Pricingunterschiede  zwischen Anleihen und Kreditderivaten  I

Inhaltsverzeichnis

ABK  ÜRZUNGSVERZEICHNIS.  V

ABBILDUNGSVERZEICHNIS   VI

TABELLENVERZEICHNIS. VI   

1  EINLEITUNG  1

2  KREDITRISIKO UND KREDITDERIVATE  3

2.1  BESCHREIBUNG UND EINORDNUNG DER RISIKOARTEN  3

2.2  ADRESSENRISIKO  5

2.2.1  Ausfallrisiko  6

2.2.2  Bonitätsrisiko  7

2.3  DEFINITION UND ABGRENZUNG VON KREDITDERIVATEN.  10

2.4  KREDITDERIVATE.  11

2.4.1  Asset Swap  11

2.4.2  Credit Default Swap  13

2.4.2.1  Credit Event  15

2.4.2.2  Ausgleichsleistung.  17

3  BEGRIFFLICHE UND MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN  19

3.1  ARBITRAGEPRICING UND RISIKONEUTRALE BEWERTUNG.  19

3.1.1  Finanzmarktmodelle.  19

3.1.2  Konzept der arbitragefreien Bewertung  22

3.1.2.1  Modellrahmen  23

3.1.2.2  Sätze der arbitragefreien Bewertung  28

3.2  MODELLIERUNG DES CREDIT EVENTS  30

3.3  HAZARD RATE.  34

3.4  RECOVERY  35

3.4.1  Recovery-Szenarien  36

3.4.1.1  Equivalent Recovery.  36

3.4.1.2  Fractional Recovery.  36

3.4.1.3  Recovery of Face Value  37

Pricingunterschiede  zwischen Anleihen und Kreditderivaten  II

3.4.2  Recovery-Schätzung aus historischen Daten  37

3.4.3  Recovery-Modellierung  38

4  PRICING VON AUSFALLRISIKOBEHAFTETEN ANLEIHEN  39

4.1  UNTERNEHMENSWERTMODELLE  39

4.2  INTENSITÄTSMODELLE  41

4.2.1  Jarrow Turnbull.  42

4.2.1.1  Rahmenbedingungen  42

4.2.1.2  Forex Analogy.  44

4.2.1.3  Risikolose Zinsstruktur.  45

4.2.1.4  Risikobehaftete Zinsstruktur  48

4.2.1.5  Bestimmung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten.  51

4.2.1.6  Bewertung kreditrisikobehafteter Zerobonds.  57

4.2.1.7  Kritische Würdigung des Modells.  59

4.2.2  Lando.  59

4.2.2.1  Modellrahmen  60

4.2.2.2  Bewertung ausfallrisikobehafteter Anleihen  62

4.2.2.3  Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit  63

4.2.2.4  Kritische Würdigung des Modells.  64

5  PRICING VON DEFAULT SWAPS  66

5.1  DUFFIE  68

5.1.1  Approximation der Default Swap Prämie durch Par-Floater  69

5.1.1.1  Berücksichtigung der Repo- und Transaktionskosten.  72

5.1.1.2  Berücksichtigung der aufgelaufenen Default Swap Prämie  74

5.1.1.3  Berücksichtigung der Stückzinsen der Referenzanleihe.  74

5.1.1.4  Approximation des Floating Rate Par-Spreads  75

5.1.2  Approximation der Default Swap Prämie durch Asset Swaps.  77

5.1.3  Bestimmung der Hazard Rate  78

5.1.3.1  Konstante Hazard Rate  78

5.1.3.2  Laufzeitabhängige Hazard Rate.  82

5.1.3.3  Zusammenhang der Recovery-Annahme und der Hazard Rate  84

5.1.4  Bestimmung der Default Swap Prämie bei konstanter Hazard Rate.  86

5.1.5  Bewertung von Default Swap Positionen bei konstanter Hazard Rate  89

5.1.6  Kritische Würdigung des Ansatzes  90

Pricingunterschiede  zwischen Anleihen und Kreditderivaten  III

5.2  HULL WHITE  91

5.2.1  Bestimmung der risikoneutralen Ausfallwahrscheinlichkeit  91

5.2.2  Bestimmung der Default Swap Prämie  96

5.2.3  Kritische Würdigung des Ansatzes  98

6  PRICINGUNTERSCHIEDE  99

6.1  DEFAULT SWAP BASIS.  99

6.1.1  Default Swap Basis bezogen auf Par-Floater.  99

6.1.2  Default Swap Basis bezogen auf Asset Swaps.  101

6.2  GRÜNDE FÜR PRICINGUNTERSCHIEDE  102

6.2.1  Fundamentale Gründe für Pricingunterschiede.  103

6.2.1.1  Delivery Option.  103

6.2.1.2  Risk of Technical Default  104

6.2.1.3  Coupon Step-Ups  104

6.2.1.4  Anleihepreis unter/über par  105

6.2.1.5  Stückzinsen/Anteilige Default Swap Prämie  105

6.2.1.6  Finanzierungskosten  106

6.2.1.7  Off Balance Sheet/Leverage.  106

6.2.1.8  Kontrahentenrisiko.  106

6.2.2  Pricingunterschiede durch Marktfaktoren.  107

6.2.2.1  Angebot von Protection.  107

6.2.2.2  Nachfrage nach Protection  108

6.2.2.3  Liquidität.  108

6.2.2.4  Emissionsaktivität  109

6.2.2.5  Finanzierungsrisiko  109

6.2.2.6  Repo-Optionalität.  110

6.3  EMPIRISCHE BETRACHTUNG DER DEFAULT SWAP BASIS  111

6.3.1  Allied Domecq  111

6.3.2  Daimler-Chrysler.  113

6.3.3  Deutsche Telekom.  114

7  AUSBLICK  116

Pricingunterschiede  zwischen Anleihen und Kreditderivaten  IV

ANHANG I:  MATHEMATISCHE VERTEILUNGEN UND STOCHASTISCHE PROZESSE  118

ANHANG II:  RATINGÜBERSICHT FÜR LANGFRISTIGE RATINGKLASSEN.  125

ANHANG III:  TRADE CONFIRMATION (ISDA 1999)  126

ANHANG IV:  CREDIT EVENT  136

LITERATURVERZEICHNIS   VII

Pricingunterschiede zwischen Anleihen und Kreditderivaten Seite V

Abkürzungsverzeichnis

BaKred Bundesaufsichtsamt für das Kreditwesen

BBA British Bankers’ Association

bearb. bearbeitete

bp

bps

bspw.

bzgl.

bzw.

ca.

CDP

CDS

d.h.

DCX

DT

durchges.

erw.

etc. et cetera

f.

ff.

ggü.

Hrsg.

i.d.R.

ISDA

KWG

LTCM

m.a.W.

Mio. Millionen

Mrd. Milliarden

OTC over-the-counter

p.a.

S&P

S. Seite

u.a. unter anderem

u.U. unter Umständen

überarb.

vgl.

z.B.

Pricingunterschiede  zwischen Anleihen und Kreditderivaten  

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Risikoarten  

Abbildung  2: Adressenrisiko  

Abbildung  3: Spreadkomponenten  

Abbildung  4: Asset Swap.  

Abbildung  5: Asset Swap Paket  

Abbildung  6: Credit Default Swap.  

