Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   i

Abbildungsverzeichnis   iv

Tabellenverzeichnis v   

1  Einleitung  1

2  Literatur uberblick  4

2.1  Bewertungsans atze ohne Ber ucksichtigung von Ausfallabh angigkeit  4

2.2  Bewertungsans atze unter Ber ucksichtigung von Ausfallabh angigkeit  6

2.2.1  Erweiterung von Strukturmodellen  8

2.2.2  Erweiterung von Reduktionsmodellen  10

2.2.3  Kreditportfoliorisiko-Modelle  12

2.2.4  Copula Methoden  13

2.2.5  Verwendung von historischen Daten ohne Ausfallmodell  16

3  Copula-Funktionen  18

3.1  Grundlagen  18

3.2  Simulation  25

3.3   

Uberblick  und Klassifikation  27

3.3.1  Elliptische Copulas  27

3.3.2  Archimedische Copulas  30

3.3.3  Farlie-Gumbel-Morgenstern-Copulas  34

4  Konzepte zur Messung von Abh angigkeit  36

4.1  Lineare Korrelation  37

4.2  Gew unschte Eigenschaften eines globalen Abh angigkeitsmaßes  38

4.3  Rangkorrelation  39

4.4  Randabh angigkeit  42

4.5   

Ubereinstimmung   44

4.6  Abh angigkeitsdarstellung der ausgew ahlten Copulas im Detail  46

5  Analyse von Ausfallmodellen  48

5.1  Nat urliche Erweiterungen der Reduktionsmodelle  48

5.1.1  Intensit aten als korrelierte geometrisch Brownsche Bewegungen  48

Inhaltsverzeichnis ii

5.1.2  Intensit aten als korrelierte, quadratische Wiener-Prozesse  53

5.2  Li-Copula-Modell f ur beliebige Copulas  56

5.2.1  Modell  56

5.2.2  Simulation  59

5.2.3  Ergebnisse  61

5.3  Sch onbucher/Schubert-Modell  66

5.3.1  Modell  66

5.3.2  Simulation  73

5.3.3  Ergebnisse  73

5.4  Vergleich der Modelle von Li und Sch onbucher/Schubert  84

6  Anwendungen im Risikomanagement  86

6.1  Bewertung einer ausfallbehafteten Nullkuponanleihe  87

6.1.1  Grundlagen zur Bewertung  87

6.1.2  Ergebnisse  90

6.2  Bewertung von Basketkreditderivaten  103

6.2.1  Grundlagen zur Bewertung  103

6.2.2  Ergebnisse  105

6.3  Wichtige Folgerungen f ur die Auswahl von Copula-Funktionen  129

6.4  Copula-Funktionen in Mischmodellen  132

6.4.1  Bernoulli-Mischmodell  133

6.4.2  Poisson-Mischmodell  134

6.4.3  Verwendung von Copula-Funktionen in Mischmodellen  135

7  Schlussbemerkungen  137

A  Simulation von Archimedischen Copulas  139

B  L osung der stochastischen Differentialgleichungen (5.2) und (5.3)  142

Literaturverzeichnis   143

Abbildungsverzeichnis   

3.1  Abh angigkeitsabbildung mittels Copulas  20

3.2  Simulierte Datenpaare der Unabh angigkeitscopula  23

3.3  Simulierte Datenpaare f ur die Gauss- und t 4 -Copula  29

3.4  Zufallszahlen der Gumbel-, Clayton-, Frank-, Nelsen-, Gauss-Copula.  32

3.5  Simulierte Datenpaare der FG-MCopula f ur θ 1 und θ 1  35

4.1  Spearman’s rho in Abh angigkeit von Kendall’s tau  42

4.2  Veranschaulichung der unteren Randabh angigkeit  43

5.1  Ausfallabh angigkeit f ur korrelierte quadratische Wiener-Prozesse  55

5.2  Ausfallkorrelation im Li-Modell f ur festes p bei Archimedischen Copulas  62

5.3  Ausfallkorrelation im Li-Modell f ur festes p bei der FG-MCopula  62

5.4  Ausfallkorrelation im Li-Modell f ur feste p bei elliptischen Copulas  63

5.5  Vergleich der Ausfallkorrelationen im Li-Modell f ur elliptische Copulas  64

5.6  Kendall’s tau im Li-Modell f ur verschiedene Copulas C  64

5.7  Uberlebenszeiten-Korrelation τ im Li Modell f ur verschiedene F i (x i )  65

5.8  Uberlebenszeiten-Korrelation τ im Li-Modell f ur verschiedene Cs  65

5.9  Sprungh ohe der Frank-Copula in Abh angigkeit der Zeit  78

5.10  Sprungh ohe h 12 (t) der FG-MCopula f ur θ 1  80

5.11  Sprungh ohe h 12 (t) der Gauss-Copula f ur ρ 0.3  81

5.12  Uberlebenszeiten-Korrelation τ im Sch onbucher/Schubert-Modell  82

5.13  Kendall’s tau im Sch onbucher/Schubert-Modell  83

6.1  Kreditspreads im Li-Modell Schuldner 2 ist bereits ausgefallen.  95

6.2  Kreditspreads im Li-Modell Schuldner 2 hat bisher uberlebt.  96

6.3  Kreditspreads im Sch onbucher/Schubert-Modell Schuldner 2 ist bereits  

ausgefallen.   98

6.4  Kreditspreads im Sch onbucher/Schubert-Modell Schuldner 2 hat bisher  

uberlebt.   99

6.5  Kreditspreads f ur einen erweiterten Bereich von Kendall’s tau.  100

6.6  Vergleich der Kreditspreads im Li- und Sch onbucher/Schubert-Modell.  101

6.7  FtD-Pr amien im Li-Modell mit Laufzeit T 1.  110

6.8  FtD-Pr amien im Li-Modell mit Laufzeit T 3.  111

6.9  FtD-Pr amien im Li-Modell mit Laufzeit T 5.  112

6.10  FtD-Pr amien im Sch onbucher/Schubert-Modell mit Laufzeit T 1.  114

6.11  FtD-Pr amien im Sch onbucher/Schubert-Modell mit Laufzeit T 3  115

Abbildungsverzeichnis   iv

6.12  FtD-Pr amien im Sch onbucher/Schubert-Modell mit Laufzeit T 5.  116

6.13  Vergleich der FtD-Pr amien f ur ausgew ahlte Copula-Funktionen.  117

6.14  StD-Pr amien im Li-Modell mit Laufzeit T 1.  122

6.15  StD-Pr amien im Li-Modell mit Laufzeit T 3.  123

6.16  StD-Pr amien im Li-Modell mit Laufzeit T 5.  124

6.17  StD-Pr amien im Sch onbucher/Schubert-Modell mit Laufzeit T 1.  125

6.18  StD-Pr amien im Sch onbucher/Schubert-Modell mit Laufzeit T 3.  126

6.19  StD-Pr amien im Sch onbucher/Schubert-Modell mit Laufzeit T 5.  127

6.20  Vergleich der StD-Pr amien f ur ausgew ahlte Copula-Funktionen  128

Tabellenverzeichnis v

Tabellenverzeichnis

3.1 ¨ Uberblick ¨ uber die ausgew¨ ahlten strikten Archimedische Copulas . . . . 33 3.2 Grenzen in der Abh¨ angigkeitsdarstellung der hier betrachteten Copulas 34

4.1 Abh¨ angigkeitsmaße f¨ ur ausgew¨ ahlte Copulas . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1 Parameterwahl f¨ ur die drei betrachteten ausfallbehafteten Anleihen . . 52 5.2 ¨ Uberlebenszeiten-Korrelationen ^τ in Abh¨ angigkeit von ρ im Exponentialkorrelationen-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Empirisches Kendall’s tau in Abh¨ angigkeit von Korrelationsparameter ρ im Exponentialkorrelationen-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4 Ausfallkorrelation im Li-Modell f¨ ur verschiedene Copula-Funktionen . . 61

6.1 Maximale Unterschiede der Ausfallabh¨ angigkeiten, gemessen ¨ uber Kendall’s tau, bei fixem Kreditspread durch die Wahl der Copula-Funktion im Li- und Sch¨ onbucher/Schubert-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 Maximale Unterschiede der Kreditspreads bei fixem Kendall’s tau durch die Wahl der Copula-Funktion im Li- und Sch¨ onbucher/Schubert-Modell. 94 6.3 Maximale Unterschiede der FtD-Preise bei fixem Kendall’s tau durch die Wahl der Copula-Funktion im Li- und Sch¨ onbucher/Schubert-Modell. 108 6.4 Maximale Unterschiede der Ausfallabh¨ angigkeiten, gemessen ¨ uber Kendall’s tau, bei fixem FtD-Preis durch die Wahl der Copula-Funktion im Li- und Sch¨ onbucher/Schubert-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.5 Maximale Unterschiede der StD-Preise bei fixem Kendall’s tau durch die Wahl der Copula-Funktion im Li- und Sch¨ onbucher/Schubert-Modell. . 120 6.6 Maximale Unterschiede der Ausfallabh¨ angigkeiten, gemessen ¨ uber Kendall’s tau, bei fixem StD-Preis durch die Wahl der Copula-Funktion im Li- und Sch¨ onbucher/Schubert-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Kapitel 1

Einleitung

Die Modellierung von Ausfallabh¨ angigkeit ist ein zentrales Thema im Kreditrisiko-Management. ¹ Ausfallabh¨ angigkeiten k¨ onnen zu Konzentrationen in Kreditportfolios von Banken und anderen institutionellen Investoren f¨ uhren. Im Falle eines Ausfalls erh¨ ohen sich die Ausfallwahrscheinlichkeiten der anderen Kredite, so dass teilweise sehr hohe Verluste auftreten k¨ onnen, die sich bei vorhandenen Klumpenrisiken nochmals erh¨ ohen k¨ onnen. Die Konsequenzen solcher Ausfallabh¨ angigkeiten zeigen zum Beispiel die Bankenkrise in S¨ udostasien Ende der Neunziger Jahre und die Argentinienkrise 2000. Erst vor kurzem sind im Mai 2005 die Ratings von General Motors und Ford herabgestuft worden. Dadurch sind große Turbulenzen am Markt f¨ ur korrelationssensitive Produkte aufgetreten, ² wie es der Ausbruch des Kreditderivateindex iTraxx von 29 auf 53 Basispunkte zwischen dem 29. April und 11. Mai verdeutlicht. Diese Erkenntnisse werden auch durch die empirischen Studien von Lucas (1995) [81], Das et al. (2002) [19] und de Servigny/Renault (2002) [24] best¨ atigt. Zus¨ atzlich wurde in diesen Arbeiten herausgefunden, dass nur positive Werte f¨ ur die Ausfallkorrelation auftreten und dass diese teilweise sehr hohe Niveaus annehmen kann. Liegen also Ausfallabh¨ angigkeiten vor, so wird die Ausfallwahrscheinlichkeit der einen Unternehmung in einem bestimmten Maße von dem Zustand der anderen Unternehmen beeinflusst. Daher ist es im Kreditrisikobereich von großer Bedeutung, Ausfallabh¨ angigkeit zu ber¨ ucksichtigen und einen geeigneten Modellrahmen zur ad¨ aquaten Abbildung aufzustellen, so dass eine geeignete Bewertung von ausfallbehafteten Schuldtiteln m¨ oglich ist. Um die jeweilige Ausfallwahrscheinlichkeit in jedem Zeitpunkt bestimmen zu k¨ onnen, bedarf es der Kenntnis der gemeinsamen Verteilung der Ausfallzeitpunkte. Die traditionellen Struktur- und Reduktionsmodelle ³ wie z. B. die von Merton (1974) [83] und Lando (1998) [73] vernachl¨ assigen die Abh¨ angigkeit zu anderen Unternehmen und liefern bei vorliegender Ausfallabh¨ angigkeit Fehlbewertungen. Ihre Erweiterungen auf die Betrachtung mehrerer Unternehmen wie z. B. bei Zhou (1997) [115] und Duffie/Garleanu (2001) [28] untersch¨ atzen den Effekt der Ausfallabh¨ angigkeit, da

¹ Sch¨ onbucher (2003) [99], S. 289, bezeichnet es sogar als das interessanteste offene Problem im Kreditrisiko-Management.

