Entwicklung von Simulationssoftware zur Bestimmung der Gewichtsfunktion idealisierter Tiefpässe mit modifizierten nichtidealen Phasenspektren

*UR‰HU%HOHJ

(QWZLFNOXQJYRQ6LPXODWLRQVVRIWZDUH]XU%HVWLPPXQJGHU *HZLFKWVIXQNWLRQLGHDOLVLHUWHU7LHISlVVHPLWPRGLIL]LHUWHQ QLFKWLGHDOHQ3KDVHQVSHNWUHQ

eingereicht am:

von: Jirka Lindemann

geboren am 24.06.1976 in Schwerin

.XU]UHIHUDW

Zur Analyse des spektralen Übertragungsverhaltens idealisierter Tiefpässe mit modifizierten Phasenspektren wurde ein Softwarepaket entwickelt, mit dem der Einfluss dieser Phasenspektren auf Gewichts- und Sprungfunktion des Systems simuliert werden kann.

Um die Zusammenhänge des Systemverhaltens im Spektral- und im Zeitbereich zu verdeutlichen, werden Amplitudengang, Phasengang, Gruppenlaufzeit und Gewichtsfunktion gleichzeitig graphisch dargestellt. Außerdem besteht die Möglichkeit, ein zusätzliches Fenster für die Darstellung der Sprungfunktion zu öffnen.

Da die Software hauptsächlich als Lehrmaterial genutzt werden soll, wurden Beispiele typischer Phasenverzerrungen zusammengestellt, die für idealen Rechtecktiefpass und Trapeztiefpass einstellbar sind.

Die Nyquistfrequenz beider Tiefpässe und der Roll-off-Factor des Trapeztiefpasses sind variabel, um den Einfluss von Bandbreite und Dämpfung im Spektralbereich auf das Zeitverhalten sichtbar zu machen.

Für die Realisierung beliebiger Phasenverzerrungen ist ein Unterprogramm implementiert worden, das die manuelle Eingabe der Phasenwinkel ermöglicht.

III

  QKDOWVYHU HLFKQLV  

  Seite  

1.  Verzeichnis der Abkürzungen und Formelzeichen  1

2.  Einleitung  2

3.  Analytik  3

3.1  Berechnung für typische Phasenverzerrungen  3

3.1.1  Lineare Phasenverzerrungen  3

3.1.2  Nichtlineare Phasenverzerrungen  6

3.2  Berechnung für manuelle Eingabe der Phasenverzerrungen  10

4.  Softwaredokumentation  14

4.1  Buttonbelegung  15

4.2  Allgemeine Informationen  16

4.3  Manuelle Phasenwinkeleingabe  17

5.  Zusammenfassung  18

6.  Literaturverzeichnis  20

7.  Anlagenverzeichnis  21

8.  Anlagen  22

9.  Thesen  29

9HU]HLFKQLVGHU$ENU]XQJHQXQG)RUPHO]HLFKHQ

Kreisfrequenz [s ^-1 ] ω

ω g Grenzfrequenz

ω N Nyquistfrequenz

ϕ(ω) Phasenwinkel

b(ω) Phasenfunktion

∆b(ω) Abweichung von der linearen Phasenverschiebung

τ gr (ω) Gruppenlaufzeit

G TP (jω) Amplitudenfrequenzgang

|G(jω)| Amplitudengang

G n n-ter Abtastwert von |G(jω)|

ϕ n n-ter Abtastwert von ϕ(ω)

t Zeit [s]

T Verzögerungszeit

g(t) Gewichtsfunktion

g l (t) durch lineare Phasenverschiebung hervorgerufener Anteil der

Gewichtsfunktion

∆g(t) durch ∆b(ω) hervorgerufener Anteil der Gewichtsfunktion

h(t) Sprungfunktion

r Roll-off-Factor

k konstanter Faktor

ε konstanter Faktor

1

(LQOHLWXQJ

Die gerade in der Nachrichtentechnik notwendige Filterung von Signalen erfordert eine genaue Analyse dieses Vorgangs im Zeit- und im Spektralbereich.

Obwohl sich hier hauptsächlich die Dämpfungsverzerrungen durch Frequenzbandbeschränkung auf das Empfangssignal auswirken, können auch Phasenverzerrungen einen wesentlichen Einfluss darauf haben.

Da die Verzerrungen Nebenechos bei der Gewichtsfunktion verursachen und damit den Einschwingvorgang verlängern, wird mit verschiedenen Methoden versucht, diese zu minimieren.

So nutzt man beispielsweise Tiefpässe mit cos ² -Flanken, die auftretende Überschwinger optimal dämpfen. Außerdem werden oft Netzwerke zur Phasenvorverzerrung eingesetzt, um den durch die Filter verursachten Phasenverzerrungen entgegenzuwirken. Dazu müssen aber die Auswirkungen dieser Verzerrungen genau analysiert werden.

