I

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis   IV

Tabellenverzeichnis   V

Abk  ürzungsverzeichnis  VI

Symbolverzeichnis   VII

Formelverzeichnis   IX

1  Einleitung  1

1.1  Einführung in das Thema  1

1.2  Zielsetzung der Arbeit.  2

1.3  Aufbau der Arbeit.  3

2  Portfoliotheoretische Grundlagen.  4

2.1  Allgemeine Anmerkungen  4

2.2  Portfoliotheoretischer Modellansatz  5

2.2.1  Grundzüge und Annahmen der Portfoliotheorie  5

2.2.2  Kritik an der Portfoliotheorie.  8

2.2.3  Indexmodell von Sharpe  9

2.3  Kapitalmarkttheorie.  10

2.3.1  Capital Asset Pricing Model  10

2.3.2  Arbitrage Pricing Theory  12

2.4  Performance- und Risikomessung  13

2.4.1  Überblick  13

2.4.2  Sharpe-Ratio  14

2.4.3  Volatilität.  15

3  Derivative Finanzinstrumente.  16

3.1  Allgemeine Anmerkungen  16

3.2  Grundidee und Entstehung von Derivaten  16

3.3  Definition.  17

3.4  Charakteristika von Termingeschäften.  18

3.4.1  Bedingte und unbedingte Termingeschäfte  18

3.4.2  Börsengehandelte und außerbörslich gehandelte Derivate.  19

3.4.3  Grundformen derivativer Finanzinstrumente.  20

3.4.3.1  Forwards  20

3.4.3.2  Futures  21

3.4.3.3  Optionen (Traded Options)  22

3.4.3.4  Optionsscheine (Warrants)  23

II

3.5  Options-Positionen  24

3.5.1  Kauf eines Call (Long Call)  24

3.5.2  Verkauf eines Call (Short Call)  25

3.5.3  Kauf eines Put (Long Put)  26

3.5.4  Verkauf eines Put (Short Put)  27

3.6  Preisbildungsmechanismen.  29

3.6.1  Preisbildung bei Futures  29

3.6.2  Preisbildung bei Optionen  30

3.6.2.1  Überblick  30

3.6.2.2  Innerer Wert und Zeitwert  31

3.6.2.3  Restlaufzeit.  33

3.6.2.4  Volatilität.  33

3.6.2.5  Zinssatz  34

3.6.2.6  Dividendenzahlungen.  34

3.6.2.7  Black-Scholes-Modell.  35

3.6.2.8  Put-Call-Parität  38

3.6.3  Options-Risikokennzahlen  38

4  Portfoliooptimierung durch derivative Strategien  40

4.1  Allgemeine Anmerkungen  40

4.2  Klassifizierung derivativer Strategien  41

4.2.1  Hedging-Strategien  41

4.2.2  Trading-Strategien  41

4.2.3  Arbitrage-Strategien  42

4.3  Portfolioabsicherung durch Aktienindex-Futures.  42

4.4  Konzept der Portfolio-Insurance  45

4.4.1  Systematisierung.  45

4.4.2  Statische Wertsicherungsstrategien  47

4.4.2.1  Protective-Put-Strategie  47

4.4.2.2  Bond-Call-Strategie.  50

4.4.3  Dynamische Wertsicherungsstrategien  52

4.4.3.1  Delta-Hedging mit Puts  52

4.4.3.2  Dynamische Replikation von Optionen  54

4.5  Absicherung durch das Schreiben von Optionen  56

4.5.1  Covered Call Writing  56

4.5.2  Capped-Strategien  58

4.6  Fazit  60

III

5  Portfoliooptimierung in der Praxis  61

5.1  Allgemeine Anmerkungen  61

5.2  Modellannahmen  61

5.3  Modellportfolio  63

5.4  Portfoliooptimierung.  64

5.4.1  Systematisierung der Vorgehensweise.  64

5.4.2  Ermittlung der zukünftigen Rendite.  65

5.4.3  Ermittlung des zukünftigen Risikos  67

5.4.4  Ermittlung der Portfoliorendite und des Portfoliorisikos  69

5.4.5  Bestimmung des optimalen Portfolios.  71

5.4.6  Benchmarking  74

5.5  Portfolioabsicherung durch Derivate  76

5.5.1  Allgemeine Anmerkungen  76

5.5.2  Statische Absicherung  76

5.5.3  Dynamische Absicherung  82

5.6  Performancemessung und abschließende Betrachtung  85

6  Schlussbetrachtung  89

6.1  Ergebnisse.  89

6.2  Danksagung.  91

Anhang   92

Literaturverzeichnis.   92

Weiterf  ührende Dokumentation  100

IV

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  2.1: Risiko-Performance-Diagramm  

Abbildung  2.2: Effizienzkurve.  

Abbildung  2.3: Kapitalmarktlinie.  

Abbildung  2.4: Wertpapierlinie  

Abbildung  3.1: Abgrenzung Kassa- und Termingeschäft  

Abbildung  3.2: OTC-Handel und Börsenhandel  

Abbildung  3.3: Gewinn-Verlust-Diagramm eines Long Call  

Abbildung  3.4: Gewinn-Verlust-Diagramm eines Short Call.  

Abbildung  3.5: Gewinn-Verlust-Diagramm eines Long Put  

Abbildung  3.6: Gewinn-Verlust-Diagramm eines Short Put  

Abbildung  3.7: Konvergenz zwischen dem DAX und dem DAX-Future  

Abbildung  3.8: Ermittlung des fairen Optionspreises  

Abbildung  3.9: Wertentwicklung einer amerikanischen Call-Option  

Abbildung  3.10: Grafische Darstellung des Black-Scholes-Modells.  