² Dieser Sachverhalt wird auch Korrelationskrise bzw. als englischer Begriff ” Correlation Crisis“ genannt.

³ Siehe dazu den ausf¨ uhrlichen Literatur¨ uberblick in Kapitel 2.

1 Einleitung 2

die Ausfallabh¨ angigkeit teilweise nur indirekt abgebildet werden kann. Genauere L¨ osungen sind nur durch Modifikation dieser Erweiterungen zu erhalten, aber auf Grund von zu hoher Komplexit¨ at sind diese Modelle praktisch sehr schlecht anwendbar. Seit Mitte der Neunziger Jahre werden Copula-Funktionen als Alternative zur Abbildung von Ausfallabh¨ angigkeit eingesetzt. Bei Copula-Funktionen handelt es sich um ein aus der deskriptiven Statistik stammendes Konzept zur Abh¨ angigkeitsmodellierung. Sie besitzen die sehr praktische Eigenschaft, die gemeinsame Abh¨ angigkeitsstruktur der Zufallsvariablen untereinander separat von ihren individuellen Randverteilungen zu betrachten, ⁴ so dass insbesondere die Kalibrierung der Parameter erheblich erleichtert wird. Eine Copula-Funktion kann einfach als eine spezielle multivariate Verteilungsfunktion angesehen werden, nicht aber als ein Ausfallmechanismus. In den letzten Jahren sind in der finanzwirtschaftlichen Literatur immer h¨ aufiger Copulas zur Modellierung von gemeinsamen Ausfallverteilungen verwendet worden. Allerdings gibt es nur zwei allgemeine, dynamische Modelle ⁵ , die auf Copulas basierend einen entsprechenden Ausfallmechanismus abbilden, n¨ amlich das Modell von Li (2000) [77] und das von Sch¨ onbucher/Schubert (2001) [100]. ⁶ Durch die M¨ oglichkeit der einfachen und eleganten Art der Modellierung von Abh¨ angigkeitsstrukturen, losgel¨ ost von individuellen Ausfallwahrscheinlichkeiten, haben sich diese Modelle zu einer echten Alternative zu den Erweiterungen der Struktur- und Reduktionsmodelle entwickelt. In beiden Modellen wird Abh¨ angigkeit ¨ uber eine Copula-Funktion erzeugt, die somit

die gemeinsame Verteilung der Ausfallzeitpunkte und die daraus resultierende Dynamik der Ausfallintensit¨ aten entscheidend bestimmt. Die gemeinsame Verteilungsfunktion ¨ andert sich zu jedem Zeitpunkt, zu dem ¨ uber Ausfall bzw. Nichtausfall der Unternehmen neue Informationen in die Ausfallverteilung einfließen. Daher ist eine Bewertung von ausfallbehafteten Instrumenten nicht einfach unter Verwendung der gemeinsamen Verteilungsfunktion an einem bestimmten Zeitpunkt m¨ oglich. Es existiert eine große Anzahl an Copula-Funktionen, die alle verschiedene Abh¨ angigkeitsstrukturen abbilden, d. h. durch die Wahl der Copula wird die Abh¨ angigkeitsstruktur eindeutig festgelegt. Jede Copula-Funktion bildet eine andere Abh¨ angigkeitsstruktur ab. Es existieren jedoch keine Kriterien f¨ ur die Wahl einer speziellen Copula-Funktion. In der Literatur werden vorwiegend theoretische Erkl¨ arungen der Modellierungsm¨ oglichkeiten von Copula-Funktionen betrachtet. Ausf¨ uhrliche Analysen sind fast nur f¨ ur die Anwendung der aus der Normalverteilung abgeleiteten Gauss-Copula zu finden, siehe z. B. die Arbeiten von Jouanin et al. (2001) [63] und Clemen/Reilly (1999) [14]. Die Arbeiten von Junker/Szimayer/Wagner (2005) [65], Melchiori (2003) [82] und Kole/Koedijk/Verbeek

(2005) [70] vergleichen Copula-Funktionen ¨ gen aber notwendige ¨ Anderungen in der Ausfallverteilung ¨

(1993) [43] pr¨ asentieren eine Prozedur, die entscheidet, welche Archimedische Copula am besten die gegebenen Daten kalibriert. Die Probleme dabei sind, dass sich diese Prozedur nur auf den bivariaten Fall anwenden l¨ asst und dass sie die Realisationen der Randverteilungen ben¨ otigt, die normalerweise nicht verf¨ ugbar sind, wenn Ausfallzeiten

⁴ Diese Eigenschaft wird durch das Theorem von Sklar erreicht, f¨ ur Details siehe Kapitel 3.1.

⁵ Es lassen sich einige andere Modelle im Allgemeinen ¨ uber Copulas darstellen, wie z.B. die Praxismodelle KMV und CreditMetrics. Sie werden aber nicht zu den Copula-Modellen gez¨ ahlt.

⁶ Eine ausf¨ uhrliche Erkl¨ arung der Modelle ist in Kapitel 2 und vor allem in Kapitel 5 zu finden.

1 Einleitung 3

modelliert werden. In ihrem Papier vergleichen Burtschell/Gregory/Laurent (2005) [9] verschiedene Ausfallmodelle, die zum Teil auf Copula-Funktionen basieren, aber es handelt sich nicht dabei um einen reinen Vergleich von Copula-Funktionen. Ein allgemeiner Vergleich von Copula-Funktionen in einem dynamischen Modellrahmen existiert in der Literatur noch nicht.

An diesem Punkt kn¨ upft die vorliegende Arbeit an. Ihr Schwerpunkt liegt in der Untersuchung des Einflusses von Copula-Funktionen auf das Kreditrisiko-Management. Dazu wird in Kapitel 6 eine Simulationsstudie durchgef¨ uhrt, in der die Auswirkungen von unterschiedlichen Copula-Funktionen auf die Preise von ausfallbehafteten Instrumenten innerhalb der beiden Copula-Modelle von Li und Sch¨ onbucher/Schubert analysiert werden. Zum einen wurden ausfallbehaftete Zerobonds gew¨ ahlt, da sie ein Standardinstrument im Kreditrisikobereich darstellen und die Kreditspreads ohne die Betrachtung von Abh¨ angigkeiten im wesentlichen von dem individuellen Ausfallrisiko abh¨ angen. Zum anderen wurden n ^th -to-Default Swaps untersucht, da sie gerade als korrelationssensitives Instrument ⁷ sehr stark auf die Ausfallabh¨ angigkeit reagieren und die Copula-Funktionen somit den Preis des Kreditderivates wesentlich bestimmen. Als zentrales Ergebnis werden Auswahlkriterien f¨ ur eine geeignete Copula-Funktion bei der Bewertung von Kreditderivaten und ausfallbehafteten Nullkuponanleihen abgeleitet. Im f¨ unften Kapitel werden die Copula-Modelle von Li (2000) [77] und Sch¨ onbucher/Schubert (2001) [100] und deren F¨ ahigkeit zur Abbildung von Ausfallabh¨ angigkeit unter Verwendung verschiedener Copula-Funktionen theoretisch analysiert. Zus¨ atzlich wird noch die M¨ oglichkeit der Erzeugung von Ausfallabh¨ angigkeit ¨ uber Exponenti-alkorrelationen dargestellt. F¨ ur die Beantwortung der Frage, welches die geeignete Copula-Funktion ist, wird in den Kapiteln 2 bis 4 ein ¨ Uberblick ¨ uber die Thematik

gegeben und an die notwendige Theorie herangef¨ uhrt. Im zweiten Kapitel wird auf die Thematik der Abbildung von Ausfallabh¨ angigkeiten als solches eingegangen, indem der aktuelle Stand der Literatur, insbesondere die Rolle von Copula-Funktionen, dargestellt wird. Gegenstand des dritten Kapitels sind die Copulas an sich. Es werden ihre wesentlichen Eigenschaften diskutiert und eine Auswahl an Copula-Funktionen getroffen, die in der sp¨ ateren Simulationsstudie verwendet werden. Diese Copulas werden daher im Detail inklusive des dazugeh¨ origen Simulationsalgorithmus betrachtet. Um die Ausfallabh¨ angigkeit entsprechend erfassen zu k¨ onnen, werden in Kapitel vier sinnvolle Abh¨ angigkeitsmaße diskutiert, aus deren Diskussion dann die Auswahl eines ad¨ aquaten Abh¨ angigkeitsmaßes f¨ ur die Simulationsstudie erfolgt.

⁷ Der gel¨ aufige Begriff in der Finanzpraxis ist die englische Bezeichnung ” Correlation Product“.

Kapitel 2

Literatur ¨ uberblick

Kreditrisiko ist ein bedeutendes Thema in der Finanzierungstheorie. Gerade in den letzten Jahren sind auf Grund der erh¨ ohten Notwendigkeit eines guten Risikomanagements im Zuge von Basel II eine Vielzahl von Ver¨ offentlichungen entstanden. Im Folgenden wird zum besseren Verst¨ andnis ein ¨ Uberblick ¨ uber die drei verschiedenen Kategorien

von Bewertungsans¨ atzen einzelner ausfallgef¨ ahrdeter Instrumente nach Uhrig-Homburg (2002) [109] gegeben, bevor die verschiedenen Entwicklungslinien von Ausfallabh¨ angigkeitsmodellen diskutiert werden.

2.1 Bewertungsans¨ atze ohne Ber¨ ucksichtigung von

Ausfallabh¨ angigkeit

F¨ ur die Bewertung einzelner ausfallgef¨ ahrdeter Instrumente ohne die Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit existieren zun¨ achst Strukturmodelle mit exogener Ausfallgrenze. Zentrales Element ist nach der Idee des klassischen Merton-Modells (1974) [83] die Beschreibung des Unternehmenswertes. Ausfall tritt genau dann ein, wenn der Wert des Unternehmens eine exogen vorgegebene Ausfallschranke unterschreitet. Genau diese anschauliche Definition f¨ ur Ausfall durch ¨ Uberschuldung und die guten Eigenschaften

der Kreditspreads machen diese Modelle in der Praxis sehr beliebt. Zu nennen w¨ are noch das Modell von Longstaff/Schwartz (1995) [80], das im Vergleich zu Merton (1974) [83] eine allgemeine Kapitalstruktur, stochastische Zinsprozesse und Korrelation zwischen Zins- und Firmenwert-Prozess zul¨ asst und trotzdem noch eine quasi-analytische L¨ osung berechnet. ¹ Auf Grund unvollst¨ andiger Informationen ¨ uber den Unternehmenswertprozess werden die Ausfallwahrscheinlichkeiten und somit auch die Kreditspreads besonders f¨ ur kurze Restlaufzeiten untersch¨ atzt, f¨ ur (T − t) → 0 konvergieren sie gegen null bzw. unendlich. ² Des Weiteren vernachl¨ assigen diese Modelle wichtige Elemente wie Steuern, Liquidit¨ at und anleihespezifische Faktoren. 3

¹ Weitere Modelle dieser Klasse sind zum Beispiel bei Kim/Ramaswamy/Sundaresan (1993) [69], Nielsen/Sa´ a-Requejo/Santa-Clark (1993) [86], Brys/de Varenne(1997) [8] und Sch¨ obel (1999) [98] zu finden.

