beispiellose Strukturierungsleistung des menschlichen Wissens schlechthin“ [Janich 2000, S. 359] und sogar um die „erfolgreichste Theorie aller Zeiten und Kulturen“ [Janich 2000, S. 365]. Die wichtigsten Kennzeichen dieses Werkes seien „die Verbindung eines stringenten, ja beweisenden Argumentierens für Behauptungen mit einem Anfang aus Prinzipien oder Axiomen, die der Begründung weder fähig noch bedürftig seien. Nicht fähig, weil sie im deduktiven Modell der Argumentation die Anfänge bilden; nicht bedürftig, weil von zwingender Evidenz.“ [Janich 2000, S. 357]

Die moderne Mathematik seit Hilbert (1862-1943) unterscheidet sich darin von der Euklidschen Methode, dass ihr zwingende Evidenz suspekt ist und durch eine reine, anschauungsfreie Axiomatik ersetzt wird.

Vor allem der formale Aufbau der »Elemente« spielt eine entscheidende Rolle für ihren Vorbildscharakter: Definitionen, Postulate und Axiome stehen den deduktiv entwickelnden Paragraphen voran und klären die Voraussetzungen des theoretischen Vollzuges. In den Paragraphen werden abgesehen von einigen Fehlleistungen stringente Beweise dargebracht, die für ihre Beweiskraft nur von den Voraussetzungen und schon vorher Bewiesenem zehren. Außerdem werden mit Rücksicht auf eine einheitliche Systematik Vorgriffe konsequent vermieden, so dass an einigen Stellen komplexere Beweise vorgetragen werden als mit dem Wissen über spätere Beweise nötig wäre. Thematisch reichen die »Elemente« von der ebenen Geometrie, über die Proportionenlehre und ihrer Anwendung in der Geometrie und über die Arithmetik und die Lehre irrationaler Zahlen bis hin zur Stereometrie und der Konstruktion der fünf platonischen Körper. Euklid ist nicht der Urheber der meisten Beweise. Seine Leistung besteht vor allem darin, das bereits von den vorangegangenen Mathematikergenerationen erarbeitete Material gesichtet, gesammelt und vor allem: systematisch angeordnet zu haben. Andererseits wird ihm durchaus zu Gute gehalten, oberflächlichere frühere Darstellungen durch unanfechtbare Beweise ersetzt und elegantere Formen für bestimmte Beweise gefunden zu haben. Die Elemente stellen eine Kompilation von Arbeiten insbesondere der antiken Theoretiker Oinopides, Hippokrates, den Pythagoreern, Eudoxos und seiner Nachfolger,

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Theaitetos und vermutlich Archytas dar, vgl. hierzu [Knoor 2000, S. 360f.]. Knoor hält dort ebenfalls fest, dass Euklid vielleicht nur als Herausgeber fungiert haben könnte, der den Stoff bloß vereinheitlicht habe.

„Doch selbst hier ist Vorsicht angebracht: Die vereinheitlichende Überarbeitung durch spätere Herausgeber muß beträchtlich gewesen sein; es ist daher unmöglich, mit Sicherheit zu sagen, was der uns vorliegende Text der von Theon von Alexandria (4. Jahrhundert n. Chr.) veranstalteten Ausgabe verdankt.“ [Knoor 2000, S. 361]

2 Euklid als Projektionsfläche

Ist also bereits zweifelhaft, inwieweit der uns heute vorliegende Text der »Elemente« sich überhaupt einem Autor Euklid verdankt, so haben die modernen Interpretation dieser Euklidschen Leistung sicherlich noch weniger mit den Intentionen des Autors zu tun. Die erkenntnistheoretische Auseinandersetzung mit einem wissenschaftshistorisch derart gewichtigem Erbe, wie es das Euklidsche Werk darstellt, ruft schnell den Verdacht wach, sie sei nicht bloß historisch an spezifischen Erkenntnisgeneseformen interessiert, sondern nehme vielmehr auch altehrwürdige Autorität als Mittel zur Stärkung eigener erkenntnis-theoretischer Positionen in Anspruch. Ich werde diesen Verdacht an den beiden Aufsätzen von [Janich 2000] und [Schmitz 2000] näher untersuchen, die bezeichnenderweise auf sehr unterschiedliche Weise Euklid für ihre eigenen theoretischen Motive vereinnahmen.