Abbildung  4.1: Symmetrische vs. asymmetrische Renditeverteilung  

Abbildung  4.2: Gewinn-Verlust-Diagramm eines Protective Put  

Abbildung  4.3: Gewinn-Verlust-Diagramm der Bond-Call-Strategie.  

Abbildung  4.4: Grundidee des synthetischen Put  

Abbildung  4.5: Gewinn-Verlust-Diagramm eines Covered Call.  

Abbildung  4.6: Gewinn-Verlust-Diagramm eines Risk Reversal  

Abbildung  5.1: Microsoft Excel-Add-In „Solver“  

Abbildung  5.2: Relative Performance-Grafik der Portfolios und des DAX  

Abbildung  5.3: Absolute Performance-Grafik der Portfolios.  

Abbildung  5.4: Portfolioperformance 2006 mit Protective Put 5900  

Abbildung  5.5: Portfolioperformance 2006 mit Protective Put 5400  

Abbildung  5.6 Portfolioperformance 2006 mit Delta Hedge 5900  

Abbildung  A 1: Excel-Spreadsheet zur Berechnung von Optionen  

V

Tabellenverzeichnis   

Tabelle 3.1:  Rechte und Pflichten der Optionskäufer und-verkäufer.  22

Tabelle 3.2:  Chancen und Risiken der einzelnen Options-Positionen.  28

Tabelle 3.3:  Optionsphasen und -begriffe  32

Tabelle 3.4:  Reaktion des Optionspreises bei veränderten Faktoren.  39

Tabelle 4.1:  Ermittlung eines Portfolio-Beta-Faktors.  44

Tabelle 5.1:  Auswahl des Modellportfolios.  63

Tabelle 5.2:  Zusammenstellung des Modellportfolios  64

Tabelle 5.3:  Erwartete Rendite des Modellportfolios.  66

Tabelle 5.4:  Erwartete Volatilität des Modellportfolios.  67

Tabelle 5.5:  Kovarianzmatrix des Modellportfolios.  68

Tabelle 5.6:  Erwartungswerte des Modellportfolios.  70

Tabelle 5.7:  Gewichtung des optimierten Portfolios  73

Tabelle 5.8:  Erwartungswerte des optimierten Portfolios  74

Tabelle 5.9:  Portfoliozusammenstellung der Portfolios  74

Tabelle 5.10:  Ermittlung des Portfolio-Beta-Faktors I.  78

Tabelle 5.11:  Ermittlung des Portfolio-Beta-Faktors II.  79

Tabelle 5.12:  Szenarioanalyse Protective Put  81

Tabelle 5.13:  Portfolioumschichtungen zur Finanz. des Delta-Hedge.  83

Tabelle 5.14:  Ergebnisse des Delta-Hedge, Teil I.  83

Tabelle 5.15:  Ergebnisse des Delta-Hedge, Teil II.  84

Tabelle 5.16:  Performance- und Risikomessung  87

Tabelle A.1:  Aktien- und Portfolioentwicklung 2006  101

Tabelle A 2:  Warrant- und Portfolioentwicklung 2006  107

Abkürzungsverzeichnis

APT Arbitrage Pricing Theory

CAPM Capital Asset Pricing Model

CEO Chief Executive Officer

CPPI Constant Proportion Portfolio Insurance

DAX Deutscher Aktienindex

EUREX European Exchange Organization

EUWAX European Warrants Exchange

I-Net Internet

OP Optionsprämie

OS Optionsschein

OTC Over the Counter

TA-Kosten Transaktionskosten

WKN Wertpapierkennnummer

Symbolverzeichnis

B Strike

β i Beta-Faktor

β m Beta-Faktor des Marktportfolios

C Call-Preis

COV Kovarianz

COV ij Kovarianz zwischen der Aktie i und j

COV i,m Kovarianz zwischen der Aktie i und dem Marktportfolio m

℮ Euler’sche Zahl (2,718281828)

E(R m ) Rendite des Marktportfolios

є i Titelspezifische Störkomponente von Sharpe

F j Gemeinsame Faktoren (j=1,….,K)

K Kurs des Underlyings

M Marktportfolio

N Anzahl der Wertpapiere im Portfolio P

N(d i ) Flächeninhalt unter der Dichtefunktion der Normalverteilung

µ i Erwartungswert für die Aktie i

µ i_Jahr Annualisierte erwartete Rendite

µ j Erwartungswert für die Aktie j

µ P Erwartungswert für das Portfolio P

P Put-Preis

p ix Kurs der Aktien i zum Zeitpunkt x

p ix-1 Kurs der Aktien i zum Zeitpunkt x-1

R f Risikoloser Zinssatz

r ix Diskrete Rendite der Aktien i zum Zeitpunkt x

r jx Diskrete Rendite der Aktie j zum Zeitpunkt x

r

R P Rendite des Portfolios

σ Standardabweichung

σ² Varianz

σ i Standardabweichung der zukünftigen Renditen der Aktie i

σ i_Jahr Annualisierte Standardabweichung

σ i ² Varianz der zukünftigen Renditen der Aktie i

σ m Standardabweichung des Marktportfolios

σ 2 m Varianz des Marktportfolios m

σ P Standardabweichung (Volatilität) des Portfolios

σ P ² Varianz der zukünftigen Portfoliorendite

SM P Sharpe-Ratio des Portfolios

T Anzahl der Beobachtungsperioden

t Restlaufzeit der Option in Jahren

V Kovarianzmatrix der zukünftigen Aktienrenditen der einzelnen Aktien innerhalb des Portfolios P

w N x 1 Spaltenvektor der Anteilsgewichte der einzelnen Aktien

w i Anteilsgewicht der Aktie i im Portfolio P

w j Anteilsgewicht der Aktie j im Portfolio P

w ^T Transponierter Vektor der Aktien (Zeilenvektor)

x Bewertungsperiode

Formelverzeichnis

= ∗ ( ) C K N d

1

− ∗ = ∗

P B e K R

= d

1

σ = − d d t (3.4) ............................................................................... 37