² Falls der Unternehmenswert nicht mehr ¨ uber die Ausfallschranke gelangen kann.

³ Siehe auch ¨ Ubersicht dieser Modellklasse in Uhrig-Homburg (2002) [109], S. 34.

2.1 Bewertungsans¨ atze ohne Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 5

Die zweite Modellklasse, die Strukturmodelle mit endogener Ausfallgrenze, gehen zur¨ uck auf Black/Cox (1976) [5]. Ihr Schwerpunkt liegt in der Analyse des Zusammenhangs von unternehmerischen Finanzierungsentscheidungen, Risikopr¨ amien und Ausfallrisiko, um so die Ausfallschranke endogen zu bestimmen. Dieses Vorgehen wird in dieser Arbeit nicht weiter betrachtet. Bei z. B. Leland (1996) [76], Ander-son/Sundaresan (1996) [2] und Uhrig-Homburg (2001) [108] wird der Ansatz von Black/Cox (1976) [5] durch die Einf¨ uhrung von Steuervorteilen und Insolvenzkosten erweitert. 4

Die dritte Klasse der Kreditrisikomodelle bilden die Reduktionsmodelle oder auch Intensit¨ atsmodelle. Ihr Unterschied zu den Strukturmodellen liegt darin, dass der Ausfallzeitpunkt τ eines Kredits ¨ uber einen Z¨ ahlprozess modelliert wird, d. h. ein Ausfall

kann pl¨ otzlich auftreten. Daraus folgt auch, dass hier die Kreditpr¨ amien im Gegensatz zu den Strukturmodellen f¨ ur kurze Restlaufzeiten nicht gegen Null konvergieren und somit eher die Beobachtungen am Markt abbilden k¨ onnen. Der Ausfall wird wesentlich uber den nichtnegativen Parameter des Sprungprozesses, die Ausfallintensit¨ at λ(t), de¨

finiert, die durch einen nach dem ersten Sprung gestoppten Z¨ ahlprozess N(t) und den dazugeh¨ origen Ausfallzeitpunkt τ auf einem geeigneten Wahrscheinlichkteitsraum bestimmt wird. In diesem Zusammenhang gibt λ(t) sozusagen die Geschwindigkeit an, mit der es zu einem Ausfall kommt. Es gilt:

Dabei ist M(t) ein reiner Innovationsteil, der unter dem risikoneutralen Bewertungsmaß ein Martingal darstellt. U ist dabei eine Gl(0, 1)-verteilte Zufallsvariable als Ausfallschranke. Der Wert von U ist in der ¨ Okonomie bis zum Ausfallzeitpunkt unbekannt.

F¨ ur die Ausfallintensit¨ at gilt zus¨ atzlich λ(t) = 0 f¨ ur t ≥ τ , d. h. ein Kredit kann hier nur einmal ausfallen. Jarrow/Turnbull (1995) [57] benutzen in ihrem Modell f¨ ur die Ausfallintensit¨ at einen homogenen Poisson-Prozess. In Jarrow/Lando/Turnbull (1997) [56] wird dieser Modellrahmen noch durch die Einf¨ uhrung von Ratingklassen erweitert. Die Modelle von Lando (1998) [73] und Duffie/Singleton (1999) [30] erweitern die bisherigen Modellen dahingehend, dass die Ausfallintensit¨ at abh¨ angig von den Zu-standsvariablen angenommen wird und die Abh¨ angigkeit zwischen Zins- und Ausfalluber einen Cox-Prozess ⁵ erfasst wird. Diese beiden Modelle unterscheiden sich risiko ¨

im wesentlichen durch die Wahl der Bezugsgr¨ oße, so dass die Recovery-Rate bei Lando noch konstant ist, bei Duffie/Singleton dann aber nicht mehr, da die Bezugsgr¨ oßen uber Marktpreise berechnet werden. Die St¨ arke dieser Modelle liegt darin, dass sie sehr ¨

gut an die realen Kreditspreads angepasst werden k¨ onnen, was insbesondere sehr gute Kreditspreads f¨ ur Produkte mit kurzen Restlaufzeiten liefert. ⁶ Bei der Implementierung der Modelle von Lando und Duffie/Singleton m¨ ussen dann die Parameter der

⁴ Siehe die vollst¨ andige ¨ Ubersicht in Uhrig-Homburg (2002) [109], S. 44.

⁵ Ein Cox-Prozess wird auch doppelstochastischer Prozess genannt.

⁶ Siehe z. B. die Beispielrechnung in Uhrig-Homburg (2002) [109], S. 30f.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 6

Zustandsvariablen gesch¨ atzt werden. 7

Nach den Bewertungsans¨ atzen f¨ ur einzelne ausfallbehaftete Produkte wird nun ein ¨ Uberblick ¨ uber die verschiedenen Kreditrisikomodelle zur Bewertung mehrerer Kredite unter Ber¨ ucksichtigung ihrer Abh¨ angigkeiten gegeben. Die Notwendigkeit der Einbeziehung von Abh¨ angigkeit wird an den empirischen Studien in z.B. Sch¨ onbucher (2003) [99] ⁸ und Das et al. (2002) [19] ⁹ deutlich. In ihnen wurde aus realen Marktdaten mit den obigen Bewertungsmodellen der Verlauf der Kreditspreads bestimmt, jedoch konnten diese die realen, teilweise stark schwankenden Kreditspreads nicht gut sch¨ atzen, so dass die Ausfallabh¨ angigkeiten zwischen den einzelnen Krediten einen nicht zu vernachl¨ assigen Einfluss auf die Preise ausfallbehafteter Produkte haben.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von

Ausfallabh¨ angigkeit

Seit Ende der Neunziger Jahre sind eine Vielzahl von Ver¨ offentlichungen ¨ uber die Abbildung von Ausfallabh¨ angigkeit entstanden, von denen die wichtigsten Entwicklungslinien in diesem Abschnitt diskutiert werden. Den Anfang der Literatur ¨ uber die Modellierung von Ausfallabh¨ angigkeiten stellt die Arbeit von Lucas (1995) [81] dar. Wie es vor allem in der Praxis sehr h¨ aufig der Fall ist, beschr¨ ankt sich Lucas auf die Analyse der linearen Abh¨ angigkeit, die lineare Korrelation. ¹⁰ An sehr vielen einfachen histo-

rischen Beispielen belegt er ¨ uber gemeinsame Ausf¨ alle in bestimmten Branchen, dass Ausfallkorrelation vorhanden sein muss, da Unternehmen ¨ striezweiges und ¨ uber allgemeine Wirtschaftsfaktoren miteinander verbunden sind. Zur Berechnung dieser Ausfallkorrelation greift er auf die Grundlagen der Statistik zur¨ uck, indem f¨ ur jede Unternehmung auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum jeweils eine dichotome Zufallsvariable betrachtet wird, die entweder den Wert Ausfall oder kein Ausfall annehmen kann. Lucas verwendet hier die hinl¨ anglich bekannte Formel f¨ ur die Korrelation zweier Zufallsvariablen. Die Ausfallkorrelation, also die Maßzahl der linearen Abh¨ angigkeit, zwischen zwei Unternehmen A und B sieht dann wie folgt aus:

Dabei sind p A und p B die Ausfallwahrscheinlichkeiten der Unternehmungen A und B. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den gemeinsamen Ausfall von Unternehmung A und B wird

⁷ Siehe die vollst¨ andige ¨ Ubersicht in Uhrig-Homburg (2002) [109], S. 46.

⁸ Siehe Sch¨ onbucher (2003) [99], S. 290-291.: Es wird an Hand einer Simulation von 4000 Unternehmen mit identischer Ausfallrate und unabh¨ angigen Ausf¨ allen gezeigt, dass der Verlauf dieser simulierten Kreditspreads nicht mit den historisch am Markt beobachteten Kreditspreads in der Zeit von

1970 bis 2000 ¨

⁹ Es wird ¨ uber die Analyse von 7000 US-Unternehmen das Vorhandensein von Ausfallabh¨ angigkeit festgestellt und detaillierter untersucht.

¹⁰ Allgemein sei an dieser Stelle bemerkt, dass sich viele Arbeiten zu diesem Thema auf die Betrachtung der linearen Abh¨ angigkeit beschr¨ anken. Oftmals werden Korrelation und Abh¨ angigkeit sogar synonym verwendet. Den Autoren reicht anscheinend aus, bei der Betrachtung von Abh¨ angigkeit die lineare Abh¨ angigkeit zu betrachten.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 7

durch p AB ausgedr¨ uckt. Die einzelnen Ausfallwahrscheinlichkeiten lassen sich recht einfach aus historischen Daten bestimmen, die f¨ ur so eine Betrachtung normalerweise ausreichend vorhanden sind. Als Problem stellt sich jedoch die Bestimmung der gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeit p AB heraus. Hierf¨ ur ist das Datenmaterial sehr gering, so dass Sch¨ atzungen ¨ uber die g¨ angigen Methoden, wie z. B. Maximum Likelihood-Methoden, nur sehr unbefriedigende Ergebnisse liefern. Zus¨ atzlich beschreibt Lucas wie man durch geschickte Wahl der dichotomen Zufallsvariablen und der Formel (2.3) f¨ ur mehr als zwei Unternehmen die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit berechnet. ¹¹ Im zweiten Teil seiner Arbeit stellt Lucas empirische Resultate vor, die er aus der Ausfallkorrelationsanalyse eines Moody-Datensatzes mit Unternehmensausf¨ allen von 1970 bis 1994 erhalten hat. Zum einen stellt er fest, dass die Ausfallkorrelation im Allgemeinen sehr klein ist und mit besser werdendem Rating abnimmt. F¨ ur sehr gut geratete Unternehmen treten nur sehr wenige Ausf¨ alle auf. Ein Ausfall ist eher auf Probleme eines Unternehmens selbst zur¨ uckzuf¨ uhren, so dass die Ausfallkorrelation zwischen mehreren hochgerateten Unternehmen sehr gering ist. Schlechter geratete Unternehmen, die sich einfach n¨ aher an ihrer Ausfallsgrenze befinden, reagieren viel empfindlicher auf Probleme am Markt und haben somit eine h¨ ohere Ausfallkorrelation. Zum anderen stellt Lucas fest, dass die Ausfallkorrelationen zuerst mit der Zeit ansteigen, aber nach einer gewissen Zeit wieder abnehmen. Lucas begr¨ undet diesen Effekt damit, dass f¨ ur kurze Zeitr¨ aume Ausf¨ alle notwendigerweise zuf¨ allig sein m¨ ussen. F¨ ur l¨ angere Zeitr¨ aume gleicht das Durchlaufen von mehreren Wirtschaftszyklen extremere Schwankungen wieder aus. Außerdem ist eine wesentliche Erkenntnis der Arbeit, dass keine wirkliche Aussage ¨ uber Ausfallkorrelationen innerhalb und zwischen Industriesektoren gemacht werden kann. Diese empirischen Ergebnisse werden von weiteren, aktuelleren Arbeiten best¨ atigt und teilweise noch konkretisiert. Das et al. (2002) [19] untersuchten aktuellere Moody-Daten von 7000 US-Firmen von 1987 bis 2000 und k¨ onnen zu den Ergebnissen von Lucas als wesentliche Erkenntnis erg¨ anzen, dass die Ausfallkorrelationen immer positiv sind. Dieses Ergebnis wird von de Servigny/Renault (2002) [24] in einer unabh¨ angigen Untersuchung best¨ atigt. Diese empirischen Untersuchungen zeigen zudem, dass gerade zwischen niedrig gerateten Unternehmen die Ausfallkorrelation recht einfach zehn Prozent ¨ uberschreiten kann und somit auf keinen Fall vernachl¨ assigt werden darf. Aus diesem Grund werden sp¨ ater in der Analyse der verschiedenen Copula-Funktionen vorwiegend positive Ausfallabh¨ angigkeiten betrachtet. In seiner Arbeit l¨ asst Lucas nat¨ urlich noch viele Fragen offen. Sie dient vielen Folgearbeiten als Grundlage f¨ ur Erweiterungen, die im Folgenden vorgestellt werden sollen, und kann somit als Initialz¨ undung zur verst¨ arkten Forschung der Abh¨ angigkeitsmodellierung im Kreditrisikobereich angesehen werden. Ein ¨ Uberblick ¨ uber die verschiedenen

Modellarten zur Abbildung von Abh¨ angigkeit im Kreditrisiko wird in den folgenden Abschnitten gegeben. Insbesondere wird dort die Frage nach der Bestimmung der gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeit p AB beantwortet, die gerade f¨ ur die Berechnung der Ausfallkorrelation (2.3) notwendig ist.