Abbildung  7: Credit Event  

Abbildung  8: Ausgleichsleistung für gewöhnlichen Default Swap  

Abbildung  9: Ankunftsprozess.  

Abbildung  10: Entwicklung risikoloser Zerobonds  

Abbildung  11: Wechselkursentwicklung  

Abbildung  12: Entwicklung risikobehafteter Zerobonds in hypothetischer Währung.  

Abbildung  13: Entwicklung risikobehafteter Zerobonds in originärer Währung.  

Abbildung  14: Synthetischer Default Swap.  

Abbildung  15: Zahlungsprofil des synthetischen Default Swaps.  

Abbildung  16: Short Position C-FRN durch Reverse Repo  

Abbildung  17: Hazard Rate in Abhängigkeit von Loss given Default und Preis.  

Abbildung  18: CDS Prämie in Abhängigkeit von Loss given Default und Preis.  

Abbildung  19: Statischer Hedge für Sicherungskäufer.  

Abbildung  20: Duplikation Default Swap durch Asset Swap  

Abbildung  21: Fundamentalfaktoren und ihr Einfluss auf die Default Swap Basis  

Abbildung  22: Markteinflüsse auf die Default Swap Basis.  

Abbildung  23: Default Swap Basis Allied Domecq 5 Jahre  

Abbildung  24: Default Swap Basis Daimler-Chrysler 5 Jahre.  

Abbildung  25: Default Swap Basis Deutsche Telekom 5 Jahre.  

Abbildung  26: Realisierung eines Zählprozesses  

Tabellenverzeichnis   

Tabelle 1:  Historische Recovery Rate in Abhängigkeit von der Rangstufe  

Tabelle 2:  Hazard Rate in Abhängigkeit von Loss given Default und Preis  

Tabelle 3:  Default Swap Prämie in Abhängigkeit von Loss given Default und Preis  

Kapitel 1: Einleitung Seite 1

1 Einleitung

Der Markt für Unternehmensanleihen hat in jüngster Zeit ein rasantes Wachstum verzeichnet. UMTS-Auktionen, Übernahmefinanzierungen, generell gestiegener Kapitalbedarf sind Ursachen für ein steigendes Emissionsvolumen bei Unternehmensanleihen, sog. Credits. Rückgängige Schuldenquoten der Staatshaushalte nicht nur in den USA und Deutschland und die damit einhergehende Knappheit ausstehender Staatsanleihen ziehen zunehmend das Interesse der Investoren auf den Credit Bereich. Durch das erweiterte Währungsgebiet in Folge der Euro-Einführung kam es zum Wegfall der inländischen Zinsmärkte der Mitgliedsstaaten. Investoren suchen deshalb im Credit Bereich nach neuen Alternativen für Renditemöglichkeiten. Unterstützt wird diese Entwicklung durch das Wachstum des Marktes für Kreditderivate, wodurch Möglichkeiten zur Diversifizierung von Credit-Portfolios und deren Absicherung geschaffen werden. Die Implementierung praktikabler Verfahren zur Bestimmung und Bewertung von Kreditrisiken erscheint vor diesem Hintergrund als neue Herausforderung für Finanzinstitute. Um die Zusammenhänge zwischen ausfallrisikobehafteten Anleihen und Kreditderivaten analysieren zu können und darauf aufbauend Handels- und Anlageentscheidungen zu treffen, ist das Verständnis von Pricingmodellen für diese Produkte essentielle Voraussetzung.

Ziel dieser Arbeit ist es, Pricingunterschiede zwischen ausfallrisikobehafteten Anleihen und Kreditderivaten zu analysieren. Dabei sollen zunächst die Zusammenhänge zwischen den beiden Produkten und ihrer Preisfindung dargestellt werden, um im Anschluss mögliche Gründe für Pricingunterschiede zu bestimmen. Der Fokus bei den Kreditderivaten liegt auf dem Credit Default Swap, da sich dieser bislang als das liquideste Produkt mit dem größten Marktanteil innerhalb des Segments der

Kreditderivate entwickelt hat. ¹ Die Analyse der Pricingunterschiede wird abschließend mit historischen Datenreihen unterlegt. (Kapitel 6)

Eingangs werden die Begriffe Kreditrisiko und Kreditderivate definiert und eingeordnet. Das Kreditrisiko wird dabei im Kontext der Gesamtrisiken für Finanzinstitute eingeordnet, um anschließend auf den Bereich Adressenrisiken mit den Komponenten Ausfallrisiko und Bonitätsrisiko näher einzugehen. Im Anschluss an eine allgemeine

¹ Siehe hierzu British Bankers’ Association (2000).

Kapitel 1: Einleitung Seite 2

Definition für Kreditderivate wird mit dem Asset Swap eine Vorläufer der Kreditderivate vorgestellt, der in der Analyse von Pricingunterschieden berücksichtigt wird. Wie angedeutet, wird im Rahmen dieser Arbeit als Kreditderivat ausschließlich der Credit Default Swap erläutert. Dies ist auch vor dem Hintergrund zu rechtfertigen, dass Credit Default Swaps den Grundbaustein für weitere, modifizierte Kreditderivatstrukturen liefern und die Bewertungslogiken des Credit Default Swaps essentieller Bestandteil für weiterführende Analysen und Bewertungsansätze sind. (Kapitel 2)

Kapitel 3 bietet einen Überblick zu den im Rahmen dieser Arbeit verwendeten begrifflichen und mathematischen Grundlagen der Modellierung, auf die bei den vorzustellenden Bewertungsansätzen zurückgegriffen wird.

Die Analyse von Pricingunterschieden, setzt das Verständnis der Pricingansätze für ausfallrisikobehaftete Anleihen und Credit Default Swaps voraus. In Kapitel 4 werden unterschiedliche Modellansätze für das Pricing von ausfallrisikobehafteten Anleihen dargestellt. Kapitel 5 zeigt im Anschluss Pricingansätze für Default Swaps. In beiden Fällen wird versucht, den Schwerpunkt auf aktuell in der Praxis verwendete Modelle und Ansätze zu richten.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 3

2 Kreditrisiko und Kreditderivate

Für den Begriff des Risikos gibt es in der Literatur eine Vielzahl von Definitionen. Im

Rahmen dieser Arbeit wird der Definition von Spellmann & Unser ² gefolgt. Unter Risiko soll allgemein verstanden werden, dass die spätere Realisation einer finanziellen Zielgröße von einer im Planungszeitpunkt erwarteten Referenzgröße aufgrund zukünftiger unsicherer Umweltentwicklungen abweicht. Diese für die einzelnen Risikoarten noch zu konkretisierende Definition umfasst die Gefahr einer negativen Abweichung (Downside Risk) wie auch die Chance einer positiven Entwicklung (Upside Chance), wobei im Folgenden auf die jeweiligen Aspekte des Downside Risks fokussiert wird.

In diesem Kapitel werden zunächst die Risiken vorgestellt, die für Kreditinstitute und Finanzdienstleister im Allgemeinen spezifisch sind, um anschließend auf den Bereich Adressenrisiken näher einzugehen, da diese Risiken bei der Betrachtung ausfallgefährdeter Forderungstitel und der Bewertung von Kreditderivaten zu Grunde liegen. Mit der Abgrenzung von Kreditderivaten zu anderen derivativen Finanzinstrumenten und ihrer Definition wird die Grundlage für das Verständnis dieser Produktkategorie gebildet.

