Zwei- und dreiphasige Strömungsberechnung zur Optimierung eines Ölbekämpfungsschiffes

Zwei- und dreiphasige Strömungsberechnung zur Optimierung eines Ölbekämpfungsschiffes

Zum Problemfeld „Ölskimmer“:

Ölunfälle aus jüngster Vergangenheit machen deutlich, dass für die Ölbekämpfung auf See noch erheblicher Entwicklungsbedarf besteht. Zukünftige Ölskimmer-Systeme, die für höheren Seegang und geringeren Tiefgang ausgelegt werden, müssen hinsichtlich „Transit“ und „Operation“ unter ständiger Gewährleistung der „Survival“-Fähigkeit optimiert werden. Zusammenfassend müssen folgende Entwurfskriterien erfüllt werden:

• Hohe Transitgeschwindigkeit

• Breiter Einlaufbereich zur großräumigen Erfassung der Ölschicht

• Geringer Durchströmungswiderstand

• Andocken an Havaristen

• Seegangstauglichkeit

• Flachwassertauglichkeit

Derzeit wird im Rahmen eines BMBF-Forschungsvorhabens ein neuer seegangsunabhängiger Ölskimmer (SÖS) auf der Basis eines Absaugprinzips untersucht (Abb. 1). Erste Versuchser-

gebnisse sind vielversprechend. Die Umsetzung in die Großversion soll nach weiteren systematischen Untersuchungen erfolgen.

In Ergänzung zur experimentellen Analyse von Ölskimmern können auch numerische Be- rechnungen eine Hilfestellung für einen optimierten Entwurf darstellen. Dazu ist es notwendig

neben dem turbulenten Strömungsfeld des Wassers auch die freie Oberfläche und Ölpartikel zu berücksichtigen. Aufgabenstellung:

Ziel der Arbeit ist die Durchführung von drei-phasigen numerischen Strömungsberechnungen an einem innovativen Ölskimmer, um eine Optimierung zu ermöglichen. Im einzelnen ergeben sich folgende Aufgabenpunkte: ! Kurzer Themenüberblick. ! Erläuterung der theoretischen Grundlagen.

! Auswahl, Anpassung und Anwendung geeigneter Verfahren zur Wellengenerierung und insbesondere der Simulation der Ölpartikel (Droplets).in der RANSE Berechnungen. ! Erstellung und Auswahl geeigneter Rechengitter ! Validation des Verfahrens anhand einer vereinfachten Geometrie. ! Berechnung (2D) des Strömungsfeldes, der Wasserspiegelauslenkung und der Ölpartikel um Varianten des Ölskimmers.

! Berechnung (3D) des Strömungsfeldes (tiefgetaucht) um Skimmer und Trägerschiff. ! Ergebnisdiskussion

! Auf eine gute Dokumentation wird besonderer Wert gelegt.

Die Berechnungssoftware (STAR-CD), vertiefende Literatur und Meßwerte zur Validierung werden zur Verfügung gestellt.