¹¹ F¨ ur Details siehe Lucas (1995) [81], S. 80.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 8

2.2.1 Erweiterung von Strukturmodellen

Die folgenden Ans¨ atze versuchen die Methodik der Strukturmodelle f¨ ur die Bewertung eines ausfallbehafteten Instruments um Abh¨ angigkeiten durch Korrelation der Unternehmenswertprozesse zu erweitern, so dass die gemeinsame Ausfallverteilung sowie die Ausfallkorrelation zwischen zwei Unternehmen bestimmt werden kann. Auf Grund der intuitiven Idee und der M¨ oglichkeit, diesen Ansatz als Copula-Modell zu interpretieren, wird im Folgenden die Erweiterung von Zhou (1997) [115] ausf¨ uhrlich vorgestellt. Da nur das Abh¨ angigkeitsmaß der linearen Korrelation betrachtet wird, reicht es o. B. d. A. aus, nur zwei Unternehmen zu betrachten, da die lineare Korrelation bivariates Abh¨ angigkeitsmaß ist. Zhou betrachtet f¨ ur die Unternehmen 1 und 2 die zugeh¨ origen Unternehmenswerte V 1 und V 2 , f¨ ur die, wie in Strukturmodellen ¨ ublich,

jeweils ein Unternehmenswertprozess als geometrisch Brownsche Bewegung unterstellt wird:

wobei µ 1 und µ 2 die konstanten Driftparameter und σ 1 und σ 2 die konstanten Fluktuationskonstanten darstellen. Abh¨ angigkeit zwischen den Unternehmen wird nun ins Modell eingef¨ ugt, indem die beiden Unternehmenswertprozesse (2.4) und (2.5) als korreliert angenommen werden. Korrelation liegt hier nur zwischen den Inkrementen der beiden Wiener-Prozesse vor, so dass gilt: E (dW 1 (t) · dW 2 (t)) = ρ · dt. Da ρ die lineare Abh¨ angigkeit zwischen zwei Unternehmenswertprozessen beschreibt, wird ρ ∈ [−1, 1] im Folgenden als Assetkorrelation bezeichnet. Man beachte den Unterschied zwischen der Assetkorrelation ρ und der Ausfallkorrelation . Die Ausfallkorrelation ist immer um ein Vielfaches kleiner als die dazugeh¨ orige Assetkorrelation ρ, selbst wenn ρ sehr groß ist. Ausf¨ uhrliche Zahlenbeispiele sind in Frey/McNeil/Nyfelder (2001) [41] zu finden. 12

Ein großes Problem bei Zhou (1997) [115] ist die Tatsache, dass sich auf Kapitalm¨ arkten keine Unternehmenswerte beobachten lassen. Als ad¨ aquate Sch¨ atzung wird die Korrelation zwischen den Aktienpreisprozessen der betrachteten Unternehmen als Assetkorrelation benutzt. F¨ ur die Bestimmung der individuellen und der gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeiten m¨ ussen nun die Ausfallbedingungen betrachtet werden, die wie folgt bestimmt sind:

mit N i als Nominalwert eines in T ausstehenden Kredits, b(t, T ) als Wert zum Zeitpunkt t einer in T f¨ alligen ausfallrisikolosen Nullkuponanleihe mit Nominalwert 1 und α i ∈ [0, 1] als konstante Konkursquote.

Die individuellen Ausfallwahrscheinlichkeiten lassen sich nun einfach mit Hilfe der Normalverteilung berechnen. F¨ ur die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit P(V 1 (T ) ≤ N 1 , V 2 (T ) ≤ N 2 ) ist das bereits deutlich komplizierter. Dazu m¨ ussen unter

¹² Die Werte sind in Frey/McNeil/Nyfelder (2001) [41], S. 3, Tabelle 1, dargestellt.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 9

Verwendung der Merton-Ausfallbedingung die beiden stochastischen Differentialgleichungen (2.4) und (2.5) mittels Itˆ o’s Lemma ¹³ und der Transformation f (V i ) = ln(V i ) gel¨ ost werden. Es ergibt sich die folgende gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit p AB = P(V 1 (T ) ≤ N 1 , V 2 (T ) ≤ N 2 ) =

√ √

wobei c i =

normalverteilung mit Korrelation ρ und den Integrationsvariablen x und y ist. Dieses Doppelintegral ist nur sehr schwer auszurechnen, so dass es mit Hilfe einer N¨ aherungs-formel gel¨ ost werden sollte, z. B. k¨ onnte die Methode von Drezner (1978) [26] verwendet werden.

Falls das Ausfallkriterium aus dem Modell von Black/Cox (1976) [5] gew¨ ahlt wird, kann diese gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit auf zwar ¨ ahnliche Art und Weise aber uberf¨ uhrt werden. ¹⁴ Ein mit wesentlich mehr Aufwand in eine geschlossene L¨ osung ¨

großer Nachteil dieses Ansatzes ist es, dass ein Ausfall nur zum Zeitpunkt T eintreten kann, da nur in T der Unternehmenswert mit der Ausfallschranke verglichen wird. Falls V (t) < N f¨ ur t < T , aber in T V (T ) > N , dann wird in diesem Modellrahmen kein Ausfall erkannt. Eine genauere Messung von Ausfall w¨ are z. B. inf {V (t)| t ∈ [0, T ] } < N . Bei Zhou (2001a) [116] ist dieses Modell ¨ uberarbeitet worden, die wesentlichen Aussagen sind aber gleich.

Der Ansatz von Hull/White (2001) [51] bietet eine elegante L¨ osung zur Berechnung der individuellen und gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeiten, zumindest f¨ ur diskrete Zeitpunkte. Zur Beschreibung der Kreditw¨ urdigkeit eines jeden Unternehmens wird ein Kreditindex gew¨ ahlt, der jeweils als Wiener Prozess zu diskreten Zeitpunkten modelliert wird. Ausfallabh¨ angigkeit wird ¨ uber die Korrelation dieser Wiener Prozesse

erzeugt. Ein Ausfall tritt genau dann ein, wenn der Wiener-Prozess f¨ ur den betrachteten Kredit zum ersten Mal unter seiner Ausfallschranke liegt, die zu jedem Zeitpunkt an die individuelle Ausfallwahrscheinlichkeit kalibriert wird. Sch¨ onbucher/Schubert (2001) [100] bemerken, dass es nicht sicher ist, dass das Modell wirklich eine Gauss’sche Abh¨ angigkeitsstruktur f¨ ur die Ausfallzeiten bis zum Ende des betrachteten Zeitraums annimmt. ¹⁵ Als weiteren Kritikpunkt nennen sie den rechenintensiven und daher langsamen Kalibrierungsalgorithmus, der zum Anfangszeitpunkt Ausfallschranken mit einer unendlich negativen Steigung ben¨ otigt, um dann Kreditspreads ungleich Null zu erhalten. Zus¨ atzlich monieren sie, dass nur eine normale Abh¨ angigkeitsstruktur abgebildet werden kann.

Einige Modelle wie z. B. Zhou (2001b) [117] und Dao (2004) [17] erweitern den Ansatz von Merton (1974) [83], indem sie den Unternehmenswertprozess um Sprungprozesse erweitern, die doppelexponential- oder normalverteilt sein k¨ onnen. Der logarithmierte Firmenwertprozess ist dann ein L´ evy-Prozess. ¹⁶ Es werden also die Ei-

¹³ Vgl.Protter (1990) [90], S. 70ff.

¹⁴ Vgl. Zhou (1997) [115], S. 3ff.

¹⁵ Siehe Sch¨ onbucher/Schubert (2001) [100], S. 6.

¹⁶ F¨ ur Details zu L´ evy-Prozessen siehe Sato (1999) [94].

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 10

genschaften von Struktur- und Reduktionsmodellen verkn¨ upft, so dass einige negative Charakteristika von Strukturmodellen, wie zu geringe Ausfallwahrscheinlichkeiten f¨ ur sehr gut geratete Kredite und die Konvergenz der Ausfallwahrscheinlichkeiten f¨ ur sehr kurze Restlaufzeiten gegen null bzw. gegen eins, verbessert werden. Es m¨ ussen aber noch einige Anpassungen vorgenommen werden. Die Definition der Ausfallzeiten muss bei Dao (2004) [17] angepasst werden, damit eine geschlossene L¨ osung erhalten werden kann. 17

In dem Modell von Schmidt/Overbeck (2003) [87] werden geeignet transformierte, korrelierte Wiener-Prozesse benutzt. Damit kann dann ¨ ahnlich wie bei Zhou (1997) [115] eine analytische, aber recht aufwendige L¨ osung f¨ ur die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit in Abh¨ angigkeit der jeweiligen Assetkorrelation erhalten werden. Das Modell ist sehr flexibel und einfach an jede Struktur von Ausfallwahrscheinlichkeiten und Abh¨ angigkeitsinformationen zu kalibrieren. Die Ergebnisse dieses Modells stimmen fast mit denen des Copula-Modells von Li (2000) [77] unter Verwendung einer uberein. ¹⁸ Gauss’schen Copula ¨

2.2.2 Erweiterung von Reduktionsmodellen

Der Bewertungsansatz der Reduktionsmodelle kann nat¨ urlich auch um Abh¨ angigkeiten erweitert werden. In einem ersten Ansatz wird jeweils eine geeignete Dynamik λ i (t) f¨ ur alle 1, . . . , m Unternehmen unterstellt, indem Ausfallabh¨ angigkeit durch die Korrelation der einzelnen Ausfallintensit¨ aten erzeugt wird. Dabei k¨ onnten die Intensit¨ aten z. B als Brownsche Bewegungen modelliert werden, mit denen dann ¨ ahnlich wie in Kapitel 2.2.1 die Ausfallkorrelationen bestimmt werden k¨ onnen. Es wird im Kontext eines Reduktionsmodells angenommen, dass bedingt auf die Realisationen der Intensit¨ atsprozesse λ i (t) die Z¨ ahlprozesse N i (t) f¨ ur alle i unabh¨ angig sind. In Sch¨ onbucher (2003) [99] wird behauptet, und in Kapitel 5.1 wird es dann aufgezeigt, dass die so entstehende Ausfallkorrelationen die wahren Werte stark untersch¨ atzt bzw. diese ¨ uberhaupt nur

ein sehr kleines Abbildungsspektrum besitzen. ¹⁹ Das liegt daran, dass die Verbindung zwischen den Ausf¨ allen nur sehr indirekt modelliert worden ist. ²⁰ Es k¨ onnen also keine zufriedenstellenden Ergebnisse bestimmt werden, so dass dieser Ansatz eher nicht verwendet werden sollte. In dieser Arbeit wird er aber in Kapitel 5 als Referenzmodell verwendet.