2.1 Beschreibung und Einordnung der Risikoarten

In der folgenden Abbildung wird ein Überblick der wichtigsten Risikoarten gegeben, wie sie für Unternehmen im Finanzsektor anzutreffen sind. Neben den sonstigen Risiken, die in der Abbildung nicht universal aufgeführt sind und den Risiken im Betriebsbereich, liegt der Schwerpunkt potenzieller Risikofaktoren für Kreditinstitute v.a. in deren Geschäftsbereich. Es ist einer der wesentlichen Geschäftszwecke einer Bank, Risikotransformation zu betreiben und die daraus für das Institut resultierenden Risiken zu quantifizieren und zu steuern. Dennis Weatherstone, ehemaliger Chairman von J.P. Morgan, formulierte entsprechend „Managing risk is the business of banking indeed.“

² Vgl. Spellmann & Unser (1998), S. 262.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 4

Abbildung 1: Risikoarten

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Heidorn (1999), S. 4; Heidorn (2000), S. 1.

Geht man von der Darstellung der Risikoarten aus der Perspektive eines Kreditinstitutes über zu der Betrachtung ausfallgefährdeter Schuldtitel und den somit für die Bewertung von Kreditderivaten maßgeblichen Risikokomponenten, so liegt der Fokus auf den Bereichen des Markt- und des Adressenrisikos. Der ökonomische Wert eines Schuldtitels unterliegt Schwankungen, die durch unterschiedliche Komponenten dieser Risikofaktoren begründet werden. Der Wert einer Forderung wird u.a. durch das risikolose Zinsniveau beeinflusst, so dass auf Seiten des Marktrisikos das Zinsänderungsrisiko im Vordergrund steht. Diese Marktrisiken können mit den bewährten Formen derivativer Instrumente unter Berücksichtigung möglicher Basisrisiken weitgehend abgesichert werden. Im Folgenden wird deshalb nur der Block der Adressenrisiken ausführlich dargestellt.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 5

2.2 Adressenrisiko

Gemäß Abbildung 1 weist das Adressenrisiko die Dimensionen Länderrisiko, Ausfallrisiko und Bonitätsrisiko auf. Länderrisiken werden in der Literatur meist unter

den Risikokomponenten politischer, ökonomischer und sozialer Natur zusammengefasst. ³ Klammert man das Länderrisiko bei der Betrachtung aus, so wird im Folgenden das Adressenrisiko als Kreditrisiko verstanden.

Definition:

Das Kreditrisiko beinhaltet für den Gläubiger die Gefahr der Bonitätsverschlechterung des Schuldners bis hin zum Ausfall (Default). Unter einem Default ist der vollständige oder teilweise Ausfall einer zwischen dem Gläubiger und dem Schuldner vereinbarten

Leistung oder eine nicht termingerechte Zahlung dieser Leistung zu verstehen. 4

Diese Definition des Kreditrisikos entspricht der Vorstellung des Emittentenrisikos. Falls ein Emittent eines verzinslichen Schuldtitels seinen Verpflichtungen zur Zahlung von Zinsen oder zur Rückzahlung des geschuldeten Nominalbetrages nicht nachkommt, spricht man vom Emittentenrisiko. Ebenso, wenn sich aufgrund verschlechterter Bonität des Emittenten der Marktwert seiner Schuldtitel verringert und die Inhaber (Gläubiger) somit einen Barwertverlust erleiden. Die vorgestellte Definition des Kreditrisikos lässt sich auf die Dimension des Kontrahentenrisikos erweitern. Handelt es sich bei einem abgeschlossenen Vertrag um ein gegenseitig verpflichtendes Geschäft, etwa einem

Finanzkontrakt ⁵ , derivativen bei dem zunächst nicht unbedingt eine

Zahlungsverpflichtung entsteht, so kann sich durch veränderte Marktparameter ein positiver Barwert für eine Vertragspartei ergeben. Das Kreditrisiko in Form des Kontrahentenrisiko besteht dann in der Gefahr des Ausfalls der anderen Vertragspartei, so dass ein evtl. positiver Barwert nicht oder nur teilweise realisiert werden kann.

Die üblicherweise neben dem Kreditrisiko zum Adressenrisiko separat hinzugezählten Wiedereindeckungsrisiken und Vorleistungsrisiken werden hier als implizite Bestandteile des Kreditrisikos aufgefasst, da sie als Folge der beschrieben Tatbestände des Kreditrisikos gesehen werden können.

³ Vgl. Eilenberger (1997), S. 453.

⁴ Vgl. Hüttemann (1997), S. 7.

⁵ Siehe hierzu Abschnitt 2.3, S. 10.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 6

Zusammenfassend wird Kreditrisiko bzw. Adressenrisiko also als Ausfallrisiko plus Bonitätsrisiko verstanden. Für die Ausfallrisiken ist eine nicht erbrachte Forderungsleistung der Auslöser, während bei den Bonitätsrisiken eine Ausweitung des Risikoaufschlags (Spread) gegenüber dem risikolosen Zins und die damit einhergehende negative Marktwertveränderung des betrachteten Investments als Risikofaktor zugrunde

liegt. ⁶ Die folgende Abbildung verdeutlicht die beschriebenen Zusammenhänge:

Abbildung 2: Adressenrisiko

Quelle:Eigene Darstellung in Anlehnung an Heidorn (1999), S. 4; Heidorn (2000), S. 1.

2.2.1 Ausfallrisiko

Unter dem Ausfallrisiko versteht man die Gefahr, dass ein Schuldner seinen Zahlungsverpflichtungen nicht oder nur teilweise nachkommt. Der Kreditgeber erleidet im Extremfall einen vollständigen Verlust seiner Forderungen aus einem Kreditgeschäft bzw. aus Forderungstiteln (verzinsliche Wertpapiere) oder er kann einen positiven Barwert, der aus derivativen Finanzkontrakten resultiert, nicht realisieren, wenn der

Vertragspartner ausfällt. 7

⁶ Vgl. Heidorn (1999), S.4; Hüttemann (1997), S. 7.

⁷ Vgl. Büschgen (1999), S. 243.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 7

Bei der Definition zum Kreditrisiko ⁸ wird ein Default als vollständiger oder teilweiser Ausfall einer zwischen dem Gläubiger und dem Schuldner vereinbarten Leistung oder eine nicht termingerechte Zahlung dieser Leistung verstanden. Madan & Unal

spezifizieren die dem Ausfallrisiko zuzuordnenden Risikokomponenten genauer. ⁹ Als wesentliche Komponenten des Ausfallrisikos sehen sie zum einen den Zeitpunkt des Default Events (Arrival Risk) und zum anderen im Falle eines Defaults den volumenmäßigen Umfang des Ausfalls (Magnitude Risk). Ex ante findet ein Ausfall zu einem unbestimmten Zeitpunkt statt, wenn in einem ebenfalls unbekannten Umfang die Ansprüche der Gläubiger an Werthaltigkeit verlieren, so dass diese Größen im Allgemeinen als zufällig modelliert werden.