Inhaltsverzeichnis

  1  

  Inhaltsverzeichnis  

1  Einleitung  4

1.1  Übersicht  4

1.2  Ziel der Arbeit  6

2  Fluiddynamische Grundlagen  7

2.1  Stufen der Modellbildung  7

2.2  Grundgleichungen der Strömungsmechanik  7

2.3  Die RANS Gleichungen für Strömungen inkompressibler Fluide  10

2.4  Turbulenzmodelle  12

2.5  Wandfunktion  14

2.6  Generierung der freien Oberfläche  16

2.6.1  Allgemeine Methoden  16

2.6.2  VOF Methode zur Berücksichtung der freien Oberfläche  16

2.7  Euler-Langrange Methode zur Ölmodellierung  18

2.8  Numerische Aspekte  20

2.8.1  Lösungsalgorithmen  20

2.8.2  Differenzenquotienten (differencing schemes)  21

2.8.3  Zeitschrittweite  23

3  Geometriemodellierung  24

3.1  Bearbeitung der Geometrie  26

3.2  Vorbereitung der Ölskimmergeometrie zur Gittergenerierung  27

4  Gittergenerierung  29

4.1  Qualitätskriterien  29

4.2  Gittertopologie  29

4.3  Methoden der Gittergenerierung  31

4.4  Festlegung der Blockstruktur  33

4.4.1  Festlegung der Zellaufteilung  35

Inhaltsverzeichnis

  2  

4.4.2  Definition der Randbedingungen  36

4.4.3  Formatiertes abspeichern des Gitters  36

4.5  Exportieren des Gitters mit der GID-CFD Schnittstelle  37

5  Numerische Strömungsberechnungen  39

5.1  Randbedingungen  41

5.2  Anfangsbedingungen  43

5.3  Stationäre Strömung (einphasig)  43

5.3.1  Eingabeparameter der stationären Strömung  44

5.3.2  Auswertung und Ergebnisdiskussion der stationären Strömung  44

5.4  CFD Analyse und Validation der instationären Strömung (zweiphasig)  48

5.4.1  Festlegung der Parameter der numerischen Simulation  48

5.4.2  Ergebnisse und Gittersensitivität  50

5.4.3  Vergleich der Ergebnisse mit experimentellen Daten  51

5.5  Untersuchung des Ölskimmers ohne Hinterschiff (zweiphasig)  52

5.6  Untersuchung des Ölskimmers mit Hinterschiff  56

5.6.1  Gittergenerierung des Ölskimmers mit Hinterschiff  57

5.6.2  Ergebnisse bei unterschiedlichen geometrischen Verhältnissen  58

5.7  Instationäre Strömung (mit Öl)  64

5.7.1  Eingabeparameter der dreiphasigen Strömung  64

5.7.2  Ergebnisse mit verschieden Öl-Sorten  66

5.8  3D-Strömung mit Schiff (tiefgetaucht)  70

5.9  Gittergenerierung der 3D-Strömung  72

5.9.1  Gittersensitivität  72

5.9.2  Auswertung der Berechnungen  73

6  Zusammenfassung und Ausblick  77

7  Literaturverzeichnis  79

8  Nomenklatur  81

9  Abbildungsverzeichnis  84

Inhaltsverzeichnis

  3  

10  Tabellenverzeichnis  86

Anhang AAAAAAAA  Untersuchungen im Wellenkanal für die 2D Plexiglasversuche  87

Anhang BAAAAAAA  Viskosität, Temperaturdiagramm  91

Anhang CAAAAAAA  Rand und Anfangsbedingungen für den Ölskimmer  92

Anhang DAAAAAAA  Star-CD Command-File  97

1 Einleitung

1.1 Übersicht

Trotz verstärkter Sicherheitsvorschriften und moderner Navigationssysteme für Tankerschiffe hört man immer wieder von Tankerunglücken, sei es in der Nordsee oder woanders. Spätestens seit dem Unglück der Pallas im Herbst 1998 ist klar geworden, dass die in der Nordsee stationierten herkömmlichen Ölabschöpfungssysteme [11] nur unzureichend in der Lage sind, erfolgreich insbesondere im nahen Küstenbereichen und in hohem Seegang zu operieren. Am Institut für Land- und Seeverkehr „ILS“ im Fachgebiet Meerestechnik der TU Berlin wird das Problem der Seegangstauglichkeit von Ölbekämpfungssystemen umfassend diskutiert und zur Zeit im Rahmen eines BMBF Projektes ein neues seegangunabhängiges Abschöpfungsprinzip erarbeitet. Das Funktionsprinzip (Abb. 1.1) basiert darauf, dass die Ölschicht durch den Skimmerbug nach unten gedrückt wird (also verwirbelungsarm), um dort abgesaugt zu werden. Über eine justierbare Separationsklinge wird das ölhaltige Wasser in das Innere des Skimmers geleitet und einer weiteren Separation zugeführt. Um eine Optimierung für die Separationsklinge und die Skimmerbugsform zu ermöglichen, muss eine Methode gefunden werden, die das gesamte Strömungsgebiet numerisch beschreibt.