Zur Verbesserung des Problems der Untersch¨ atzung der Ausfallkorrelationen modellieren Duffie/Garleanu (2001) [28], ¨ ahnlich wie bei Dao (2004) [17], die Intensit¨ aten ¨ uber

korrelierte Sprungprozesse. Da dieser Prozess zur Klasse der affinen Prozesse geh¨ ort, kann die ¨ Uberlebenswahrscheinlichkeit in einer geschlossenen Form dargestellt werden.

¹⁷ Die Ausfallzeit ist als der erster Zeitpunkt definiert, an dem die relative Ver¨ anderung der Sprungh¨ ohe einen relativen Anteil des aktuellen Firmenwertes unterschreitet, vgl. Dao (2004) [17] S. 4.

¹⁸ F¨ ur die Erkl¨ arung des Begriffes Copula siehe Kapitel 3 und f¨ ur Details zum Li-Modell Kapitel 5.2.

¹⁹ Vgl. Sch¨ onbucher (2003) [99] S. 317f.

²⁰ Besonders groß ist die Untersch¨ atzung bei niedrigen individuellen Ausfallwahrscheinlichkeiten, bei niedriger Varianz und Korrelation der Intensit¨ aten, bei kurzer Restlaufzeit, bei hohem Rating und bei einer kleinen Anzahl von betrachteten Krediten.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 11

Die Ausfallintensit¨ at wird ¨ uber ein Faktormodell beschrieben, so dass λ i in eine globale und eine schuldnerspezifische Komponente zerlegt wird. Die affinen Prozesse f¨ ur die beiden Komponenten werden als unabh¨ angig unterstellt, damit die Ausfallabh¨ angigkeit nicht abh¨ angig vom schuldnerspezifischen Ausfallrisiko ist. Daraus folgt, dass die Korrelation einfach als Anteil an Spr¨ ungen der individuellen Intensit¨ at, die durch die globale Komponente verursacht wurden, berechnet werden kann. Inspiriert von dem obigen Ansatz haben Duffie/Singleton (1998) [29] ²¹ nicht die Ausfallkorrelationen von zwei Unternehmen korreliert, sondern sie f¨ uhren das Ereignis gemeinsamen Ausfalls mit eigener Intensit¨ at ein, so dass man f¨ ur den Zwei-Unternehmen-Fall drei verschiedene Intensit¨ aten zu betrachten hat und im Reduktionsmodellrahmen einfach auf den gemeinsamen Ausfall zugreifen kann. Wie beim vorherigen Modell sind die einzelnen bedingten Z¨ ahlprozesse N i (t) wieder unabh¨ angig. F¨ ur mehr als zwei Unternehmen sind entsprechend mehr Ereignisse zu betrachten. Dieses Modell kann die komplette Bandbreite an Werten von Ausfallkorrelationen darstellen, es bleiben aber noch einige Probleme bestehen. Zum einen ist die Beschreibung der relevanten Kreditereignisse alles andere als einfach, da die Anzahl von betrachteten Intensit¨ aten exponentiell w¨ achst. Ein weiterer Schwachpunkt liegt in der zeitlichen Betrachtung der Ausf¨ alle. Gemeinsame Ausf¨ alle treten nur zum genau gleichen Zeitpunkt auf, da die Zeitpunkte stetig definiert sind. Zwar sind Cluster in den Ausfallzeiten in der Realit¨ at gegeben, aber die Abbildung zum genau gleichen Zeitpunkt ist so nicht zu beobachten und einfach zu extrem. Dies hat zur Folge, dass keine Krisen in dem Modell abgebildet werden k¨ onnen. Wenn n¨ amlich ein gemeinsamer Ausfall von vielen Unternehmen eintritt, bleiben die anderen Intensit¨ aten davon unver¨ andert. Dieser Sachverhalt stimmt nicht mit der Realit¨ at ¨ uberein. Ein ¨ ahnlicher Ansatz ist in Kijima (2000) [68] zu finden.

Davis/Lo (1999, 2001) [21], [22] l¨ osen das Problem der zeitlichen Abgrenzung wesentlich besser und f¨ uhren ein Modell ein, das auch Krisen abbilden kann. Die besondere Leistung ihrer Arbeit ist die Einf¨ uhrung des Begriffs des beeinflussenden Ausfalls. Darunter versteht man, dass der Ausfall eines Unternehmens das Ausfallrisiko der anderen, noch nicht ausgefallenen Unternehmen erh¨ oht. Dabei sind die bedingten Z¨ ahlprozesse N i (t) f¨ ur alle i voneinander unabh¨ angig. Im Kontext der Reduktionsmodelle ist dies einfach zu integrieren. So wird die Ausfallintensit¨ at jeder Unternehmung um einen Risikoerh¨ ohungsfaktor a > 1 erh¨ oht, sobald ein anderes Unternehmen ausf¨ allt. Nach einer exponentialverteilten Zeit werden die Ausfallintensit¨ aten wieder zur¨ uckgesetzt, der Einfluss eines Unternehmensausfalls ist also zeitlich begrenzt. Krisen k¨ onnen damit sehr gut abgebildet werden, da in Perioden mit erh¨ ohten Intensit¨ aten mehr Ausf¨ alle erfolgen. Es entstehen wie in der Realit¨ at Cluster in den Ausfallzeiten. Ein Nachteil ist aber die Bestimmung der gemeinsamen Ausfallverteilung, die sehr komplex werden kann.

Jarrow/Yu (2001) [58] greifen die Idee der beeinflussenden Ausf¨ alle von Davis/Lo (1999, 2001) [21], [22] auf, benutzen sie aber in einer anderen Weise. Die Schuldner werden hier in zwei Klassen eingeteilt:

1. große, einflussreiche Schuldner und

²¹ Siehe auch Duffie (1998) [27].

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 12

2. kleine, abh¨ angige Schuldner.

Wie in den anderen Modellen auch h¨ angen die Ausf¨ alle aller Unternehmen von wesentlichen unabh¨ angigen ¨ okonomischen Zustandsvariablen ab. Durch die Einf¨ uhrung der beeinflussenden Ausf¨ alle f¨ ur die Gruppe der kleinen Schuldner werden deren Ausfallintensit¨ aten durch Ausf¨ alle von großen Unternehmen erh¨ oht. Die umgekehrte Richtung gilt allerdings nicht, da die großen Unternehmen eine zu starke Position am Markt haben, als dass sie von Ausf¨ allen kleinerer Unternehmen in irgendeiner Weise beeinflusst werden k¨ onnten. Es entstehen somit viele Schleifenbeziehungen zwischen den Unternehmen, ²² die zu einem großen Gleichungssystem f¨ uhren, das simultan f¨ ur alle Ausfallintensit¨ aten gel¨ ost werden muss. ²³ Als Ergebnis erh¨ alt man einen gemeinsamen Prozess der Ausfallindikatoren (N 1 (t), . . . , N n (t)) f¨ ur die n betrachteten Unternehmen. ²⁴ Das Modell von Yu (2002) [114] geht einen Schritt weiter als Jarrow/Yu (2001) [58], indem Yu im Modellkontext eines Reduktionsmodells eine beliebige Abh¨ angigkeitsstruktur verwendet. Die Gl(0, 1)−verteilten Ausfallgrenzen U i werden f¨ ur alle Unternehmen als abh¨ angig angenommen. Es werden also zus¨ atzlich firmenspezifische In-formationen verst¨ arkt betrachtet. ²⁵ Die Abh¨ angigkeit der Ausfallgrenzen wird ¨ uber eine sogenannte ” total hazard construction“ abgebildet. Sie erzeugt auf Basis von unabh¨ angig exponentialverteilten Zufallsvariablen jede gew¨ unschte Abh¨ angigkeitsstruktur. Yu (2002) [114] erkl¨ art, dass dieser Ansatz allgemeiner als die in Kapitel 2.2.4 vorgestellten Copula-Modelle ist, da hier keine Copula-Funktion ausgew¨ ahlt werden muss und sich somit das Modellrisiko verringert. ²⁶ Durch die einfache Integration firmenspezifischer Informationen kann man sich auf die Modellierung der Ausfallintensit¨ aten konzentrieren.

2.2.3 Kreditportfoliorisiko-Modelle

Kreditportfoliorisiko-Modelle werden vor allem f¨ ur die Abh¨ angigkeitsmodellierung in großen Kreditportfolios eingesetzt und sind gerade f¨ ur die Bewertung von Collaterized Debt Obligations (CDO) ²⁷ und Basket-Kreditderivaten sehr gut geeignet. Ein Nachteil ist aber, dass sie die Dynamik des Portfoliowertes nicht ad¨ aquat abbilden k¨ onnen, da sie nur die Ausf¨ alle w¨ ahrend eines festen Zeithorizonts betrachten. Nach Joe (1997) [60] werden die Modelle in Latente-Variablen-Modelle und Mischmodelle unterteilt, die hier kurz vorgestellt werden. 28

²² Zum einen h¨ angt die Ausfallintensit¨ at des Unternehmens A vom Ausfallverhalten der Firma B ab. Falls zus¨ atzlich das Unternehmen B im Unternehmen A investiert ist, h¨ angt zum anderen seine Ausfallintensit¨ at vom Ausfallverhalten von Unternehmung A ab.

²³ F¨ ur Details siehe Jarrow/Yu (2001) [58], S. 1772ff.

²⁴ Sch¨ onbucher (2003) [99] bemerkt, dass dieser Prozess kein Cox-Prozess mehr ist, da man von den gemeinsamen Intensit¨ aten auf die Verteilung der Ausfallzeiten schließen kann. Dies f¨ uhrt zu vielen Problemen bei solchen Modellen.

²⁵ F¨ ur Details siehe Yu (2002) [114], S. 12f.

²⁶ Vgl. dazu Yu (2002) [114], S. 4.

²⁷ CDOs werden in dieser Arbeit nicht weiter betrachtet, f¨ ur Details siehe z. B. Das (2005) [18], Tavakoli (2003) [107] und Schirm (2004) [95].

²⁸ Die Mischmodelle werden in Kapitel 6.4 detailliert beschrieben.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 13

2.2.3.1 Latente-Variablen-Modelle

Sie basieren auf Merton’s Unternehmenswert-Modell (1974) [83]. Die Latente Variable ist die einzige abh¨ angige Variable, die ¨ uber Ausfall entscheidet und wird meistens wie

bei Merton (1974) [83] als Verm¨ ogen oder Unternehmenswert des Schuldners modelliert. Ausfall tritt dann ein, wenn der Wert der latenten Variable unter einen bestimmten Grenzwert, der oft als die Summe der Verbindlichkeiten des Schuldners definiert wird, f¨ allt. Die Abh¨ angigkeiten in dem Portfolio werden durch die Abh¨ angigkeiten zwischen den latenten Variablen der einzelnen Kredite abgebildet, f¨ ur die dann eine Korrelati-

onsmatrix ben¨ otigt wird. Diese l¨ asst sich z.B. ¨ die Ver¨ anderungen der Unternehmenswerte ¨ uber die Ver¨ anderungen von Wirtschafts-

faktoren modelliert. Das Problem der hohen Anzahl an zu sch¨ atzenden Variablen kann man f¨ ur bestimmte F¨ alle mit der zus¨ atzlichen Annahme der Homogenit¨ at umgehen. Gebr¨ auchliche Latente-Variablen-Modelle in der Praxis sind das KMV-Modell ²⁹ und das JPMorgan-CreditMetrics-Modell. 3031

2.2.3.2 Mischmodelle

In einem Mischmodell wird angenommen, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Schuldners von einem oder mehreren gemeinsamen Wirtschaftsfaktoren abh¨ angt. Es gilt die zentrale Annahme, dass f¨ ur gegebene Ausfallwahrscheinlichkeiten die Ausf¨ alle der verschiedenen Schuldner unabh¨ angig sind. Die Abh¨ angigkeiten zwischen den Ausf¨ allen werden hier ¨ uber die sogenannte Mischverteilung P M ins Modell integriert, die die gemeinsame Verteilung und somit die vollst¨ andige Abh¨ angigkeitsstruktur der Verteilungsparameter der individuellen Ausfallverteilungen beschreibt. F¨ ur eine genaue Beschreibung des Modells wird auf Kapitel 6.4 verwiesen. Die beiden meistverwendesten Modelltypen sind dabei die Bernoulli-Mischmodelle und die Poisson-Mischmodelle, zwischen denen ein systematischer Unterschied besteht. Weitere Literatur zu Kredit-portfoliorisiko Modellen ist in Crouhy/Galai/Mark (2000) [15], Joe (1997) [60] und Bluhm/Overbeck/Wagner (2003) [6] zu finden. In Frey/McNeil (2001) [39] werden zus¨ atzlich noch weitere Mischmodelle wie das Multinomial-Mischmodell betrachtet.