Im Zusammenhang mit der Zeitdimension des Ausfallrisikos geschieht die Modellierung

durch einen stochastischen Prozess ¹⁰ des Ausfallzeitpunktes τ. Es handelt sich dabei um

den Zeitpunkt, mit dem eine Reduktion oder eine zeitliche Verschiebung der versprochenen Zahlung verbunden ist. Die ebenfalls ex ante unbekannte Höhe dieser Reduktion hängt im Rahmen eines Konkursverfahrens bspw. von der Rangstufe einzelner Forderungen der jeweiligen Gläubiger oder von den Werthaltigkeiten der zum Ausfallzeitpunkt noch liquidierbaren Vermögensgegenstände des Schuldners ab. Die

Volumendimension des Ausfallrisikos, kann über die Konkursquote ¹¹ δ modelliert

werden, wobei diese hierbei ebenfalls einem stochastischen Prozess folgt.

Der Umfang der Forderungen, der dem Risiko eines Ausfalls der zur Zahlung verpflichteten Partei ausgesetzt ist, wird gemeinhin als Credit Exposure bezeichnet und

das Ausfallrisiko auf diese Größe bezogen. 12

2.2.2 Bonitätsrisiko

Das Bonitätsrisiko umfasst das Risiko einer Bonitätsverschlechterung des Kontrahenten (Bonitätsänderungsrisiko) und das Risiko der Spreadveränderung der dem Kontrahenten zuzuordnenden Rendite, das sog. Spreadrisiko.

⁸ Siehe S. 5.

⁹ Vgl. Madan & Unal (1996), S. 1ff.

¹⁰ Siehe hierzu Anhang I: Mathematische Verteilungen und stochastische Prozesse, S. 118ff.

¹¹ Siehe hierzu Abschnitt 3.4, S. 35ff.

¹² Vgl. Pechtl (1999), S. 183f.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 8

Das Bonitätsänderungsrisiko beinhaltet die Gefahr, dass eine negative Veränderung der Bonitätssituation eines Kontrahenten zu einer veränderten Zahlungsfähigkeit und somit zu einer Abweichung der erwarteten zukünftigen Zahlungen führt und damit einhergehend

eine negative Veränderung des Barwertes der betrachteten Forderung resultiert. ¹³ Zur Beurteilung der Bonitätssituation eines Vertragspartners wird neben der internen Bonitätsprüfung bei Kreditinstituten i.d.R. auf externe Einschätzungen (Ratings) eines Schuldners durch Agenturen wie Standard & Poor’s, Moody’s Investors Service (S&P), oder Fitch (ehemals Fitch IBCA) zurückgegriffen. Die Ratingagenturen ordnen Unternehmen und deren Schuldtitel gemäß ihrer Bonität systematisch in einzelne

Ratingklassen ein. ¹⁴ Die Ratings geben Auskunft über die Einschätzung der Schuldendienstfähigkeit eines Schuldners, die mit einem Forderungstitel verbundenen

Zins- und Tilgungszahlungen termingerecht und vollständig zu erfüllen. ¹⁵ Die Ratingagenturen unterscheiden bei der Bonitätseinschätzung zumeist zwischen dem Emissionsrating, das eine Bewertung für einen bestimmten Finanztitel eines Emittenten darstellt und dem Emittentenrating, das ein Gesamturteil über die Bonität eines Emittenten für alle Finanztitel und Kredite bildet. Darüber hinaus wird im allgemeinen

zwischen dem langfristigen Rating, das Kapitalmarkttitel ¹⁶ oder langfristige Kredite betrifft und dem kurzfristigen Rating unterschieden, das sich auf Geldmarkttitel bezieht. ¹⁷ Der Markt impliziert die aktuelle Finanz- und Ertragslage der betrachteten Schuldner und die daraus resultierende Bonitätseinschätzung i.d.R. schneller als die Ratingagenturen. Man spricht in diesem Zusammenhang davon, dass Ratings der Agenturen „Behind the Curve“ sind.

Um das Risiko der Spreadveränderung zu verdeutlichen, muss zunächst herausgestellt werden, welche Komponenten der Spread beinhaltet. Der Spread, üblicherweise ausgedrückt in Basispunkten (bps), errechnet sich aus der Renditedifferenz zwischen einem spezifischen Asset und einer festgelegten Benchmark mit der gleichen Laufzeit

bzw. Duration ¹⁸ wie das betrachtete Asset. Als Benchmark dienen i.d.R. der als risikolos

¹³ Vgl. Spellmann & Unser (1998), S. 263.

¹⁴ Siehe hierzu Anhang II: Ratingübersicht für langfristige Ratingklassen, S. 125.

¹⁵ Vgl. Büschgen (1997), S. 1065.

¹⁶ Literatur und Praxis differenzieren die Finanzmittelmärkte üblicherweise in die Kategorien Geldmarkt

und Kapitalmarkt, wobei in der Praxis die Trennung i.d.R. von der Laufzeit der betrachteten Transaktionen

abgeleitet wird. Der Geldmarkt umfasst die Laufzeiten bis zwei Jahre, der Kapitalmarkt alle längeren

Laufzeiten.

¹⁷ Vgl. Eilenberger (1997), S. 458.

¹⁸ Für eine genaue Erklärung zu Duration siehe Heidorn (1998), S.56ff.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 9

angesehene Zins für Staatsanleihen, die in eigener Währung denominiert sind, oder häufig

auch Swapsätze (Festsatzquotierung in einem Zinsswap ¹⁹ ). Neben der in dieser Arbeit vordergründig zu beachtenden Credit-Komponente, in der die Ausfallwahrscheinlichkeit des betrachteten Schuldners zum Ausdruck kommt, ist der Spread von weiteren Faktoren abhängig, die in der folgenden Abbildung aufgeführt sind.

Abbildung 3: Spreadkomponenten

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an J.P. Morgan (2000), S. 1.

Bei der Quantifizierung des Spreadrisikos lassen sich die jeweils ausschlaggebenden Komponenten schwierig separieren. In der Regel stellt die Credit-Komponente neben der Liquiditätsprämie den größten Einflussfaktor dar.

Der Spread eines Emittenten weitet sich demnach nicht ausschließlich infolge einer für den Emittenten spezifischen Bonitätsverschlechterung. Auch im Zuge einer allgemeinen Marktreaktion, bei der bonitätssensitive und illiquide Titel gemieden werden und ein sog. „Flight to Quality“ stattfindet, kann der Spread steigen. Als Beispiel hierfür sei auf die durch die Russlandturbulenzen hervorgerufene und durch den Kollaps des Hedge Funds

LTCM ²⁰ verstärkte Emerging Market Krise in 1998 hingewiesen, bei der selbst geringfügig bonitätsrisikobehaftete Forderungstitel wie etwa Pfandbriefe ²¹ Spread-Aufschläge verzeichneten, obwohl die den jeweiligen Papieren zugrundeliegenden Bonitätskennziffern unbeeinflusst blieben.

¹⁹ Für eine genaue Erklärung zu Zinsswaps siehe Heidorn (1998), S.84ff.

²⁰ Long Term Capital Management

²¹ Für eine umfassende Erläuterung zu Pfandbriefen siehe bspw. Arndt, F. (1999), S. 7ff.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 10

An den Kapitalmärkten wird die Bonitätssituation eines Unternehmens durch den Credit Spread ausgedrückt. Je größer diese Differenz ist, umso schlechter wird die Bonität eines Schuldners von den Marktteilnehmern eingeschätzt. Der Credit Spread kann somit als Prämie interpretiert werden, die ein Gläubiger als Kompensation für die Übernahme des Kreditrisikos und der damit verbundenen Ausfallwahrscheinlichkeit verlangt.

