Inhaltsverzeichnis

  Abbildungsverzeichnis  IV

Tabellenverzeichnis IV   

  Symbolverzeichnis  V

1  Einleitung  1

2  Konzeptioneller Rahmen finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung  2

2.1  Transformation der Black-Scholes Differentialgleichung  2

2.2  Finite Differenzen-Approximation  4

2.3  Diskretisierung mittels finiter Differenzen  5

3  Verfahren finiter Differenzen  7

3.1  Das explizite Verfahren  7

3.1.1  Das Gleichungssystem  7

3.1.2  Stabilität lokale Genauigkeit und Konvergenz  8

3.1.3  Numerisches Beispiel  9

3.2  Die impliziten Verfahren  10

3.2.1  Das vollständig implizite Verfahren  10

3.2.2  Das Crank-Nicolson Verfahren  12

3.2.3  Das θ -Verfahren  13

3.2.4  Numerisches Beispiel  13

4  Bewertung amerikanischer Optionen mittels finiter Differenzen  16

4.1  Amerikanische Optionen als freie Randwertprobleme  16

4.2  Numerisches Beispiel  17

5  Schlussbetrachtung  19

Anhang   20

  Literaturverzeichnis  31

III

Abbildungsverzeichnis

1  Gitter einer finiten Differenzen-Approximation  5

2  Schema des expliziten Verfahrens  6

3  Explizites Verfahren für europäischen Put mit 5 0 8 α  

4  Explizites Verfahren für europäischen Put mit 5 0 263 8 α  

5  Schema des impliziten Verfahrens  9

6  Schema von Crank-Nicolson  10

7  Crank-Nicolson Verfahren für europäischen Put  12

8  Optionswert eines amerikanischen Puts  15

  Tabellenverzeichnis  

1  Numerisches Beispiel zum expliziten Verfahren  8

2  Numerisches Beispiel zu den impliziten Verfahren  12

3  Numerisches Beispiel zum amerikanischen Put  14

IV

Symbolverzeichnis

Die wesentlichen, im Folgenden gebrauchten Symbole bedeuten

a Untere Begrenzung des Definitionsbereichs der transformierten Kursvariable

„Mesh ratio“ (Gitterverhältnis) α

b Obere Begrenzung des Definitionsbereichs der transformierten Kursvariable

Kontinuierliche Dividendenrendite δ

E Ausübungskurs der Option

K Anzahl Kursintervalle in einem Gitter finiter Differenzen

r Sicherer Zinssatz

Volatilität σ

S f (t) Aufsprungpunkt einer amerikanischen Option zum Zeitpunkt t

S(t) Kurs des Basispreises in t

t Laufende Zeit, 0

Transformierte Zeitvariable τ

T Verfallsdatum

u Exakte Lösung der zugrundeliegenden Differentialgleichung

v Approximative Lösung der zugrundeliegenden Differentialgleichung

V(S,t) Optionspreis zum Kurs des Basiswertes von S zum Zeitpunkt t

x Transformierte Kursvariable

Z Anzahl Zeitintervalle in einem Gitter finiter Differenzen

V

1 Einleitung

Fundamentaler Bestandteil mathematischer Modelle zur Bewertung von Optionen auf Basiswerte

wie Aktien stellt die Lösung partieller Differentialgleichungen dar, deren Ausgestaltung von spezi-

fischen Annahmen unter anderem hinsichtlich der Verteilung von Renditen, der Konstanz von Mo-

dellparametern und der Berücksichtigung von Steuern und Gebühren abhängt. Da die Herleitung

des theoretischen Rahmens adäquater Bewertungsmodelle nicht Gegenstand dieser Arbeit ist, soll

ohne weitere Kritik der einschneidenden Annahmen analog zur ausgewerteten Literatur die Black-

Scholes-Differentialgleichung ¹ als Ausgangspunkt der Preisbestimmung für Aktienoptionen heran-

gezogen werden. ² Die Notwendigkeit des Einsatzes numerischer Methoden, zu denen neben den

Verfahren finiter Differenzen auch Monte-Carlo-, Baum- und Finite-Elemente-Modelle zählen, liegt

dann darin begründet, dass die Black-Scholes-Gleichung nur im Fall europäischer Optionen analy-

tisch lösbar ist, so dass für die Menge der übrigen Optionsvarianten nur numerische Verfahren die

Generierung eines quantitativen Ergebnisses ermöglichen. Erstmalig von Brennan/Schwartz [1977]

auf die Bewertung amerikanischer Optionen angewandt, sieht der Grundgedanke der Finite-

Differenzen-Methode die Zerlegung der zugrundeliegenden Differentialgleichung in ein endliches

System von Differenzengleichungen vor und liefert infolgedessen eine diskrete Approximation der

kontinuierlichen Differentialgleichung. ³ Aus der iterativen Vorgehensweise dieses Verfahrens re-

sultiert, dass Optionswerte stets für eine Fläche von Kursen des Basiswertes sowie der Optionsrest-

laufzeit ermittelt werden und sich nicht wie in geschlossenen Lösungsansätzen auf die alleinige

Optionspreisberechnung zu einem gewissen Kurs und Zeitpunkt beschränkt wird.