2.2.4 Copula Methoden

Bevor auf die Literatur ¨ uber Copula Methoden eingegangen wird, soll hier kurz beschrieben werden, was unter einer Copula verstanden wird: Eine Copula ist einfach eine mehrdimensionale Verteilungsfunktion, deren Argumente jeweils nur auf dem Einheitsintervall mit einer [0, 1]-Gleichverteilung als Randverteilung definiert sind. ³² Ohne explizit von Copulas zu sprechen, wird in einigen Kreditrisikomodellen bereits Copulas benutzt bzw. diese ließen sich auch ¨ uber Copulas darstellen. In Frey/McNeil (2001) [39]

wird ausf¨ uhrlich gezeigt, dass auch die Latente-Variablen-Modelle und die bekannten

²⁹ Siehe f¨ ur Details KMV-Corporation (1997) [71]. ³⁰ F¨ ur weitere Details siehe Gupton/Finger/Bhatia (1997) [49].

³¹ Diese beiden Modelle benutzen eine Gauss’sche Copula (Vgl. Kapitel 3) f¨ ur den Vektor der Latenten Variable und sind daher strukturell als gleich anzusehen.

³² F¨ ur eine ausf¨ uhrliche Erl¨ auterung der Copulas siehe Kapitel 3.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 14

Praxismodelle CreditMetrics, KMV-Modell und CreditRisk+ ¨ uber eine Copula formuliert werden k¨ onnen.

Die Copula-Methoden haben zwei große Vorteile, die gerade f¨ ur die Praxis sehr wichtig sind und das zweistufige Vorgehen in den folgenden Modellen sehr gut beschreiben: 33

1. Das Risiko kann in zwei Teile aufgeteilt werden: In das individuelle Risiko jeder Unternehmung selber und in das Risiko der Ausfallabh¨ angigkeit zwischen den Unternehmen.

2. Die Abh¨ angigkeitsstruktur kann unabh¨ angig von der Modellierung der individuellen Risiken definiert werden.

Li (2000) [77] ist die erste Arbeit, die Ausfallabh¨ angigkeiten direkt mit einer Copula modelliert. Hier werden Copulas auf die ¨ Uberlebensverteilungen angewendet, um

eine gemeinsame Verteilungsfunktion f¨ ur die Ausfallzeiten zu bestimmen. Dabei werden die individuellen Ausfallwahrscheinlichkeiten unabh¨ angig voneinander bestimmt, Abh¨ angigkeit wird nur ¨ uber die Copula abgebildet. Es wird einfach das CreditMetrics-Modell f¨ ur eine Gauss’sche Copula f¨ ur zus¨ atzliche Abh¨ angigkeitsstrukturen erweitert. Der große Beitrag dieser Arbeit besteht darin, dass die Konzentration jetzt nicht mehr auf der Modellierung der Abh¨ angigkeit zwischen Ausfallereignissen ¨ uber einen festen

Zeitraum liegt, sondern auf der Modellierung der Abh¨ angigkeit zwischen Ausfallzeiten, die kontinuierliche Zufallsvariablen sind und nicht mehr von zuf¨ allig gew¨ ahlten Zeitr¨ aumen abh¨ angen. Wenn man eine Gauss’sche Abh¨ angigkeitsstruktur w¨ ahlt, dann kann die Ausfallverteilung des CreditMetrics-Modells f¨ ur einen festen Zeitraum beibehalten und die Copula einfach ¨ uber eine Menge von Strukturkurven der individuellen

Ausfallwahrscheinlichkeiten kalibriert werden. Diese Vorteile machen das Li-Modell unter Verwendung einer Gauss-Copula bzw. unter Verwendung einer t ν -Copula zu einem der Standardmodelle f¨ ur die Bewertung von CDOs und Basket-Kreditderivaten. Die Dynamik der Ausfallintensit¨ aten wird in diesem Modell jedoch nicht betrachtet. Das Modell von Li (2000) [77] ist eher eine Methode um konsistente Ausfallszenarien und nicht Szenarien f¨ ur die Bestimmung von Spreadkurven zu generieren, so dass dieses Modell von Sch¨ onbucher (2003) [99] nur als semi-dynamisches Modell bezeichnet wird. Diese Idee wurde von Hamilton/James/Webber (2002) [50] auf andere individuelle Ausfallverteilungen angewendet, indem sie so genannte Kreditprozesse f¨ ur jeden einzelnen Kredit definieren. ¨

Uber Kreditprozesse k¨ onnen die individuellen Ausfallverteilungen bestimmt werden, die dann genau wie bei Li ¨ meinsamen Ausfallverteilung verbunden werden. Das Problem der nicht ausreichenden Dynamik wird im Modell von Sch¨ onbucher/Schubert (2001) [100] behoben. Es ist wesentlich allgemeiner, denn es kann jede differenzierbare Copula-Funktion verwendet werden und die individuellen Ausfallintensit¨ aten im Kontext eines Reduktionsmodells werden spezifiziert. Hierbei handelt es sich um ein dynamisches Modell, d. h. Ausf¨ alle und Ausfallwahrscheinlichkeiten entwickeln sich konsistent im Modell. Die Ausfallintensit¨ aten sind dabei so definiert, dass bei Ausfall eines Unternehmens die Intensit¨ aten der anderen Unternehmen erh¨ oht werden

³³ Vgl. daf¨ ur Jouanin et al. (2002) [64], S. 3.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 15

und somit Wirtschaftskrisen, in denen Ausf¨ alle geh¨ auft auftreten, gut abgebildet werden k¨ onnen. Das Modell hat auch eine realistische Zeitstruktur f¨ ur Ausfallzeiten, da die Ausf¨ alle nicht zur exakt gleichen Zeit erfolgen. Ein weiterer Vorteil gegen¨ uber Li (2000)

[77] besteht darin, dass Abh¨ angigkeit ¨ lichen wird die Ausfallabh¨ angigkeit ¨ uber die Abh¨ angigkeit zwischen den Ausfallgrenzen U 1 , . . . , U m erzeugt, kann aber zus¨ atzlich noch ¨

sit¨ atsprozesse unterst¨ utzt werden, so dass viel allgemeinere Abh¨ angigkeiten abgebildet werden k¨ onnen. ³⁴ Außerdem kann das Modell direkt an die individuellen Strukturkurven der Ausfallintensit¨ aten kalibriert werden. Eine genauere Betrachtung dieses Modells erfolgt in Kapitel 5.3 und in den darauf folgenden Simulationen. Ein sehr gute Darstellung dieser beiden Modelle ist auch in Jouanin et al. (2001) [63] zu finden. In Rogge/Sch¨ onbucher (2003) [92] ist eine Anwendung des Sch¨ onbucher/Schubert (2001) [100]-Modells f¨ ur eine spezielle Copula-Klasse beschrieben. Abschließend soll noch die folgende Bemerkung zum Sch¨ onbucher/Schubert-Modell gemacht werden:

Bemerkung 2.1 (Zusammenhang zwischen Copula- und Intensit¨ atsmodellen). Die Copula-Modelle von Li und Sch¨ onbucher/Schubert k¨ onnen als Intensit¨ atsmodelle interpretiert werden, in denen die Ausfallintensit¨ aten der nicht ausgefallenen Schuldner einen gemeinsamen Sprung an den Ausfallzeitpunkten machen, so dass kein fundamentaler Unterschied zwischen Copula-Modellen und Intensit¨ atsmodellen mit einer einigermaßen allgemeinen dynamischen Spezifikation besteht. 35

Da es im Prinzip keine vergleichbaren Ausfallmodelle in der Klasse der Copula-Methoden gibt, werden im Folgenden kurz einige Ver¨ offentlichungen zu diesem Thema genannt. Giesecke (2003) [47] stellt ein einfaches Copula -Modell im Kontext eines Reduktionsmodells vor, indem er Ausfall ¨ uber einen Poisson-Prozess und die Ausfallzeiten

uber eine gemeinsame Exponentialverteilung abbildet. Aber auf Grund der konstanten ¨

Ausfallintensit¨ aten ist dieser Ansatz eher f¨ ur die Betrachtung einzelner Eigenschaften in dieser Modellklasse geeignet, als zur Bewertung von Finanzprodukten. In Giesecke (2004) [46] wird ein Strukturmodell verwendet, in dem Abh¨ angigkeit uber eine Copula abgebildet wird. Von wesentlichem Interesse an dieser Arbeit ist die ¨

Betrachtung des Ausfallrisikos unter unvollst¨ andiger Information, so dass die Investoren mit der Zeit lernen, mit den unbekannten Informationen umzugehen. Es kommt daher zu ¨ uberraschenden Ver¨ anderungen in den Ausfallwahrscheinlichkeiten und Kreditspreads, die jedoch in Einklang mit den angepassten empirischen Daten stehen. Besonders hervorzuheben ist an dieser Arbeit, dass Giesecke eine sehr detaillierte Interpretation f¨ ur die Quellen von Ausfallabh¨ angigkeit liefert. Als Makro-Korrelation bezeichnet er die Assetkorrelation, die aus der Abh¨ angigkeit aller betrachteten Unternehmen von einer oder mehreren allgemeinen makro¨ okonomischen Zustandsvariablen resultiert. Die Copula-Funktion bildet die Mikro-Korrelation ab, die die direkte Beziehung zwischen den einzelnen Unternehmen abbildet. Auf die Modellierung dieser Abh¨ angigkeit konzentriert sich die vorliegende Arbeit. Zus¨ atzlich kann auch ge-

³⁴ InGiesecke (2004) [46] werden diese Abh¨ angigkeiten als Makro- bzw. Mikro-Korrelationen bezeichnet.

³⁵ Siehe dazu Sch¨ onbucher/Schubert (2001) [100], S. 12.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 16

zeigt werden, dass das Giesecke-Modell unter bestimmten Annahmen ¨ aquivalent zum Sch¨ onbucher/Schubert-Modell ist.