2.3 Definition und Abgrenzung von Kreditderivaten

Ein Contingent Claim ist ein Anspruch, dessen Auszahlung von einem oder mehreren zukünftigen Ereignissen abhängt. Diese Ereignisse müssen nicht unbedingt durch den Wert von börsennotierten oder außerbörslich gehandelten Wertpapieren definiert sein. Derivate, auch derivative Finanzkontrakte genannt, werden deshalb als eine Teilmenge

der Contingent Claims gesehen. ²² Derivate im allgemeinen sind innovative Finanzinstrumente, die sowohl Rechte als auch Pflichten begründen können, und deren Preis oder Wert von einem oder mehreren zugrundeliegenden Produkten bzw. Assets

abgeleitet wird. ²³ Sie werden eingesetzt, um die dem zugrundeliegenden Asset inhärenten Risiken zu steuern oder separat handeln zu können. Hinzu kommt häufig die Reduzierung von Transaktionskosten beim Einsatz von Derivaten verglichen mit denen beim Kauf oder Verkauf der zugrundeliegenden Kassaprodukte.

Kreditderivate unterscheiden sich von traditionellen derivativen Finanzinstrumenten dadurch, dass sie nicht Marktrisiken wie bspw. Zins- oder Währungsrisiken, sondern

Adressenrisiken ²⁴ getrennt von ihrem Underlying handelbar machen. ²⁵ Kreditderivate sind bilaterale OTC-Verträge, ²⁶ um spezifische Bestandteile des Kreditrisikos eines zugrundeliegenden Instruments, dem Underlying, ²⁷ zu trennen und diese Risiken zwischen den beteiligten Kontraktparteien zu transferieren. ²⁸ Es sind Off-Balance-Sheet-Finanzinstrumente, ²⁹ die es einem Beteiligten des Geschäfts (dem Risikoverkäufer, Protection Seller) erlauben, das Kreditrisiko eines Referenz-Assets an einen anderen (den

²² Vgl. Sandmann (1999), S. 1.

²³ Vgl. Bodie & Merton (1998), S. 36.

²⁴ Die Begriffe Adressenrisiken und Kreditrisiken werden wie bereits erläutert synonym verwendet.

²⁵ Vgl. Hüttemann (1997), S. 23.

²⁶ Die Abkürzung OTC steht für “over-the-counter”. Hierbei handelt sich es um nicht-standardisierte,

zwischen den Vertragspartnern ausgehandelte Verträge mit individuellen Kontraktspezifikationen.

²⁷ Die Begriffe Underlying, Referenz-Asset und Basisinstrument werden in der Literatur synonym

verwendet.

²⁸ Vgl. Risk Publications (1999), S. 10.

²⁹ Off-Balance-Sheet bedeutet, dass diese Kreditderivate nicht bilanziell erfasst werden. Bilanzwirksame

Anwendungen von Kreditderivaten sind u.a. Asset Backed Securities (ABS), Mortgage Backed Securities

und Credit Linked Notes (CLN).

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 11

Risikokäufer, Protection Buyer) gegen Zahlung einer Prämie zu transferieren. „Der Risikokäufer trägt somit das Kreditrisiko des Referenz-Assets, ohne dieses tatsächlich

erwerben zu müssen.“ ³⁰ Es handelt sich dabei nicht nur um die Risiken, die durch direkte Kreditvergaben an Kreditnehmer entstehen. Vielmehr können auch Kreditrisiken, die durch den Ankauf der von Kreditnehmern emittierten Wertpapiere oder durch das

Geschäft mit derivativen Finanzinstrumenten entstandene Exposure ³¹ gegenüber einem Kontrahenten auf andere Marktteilnehmer transferiert werden. 32

2.4 Kreditderivate

Im Rahmen dieser Arbeit wird ausschließlich der Credit Default Swap, kurz Default Swap, vorgestellt, da dieser das Objekt der weiteren Analyse ist. Zudem wird mit dem Asset Swap eine Vorform der Kreditderivate dargestellt, weil Asset Swaps für die Bewertung und die Betrachtung der Pricingunterschiede zwischen Anleihen und Default Swaps herangezogen werden.

2.4.1 Asset Swap

Mit einem Asset Swap können die fixen Kuponzahlungen einer Festsatzanleihe in eine variable Zahlung (Euribor + Asset Swap Spread) getauscht werden, indem ein Zinsswap bezogen auf den Nominalwert der Anleihe über die Laufzeit der Anleihe abgeschlossen wird. Investoren, die sich zu Euribor finanzieren, erhalten beim Asset Swap einer Anleihe

als Nettozahlung den Asset Swap Spread über die Laufzeit des Asset Swaps. ³³ Durch den Zinsswap wird das Zinsänderungsrisiko für die Anleihe abgesichert. Als Restrisiko verbleibt das Spreadänderungsrisiko für den Asset Swap Spread. Der Asset Swap Spread resultiert größtenteils aus der Kreditqualität der betrachteten Anleihe. Der Preis und die Kuponzahlungen der Anleihe, verglichen zum aktuellen Swapsatzniveau, drücken dabei die Kreditqualität aus, die Marktteilnehmer der Anleihe beimessen. Das Motiv für den Asset Swap einer Anleihe ist u.a. die Möglichkeit, das Kreditrisiko vom Zinsänderungsrisiko separieren zu können, weshalb Asset Swaps als eine Vorform der

³⁰ Hüttemann (1997), S. 25.

³¹ Exposure in diesem Zusammenhang entsteht gegenüber einem Kontrahenten, wenn eingegangene

Derivatepositionen einen positiven Marktwert aufweisen, die bei einem Ausfall des Vertragspartners neben

den Wiedereindeckungsrisiken auch das Verlustpotenzial des aufgelaufenen Gewinns in sich bergen.

³² Vgl. Hüttemann (1997), S. 24.

³³ Vgl. Francis, Frost & Whittaker (1999), S. 140

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 12

Kreditderivate gesehen werden können. Die folgende Abbildung verdeutlicht die Konstruktion.

Abbildung 4: Asset Swap

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Heidorn (1998), S. 89.

Der Asset Swap Spread s ASW wird so ermittelt, dass der Barwert des Zinsswaps, diskontiert auf Swapsatzbasis, der Differenz aus dem Marktpreis der Anleihe plus

Stückzinsen (P dirty ) und 100% entspricht: 34

PV Swap (Kupons) - PV Swap (Euribor + s ASW ) = P dirty - 100%

Gleichung 2.4.1

Investoren, die einen Credit long gehen möchten, können das Credit Exposure auch durch den Kauf eines Asset Swap Paketes generieren. In einem Asset Swap Paket kauft der Investor die Festsatzanleihe zu 100% und tauscht gleichzeitig die Kupons der Anleihe in

eine variable Zahlung (Euribor + s ASW ): 35

100% = P dirty - PV Swap (Kupons) + PV Swap (Euribor + s ASW )

³⁴ Vgl. Schmidt (2001), S. 8.

³⁵ Vgl. Schmidt (2001), S. 8.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 13

Das Asset Swap Paket entspricht also einem Par-Floater ³⁶ mit einer variablen Kuponzahlung (Euribor + s ASW ).

Abbildung 5: Asset Swap Paket

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Credittrade (2001), S. 4.