2 1

Hedge-Ratio =

Hedge-Ratio =

Hedge-Ratio =

− p p

= r ix

T r 1

µ = ∑ (5.2)............................................................................ 66

i i x

T x = 1

250

µ µ = + − (5.3) ............................................................... 66 ( 1) 1

i _ i Jahr

σ σ = ∗ (5.5).................................................................. 67 250

i _ i Jahr

= COV

ij

N w i i

µ µ = ∑ (5.7)............................................................................ 69

P i

= 1

N N w w COV

2

σ = ∑ ∑ (5.8) ............................................................ 69

i j ij P

= = 1 1 i j

T

µ = (5.9) .............................................................................. 70 w r

P

2 T

σ = (5.10).......................................................................... 70 w Vw

P

N N w w COV

2

σ = ⎯ ⎯ → ∑ ∑ (5.11) .......................................... 72 min!

i j ij P

= = 1 1 i j

N w i

= ∑ (5.12) ................................................................................ 72 1 = 1 i

w i ≥ 0 (5.13).................................................................................... 72

w i ≥ 0, 05 (5.14) ................................................................................ 72

w i ≤ (5.15).................................................................................... 72 0,5

µ ≥ (5.16) ............................................................................. 72 0, 0821

P

COV i m

,

β = (5.17) ............................................................................. 78

i 2

σ

m

= SM P

1 Einleitung

1.1 Einführung in das Thema

In den vergangenen Jahrzehnten hat die Bedeutung der Kapitalmärkte stetig zugenommen. Dies liegt einerseits daran, dass sich Unternehmen immer häufiger des Kapitalmarkts als Finanzierungsform bedienen und andererseits, dass im Rahmen der privaten Altersversorgung und des Vermögensaufbaus der Kapitalmarkt eine viel wichtigere Rolle im Leben des Einzelnen einnimmt. ¹ Diese Entwicklung wird durch entsprechende Statistiken untermauert. So besaßen nach der Statistik des Deutschen Aktieninstitutes im ersten Halbjahr 2006 insgesamt 9,905 Millionen Menschen in Deutschland Aktien oder Aktienfonds, dies stellt gegenüber 1997 annähernd eine Verdoppelung dar. 2

Seit dem Börsencrash von 1929 haben dabei die Risikokontrolle und das Risikomanagement stetig an Bedeutung gewonnen und zur Entwicklung der modernen Kapitalmarkttheorie beigetragen. Als Meilenstein und theoretische Fundierung gilt dabei allgemein die in den 1950er Jahren von Harry M. Markowitz entwickelte Portfoliotheorie. ³ Markowitz entwickelte die Theorie, dass sich eine Risikoreduktion des Gesamtportfolios durch das Mischen von verschiedenen Anlagen erreichen lässt, wobei das unsystematische Risiko sogar vollständig durch Diversifikation eliminiert werden kann. 4

Den tatsächlichen Durchbruch in der Praxis bei Portfolio- und Fondsmanagern schaffte die Portfoliotheorie jedoch erst zu Beginn der 1990er Jahre. Erst seit dieser Zeit stehen leistungsfähige Computer zur Verfügung, die es ermöglichen, das enorme Daten- und Informationsaufkommen zu

¹ Vgl. Garz (2006), S. 13.

² Vgl. Deutsches Aktieninstitut (2006), Abb. 08.3-Zahl-D.

³ Vgl. Garz (2006), S. 13. Spremann (2003), S. 4.

⁴ Vgl. Aulibauer; Thießen (2002a), S. 73. Marx (1996), S. 50.

bewältigen und die Portfoliotheorie über eine große Menge von Wertpapieren praxisgerecht anzuwenden.

Die Entwicklung der Portfoliotheorie und starke Marktschwankungen in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts führten zur Entstehung von Derivaten Finanzinstrumente, bei denen es sich um Produkte handelt, deren Entwicklung an die Kursverläufe eines Basiswerts gekoppelt ist. ⁵ Der Einsatz von Derivaten im Portfoliomanagement und zur Risikoabsicherung konnte seinen endgültigen Durchbruch in Deutschland in den Jahren zwischen 1987 und 1992 feiern, bedingt durch fünf in kurzen Abständen einsetzende Kurseinbrüche. Seitdem beherrscht das Thema Derivate und deren Einsatz die öffentliche Diskussion, zumal diese anscheinend adäquate Lösungswege für viele finanzwirtschaftliche Probleme bieten. 6

Mittlerweile werden Derivate in jedem Portfolio eines institutionellen Anlegers zur Risikosteuerung eingesetzt. Privatanwender verwenden diese jedoch selten zur Portfolioabsicherung, da Derivate aus Sicht vieler Privatanleger immer noch überwiegend mit Spekulation und „Zockerei“ gleichgesetzt werden. 7

1.2 Zielsetzung der Arbeit

Die vorliegende Arbeit soll Möglichkeiten und Strategien der Portfoliooptimierung vorstellen und analysieren. Dabei stehen insbesondere die Portfoliooptimierung nach Harry M. Markowitz im Rahmen der Portfoliotheorie sowie der Einsatz von derivativen Finanzinstrumenten im Vordergrund. Es soll analysiert werden inwiefern sich Aktienportfolios von Privatanlegern tatsächlich in Bezug auf Rendite und Risiko optimieren lassen, welche besondere Rolle dabei derivative Finanzinstrumente spielen und welche Instrumente eingesetzt werden können.