Ebenfalls sehr interessant ist das Modell von Das/Geng (2004) [20]. Ihre Arbeit basiert auf einem Moody-Datensatz von Ausfallwahrscheinlichkeiten f¨ ur den Zeitraum von 1987 bis 2000 f¨ ur ¨ uber 600 Unternehmen, die in Ratingklassen unterteilt sind, und liefert somit das empirische Gegenst¨ uck zu den vielen theoretischen Modellen ¨ uber

Ausfallabh¨ angigkeit. Abh¨ angigkeit wird ¨ uber ein von ihnen selbst definiertes Maß bestimmt, das Korrelation selber, Asymmetrie und Abh¨ angigkeit in den Enden vereint. In ihrer Arbeit versuchen Das/Geng die gemeinsame Ausfallverteilung f¨ ur ein System von 600 Schuldnern ¨ uber das selbstdefinierte Abh¨ angigkeitsmaß an die empirische gemeinsame Ausfallverteilung zu kalibrieren. Dabei benutzen sie als Ausfallmodell ein Intensit¨ atsmodell und ein Wechselzyklus-Modell f¨ ur die individuellen Ausf¨ alle und f¨ ur die gemeinsame Ausfallverteilung entweder eine elliptische oder eine archimedische Copula. ³⁶ Als Ergebnis erhalten sie, dass die Wahl der Copula sehr stark von der Art der individuellen Ausfallverteilung und den ratingbasierenden Ausfallwahrscheinlichkeiten abh¨ angt. 37

Die sehr aktuellen Arbeiten von Andersen/Sidenius/Basu (2003) [1], Lau-rent/Gregory (2003) [74], Hull/White (2004) [52] und van der Voort (2004) [111] konzentrieren sich auf die Verwendung von Faktor-Copulas, die die Eigenschaften von Copula-Funktionen und Faktor-Modellen zu vereinen versuchen. Die Idee hierbei ist, die Copulas auf die Realisierung von allgemeinen Faktoren zu bedingen, so dass alle ubriggebliebenen Risikoquellen unabh¨ angig sind. Danach kann man analytische Aus¨

dr¨ ucke f¨ ur die Verteilung der Ausfallanzahl und der Verlustverteilung des gesamten Portfolios bestimmen. ¨ Ubrig bleibt nur noch die L¨ osung der aufgestellten Integrale. Ihr Vorteil liegt darin, dass sie Kreditportfolios mit einer großen Anzahl an Krediten und viele Abh¨ angigkeitsstrukturen einfach betrachten und diese so vergleichsweise einfach zu bewerten sind. F¨ ur Details wird auf die Arbeiten selber verwiesen.

2.2.5 Verwendung von historischen Daten ohne Ausfallmodell

Eine Alternative zu den oben diskutierten Modellen ist die reine Verwendung von historischen Daten, ohne irgendein Ausfallmodell aufzustellen. Dabei kann man auf Basis der vorhandenen historischen Daten die Ausfallkorrelation ¨ uber die Stichprobenkor-

relation ³⁸ bestimmen. Es wird einfach nur der vorhandene Ausfalldatensatz mit den Methoden der deskriptiven Statistik ausgewertet. Das Problem hierbei und allgemein in der Kreditrisikoforschung ist der geringe Bestand an historischen Ausfalldaten, so dass die erhaltenen Ergebnisse nicht sehr aussagekr¨ aftig sind, da gerade in den hohen Ratingklassen fast keine Ausf¨ alle erfolgen. Das et al. (2002) [19] haben in ihrer Arbeit den mit Abstand gr¨ oßten Datensatz benutzt, eine Moody-Ausfalldatenbank mit 7000 betrachteten US-Unternehmen in einem Zeitraum von 1987 bis 2000. Trotzdem bleiben bei der Aufteilung in die verschiedenen Ratingklassen offensichtlich nicht mehr so viele

³⁶ F¨ ur eine genaue Erkl¨ arung siehe Kapitel 3.3.

³⁷ Die genauen Ergebnisse zur Wahl der geeigneten Copula sind in Das/Geng (2004) [20], S. 26ff nachzulesen.

³⁸ F¨ ur die genaue Definition siehe z. B. Jeske (1999) [59], S. 325.

2.2 Bewertungsans¨ atze unter Ber¨ ucksichtigung von Ausfallabh¨ angigkeit 17

Daten f¨ ur jede Klasse ¨ ubrig. Dieser Ansatz wird dazu benutzt, um generelle Aussagen

uber Ausfallkorrelationen zu machen und um einen Sch¨ atzwert f¨ ur die Ausfallkorrela¨

tionen zu bekommen. F¨ ur die Bewertung von ausfallbehafteten Krediten ist er g¨ anzlich ungeeignet.

Kapitel 3

Copula-Funktionen

In Kapitel 2.2.4 wurde bereits ein ¨ Uberblick ¨ uber die existierenden Copula-Modelle zur

Modellierung von Ausfallabh¨ angigkeit gegeben. Als Grundlage f¨ ur die Simulationsstudie in Kapitel 5 und 6 werden die wesentlichen Eigenschaften von Copula-Funktionen sowie die jeweiligen Simulationsalgorithmen ben¨ otigt. Im Folgenden werden auf Basis der zu Grunde liegenden Idee die Grundlagen und die wesentlichen Eigenschaften des fundamentalen Konzepts der Copula-Funktionen erl¨ autert und ein ¨ Uberblick in Form

einer Klassifikation der wesentlichen Copulas gegeben, die f¨ ur die sp¨ atere Simulationsstudie verwendet werden. 1

3.1 Grundlagen

Man betrachte n kontinuierliche, reelwertige Zufallsvariablen in Form eines Vektors X = (X 1 , . . . , X n ) mit den jeweiligen Randverteilungen F(x) = (F 1 (x 1 ), . . . , F n (x n )). ² Ihre Abh¨ angigkeitsstruktur ist ¨ uber die gemeinsame Verteilungsfunktion vollst¨ andig beschrieben:

F (x 1 , . . . , x n ) = P(X 1 ≤ x 1 , . . . , X n ≤ x n ). (3.1)

Da F nur sehr schwer zu bestimmen ist, ist die Idee entstanden, dieses Problem in zwei Teile aufzuteilen:

• die Modellierung der Abh¨ angigkeitsstruktur zwischen den Zufallsvariablen und

• die Modellierung der Randverteilungen der einzelnen Zufallsvariablen.

Diese Idee f¨ uhrte zum Konzept der Copula-Funktionen, das seinen Ursprung in der deskriptiven Statistik hat. Der Name wurde entsprechend gew¨ ahlt. Der Begriff ” Copula“ entstammt dem Lateinischen und kann mit ” Band, Bindemittel bzw. Verbindung“

ubersetzt werden. Der Name Copula bringt im mathematisch-statistischem Sinne zum ¨

¹ Eine exzellente und ausf¨ uhrliche Darstellung ¨ uber Copulas ist in den Werken von Joe (1997) [60] und Nelsen (1999) [85] zu finden.

² Man beachte den Unterschied in der Schreibweise: F (x) ist die gemeinsame Verteilungsfunktion f¨ ur die Zufallsvariable X und F(x) ist der Vektor der Randverteilungen.

3.1 Grundlagen 19

Ausdruck, dass die Copula die einzelnen Randverteilungen zu einer gemeinsamen Verkoppelt“. ³ teilungsfunktion ”

Definition 3.1 (Copula - kurze Definition).

Eine n-dimensionale Copula ist eine Verteilungsfunktion f¨ ur einen Zufallsvariablenvek-tor in R ⁿ mit jeweils einer [0, 1]-Gleichverteilung als Randverteilung.

Definition 3.2 (Copula - ausf¨ uhrliche Definition ⁴ ).

Eine n-dimensionale Copula ist jede Funktion C : [0, 1] ⁿ → [0, 1], die die drei folgenden Eigenschaften erf¨ ullt:

1. C ist wohlfundiert, d.h. f¨ ur alle u ∈ [0, 1] ⁿ ist C(u) = 0, falls mindestens eine Komponente u i = 0 ist mit i = 1, . . . , n.

2. C ist reflexiv in dem Sinne, dass

C(1, . . . , 1, u i , 1, . . . , 1) = u i ∀i ∈ {1, . . . , n}, u i ∈ [0, 1].

3. C ist n-monoton: F¨ ur alle a, b ∈ [0, 1] ⁿ mit a ≤ b ist das Volumen des W¨ urfels mit den Ecken a und b positiv, d.h. es gilt

wobei u j1 = a j und u j2 = b j f¨ ur alle j = 1, . . . , n.

Um den Zusammenhang von einer gemeinsamen Verteilungsfunktion und einer Copula deutlich darzustellen, werden der folgende Satz und das nachfolgende Lemma betrachtet:

Satz 3.1.

Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F und F ⁻¹ die dazugeh¨ orige Umkehrfunktion, die die Quantile f¨ ur F mit F ⁻¹ (α) = inf{x : F (x) ≥ α}, α ∈ (0, 1) bestimmt. Dann gilt:

1. Wenn U ∼ Gl(0, 1), dann ist F ⁻¹ (U ) ∼ F. Daraus folgt eine einfache Methode, um Zufallszahlen mit der Verteilungsfunktion F zu simulieren.

2. Wenn F kontinuierlich ist, dann ist F (x) ∼ Gl(0, 1).

Beweis: Siehe Ripley (1952) [91], S. 59.

Daraus folgt die f¨ ur Copulas wichtige Eigenschaft f¨ ur die Randverteilungen:

³ Dieser Name wurde im Jahr 1959 von Sklar (1959) [104] vorgeschlagen.

⁴ Definition entnommen aus Prampolini (2001) [89], S. 10.

3.1 Grundlagen 20

Lemma 3.1.

F¨ ur jede kontinuierliche Zufallsvariable X ∈ R mit Verteilungsfunktion F (x) gilt, dass Z = F (x) auf dem Einheitsintervall gleichverteilt ist.

Da jede Verteilungsfunktion per Definition monoton steigend ist, kann Gleichung (3.1) nach Lemma 3.1 wie folgt umgeschrieben werden:

Gleichung (3.2) macht die Zweiteilung des Abh¨ angigkeitsproblems deutlich, so dass die gemeinsame Verteilungsfunktion jetzt wie in Abbildung 3.1 ¨ uber eine Copula ausgedr¨ uckt werden kann:

Der folgende Satz von Sklar gibt den theoretischen Hintergrund zu der obigen Gleichung, in der die Beziehung zwischen Randverteilungen und Copulas beschrieben wird:

Theorem 3.1 (Sklar’s Theorem).

Seien X 1 , . . . , X n Zufallsvariablen mit den Randverteilungen F 1 , . . . , F n und der gemeinsamen Verteilungsfunktion F . Dann existiert eine n-dimensionale Copula C derart, dass f¨ ur alle x ∈ R ⁿ gilt:

F (x 1 , . . . , x n ) = C(F 1 (x 1 ), . . . , F n (x n )).

3.1 Grundlagen 21

Sind die Randverteilungen F 1 , . . . , F n stetig, so ist die Copula C eindeutig. Ansonsten ist C eindeutig auf Ran(F 1 ) × . . . × Ran(F n ), wobei Ran(F i ) den Wertebereich von F ⁱ f¨ ur i = 1, . . . , n bezeichnet. Beweis: Siehe Nelsen (1998) [85], S. 18.

Die Umkehrung dieses Satzes ist mit dem folgenden Satz beschrieben:

Theorem 3.2 (Umkehrung von Sklar’s Theorem).

F¨ ur die gegebenen univariaten Randverteilungen F 1 , . . . , F n definiert die Copula C die gemeinsame Verteilungsfunktion

F (x 1 , . . . , x n ) = C(F 1 (x 1 ), . . . , F n (x n ))

so, dass die multivariate Verteilungsfunktion als Randverteilungen die univariaten Verteilungsfunktionen F 1 , . . . , F n besitzt. Beweis: Siehe Li (2000) [77], S. 49.