Abb. 1.1: Prinzipskizze des seegangsunabhängigen Ölabschäpfungssystem

Eine Methode, die die Wasseroberfläche, die Ölschicht und das hydrodynamische Verhalten des neuen Ölbekämpfungssystems beschreibt, ist eine CFD-Methode (Computational Fluid Dynamics). Die numerischen Simulationen mit der CFD-Methode bieten hier Ansätze, die auf den RANS-Gleichungen (Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations) und der VOF-Methode (Volume of Fluid Methods) basieren. Zwar sind CFD-Methoden noch nicht so weit, dass sie die traditionellen Schleppversuche der Versuchanstalten gänzlich ersetzen können, was auch in absehbarerer Zeit wohl nicht geschehen wird, aber sie bieten zusätzlich zu den Modellversuchen die Chance, zeitaufwendige Modellversuche zum Teil zu ersetzen.

Mit Hilfe der CFD-Methoden ist es heute möglich, verschiedene Formvariationen zu vergleichen, so dass im späteren Versuch nur noch die beste errechnete Form untersucht wird, um exakte Ergebnisse zu erhalten. Mit den CFD-Methoden kann man lokale Strömungserschei-

nungen, die mit Messungen nur schwer oder überhaupt nicht zu erfassen sind, im Detail untersuchen.

Die CFD-Berechnungsverfahren unterscheiden sich in ihren physikalischen Ansätzen. Einige Verfahren lösen lediglich die vereinfachten Strömungsgleichungen und vernachlässigen dabei die Zähigkeit und Turbulenz der Strömung:

! Potentialtheoretische Methoden (reibungsfrei)

Andere Methoden, die hier verwendet werden, lösen zur Ermittlung der Strömungszustandsgrößen die zeitlich gemittelten Navie-Stokes Gleichungen (RANSE: Reynolds Averaged Na- vier StokesEquations) und berechnen somit turbulente viskose Strömungen:

! Navier-Stokes-Löser (viskos)

Eine neue Methode, die mit der Berechnung von viskosen Strömungen gekoppelt wird und zur Berechnung der freien Oberflächen dient, ist die VOF-Methode, die zur Berücksichtigung von Ölpartikel zusätzlich mit einer sog. Euler-Langrange-Methode gekoppelt werden kann.

1.2 Ziel der Arbeit

In dieser Arbeit soll ein Verfahren, das im gesamten Strömungsgebiet die gekoppelten RANS Gleichungen löst, verwendet werden. Mit Hilfe dieses Verfahrens wird das neue Skimmingsverfahren mit und ohne den Einfluss der freien Oberfläche untersucht.

Ziel der Diplomarbeit im Bereich der numerischen Strömungssimulation ist, verschiedene 2D Skimmerformen zu untersuchen, die später in ein geeignetes Trägersystem (z.B. Multi-Purpose-Oil-Skimming-System - MPOSS Abb. 1.2 oder Katamaran) eingebaut werden. Die Informationen, die von den CFD-Berechnungen gewonnen werden, sind nicht nur die Umströmung des Ölabschöpfsystems sondern auch lokale Strömungsphänomene in der Einlauf-und Ablaufzone. Durch diese Informationen kann das Verhältnis zwischen Einlauf- und Ablassöffnung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten systematisch variiert werden, um einen hohen Wirkungsgrad der Ölabschöpfung zu erzielen. Anschließend werden innerhalb des Strömungsgebiets Ölpartikel (Euler-Langrange-Verfahren) definiert, die die Bahn des Ölfilmes beschreiben. Darüber hinaus wird der Ölskimmer in einem 3D Trägersystem (tiefgetaucht) untersucht, um das hydrodynamische Verhalten des ganzen Systems zu studieren.

Es wird hinterfragt, ob und wie exakt viskose Strömungslöser im Vergleich zu Messungen das Wellenbild und die Wirbelbildung vor und hinter dem Ölskimmerssystem bei der praktischen Anwendung wiedergeben können. Dabei kommt als viskoser Löser das kommerzielle Programm Star-CD (Version 3100A) zum Einsatz.