Mittels eines Asset Swap Paketes können synthetische Positionen mit gewünschten Merkmalen bzgl. Laufzeit und Kreditrisiko erzeugt werden, die sonst in dieser Form möglicherweise nicht am Anleihemarkt zu finden sind.

2.4.2 Credit Default Swap

Die einfachste Form eines Kreditderivates stellt der Credit Default Swap (CDS) dar.

Weitere Bezeichnungen dafür sind Default Put Option oder Credit Default Option. ³⁷ Anhand der letzteren Bezeichnungen wird ersichtlich, dass die Zuordnung des Credit

³⁶ Für eine detaillierte Erklärung zu Floatern siehe bspw. Fabozzi (1997b), S. 254ff.

³⁷ Vgl. Tavakoli (1998) S. 61ff.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 14

Default Swaps in eine der Kategorien Optionen oder Swaps nicht einheitlich vorgenommen wird. Zum einen weist das Zahlungsprofil des CDS nicht die

asymmetrische Struktur von Optionen aus. ³⁸ Auf der anderen Seite zeigt die Ausgestaltung der Rechte und Pflichten der Vertragspartner klar den von Optionen bekannten Charakter. Der Risikoverkäufer zahlt an den Risikokäufer eine periodische Prämie auf den Nominalbetrag und erhält im Gegenzug, das Recht auf eine

Ausgleichsleistung ³⁹ bei Eintritt eines vorher zu definierenden Schadensereignisses, dem sog. Credit Event. ⁴⁰ Die Prämie wird üblicherweise in Basispunkten per annum, bezogen auf den jeweiligen Nominalwert angegeben (Zinskonvention act/360 ⁴¹ , modified following ⁴² ) und vierteljährlich gezahlt. In selteneren Fällen wird die Prämie auch in einem Betrag vorab (Up Front Payment) beglichen. Bei Eintritt des Credit Events enden die Prämienzahlungen des Sicherungsnehmers, wobei i.d.R. die vom letzten Prämienzahlungstermin bis zum Zeitpunkt des Credit Events aufgelaufene

Prämienverpflichtung (Accrued Premium) vom Sicherungsnehmer zu leisten ist. ⁴³ Die Laufzeit des Credit Default Swaps kann sich von der Laufzeit der unterliegenden Forderungen unterscheiden. Häufig gehandelte Laufzeiten sind drei, fünf und zehn Jahre,

wobei der 5-Jahresbereich aktuell am liquidesten ist. 44

Die zentralen Vertragskomponenten eines Default Swaps sind: 45

1. Nominalwert

2. Laufzeit 3. Referenz-Asset 4. Default Swap Prämie 5. Credit Event 6. Ausgleichsleistung

³⁸ Vgl. Deutsche Bank (1999), S. 22.

³⁹ Siehe hierzu Abschnitt 2.4.2.2, S. 17.

⁴⁰ Siehe hierzu Abschnitt 2.4.2.1, S. 15.

⁴¹ Siehe hierzu ISDA (1999), S. 19.

⁴² Siehe hierzu ISDA (1999), S. 5.

⁴³ Vgl. DG Bank (2000), S. 6.

⁴⁴ Siehe hierzu British Bankers’ Association (2000), S. 16.

⁴⁵ Vgl. Tavakoli (1998) S. 76.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 15

Abbildung 6: Credit Default Swap

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Heidorn (1999), S. 5.

Für die Vertragsgestaltung werden zunehmend standardisierte Lösungen angestrebt, um die Abwicklung im Tagesgeschäft zu erleichtern. Ein standardisierter Markt führt zu deutlich besserer Transparenz, was wiederum positiv auf die Liquidität des Marktes wirkt. In Deutschland findet der deutsche Rahmenvertrag in Verbindung (Bridge Clause) mit der

ISDA (International Swaps and Derivatives Association)-Confirmation Anwendung. ⁴⁶ Eine ausführliche Übersicht zu den Bestandteilen eines Credit Default Swap Vertrages bietet die im Anhang III (S. 126ff) beigefügte Trade Confirmation der ISDA.

2.4.2.1 Credit Event

Die Definitionen für den Rahmenvertrag der ISDA beschreiben mögliche Credit Events, die im Rahmen dieser Arbeit aufgeführt, aber nicht im Detail betrachtet werden sollen. Beim Abschluss des Kontraktes müssen die Bedingungen für das Vorliegen eines Credit Events eindeutig definiert werden, damit das Kreditderivat die gewünschte Absicherung des Sicherungsnehmers ermöglicht. Der Eintrittszeitpunkt des Defaults wird über die Definition des Credit Events festgelegt und ist von zentraler Bedeutung für den Vertrag. Als Referenzwert für einen Default Swap dienen in der Regel Unternehmensanleihen und Unternehmenskredite oder Emerging Market-Anleihen. Bislang beziehen sich Kreditderivate vor allem auf Schuldner, die auch am Anleihemarkt auftreten, da der Eintritt des Credit Events bei Marktteilnehmern mit Kapitalmarktpapieren leichter

⁴⁶ Vgl. DG Bank (2000), S. 7.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 16

nachvollziehbar ist. ⁴⁷ Das Credit Event muss durch zwei öffentliche Quellen (Nachrichtenagentur, Bloomberg, etc.) verifiziert werden. Im Allgemeinen wird als Credit Event die Zahlungsunfähigkeit gesehen, jedoch sind weitere Umstände, bei denen für die Gläubiger Nachteile aufgrund einer Verschlechterung der Kreditqualität entstehen, denkbar. In der folgenden Abbildung werden die Varianten, wie sie von der ISDA für das Credit Event vorgegeben werden, dargestellt. Darüber hinaus sind mögliche, individuell vereinbare, Credit Event Tatbestände aufgeführt.

Abbildung 7: Credit Event

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Heidorn (1999), S. 6; ISDA (1999), S. 16..

Die in Anhang III angefügte Trade Confirmation der ISDA zeigt auf den Seiten 129 und 130 die Implementierung des Credit Events bei der Vertragsgestaltung. Im Anhang IV (S.

136f) sind die in den ISDA Definitionen aufgeführten Credit Events beschrieben. 48

Die jüngste Diskussion zur Definition des Credit Events, insbesondere zum Restructuring zeigt, wie wichtig eine klare Definition des Credit Events für die Marktteilnehmer ist. Eine Benachteiligung der Sicherungsverkäufer wie bspw. im Fall Conseco vom September 2000, hervorgerufen durch ein Restructuring, bei dem sich zwar die Kreditqualität verschlechtert hatte, jedoch gerade aufgrund des in diesem Fall vorgenommenen Restructurings im Kern keine essentiellen Nachteile für Sicherungsnehmer entstanden, führt dazu, dass die Vertragsgestaltung zunehmend

⁴⁷ Vgl. DG Bank (2000), S. 8.

⁴⁸ Detaillierte Erläuterungen hierzu sind in ISDA (1999), S. 16ff und ISDA (2000), S. 34ff zu finden.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 17

juristische Detailbetrachtung verlangt und einen liquiden Handel erschwert. ⁴⁹ Als Konsequenz solcher Unklarheiten bilden sich Teilmärkte, die je nach Auffassung der unklaren Definitionen, eigene Regelungen treffen und Preisunterschiede hervorrufen. Die ISDA ist auch aktuell wieder bemüht, durch eine eindeutige Definition des Restructuring den Marktteilnehmern ein verlässliches Regelwerk zur Verfügung zu stellen und derartige Diskrepanzen auszuschließen.