2.1 Der Mundwerker Euklid

Peter Janich stellt die These auf, dass Euklid die antike Geometrie ‚platonisiert‘ und d. h. von ihrem handwerklichen Entstehungszusammenhang gelöst habe: „Dem historischen Euklid wird hier der Sieg der Mundwerker über die Handwerker angelastet, der fatale Folgen weit über die Grenzen erkenntnistheoretischer oder mathematischer Überlegungen hinaus hat. Diese These lässt sich in erster Annäherung dadurch vorbereiten, dass auf eine Selbstverständlichkeit verwiesen wird: Euklid war nicht ein aus dem Nichts kommender Erblasser für unsere abendländisch-europäische Tradition, sondern er war selbst bereits ein Erbe einer mehrhundertjährigen Vorgeschichte von Geometrie und

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Mathematik, die im Lichte einer dogmatischen (nämlich platonischen) Philosophie nicht angemessen von Euklid aufgenommen wurde. Schon Euklid war der mundwerkliche Theoretiker, der den handwerklichen Zusammenhang der Gegenstände der Geometrie nicht beachtet hat.“ [Janich 2000, S. 369] Janich suggeriert mit dieser These quasi eine Alleinverantwortung Euklids für „fatale Folgen“, die über die Tradition der ‚Reinheit‘ der Mathematik hinausgehen. Leider verrät Janich nicht, an welche Folgen er dabei denkt. Die einzige Folge jener ‚Platonisierung‘, die sich aus meiner Sicht sinnvoller Weise als ‚fatal‘ bezeichnen ließe, wäre jedoch die weitgehende Trennung von körperlicher und geistiger Arbeit innerhalb moderner Arbeitsteilung, einschließlich der unterschiedlichen Wertigkeit des so Getrennten. Dieses Thema ist vor allem im Kontext historisch-materialistischer Theorieansätze beachtet worden, beispielhaft bei [Sohn-Rethel 1970]. Allerdings verläßt Janichs Aufsatz nicht die engen Grenzen eines philosophisch-erkenntnistheoretischen Diskurses. Phänomene gesellschaftlicher Natur bleiben bei ihm unthematisiert. Seine Argumentation beschränkt sich ausschließlich darauf, eine handwerkliche Genese mathematischen Wissens im geschichtlichen Ursprung zu plausibilisieren. Seine Perspektive ist damit wesentlich eine pragmatistische.

2.1.1 Die handwerkliche Produktion geometrischer Objekte

Janich will seine These stützen, indem er nachzuweisen sucht, dass die Probleme moderner Euklidinterpretation sich dann in Wohlgefallen auflösen, wenn die Euklidsche Erkenntnisproduktion vor dem Hintergrund der antiken handwerklichen Produktion geometrischer Formen neu reflektiert wird. Unmittelbar scheine etwa ein der Zeichenpraxis entspringendes Geometrieverständnis bei den Postulaten auf, z. B.: „Daß man eine gerade Linie über ihre Endpunkte hinaus verlängern kann, ist eine sprachliche Wendung, die auf die Verwendung eines Lineals und auf das Zeichnen in einer Zeichenebene verweist.“ [Janich 2000, S. 360] Am überzeugendsten gelingt Janich die Verteidigung seiner These anhand von Euklidscher Kreis- [Thaer 1937, Buch I, Definition 15, Bd. 1, S. 1] und Kugeldefinition [Thaer 1937, Buch XI, Definition 14, Bd. 5, S. 2]: „Die Kreisdefinition als Linie, deren Punkte von einem Mittelpunkt denselben Abstand haben, bringt direkt das Zeichnen eines Kreises mit einem Zirkel

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