⁵ Vgl. Rudolph; Schäfer (2005), S. 1ff.

⁶ Vgl. Moriabadi (2006), S. 251. Rudolph; Schäfer (2005), Vorwort.

⁷ Vgl. Müller-Möhl (1995), S. 17. Beike; Schlütz (2005), S. 467.

In diesem Zusammenhang sollen Derivate ausschließlich unter dem Gesichtspunkt der Portfoliooptimierung und -absicherung (Hedging) betrachtet werden und nicht unter dem Aspekt der Spekulation oder der Arbitrage. 8

1.3 Aufbau der Arbeit

Zu Beginn der Arbeit werden zunächst portfoliotheoretische Grundlagen in Kapitel Zwei vorgestellt. Neben der klassischen Portfoliotheorie von Markowitz erfolgen eine theoretische Einordnung der Kapitalmarkttheorien sowie die kurze Vorstellung von Instrumenten zur Performance- und Risikomessung.

In Kapitel Drei werden grundlegende Aspekte von derivativen Finanzinstrumenten behandelt. Dazu gehört die Abgrenzung von bedingten und unbedingten Termingeschäften, deren Spezifikation sowie die Einführung in Preisbildungsmechanismen.

Darauf aufbauend erfolgt in Kapitel Vier die Vorstellung derivativer Strategien zur Portfoliooptimierung. Hierbei liegt der Fokus insbesondere bei den bedingten Termingeschäften und es werden im Rahmen des Portfolio-Insurance-Konzepts Strategien zur Absicherung des Portfolios gegen Kursschwankungen vorgestellt, die auch von Privatanlegern durchgeführt werden können.

In Kapitel Fünf erfolgt die praktische Anwendung und Untersuchung der Praxistauglichkeit der zuvor vorgestellten Optimierungsansätze. Dazu wird zunächst ein Modellportfolio entwickelt und analysiert, das in einem weiteren Schritt mithilfe der Portfoliotheorie optimiert sowie durch einige ausgewählte derivative Strategien gegen Kursschwankungen abgesichert wird. Das Kapitel schließt mit einer Performance- und Risikobetrachtung der einzelnen Optimierungsvarianten mit realen Kursdaten des Jahres 2006.

⁸ Unter Arbitrage wird allgemein die Erzielung von risikolosen Gewinnen durch das Aus- nutzen von Marktungleichgewichten verstanden. Vgl. Steiner; Bruns (2002), S. 17.

2 Portfoliotheoretische Grundlagen

2.1 Allgemeine Anmerkungen

Wie bereits einleitend erwähnt, ist Harry M. Markowitz als Begründer der modernen Portfoliotheorie anzusehen und die Kapitalmarkttheorie wurde in den letzten fünfzig Jahren entscheidend durch ihn geprägt. In einem Artikel im „Journal of Finance“ ⁹ 1952 und in seinem Werk „Portfolio Selection“ ¹⁰ , welches 1959 erschien, stellte er die Gedanken zur Portfoliotheorie vor und wurde dafür zusammen mit seinen Kollegen Merton H. Miller und William F. Sharpe 1990 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet. Seine Theorie basiert im Wesentlichen auf der Annahme, dass sich eine Risikoreduktion von Wertpapierportfolios durch das Mischen von verschiedenen Anlagen erreichen lässt. Nach Markowitz kann das unsystematische oder auch das unternehmensindividuelle Risiko durch eine entsprechende Diversifizierung der Kapitalanlage vollständig eliminiert werden. 11

Die moderne Portfoliotheorie lieferte damit den Grundstein für weitere, auf dieser Theorie aufbauende Ansätze zur Portfoliooptimierung und bildet das Fundament für jüngere Kapitalmarkttheorien. Insbesondere William Sharpe konnte im Rahmen der Portfoliotheorie weitere Preisbildungstheorien im Kapitalmarkt, wie z. B. das Indexmodell oder das Capital Asset Pricing Model, entwickeln. Dieses Kapitel wird sich neben der Portfolio-theorie den wichtigsten auf dem Markowitz-Modell aufbauenden Kapitalmarktmodellen widmen und im letzten Teil die Performance- und Risikomessung vorstellen. Eine formale Definition der in diesem Kapitel vorgestellten Kennzahlen und Formeln erfolgt im Rahmen des Kapitels Fünf.

⁹ Vgl. Markowitz (1952), S. 77ff. Leupold (1996), S. 12.

¹⁰ Vgl. Markowitz (1959).

¹¹ Vgl. Aulibauer; Thießen (2002a), S. 73. Vgl. Marx (1996), S. 50.