2.4.2.2 Ausgleichsleistung

Die Ausgleichsleistung bei einem gewöhnlichen Default Swap kann in Form von Cash Settlement oder als Physical Delivery vereinbart werden.

Im Falle des Cash Settlements kann als Ausgleichsbetrag (Cash Default Payment CDP) die Differenz zwischen dem Nominalwert und dem aktuellen Marktwert des Underlyings stehen. Da die meisten Anleihen und Verbindlichkeiten bei Ausfall des Schuldners sofort fällig gestellt werden, signalisiert der nach Eintritt des Credit Events festgestellte Marktpreis den erwarteten Recovery-Betrag. Der Forderungsbesitzer wird durch die Ausgleichszahlung (Nominalwert minus Marktwert) in vollem Umfang entschädigt, da er entweder die Referenzanleihe zum Marktpreis verkaufen kann, oder die Recovery im

Rahmen der Konkursvollstreckung erhält. ⁵⁰ Da für Kredite i.d.R. keine Marktpreise vorliegen, kann zur Bestimmung des Ausgleichsbetrages auch ein synthetischer Preis auf

Basis der Cash Flows herangezogen werden. 51

Physische Lieferung als Ausgleichsleistung wird in der Regel dann vereinbart, wenn der Sicherungsnehmer das Referenz-Asset auch tatsächlich in seinem Portfolio hält. Für diesen Fall ist vorgesehen, dass der Sicherungsgeber im Falle eines Credit Events den

Nominalbetrag zahlt und im Gegenzug die Referenzanleihe erhält. 52

⁴⁹ Vgl. Deutsche Bank (2001), S. 2ff.

⁵⁰ Vgl. Risk Publications (1999), S. 15.

⁵¹ Vgl. Heidorn (1999), S. 8.

⁵² Einen detaillierten Überblick zur Ausgleichsleistung und Cash bzw. Physical Settlement bietet ISDA

(2000), S. 39ff.

Kapitel 2: Kreditrisiko und Kreditderivate Seite 18

Abbildung 8: Ausgleichsleistung für gewöhnlichen Default Swap

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Heidorn (1999), S. 6.

Kapitel 3: Begriffliche und mathematische Grundlagen Seite 19

3 Begriffliche und mathematische Grundlagen

In diesem Kapitel werden die für das spätere Verständnis der Bewertungsmodelle benötigten Grundlagen und Zusammenhänge vorgestellt.

Das Prinzip der arbitragefreien bzw. risikoneutralen Bewertung bildet die Basis für die in dieser Arbeit diskutierten Bewertungslogiken. In Abschnitt 3.2 werden die für die Modellierung des Credit Events verwendeten, mathematischen Zusammenhänge und Modellannahmen anschaulich dargestellt. Der Anhang II liefert darüber hinaus ausführliche mathematische Definitionen und Herleitungen für die Zusammenhänge bei der Modellierung des Credit Events. Abschließend werden mit der Definition der Hazard Rate und der Recovery die zentralen Inputparameter für die Bewertung ausfallrisikobehafteter Finanztitel und Kreditderivate erläutert.

3.1 Arbitragepricing und risikoneutrale Bewertung

Einführend wird der Begriff des Finanzmarktmodells definiert, um darauf aufbauend das Konzept der arbitragefreien Bewertung vorzustellen.

3.1.1 Finanzmarktmodelle

Der Definition von Pliska ⁵³ folgend, lassen sich Finanzmarktmodelle in vier Kategorien einteilen:

a) keine Geltung des Gesetztes des einen Preises b) Geltung des Gesetzes des einen Preises, aber Existenz dominanter Handelsstrategien

c) keine dominanten Handelsstrategien, aber Arbitragemöglichkeiten d) keine Arbitragemöglichkeiten

Das Gesetz des einen Preises besagt, dass Handelsstrategien, die in der Zukunft zu gleichen Auszahlungen führen, in der Gegenwart den gleichen Preis haben müssen. Unter dem Gesetz des einen Preises, kann es zu dominanten Handelsstrategien kommen, die entweder in der Gegenwart nichts kosten und dennoch mit Sicherheit in der Zukunft zu einem positiven Ertrag führen oder die in der Gegenwart einen positiven Ertrag haben und mit Sicherheit in der Zukunft nichts kosten. Auch wenn es keine dominanten Handelsstrategien gibt, können Arbitragemöglichkeiten vorhanden sein. Unter einer

⁵³ Vgl. Pliska (1997), S. 10.

Kapitel 3: Begriffliche und mathematische Grundlagen Seite 20

Arbitragemöglichkeit ist eine Handelsstrategie zu verstehen, die in der Gegenwart keine Investition erfordert, in der Zukunft mit Sicherheit zu keinen Verlusten führt und in mindestens einem möglichen zukünftigen Zustand einen positiven Ertrag mit positiver Wahrscheinlichkeit aufweist, oder eine Handelsstrategie, die am Periodenende eine nichtnegative Auszahlung und eine echt positive Auszahlung am Periodenanfang liefert

(m.a.W. einen echt negativen Preis hat). ⁵⁴ Anders formuliert versteht man unter Arbitrage das Erzielen risikoloser Gewinne ohne Kapitaleinsatz unter Ausnutzung von

Preisunterschieden innerhalb eines Marktes. ⁵⁵ Der Erwartungswert einer Handelsstrategie mit Arbitragemöglichkeit ist demnach insgesamt positiv.

Im Rahmen der Finanzmarktmodelle soll der Begriff des vollständigen Marktes erläutert werden. Zur Erläuterung und Systematisierung wird ein Wertpapiermarkt in einem

[ ] ∈ diskreten Einperiodenmodell mit T t ; betrachtet. Es liegt eine endliche Zahl Z von

0

möglichen Zuständen der Welt für den zukünftigen Zeitpunkt T vor. Die Zustände werden

als Elementarereignisse ω Z aufgefasst, d.h. zum Zeitpunkt T tritt genau einer der

möglichen Zustände ein. Die Gesamtheit der Elementarzustände wird als Zustandsraum

Ω bezeichnet: 56

{ } ω ,..., = Ω

Z 1

Gleichung 3.1.1

{ } = Es existiert eine endliche Menge von Wertpapieren a A ,..., . Jedem

N 1

Elementarzustand ω wird durch das Wertpapier a j eine Auszahlung zugeordnet. Die zum

Zeitpunkt T möglichen Auszahlungen a n (ω z ) werden als Realisationen von a n bezeichnet. Obwohl der zum Zeitpunkt T vorzufindende Zustand ω z nicht bekannt ist,

lässt sich eine Zuordnungsvorschrift benennen, da alle möglichen Auszahlungen

Z × quantifizierbar sind. Die Auszahlungen werden in der Auszahlungsmatrix D N

zusammengefasst: 57

⁵⁴ Vgl. Heitmann (1997), S. 32.

⁵⁵ Vgl. Harrison & Kreps (1979), S. 389.

⁵⁶ Vgl. Sandmann (1999), S. 10.

⁵⁷ Vgl. Sandmann (1999), S. 11.