In der vorliegenden Diplomarbeit werden die Erfahrungen und die Ergebnisse bei der Geometriemodellierung, der Gittergenerierung und der Berechnung mit und ohne freie Oberfläche dargestellt. Es wird gezeigt, dass die Geometrie des untersuchten Ölskimmers mit blockstrukturiertem Gitter einfach und schnell mit Hilfe eines Gittergenerierungsprogramms nachgebildet werden kann. Weiterhin wird dargestellt, wie die Anzahl der Knoten und die Dichtevertei- lung des Gitternetzes die Ergebnisse beeinflussen.

2 Fluiddynamische Grundlagen

2.1 Stufen der Modellbildung

Die zentrale Aufgabe dieser Arbeit ist die Möglichkeit, eine exakte Beschreibung des Skimmingsverfahrens mit Hilfe numerischer Simulation (CFD) besser verstehen zu können und damit Erkenntnisse über das Verhalten des Systems unter bestimmten Rahmenbedingungen (Glattwasser, mit Ölpartikel und ohne Ölpartikel) zu erlangen.

Die numerische Simulation hat sich in letzter Zeit neben dem praktischen und dem theoretischen Ansatz als dritter, die beiden Wege verbindende Herangehensweise, herausgebildet. Dabei sind die folgenden Stufen der Modellierung zu charakterisieren, in die die Eigenschaften und die Numerik eines Strömungsproblems eingehen. Die Stufen der Modellbildung sind: Physikalisches Modell ^- Eigenschaftendes Mediums, Strömungstyp, Konfiguration, physikalische Randbedingungen aus der Beobachtung der Realität Analytisches Modell ^- Zustandsgleichungen(z. B. Navier-Stokes Gleichungen), analytische Randbedingungen Numerisches Modell ^- Diskretisierung,Algebraisierung, Interpolation, Randbedingungs-Prozeduren Rechnerbezogenes Modell ^- Zahlendarstellung,numerische Stabilität, Algorithmen

Die oben genannten Modelle werden in den nächsten Zeilen im Bezug auf das Strömungsproblem genauer beschrieben.

2.2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik

Die Erhaltungsgleichungen für Masse (skalar), Impuls (vektoriell) und Energie (skalar) in einem Strömungsfeld bilden die Grundlage für die numerische Simulation des strömungsmechanischen Vorgangs.

Die Erhaltungsgleichungen in vektorieller Form lassen sich folgendermaßen schreiben: Kontinuitätsgleichung

Impulsgleichung

Energiegleichung

ρ bezeichnet die Dichte und V den Geschwindigkeitsvektor.

V

∇ ist der Nabla-Operator.

∇

p kennzeichnet den Druck, f den Beschleunigungsvektor auf Grund einer externen Volumenkraft, e steht für die innere Energie, q für den Wärmeflussvektor, Q für die Wärmeproduktion und Φ bezeichnet die Dissipationsfunktion.

Aus den drei Erhaltungsgleichungen werden die sogenannten Navier-Stokes Gleichungen (NSG) gebildet. Die Navier-Stokes Gleichungen beschreiben im Prinzip alle kontinumsmechanischen Strömungen. Für kompressible instationäre Strömung, in kartesischen Koordinaten, lauten die Navier-Stokes Gleichungen [6] in allgemeiner Form:

Wobei f die spezifische Volumenkraft und σ der Spannungstensor sind. Nach der Stokes-

Hypothese kann für ein homogenes, isotropes NEWTON-Fluid folgendes angenommen werden:

σ

wobei p der statischen Druck und η die dynamische Viskosität sind. δ , der sogenannte Fun-

damentaltensor (oder auch als KRONEKER-Symbol bezeichnet), ist ein Tensor zweiter Stufe und ist im kartesischen Koordinatensystem folgendermaßen definiert:

D der Deformationstensor, ist eine lineare Funktion des Geschwindigkeitsgradienten:

wobei gradV ein Tensor ist und der Index T transponiert bedeutet.