2.2 Portfoliotheoretischer Modellansatz

2.2.1 Grundzüge und Annahmen der Portfoliotheorie

Ausgangspunkt der „Portfolio Selection Theory“ war die empirische Beobachtung Markowitz’, dass Anleger ihr Vermögen gewöhnlich auf mehrere verschiedene Anlagen diversifizieren. Eine Diversifikation des Vermögens ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn nicht ausschließlich die Rendite des Portfolios im Vordergrund steht, sondern auch das Risiko. Im Falle der Fokussierung allein auf die Rendite wäre die Investition des gesamten Kapitals lediglich in das Wertpapier mit der höchsten erwarteten Rendite sinnvoll. 12

Dieser Investmentansatz der Fokussierung widerspricht jedoch nach Markowitz jeglichem rationalem und risikobewusstem Investmentverhalten. Daher entwickelte Markowitz den Ansatz, die Selektion eines Portfolios anhand von erwarteter Rendite und erwartetem Risiko zu analysieren und zu optimieren. Im Rahmen der Portfoliotheorie bewies er, dass durch die optimale Diversifikation eines Portfolios wesentlich höhere Renditen bei geringerem Risiko erzielt werden können. 13

Dabei greift die Portfoliotheorie auf das Entscheidungsprinzip unter Unsicherheit zurück, da die zukünftigen Entwicklungen der Rendite und des Risikos des Portfolios nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden können. Als Entscheidungshilfe und Prognosemöglichkeit finden hierbei insbesondere historische Kursentwicklungen der zu betrachtenden Wertpapiere Beachtung. Das zu erwartende Portfoliorisiko wird in der Portfoliotheorie durch die Varianz σ² ausgedrückt, die als Streuungsmaß die durchschnittliche quadratische Abweichung der Erträge vom Erwartungswert angibt. Anstelle der Varianz kann auch die Standardabweichung σ, die sich aus der Wurzel der Varianz ergibt, Verwendung finden. 14

¹² Vgl. Markowitz (1952), S. 77. Markowitz (1991), S. 206.

¹³ Vgl. Markowitz (1991), S. 206. Steiner; Bruns (2002), S. 7, S. 9.

¹⁴ Vgl. Steiner; Bruns (2002), S. 8. Leupold (1996), S. 7ff.

Um im Rahmen der Portfoliotheorie ein Wertpapierportfolio zu optimieren, sind jedoch nicht nur die durch die Varianz gemessenen Einzelrisiken von Bedeutung, sondern vielmehr deren Wechselwirkung zueinander. ¹⁵ Um die Kursveränderung eines Wertpapiers im Verhältnis zur Kursveränderung eines anderen Wertpapiers zu messen, wird im Rahmen der Portfo-liotheorie die Kovarianz COV verwendet. Dabei drückt eine positive Kovarianz eine gleichläufige und eine negative Kovarianz eine gegenläufige Korrelation aus. Bei einer Kovarianz von null besteht kein Zusammenhang zwischen den Kursveränderungen der verschiedenen Anlagen. ¹⁶ Durch eine Kombination von schwach miteinander korrelierenden Wertpapieren können die Wertschwankungen bzw. das Risiko des Portfolios bei gleich bleibender Rendite verringert werden. ¹⁷ Das nachfolgende Diagramm 2.1 verdeutlicht, wie ein risikoarmes Portfolio (Aktie B) durch die Hinzunahme einer geeigneten, risikoreichen Aktie noch risikoärmer werden kann (Portfolio P).

Rendite

Abbildung 2.1: Risiko-Performance-Diagramm 18

¹⁵ Vgl. Marx (1996), S. 50. Steiner; Bruns (2002), S. 8.

¹⁶ Vgl. Aulibauer; Thießen (2002a), S. 77.

¹⁷ Vgl. Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 72.

¹⁸ Eigene Darstellung, in Anlehnung an: Reilly; Brown (2006), S. 221.

Anhand der Portfoliokennzahlen erwartete Rendite, erwartetes Risiko und erwartete Korrelation lassen sich unter Berücksichtigung der individuellen Risikoneigung des jeweiligen Investors sämtliche effizienten Portfolios errechnen. Ein Portfolio, das auf der Effizienzkurve liegt und damit für den Investor relevant ist, hat bei einem bestimmten Risiko die höchste Renditeerwartung bzw. bei einer bestimmten Renditeerwartung das geringste Risiko (siehe Abbildung 2.2). 19

Rendite

Abbildung 2.2: Effizienzkurve 20

Dabei gelten für das Grundmodell der Portfoliotheorie diese Annahmen: 21

• Der Planungszeitraum beträgt genau eine Periode.

• Alle Wertpapiere sind bis in die kleinste Quantität beliebig teilbar.

• Transaktionskosten und Steuern existieren nicht.

• Den Investoren wird Risikoaversion unterstellt, das bedeutet, dass ein Investor bei gleicher Rendite immer die Alternative mit dem geringsten Risiko vorzieht.

¹⁹ Vgl. Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 73. Michaud (1998), S. 9.

²⁰ Eigene Darstellung, in Anlehnung an: Reilly; Brown (2006), S. 221. Michaud (1998), S. 2.

²¹ Vgl. Steiner; Bruns (2002), S. 10. Schmidt-von Rhein (1996), S. 230ff.