Kapitel 3: Begriffliche und mathematische Grundlagen Seite 21

= D

Die Auszahlungsmatrix D stellt den Wertpapiermarkt des Einperiodenmodells dar. Die

Kurzschreibweise für die Auszahlung des n-ten Wertpapiers im Zustand ω Z ist:

ω = ) ( : a mit n = 1,...,N; z = 1,...,Z

z n zj

Zum Zeitpunkt t 0 findet der Handel in den Wertpapieren statt. Jeder Marktteilnehmer

θ des Wertpapiers a n er handeln möchte. Ein Portfolio entscheidet, wie viele Einheiten n

aus den N Wertpapieren wird als folgender Vektor angegeben: 58

∈ = ( 1 θ R N , T N ) ,...,

θ die Anzahl des Wertpapiers a n im Portfolio bezeichnet. Die Auszahlung w z des wobei

n Portfolios θ im Zustand ω z ist bestimmt durch

w z =

Der zustandsbedingte Auszahlungsvektor w eines Portfolios

⁵⁸ Vgl. Sandmann (1999), S. 12.

⁵⁹ Vgl. Sandmann (1999), S. 12.

⁶⁰ Vgl. Sandmann (1999), S. 12.

Kapitel 3: Begriffliche und mathematische Grundlagen Seite 22

Der Wertpapiermarkt, gegeben durch die Auszahlungsmatrix D, in T ist vollständig, falls ∈ ∈ θ θ ⋅ R R Z N zu jeder Auszahlung w ein Portfolio existiert mit w = D . Der

Wertpapiermarkt ist genau dann vollständig, falls

rang D = Z, 61

Gleichung 3.1.5

d.h. falls die Anzahl der unabhängigen Spaltenvektoren in D gleich der Anzahl Z der

Ω ∈ ω ist. ⁶² Zustände

3.1.2 Konzept der arbitragefreien Bewertung

Die Existenz von Arbitragemöglichkeiten begründet risikolose Gewinne in prinzipiell beliebiger Höhe. In effizienten Märkten dürfen keine Arbitragemöglichkeiten vorhanden sein, da Preisunterschiede, die eine Handelsstrategie mit Arbitragemöglichkeiten erlauben, von den Marktteilnehmern sofort erkannt und durch den einsetzenden Explorationsprozess ausgeschöpft und zunichte gemacht werden. Die Grundannahme zur Bewertung derivativer Finanzkontrakte ist daher die Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten auf Finanzmärkten. Ziel der Bewertungsmodelle ist es, unter

dieser Annahme den fairen Preis für Finanztitel zu bestimmen. 63

Bei Geltung von Arbitragefreiheit ist der Wert eines jeden duplizierbaren Derivats gleich dem Erwartungswert der abgezinsten Auszahlungen des Derivats unter dem

risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß ⁶⁴ , wenn als Numéraire ⁶⁵ bspw. ein

⁶¹ Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren einer Matrix. Vgl.

hierzu bspw. Cremers (1999), S. 173ff.

⁶² Vgl. Sandmann (1999), S. 14.

⁶³ Vgl. Heitmann (1997), S. 29.

⁶⁴ Siehe hierzu Sandmann (1999), S.103f: Ist Ω ein Zustandsraum und F eine σ-Algebra von Ω, dann heisst

[ ] Wahrscheinlichkeitsmaß, falls P[Ω] = 1. Sei { } I → ein Abbildung P: F 1 , 0 A ∈ ^{eine Folge von} n n

paarweise disjunkten Mengen aus F, d.h. einander ausschließenden Teilmengen (Ereignisse), wobei I eine

Indexmenge ist, d.h.

Wahrscheinlichkeitsraum. Ist Ω eine Menge von Elementarereignissen, so heisst ein System F von

A F ( )∈ Teilmengen von Ω eine σ-Algebra von Ω falls ∈ Ω F, ∈ \ ∈ Ω = ⇒ : ∈ A F A F, F, c U A A ∈ n n I n

d.h. F ist abgeschlossen bzgl. der Vereinigung.

⁶⁵ Als Numéraire wird ein festgelegter Standard, eine Bezugsgröße bezeichnet, durch die der relative Wert

anderer Wertgegenstände ausgedrückt werden kann. Unterschiedliche Wertgegenstände können durch

Verwendung des Numérairestandards miteinander verglichen werden, da sich durch die jeweiligen

Tauschverhältnisse, bezogen auf den Numéraire, die Tauschverhältnisse zwischen den betrachteten

Wertgegenständen anzeigen lassen.

Kapitel 3: Begriffliche und mathematische Grundlagen Seite 23

Geldmarktkonto gewählt wird. Die Bewertung erfolgt, als wären die Investoren risikoneutral. Für eine risikoneutrale Welt gilt, dass alle Individuen indifferent bezüglich

Risiko sind. ⁶⁶ Risikoneutrale Investoren verlangen keine Risikoprämie für von ihnen getragenes Risiko bei der Anlageentscheidung. Der erwartete Ertrag für alle Wertpapiere in der risikoneutralen Welt ist der risikolose Zins r f , d.h. zukünftige Cash Flows können

durch Diskontieren ihrer Erwartungswerte mit dem risikofreien Zins r f bewertet werden. ⁶⁷ In die risikoneutralen Bewertung dürfen keine Variablen einbezogen werden, die von den Risikopräferenzen der Investoren berührt werden. Nur wenn keine Risikopräferenzen auf die Bewertung Einfluss haben, kann die risikoneutrale Bewertungstechnik angewendet

werden. 68

Bei Harrison & Kreps ⁶⁹ und Harrison & Pliska ⁷⁰ wird das Konzept der risikoneutralen Bewertung in die Martingaltheorie ⁷¹ eingeordnet, weshalb in diesem Zusammenhang auch vom Martingalansatz gesprochen wird. Im Martingalansatz wird das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß als äquivalentes Martingalmaß bezeichnet, da die Preisprozesse der Wertpapiere, ausgedrückt in Einheiten des Numéraires, Martingale bezüglich dieses

Maßes sind. 72

3.1.2.1 Modellrahmen

Die Attraktivität der arbitragefreien Bewertung beruht auf der Tatsache, dass nur relativ wenige Annahmen notwendig sind und darüber hinaus keine präferenzabhängigen Parameter in die Bewertung eingehen. Um aussagekräftige Bewertungsrelationen zu erhalten, ist die Annahme friktionsloser Kapitalmärkte notwendig. Dies bedingt, dass weder Transaktionskosten, noch Steuern oder Leerverkaufsbeschränkungen existieren und Wertpapiere beliebig teilbar sind. Für die Investoren wird unterstellt, dass sie monoton wachsende Nutzenfunktionen besitzen, d.h. Gewinnmöglichkeiten werden solange ausgeschöpft, bis sie nach einer Preisanpassung nicht mehr existieren. Aus dieser Annahme folgt unmittelbar, dass eine Ökonomie mit Arbitragemöglichkeiten nicht im

⁶⁶ Vgl. Hull (2000), S. 205: “In a risk-neutral world all investors are indifferent to risk”.

⁶⁷ Vgl. Hull (2000), S. 389.

⁶⁸ Vgl. Hull (2000), S. 248f.

⁶⁹ Siehe hierzu Harrison & Kreps (1979).

⁷⁰ Siehe hierzu Harrison & Pliska (1981, 1983).

⁷¹ Für einen ausführlichen Überblick hierzu siehe Sandmann (1999), S. 122ff; Williams (1991), S. 93ff.

⁷² Vgl. Heitmann (1997), S. 29.