Ziel dieser Arbeit ist es, die Methodik finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung am Bei-

spiel europäischer Optionen zu entwickeln, auf die praktisch relevantere Bewertung amerikanischer

Optionen auszuweiten und durch numerische Beispiele der im Anhang befindlichen Matlab 7.1

Implementierungen zu illustrieren. Dazu wird in Kapitel 2 der konzeptionelle Rahmen der Anwen-

dung finiter Differenzen beschrieben, bevor Kapitel 3 die Verfahren finiter Differenzen mit der

Konkretisierung für europäische Optionen präsentiert und Kapitel 4 nach kurzer Darstellung des

modelltheoretischen Hintergrundes mit der Preisberechnung amerikanischer Optionen schließt.

¹ Vgl. Black/Scholes, 1973, S.673ff.

² Vgl. Wilmott et al., 1996, S.262 ; Higham, 2004, S.237 ; Seydel, 2000, S.77.

³ Vgl. Brennan/Schwartz, 1997, S.449ff.; Hull, 2006, S.506; Wilmott et al., 1996, S.261.

1

2 Konzeptioneller Rahmen finiter Differenzen zur Optionspreisbestimmung

2.1 Transformation der Black-Scholes-Differentialgleichung

Entsprechend dem Vorgehen der Autoren Wilmott et al. [1996] sowie Seydel [2000] soll im

weiteren Verlauf nicht die Black-Scholes-Gleichung direkt, sondern die aus der Physik stammende

Diffusionsgleichung analysiert werden, da diese die Erarbeitung und Lösung der Finite-

Differenzen-Methoden in einem einfacheren Modellrahmen zulässt und beide Gleichungen

äquivalent sind. ⁴ Folglich kann bewiesen werden, dass die Black-Scholes-Gleichung unter

Berücksichtigung von Dividenden

mit V(S,t): Optionswert; t: laufende Zeit, 0 σ : Volatilität; S(t): Kurs des Basispreises; r: sicherer Zinssatz; δ : kontinuierliche Dividendenrendite; E: Ausübungskurs der Option; mittels nachstehender Variablentransformationen

S =

( V

in die Diffusions- bzw. Wärmeleitungsgleichung

überführt werden kann. Ziel der Methoden finiter Differenzen ist die approximative Bestimmung der , ( τ x U

aus den ( τ x U

hierzu erforderliche Variablenransformation bewirkt, dass die in Einheiten meßbaren Variablen S(t) und t in die dimensionslosen Variablen x und τ übertragen werden und der Definitionsbereich der betrachteten Variablen in der Form

( V

( V

angepasst wird.

⁴ Vgl. Wilmott et al., 1996, S.267; Seydel, 2000, S.79. Für den Beweis der Transformation vgl. Anhang 1.

⁵ Vgl. Seydel 2000, S.78; Wilmott et al., 1996, S.100f.

2

Als Konsequenz der Zeittransformation, in der ursprünglich das aktuelle Datum mit t=0 und der Verfalltag der Option durch t=T gegeben war, repräsentiert in der U

0 σ Verfalltag und τ =

Neben der Definition der Differentialgleichung bedarf es einer zweiten Komponente, der Festlegung von Randbedingungen, um eine eindeutige Lösung für das zugrunde gelegte Modell zu erhalten, da unbedingte Differentialgleichung im Allgemeinen über eine Vielzahl von Lösungen verfügen. Randbedingungen konkretisieren das Verhalten der gesuchten Lösung an gewissen Stellen des Definitionsbereichs wie in diesem Zusammenhang das Verhalten der Optionspreise am Verfalltag

der Option und am Rand des Definitionsbereichs der Kursvariable. ⁶ So gelten für europäischen wie amerikanischen Put, auf die sich im Rahmen dieser Arbeit beschränkt wird, die bekannte Auszahlungsfunktion und Endbedingung

( S V

die sich anhand der dargestellten Variablentransformation in die Anfangsbedingung ( U

überführen lässt. Ebenso gilt für europäischen wie amerikanischen Put die Randbedingung ( S V

bzw. ( U τ

Da die Randbedingung auf der „anderen“ Seite ⁷ der Kursskala den Kern des Bewertungsproblems amerikanischer Optionen ausmacht, soll zunächst nur die letzte Randbedingung ( S V

( bzw. U

für den europäischen Put eingeführt werden. Das konkrete Problem für den europäischen Put lautet somit: Finde eine Lösung U

(7) und (9) erfüllt, und transformiere U

⁶ Vgl. Wilmott et al., 1996, S.45.

⁷ Vgl. Seydel, 2000, S.91.

⁸ Vgl. Wilmott et al., 1996, S.46ff., S.268; Seydel, 2000, S.79, S.91f. Die hier dargestellten Verfahren sind durch entsprechende Anpassung der Randbedingungen auch uneingeschränkt für Calls anwendbar.

3