2.2.2 Kritik an der Portfoliotheorie

Durch die Portfoliotheorie ist es Markowitz gelungen, ein Erklärungsmodell für das in der Praxis zu beobachtende Anlegerverhalten der Diversifikation zu finden. Darüber hinaus kommt das Modell von Markowitz zu dem Schluss, dass es in erster Linie auf die Korrelation zwischen den im Portfolio befindlichen Wertpapieren ankommt und nicht primär auf die Menge der im Portfolio gehaltenen Wertpapiere. 22

Dennoch ist die Portfoliotheorie nicht frei von Problemen. So besteht eine Grundannahme der Portfoliotheorie darin, dass sich aus der Vergangenheit keine verlässlichen zukünftigen Kursentwicklungen vorhersagen lassen. Trotzdem werden die zukünftigen Renditen zum erheblichen Teil aus historischen Daten geschätzt, deswegen darf die Chance, dass ein Anleger ex ante ein seiner Risikoneigung entsprechendes, effizientes Portfolio findet, nicht überschätzt werden. ²³ Ein weiterer Kritikpunkt ist die Vernachlässigung des Timing-Gedanken. Die Portfoliotheorie trifft keine Aussage über die optimalen Ein- und Ausstiegszeitpunkte bei den Wertpapieren, die das optimale Portfolio bilden. Folglich werden durch das Markowitz-Modell die Erkenntnisse der fundamentalen und technischen Analyse vollkommen vernachlässigt. 24

Häufig zielt darüber hinaus die Kritik auf die enorme Informationsbeanspruchung. Um die Berechnung effizienter Portfolios zu gewährleisten, werden leistungsfähige Computer zur Verarbeitung großen Datenmengen benötigt. So müssen schon bei der Betrachtung von zehn Wertpapieren insgesamt 65 verschiedene Parameter, die sich aus zehn Renditen, zehn Varianzen und 45 Kovarianzen zusammensetzen berechnet und geschätzt werden. Aus diesem Grund räumt auch Markowitz ein, dass die praktische Anwendbarkeit der Portfoliotheorie über große Mengen von Wertpapieren nur institutionellen Anlegern möglich ist. 25

²² Vgl. Markowitz (1952), S. 77. Markowitz (1952), S. 89.

²³ Vgl. Steiner; Bruns (2002), S. 15.

²⁴ Vgl. Steiner; Bruns (2002), S. 15.

²⁵ Vgl. Markowitz (1952), S. 77. Steiner; Bruns (2002), S. 15. Kempf; Memmel (2002), S. 896.

2.2.3 Indexmodell von Sharpe

Die bereits angesprochene Datenproblematik des Portfolio-Selection-Modells von Markowitz hat zur Entwicklung des Indexmodells ²⁶ (auch: Single-Index-Modell) durch den Wirtschaftswissenschaftler William F. Sharpe geführt. Ziel des Modells ist es, die Anzahl von Input-Daten zu minimieren und somit das Markowitz-Modell praktisch anwendbarer zu gestalten. 27

Nach Markowitz lässt sich das Risiko eines Portfolios dadurch vollständig eliminieren, dass dem Portfolio absolut negativ korrelierende Wertpapiere beigemischt werden. In der Praxis hat sich jedoch gezeigt, dass vollständig negativ korrelierende Wertpapiere nicht existieren. Nach Sharpe hat dies fundamentale Ursachen, da sich Ereignisse wie Leitzinsänderungen, Kriege und wirtschaftliche oder politische Veränderungen auf den gesamten Kapitalmarkt auswirken. 28

Unter der Annahme, dass diese Einflüsse mithilfe eines Indizes (z. B. dem DAX) erfasst werden können, besteht die Möglichkeit, die Korrelation zwischen allen Paaren von Wertpapieren vollständig auf die Korrelation jedes Wertpapiers mit dem Index zurückzuführen. ²⁹ Allerdings bestehen neben diesen globalen, gesamtwirtschaftlichen Ereignissen auch unternehmensindividuelle Besonderheiten, die sich im Aktienkurs des jeweiligen Unternehmens widerspiegeln und die Aktienkurse von anderen Unternehmen nicht oder nur leicht tangieren. Um diesen Faktor zu berücksichtigen, hat Sharpe eine titelspezifische Störkomponente є i eingeführt. 30

Kritisch bleibt anzumerken, dass die Unterstellung, unternehmensindividuelle Ereignisse hätten keinen oder nur einen sehr geringen Einfluss auf die Wertentwicklung von Aktien anderer Unternehmen in der Praxis nicht standhält und dass insbesondere die Aktienkursentwicklung innerhalb von Branchen häufig das Gegenteil beweist.

²⁶ Vgl. Sharpe (1963), S. 277ff.

²⁷ Vgl. Elton u. a. (2003), S. 130. Marx (1996), S. 60. Steiner; Bruns (2002), S. 16.

²⁸ Vgl. Aulibauer; Thießen (2002a), S. 73. Steiner; Bruns (2002), S. 16.

²⁹ Vgl. Breuer; Gürtler; Schuhmacher (2004), S. 301. Schmidt-von Rhein (1996), S. 272.

³⁰ Vgl. Schmidt-von Rhein (1996), S. 273. Steiner; Bruns (2002), S. 17.

2.3 Kapitalmarkttheorie

2.3.1 Capital Asset Pricing Model

Das CAPM wurde zusammen von Sharpe, Lintner und Mossin in den 1960er Jahren entwickelt und baut unmittelbar auf der Portfoliotheorie von Markowitz auf. ³¹ Insbesondere Sharpe greift dabei den Grundgedanken der Portfoliotheorie auf, nach dem das unsystematische Risiko von Wertpapieren durch Diversifikation vollständig eliminiert werden kann. 32

Von den Kapitalmarkttheoretikern wird deshalb die Meinung vertreten, dass es nicht mit Kosten verbunden ist, Risiken auf diese Weise auszuschalten. Aufgrund der Annahme dieser Kostenfreiheit wird eine Eliminierung von Risiken über die Diversifikation von Seiten des Marktes auch nicht honoriert. Das Gesamtrisiko setzt sich dabei aus dem unsystematischen, durch Diversifikation eliminierbaren Risiko und dem systematischen Risiko zusammen. Das systematische ist im Gegensatz zum unsystematischen Risiko nicht durch Diversifikation reduzierbar, so dass eine Adaption dieses zusätzlichen Risikos von Seiten des Marktes durch eine zusätzliche Risikoprämie, die über der risikolosen Verzinsung R f liegt, gewürdigt wird. 33