Es ist jedoch nur in wenigen Fällen möglich, turbulente Strömungen mit der erforderlichen Genauigkeit zu beschreiben. Die numerische Berechnung einer Grenzschicht verlangt eine hohe Anzahl von Punkten, was die Kapazität der meisten heutigen Hochleistungsrechner ausschöpft. Daher werden die Navier-Srokes Gleichungen nur zur Beschreibung laminarer Strömungen eingesetzt. Beispiel dafür ist die Beschreibung des gesamten Strömungsfeldes durch die Prandtlischen Grenzschichtgleichungen [5]. Dieses hat allerdings die Nachteile, dass die Grenzschichtgrößen nur bis zur Grenzschichtablösung berechenbar sind und es gilt nur für dünne Grenzschichten.

Um turbulente Strömungen und Grenzschichtablösung zu erfassen und deren rechnerische Behandlung zu ermöglichen, werden die Zustandsgleichungen von Geschwindigkeit und Druck jeweils in einen zeitlichen Mittelwert und eine stochastische Schwankungsgröße aufgeteilt.

V

Abb. 2.1: Im Mittel stationäre Strömung (a), und im Mittel instationäre Strömung (b)

Hier ist zu beachten, dass der zeitliche Mittelwert einer Größe u definiert ist:

∆ +

Für das Rechnen mit den Mittelwerten gelten folgende Regeln :

= = = ' ' u ist im allgemeinen ungleich Null. Es ist also zwar , aber 0 ' ' ' u w v u

Mit diesen Annahmen werden die Navier-Stokes Gleichungen in die sogenannten Reynolds-Gleichungen überführt [6].

2.3 Die RANS Gleichungen für Strömungen inkompressibler Fluide

Die oben genannten Gleichungen gelten im allgemeinen für kompressible Strömungen. Bei Strömungen kompressibler Fluide wird die Dichte mittels Massenerhaltungsgleichung und der Druck mittels Zustandgleichung berechnet.

Bei Strömungen inkompressibler Fluide ist die Dichte konstant, daher ist die zeitliche Änderung der Dichte in der Massenerhaltungsgleichung gleich Null, und damit tritt nur kleine Druckänderung im Strömungsgebiet auf. Bei diesen sogenannten inkompressiblen Fluide werden die Geschwindigkeitsverteilungen aus den entsprechenden Impulsgleichungen berechnet und die Druckverteilung entweder mit Hilfe einer modifizierten Kontinuitätsgleichung oder durch eine gekoppelte Lösung der Impulsgleichungen und der Kontinuitätsgleichung bestimmt. Dadurch entsteht das Problem, dass Zeitschrittverfahren durch die Entkopplung der Geschwindigkeit und des Druckes nicht mehr anwendbar sind. Die Lösungsmethoden für Strömungen inkompressibler Fluide sind im Abschnitt (2.8.1) genauer beschrieben.

Bei der Berechnung einer inkompressiblen Strömung kann die Energiegleichung nach der Bestimmung des Druck- und des Geschwindigkeitsfeldes entkoppelt gelöst werden. Durch die oben genannte Annahme, dass die Dichte ρ des Fluids konstant ist, also weder vom Druck

noch von der Temperatur abhängt, lässt sich die Navier-Stokes Gleichung wie folgt beschrei-ben:

Kontinuitätsgleichung bei inkompressibler Strömung

Auf der linken Seite stehen die substantialen Ableitungen der Geschwindigkeiten. Auf der

rechten Seite folgen die partiellen Ableitungen des Druckes p, µ ist die dynamische Viskosi-tät, die Terme mit der zweifachen partialen Ableitung beschreiben die Diffusion, ist ein f

Beschleunigungsvektor aus einer Volumenkraft (Beispielsweise würde die Erdbeschleunigung

bei Berechnungen mit freier Oberfläche als f Z berücksichtigt.).