Zur Untersuchung des Einflusses verschiedener Phasenspektren auf die Gewichtsfunktion wurde deshalb in dieser Belegarbeit ein entsprechendes HP VEE Programm entwickelt, mit dem das Systemverhalten für idealisierte Rechteck- und Trapeztiefpässe nachgebildet werden kann.

Um die Zusammenhänge des Systemverhaltens im Spektral- und im Zeitbereich zu verdeutlichen, werden Amplitudengang, Phasengang, Gruppenlaufzeit und Gewichtsfunktion gleichzeitig graphisch dargestellt. Außerdem besteht die Möglichkeit, ein zusätzliches Fenster für die Darstellung der Sprungfunktion zu öffnen.

Da die Software hauptsächlich als Lehrmaterial genutzt werden soll, wurden Beispiele typischer Phasenverzerrungen zusammengestellt, die für idealen Rechtecktiefpass und Trapeztiefpass einstellbar sind.

Die Nyquistfrequenz beider Tiefpässe und der Roll-off-Factor des Trapeztiefpasses sind variabel, um den Einfluss von Bandbreite und Dämpfung im Spektralbereich auf das Zeitverhalten sichtbar zu machen.

Für die Realisierung beliebiger Phasenverzerrungen ist ein Unterprogramm implementiert worden, das eine manuelle Eingabe der Phasenwinkel ermöglicht.

2

$QDO\WLN

Da die Berechnung eines Integrals der Form

^∞ 1 G H H W J ∫ ^{ω ϕ ω} ω −   ^¡   = ^{) (} * * ) (

π 2

∞ −

unter HP VEE aufgrund der zweiten Variable t nicht ohne weiteres möglich ist,

wurde die Gewichtsfunktion auf zwei Arten ermittelt.

Während für den Programmteil mit den wählbaren typischen

Phasenverzerrungen die einzelnen Integrale schriftlich berechnet und nur die

Endergebnisse verwendet wurden, erfolgte die Berechnung der

Gewichtsfunktion bei manueller Eingabe der Phasenverzerrungen über eine

Fourierreihe.

Die genaue Vorgehensweise wird nachfolgend noch näher erläutert.

Um die Sprungfunktion zu ermitteln wurde die Gewichtsfunktion g(t) über t

integriert. Da g(t) nur noch die Variable t enthält, konnte dazu die in HP VEE

implementierte Integralfunktion verwendet werden.

%HUHFKQXQJIUW\SLVFKH3KDVHQYHU]HUUXQJHQ

Die typischen Beispiele für Phasenverzerrungen wurden zusammengestellt,

um das Systemverhalten für die interessantesten Fälle zu verdeutlichen.

/LQHDUH3KDVHQYHU]HUUXQJHQ

Der einfachste Fall ist die in Anlage Nr. 1 dargestellte lineare

Phasenverschiebung.

Hier ist die Gruppenlaufzeit τ gr konstant. Das heißt, alle Frequenzen werden

gleich stark verzögert.

3

Die Gewichtsfunktion für den Rechtecktiefpass wird folgendermaßen berechnet.

^∞ 1 G H H * W J = ) (

W J = ) (

G H W J ∫ ω = * ) ( π 2 ^{∞ − ω} 1 ^¢ G 7 W W J ∫ ω ω − = )) ( cos( * ) ( π ⁰ ω

Mit dieser Berechnung wurde einmal ausführlich gezeigt, dass die

Rechteckfunktion mit Phasenverschiebung im Frequenzbereich mit einer

verschobenen Spaltfunktion im Zeitbereich korrespondiert. Im Folgenden wird

nur noch mit Korrespondenzen gearbeitet.

Die Trapezfunktion setzt sich aus Rechteckfunktion und Dreieckfunktion

zusammen, wobei die Dreieckfunktion im Frequenzbereich mit einer

quadratischen Spaltfunktion im Zeitbereich korrespondiert. Für kleiner

werdenden Roll-off-Factor r werden die Trapezflanken steiler und der Einfluss

der Dreieckfunktion nimmt ab. Wenn im Extremfall r=0 ist handelt es sich nur

noch um eine reine Rechteckfunktion bzw. bei r=1 um eine reine

Dreieckfunktion.

Daraus ergibt sich für die Gewichtsfunktion folgender Zusammenhang.

7 W U 7 W ω ω ω − − W J = ) ( " ! #

Man erkennt, dass auch hier bei abnehmendem Roll-off-Factor r der Einfluss

der Dreieckfunktion abnimmt. Das bedeutet, die Vor- und Nachschwinger der

Gewichtsfunktion werden immer weniger stark gedämpft.

4