Entsprechend der Portfoliotheorie können dabei sämtliche optimalen Portfolios, unter Berücksichtigung der individuellen Risikonutzenfunktion des jeweiligen Anlegers, auf einer beliebigen Stelle der Effizienzkurve liegen. Unter der Prämisse, dass jederzeit beliebig viel Geld zum risikolosen Zinssatz R f angelegt und akquiriert werden kann, kann es zu einer Mischung der risikolosen Anlagemöglichkeit mit den individuellen Portfolios kommen. 34

Die folgende Abbildung 2.3 illustriert die Effizienzgerade, die auch als Kapitalmarktlinie bezeichnet wird und alle anderen Geraden in Bezug auf die Risikoeffizienz dominiert.

³¹ Vgl. Sharpe (1964), S. 425ff. Lintner (1965), S. 13ff. Mossin (1966), S. 768ff.

³² Vgl. Beike; Schlütz (2005), S. 165.

³³ Vgl. Spremann (2003), S. 253. Beike; Schlütz (2005), S. 165.

³⁴ Vgl. Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 75.

Dabei kennzeichnet der Tangentialpunkt zwischen der Kapitalmarktlinie und der Effizienzkurve das Marktportfolio M. Hierbei handelt es sich um die optimale Zusammensetzung der Wertpapiere und keine andere Kombination führt zu effizienteren Ergebnissen. 35

Rendite

Abbildung 2.3: Kapitalmarktlinie 36

Aus der Kapitalmarktlinie und der erwarteten Risikoprämie lässt sich die Renditeerwartung für jedes einzelne Wertpapier des Marktportfolios im Kapitalmarktgleichgewicht herleiten. Das Ergebnis ist die Wertpapierlinie, die die Grundlage des CAPM bildet. ³⁷ Dabei ist für jedes einzelne Wertpapier im Portfoliozusammenhang nur der Beta-Faktor β i als Risikomaß des systematischen Risikos von Bedeutung. Wie bereits erwähnt, lassen sich im Rahmen der Portfoliotheorie sämtliche unsystematischen Risiken durch Diversifikation eliminieren, so dass das Beta lediglich das systematische Risiko in Relation zum Risiko des Marktportfolios misst. 38

³⁵ Vgl. Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 76.

³⁶ Eigene Darstellung, in Anlehnung an: Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 76.

³⁷ Vgl. Reilly; Brown (2006), S. 240. Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 77.

³⁸ Vgl. Reilly; Brown (2006), S. 240. Spremann (2003), S. 256.

Den systematischen Teil des Gesamtrisikos muss jeder Anleger in Kauf nehmen und wird dafür mit einer Risikoprämie belohnt, die zusammen mit dem risikolosen Zinssatz die erwartete Rendite des Wertpapiers ergibt. Je höher das Beta eines Wertpapiers ist, umso höher fallen die erwartete Rendite, aber auch das Risiko aus. Definitionsgemäß ist der Beta-Faktor des Marktportfolios β m eins (siehe Abbildung 2.4). 39

Rendite

E(R m )

R f

Abbildung 2.4: Wertpapierlinie 40

2.3.2 Arbitrage Pricing Theory

Die APT wurde 1976 von Ross ⁴¹ entwickelt und wird allgemein in der Literatur als einer der Hauptherausforderer des CAPM angesehen. Obwohl die Aufgabenstellung der beiden Modelle, die Bewertung risikobehafteter Wertpapiere im Marktgleichgewicht, die gleiche ist, stellt die APT im Gegensatz zum CAPM ein Mehrfaktormodell dar. Die Rendite eines Wertpapiers ist nach der APT von mehreren gemeinsamen Faktoren F j abhängig

³⁹ Vgl. Beike; Schlütz (2005), S. 167f. Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 78.

⁴⁰ Eigene Darstellung, in Anlehnung an: Brealey; Myers; Marcus (2004), S. 303.

⁴¹ Vgl. Ross (1976), S. 341ff.

und setzt sich konträr zum CAPM nicht nur aus dem Beta-Faktor für das bewertungsrelevante Risiko zusammen. 42

In der Theorie wird dabei nicht exakt vorgegeben, um welche Faktoren es sich konkret handelt, diese müssen nur Träger des systematischen Risikos sein. Am häufigsten werden dabei makroökonomische Einflussgrößen wie z. B. die Inflation, das Wirtschaftswachstum oder Zinsveränderungen verwendet, die Einfluss auf die Renditen aller Wertpapiere ausüben. ⁴³ Dabei verwendet die APT nicht das Fundament der Portfoliotheorie, sondern baut auf der Annahme der Arbitragefreiheit des Marktes auf, der zufolge kein risikoloser Gewinn (Free Lunch) durch das Ausnutzen von Marktungleichgewichten erzielt werden kann. Um im kompetitiven Markt einen Gewinn zu erzielen, muss der Anleger zwangsweise ein systematisches, nicht diversifizierbares Risiko eingehen. 44

Sofern Arbitrage-Möglichkeiten aufgrund eines Marktungleichgewichts existieren, führen diese in einem kompetitiven Markt automatisch so lange zu Preisanpassungen, bis sich der Markt wieder im Gleichgewicht befindet. Die APT gelangt letztendlich zu einer linearen Bewertungsgleichung, die eine große Ähnlichkeit mit der Wertpapiermarktlinie des CAPM aufweist, wobei beide Modelle jedoch auf vollkommen verschiedenen Annahmen beruhen. Der APT wird aufgrund der realitätsnahen Berücksichtigung von mehreren Faktoren ein höherer Aussagegehalt und eine bessere empirische Testbarkeit zugeschrieben. 45

2.4 Performance- und Risikomessung

2.4.1 Überblick

Im Rahmen des Portfoliomanagements kommt der Performance- und Risikomessung eine besondere Bedeutung zu. Neben der Determination der absoluten Rendite ist die Einbeziehung des Risikos, das zur Erzielung der

⁴² Vgl. Garz (2006), S. 74. Aulibauer; Thießen (2002b), S. 109.