Die beiden obigen S¨ atze 3.1 und 3.2 zeigen deutlich, warum die Copula die Abh¨ angigkeitsstruktur des Zufallsvariablenvektor X ausdr¨ uckt. Um die Verteilung von X vollst¨ andig beschreiben zu k¨ onnen, wird noch die Wahrscheinlichkeitsdichte ben¨ otigt:

Definition 3.3 (Wahrscheinlichkeitsdichte einer Copula).

Die Wahrscheinlichkeitsdichte c(u 1 , . . . , u 2 ) der Copula C(u) ist

uberall in [0, 1] ⁿ . ⁵ Sie existiert fast ¨

Da aber bei der Abbildung von Abh¨ angigkeiten mit der multivariaten Verteilung

F (x 1 , . . . , x n ) = C(F 1 (x 1 ), . . . , F n (x n )) gearbeitet wird, muss daf¨ ur Definition 3.4 f¨ ur die Verteilung F angepasst werden:

Definition 3.4 (Wahrscheinlichkeitsdichte einer multivariaten Verteilung F). F¨ ur kontinuierliche Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n mit der Verteilungsfunktion F (x 1 , . . . , x n ) = C(F 1 (x 1 ), . . . , F n (x n )) ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte:

mit

und f j als Dichte der univariaten Randverteilungen

⁵ Dies ist begr¨ undet durch den Satz 3.5 ¨ uber die Differenzierbarkeit von Copulas.

3.1 Grundlagen 22

Bevor auf die konkreten Copula-Funktionen ⁶ eingegangen wird, werden noch einige wichtige Eigenschaften der Copulas betrachtet.

Eine sehr n¨ utzliche Eigenschaft zur Modellierung von Abh¨ angigkeit ist die Invarianz der Copula gegen¨ uber monotonen Transformationen der einzelnen Zufallsvariablen. Sie ver¨ andert die Wahl der Copula nicht, wie der folgende Satz zeigt:

Satz 3.2 (Invarianz gegen¨ uber monotonen Transformationen).

Die kontinuierlichen Zufallsvariablen X ∈ R ⁿ besitzen die n-dimensionale Copula C. Wenn T 1 (x 1 ), . . . , T n (x n ) nicht-fallende, kontinuierliche Funktionen auf Ran(X 1 ), . . . , Ran(X n ) ⁷ sind, dann hat (T 1 (x 1 ), . . . , T n (x n )) auch die Copula C. Beweis: Siehe Embrechts/McNeil/Straumann (1999) [34], S. 6.

F¨ ur die Beschreibung der Abh¨ angigkeitsabbildung einer Copula sind die Fr´ echet-Hoeffding-Grenzen sehr n¨ utzlich. Mit ihnen k¨ onnen Grenzen der Abh¨ angigkeitsdarstellung einer Copula angegeben werden. Sie werden z. B. in Joe (1997) [60] ⁸ verwendet, um das Abh¨ angigkeitsverm¨ ogen einer Copula einzuordnen.

Satz 3.3 (Fr´ echet-Hoeffding-Grenzen).

Sei C eine n-dimensionale Copula. Dann gilt f¨ ur alle u ∈ [0, 1] ⁿ :

C ⁻ (u) ≤ C(u) ≤ C ⁺ (u),

wobei

Die Funktion C ⁻ ist f¨ ur n ≥ 2 eine Copula-Funktion, wohingegen C ⁺ f¨ ur n > 2 keine Copula ist. 9 10

C ⁻ wird auch Kontramonotonie-Copula genannt, da sie vollst¨ andig negative Abh¨ angigkeit abbildet, und C ⁺ entsprechend Komonotonie-Copula.F¨ ur Details siehe im Folgenden Kapitel Definition 4.3.

F¨ ur die vollst¨ andige Beschreibung von Abh¨ angigkeit wird noch eine Unabh¨ angigkeitsbedingung ben¨ otigt, die sich aus den Copula-Eigenschaften ableitet. Sie l¨ asst sich somit ¨ uber eine Copula ausdr¨ ucken.

Lemma 3.2 (Unabh¨ angigkeitsbedingung).

Die Zufallsvariablen X 1 , X 2 , . . . , X n sind genau dann unabh¨ angig, wenn die ndimensionale Copula C von X 1 , X 2 , . . . , X n die folgende ist:

C ist in diesem Falle die Produktcopula C ^π , die auch Unabh¨ angigkeitscopula genannt wird.

3.1 Grundlagen 23

Abbildung 3.2: 10000 simulierte Datenpaare (u 1 , u 2 ) der bivariaten Unabh¨ angigkeitscopula mit standardnormalverteilten Randverteilungen.

Außerdem gilt f¨ ur Copulas die folgende Eigenschaft:

Satz 3.4 (Lipschitz-Eigenschaft).

Jede n-dimensionale Copula C erf¨ ullt die folgende Lipschitz-Bedingung:

f¨ ur alle u ∈ [0, 1] ⁿ und v ∈ [0, 1] ⁿ .

Beweis: Siehe Nelsen (1998) [85], S. 39ff.

Auch die Differenzierbarkeit von Copulas kann gezeigt werden.

Satz 3.5 (Differenzierbarkeit von Copulas).

Sei C eine n-dimensionale Copula. Dann gilt:

1. F¨ ur alle u ∈ [0, 1] ⁿ existieren die partiellen Ableitungen ^∂C(u) f¨ ur alle i = 1, . . . , n

^∂u i

fast ¨ uberall auf [0, 1].

2. 0 ≤ ^∂C(u) ≤ 1 f¨ ur alle i = 1, . . . , n.

^∂u i

3. Die Funktionen C ^u i (u) = ∂C(u)

fallend fast ¨ uberall auf [0, 1].

Beweis: Siehe Nelsen (1998) [85], S. 11.

⁶ Siehe Kapitel 3.3.

⁷ Ran(X i ) bezeichnet den Wertebereich der Zufallsvariablen X i . ⁸ Siehe Joe (1997) [60], S. 140ff.

⁹ F¨ ur weitere Details inklusive einer geometrischen Interpretation siehe Mikusin-ski/Sherwood/Taylor (1992) [84].

¹⁰ C ⁻ (u 1 , u 2 ) ist allerdings eine Copula.

3.1 Grundlagen 24

In Kapitel 2.2.4 wurden bereits ¨ Uberlebenscopulas angesprochen, die in einigen

Modellen verwendet worden sind. Sie basieren auf der gleichen Idee wie die normalen Copulas, nur dass sie nicht f¨ ur die Bildung der gemeinsamen Verteilungsfunktionen eingesetzt werden, sondern f¨ ur die gemeinsamen ¨ Uberlebensfunktionen, wie in Gleichung (3.1) gilt jetzt:

F (x 1 , . . . , x n ) = P(X 1 > x 1 , . . . , X n > x n ). (3.7)

Genauso wie f¨ ur die normalen Copulas kann man diese Funktion auch ¨ uber die

univariaten Rand¨ uberlebenswahrscheinlichkeiten F i (x i ) = P(X i > x i ) beschreiben und es gilt die folgende Definition:

Definition 3.5 ( ¨ Die Funktion C

ist eine ¨ wenn gilt: F (x 1 , . . . , x n ) = C(F 1 (x 1 ), . . . , F n (x n )). (3.8)

Man kann Sklar’s Theorem 3.1 einfach auf dieses Konzept ¨ ubertragen.

Theorem 3.3 (Sklar’s Theorem f¨ ur ¨

Seien X 1 , . . . , X n Zufallsvariablen mit den ¨ der gemeinsamen ¨

benscopula C derart, dass f¨ ur alle x ∈ R ⁿ gilt:

F (x 1 , . . . , x n ) = C(F 1 (x 1 ), . . . , F n (x n ))

Sind die Randverteilungen F 1 , . . . , F n stetig, so ist die ¨ Uberlebenscopula C eindeutig.

Beweis: Siehe Sklar (1959) [104], Sklar (1996) [105] und Deheuvels (1978) [25].

Da C eine Copula-Funktion ist, erf¨ ullt sie nat¨ urlich auch die drei Eigenschaften einer Copula aus Definition 3.2. F¨ ur die ¨ Uberlebenscopula kann somit einfach eine

normale Copula-Funktion gew¨ ahlt werden, damit die Gleichung (3.8) erf¨ ullt ist. Dies wird im Sch¨ onbucher/Schubert-Modell in Kapitel 5.3 so entsprechend durchgef¨ uhrt. Sehr wichtig ist dabei der Zusammenhang zwischen dem Standardkonzept einer Copula und der ¨ Uberlebenscopula.

Satz 3.6.

Die ¨ Uberlebenscopula C kann ¨ uber ihre dazugeh¨ orige Copula C wie folgt geschrieben werden:

ⁿ wobei Z(n − i, n, 1) die Menge von m¨ oglichen Vektoren mit (n − i) Kompo-

i

nenten, die gleich 1 sind, deren i-te Komponente gleich u i ist, und f¨ ur die gilt 1 − w ≡ (1 − w 1 , . . . , 1 − w n ).

Beweis: Siehe Georges et al. (2001) [44], S. 64ff, wobei vorher eine Transformation der Argumente vorgenommen werden muss.

Oder umgekehrt:

3.2 Simulation 25

Satz 3.7.

uber ihre dazugeh¨ orige ¨ Die Copula C kann ¨ Uberlebenscopula C wie folgt mit den obigen Notationen geschrieben werden:

Beweis: Siehe Georges et al. (2001) [44], S. 66.

Beispiel 3.1 (Copula und ¨ Uberlebenscopula f¨ ur n=2). Im Falle n = 2 gilt:

C(1 − u 1 , 1 − u 2 ) = 1 − u 1 − u 2 + C(u 1 , u 2 ).

Satz 3.6 zeigt, dass sich die ¨ Uberlebenscopulas wieder auf die normalen Copulas

zur¨ uckf¨ uhren lassen und sich als Summe von ihnen ausdr¨ ucken lassen. Das folgende Lemma zeigt den Spezialfall der Gleichheit auf.

Lemma 3.3.

Eine Copula C ist genau dann radial-symmetrisch, wenn gilt:

C = C.

Beweis: Siehe Nelsen (1998) [85], S. 31.

Im ¨ Uberblick in Kapitel 3.3 wird gezeigt, dass viele wichtige Copulas wie z. B. die Gauss-Copula und die t-Copula, radial-symmetrisch sind, so dass jeweils ihre ¨ Uberlebenscopula mit der eigentlichen Copula ¨ ubereinstimmt.

3.2 Simulation

In dieser Arbeit werden f¨ ur die Simulationen der Modelle in Kapitel 5 Realisierungen von Copulas ben¨ otigt. Dazu werden in diesem Abschnitt Algorithmen, die auf Monte-Carlo-Methoden basieren, zur Generierung von Realisierungen einer Copula-Funktion bzw. einer darauf basierenden multivariaten Verteilungsfunktion F mit univariaten Randverteilungen F 1 , . . . , F n vorgestellt.

Entsprechend Sklar’s Theorem 3.1 erfolgt die Simulation in zwei Schritten. Zuerst

wird ein Zufallsvektor U = (U 1 , . . . , U n ) erzeugt, der ¨ verteilt ist. Im zweiten Schritt ist der Zufallsvektor (F ⁻¹ 1 (U 1 ), . . . , F −1

wendung der inversen Randverteilungen dann entsprechend der Verteilung F verteilt. Der letzte Schritt ist normalerweise einfach zu realisieren und wird daher zur besseren ¨ Ubersicht in der Beschreibung der Algorithmen weggelassen. ¹¹ F¨ ur manche Copulas ist es m¨ oglich, eine Transformationsmethode zu benutzen. Dabei wird einfach auf die bereits bekannten Simulationsmethoden der multivariaten

¹¹ F¨ ur Details siehe z. B. Davidson/MacKinnon (1993) [16], S. 734ff.