⁴³ Vgl. Reilly; Brown (2006), S. 271. Garz (2006), S. 74.

⁴⁴ Vgl. Garz (2006), S. 75. Steiner; Bruns (2002), S. 17.

⁴⁵ Vgl. Garz (2006), S. 75ff.

Rendite eingegangen werden musste, von besonderer Bedeutung. ⁴⁶ Darüber hinaus ist es im Rahmen der relativen Performancemessung relevant, die erzielten periodischen Ergebnisse mit einem festgelegten Benchmark, z. B. einem anderen Portfolio oder einem Aktienindex, zu vergleichen, um festzustellen, ob das Portfolio in einem vorgegebenen Zeitraum den Benchmark risikoadjustiert übertreffen konnte. Durch diese relative Erfolgsmessung kann die unmittelbare Beurteilung des aktiven Portfoliomanagements erfolgen. 47

Auch ein entsprechendes Risikomaß, um festzustellen, unter welchem Risiko bzw. unter welcher Schwankung der Renditen die Performance erreicht werden konnte, ist unerlässlich für ein professionelles Portfoliomanagement. Dabei stellt die Volatilität, die sich als periodisierte Standardabweichung errechnet, neben dem Beta-Faktor das wohl bekannteste und am einfachsten nachvollziehbare Risikomaß dar. ⁴⁸ Eine detaillierte Betrachtung sämtlicher Performance- und Risikomaße würde über den Rahmen dieser Arbeit hinausgehen, so dass an dieser Stelle lediglich auf die Sharpe-Ratio als Performancemaß und die Volatilität als Risikomaß eingegangen wird.

2.4.2 Sharpe-Ratio

Die Sharpe-Ratio hat sich mittlerweile sehr stark in der Performancemessung durchgesetzt und ist nach dem gleichnamigen Wirtschaftswissenschaftler benannt, der dieses Performancemaß 1966 erstmals vorstellte. ⁴⁹ Dabei bildet die Portfoliotheorie den Bezugsrahmen der Sharpe-Ratio, die die Aussage trifft, dass um eine Anlage fair bewerten zu können, die Verzinsung einer risikolosen Anlage von der Gesamtperformance abgezogen werden muss. 50

⁴⁶ Vgl. Wittrock (2002), S. 956.

⁴⁷ Vgl. Wittrock (2002), S. 956. Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 518.

⁴⁸ Vgl. Steiner; Bruns (2002), S. 601.

⁴⁹ Vgl. Sharpe (1966), S. 119ff.

⁵⁰ Vgl. Spremann (2003), S. 316.

Die Sharpe-Ratio misst dabei das Verhältnis dieser Überschussrendite (Excess Return) zum eingegangenen Risiko, das durch die Volatilität ausgedrückt wird. Dabei zeigt eine positive Sharpe-Ratio, dass gegenüber der risikolosen Verzinsung eine Überschussrendite erwirtschaftet wurde und in welchem Verhältnis diese zum eingegangenen Risiko steht. Währenddessen drückt eine negative Sharpe-Ratio aus, dass noch nicht einmal die risikolose Verzinsung übertroffen wurde. Das Sharpe-Maß lässt sich auch als Risikoprämie deuten, die pro Einheit übernommenen Gesamtrisikos erzielt wird. 51

2.4.3 Volatilität

Die Volatilität als Quadratwurzel der Varianz stellt das in der Praxis am häufigsten verwendete Risikomaß dar. Als annualisierte Standardabweichung interpretiert die Volatilität die Streuung der einzelnen Renditen eines Wertpapiers um dessen Mittelwert. Die populäre Verwendung der Volatilität beruht dabei im Wesentlichen auf der Risikodefinition, nach der das Risiko das Abweichen von erwarteten Risiken darstellt. Derartige Abweichungen können dabei sowohl positive als auch negative Ausprägungen annehmen, wobei im allgemeinen Sprachgebrauch Risiko intuitiv mit negativen Abweichungen assoziiert wird. 52

Für die Berechnung der Volatilität werden üblicherweise Tagesrenditen verwendet, die die Wertentwicklung eines Wertpapiers von einem Tag zum nächsten reflektieren. Dabei wird die Volatilität annualisiert, um eine höhere Vergleichbarkeit sicherzustellen. Standardgemäß wird die Volatilität in zwei Varianten ermittelt und veröffentlicht, die sich entweder auf die vergangenen 30 oder 250 Börsentage beziehen. Neben diesen historischen Volatilitäten finden insbesondere bei den Derivaten implizierte Volatilitäten als Erwartungswerte Verwendung. 53

⁵¹ Vgl. Kempf; Memmel (2002), S. 914. Steiner; Bruns (2002), S. 604.

⁵² Vgl. Bruns; Meyer-Bullerdiek (2003), S. 10. Beike; Schlütz (2005), S. 156.

⁵³ Vgl. Natenberg (1994), S. 72ff. Beike; Schlütz (2005), S. 157.