' = ' ≠ Mit der Annahme, dass und , lauten die zeitlich gemittelten Navier-Stokes 0 0 ' u u u

Gleichungen (RANSE) bei inkompressibler Strömung mit der vereinfachten Schreibweise:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ µ ρ + + ⋅ − ⋅ + + + ⋅ + − = + + + ⋅ ' ' ' ' ' ' p w u v u u u f u u u wu vu uu u z y x x zz yy xx z y x t x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ µ ρ + + ⋅ − ⋅ + + + ⋅ + − = + + + ⋅ ' ' ' ' ' ' (2.16) p w v v v v u f v v v wv vv uv v y zz yy xx z y x t z y x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ρ µ ρ + + ⋅ − ⋅ + + + ⋅ + − = + + + ⋅ ' ' ' ' ' ' p w w w u w u f u u u ww vw uw w x zz yy xx z y x t z y x z

Für die Vereinfachung der Schreibweise werden die Ableitungen wie folgt abgekürzt:

Wie man hier sieht, unterscheiden sich die Reynolds-Gleichungen von der Navier-Stokes

Gleichungen durch die zusätzlichen sogenannten turbulenten Scheinspannungen oder Rey-

nolds-Spannungen Terme:

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' w w w v v v w u v u u u

Die sogenannten Reynolds-Spannungen sind zusätzliche Unbekannte, die am Fluidelement

zusätzliche Spannungen aufbringen. Das System der Differentialgleichungen ist daher nicht

mehr geschlossen und es müssen zur Bestimmung der Reynolds-Spannungen weitere Glei-

chungen aufgestellt werden, die diese mit den zeitlich gemittelten Größen verknüpfen.

2.4 Turbulenzmodelle

Für die Berechnung turbulenter Strömungen gelten die zeitlich gemittelten Navier-Stokes Gleichungen (RANSE). Darin werden die Auswirkungen der turbulenten Schwankungsbewegungen auf die gemittelte Strömung und nicht die Turbulenzen selbst durch Turbulenzmodelle modelliert. Die Turbulenzmodelle können in zwei verschiedene Gruppen mit unterschiedlichen Ansätzen zur Turbulenzmodellierung eingeteilt werden:

Wirbelviskositätsmodelle ^- Reynolds-Spannungsmodelle (RSM) ^- Beiden sogenannten Reynolds-Spannungsmodellen werden die Komponenten des Tensors der turbulenten Scheinspannungen in der RANS-Gleichung gelöst, d.h. bei einem RSM treten sechs zusätzlichen Variablen auf, die modelliert werden müssen und zwar durch Differentialgleichungen (Differentialgleichungsmodelle) oder durch algebraische Ansätze (algebraische Reynoldsspannungsmodelle). Der Vorteil der RSM ist, dass insbesondere der Anistotropie der Turbulenz-Rechnung getragen wird, die in Wandnähe oder in Ablösungsgebieten eine Rolle spielt. Auf der anderen Seite braucht das RSM durch die zusätzlichen aufgetretenen Variablen erheblich mehr Rechenzeit und Speicherbedarf gegenüber den Wirbelviskositätsmodellen.

Die Wirbelviskositätsmodelle basieren auf dem Wirbelviskositätsprinzip von Boussinesq µ ersetzt (1877), bei dem die molekulare Viskosität durch eine turbulente Wirbelviskosität T µ ist keine Stoffgröße, sondern hängt nur von der Turbulenzwird. Die Wirbelviskosität T struktur ab.

= ρ µ ⋅ ⋅ , (2.17) l V T T

wobei:

V charakteristische Geschwindigkeit : T

l : Längenmaß

Die turbulenten Scheinspannungen werden durch eine scheinbare skalare turbulente Viskosität (Wirbelviskosität) mit den Geschwindigkeitsgradienten in Beziehung gesetzt.

Annahme:

= = ^{2 2 2} Isotrope Turbulenz: ' ' ' in jeder Raumrichtung w v u

Boussinesq-Ansatz für Reynoldstensor:

ρ −

Die in der Gleichung auftretende mittlere turbulente kinetische Energie k ist als Summe der turbulenten Normalspannungen

) (

definiert. Zur Bestimmung der turbulenten Wirbelviskosität werden zum einen algebraische Beziehungen (Null-Gleichungsmodelle) wie beim Prandtlischen Turbulenzmodell (1925) oder den Turbulenzmodellen von Cebeci und Smith (1974) verwendet. Diese Methode ist allerdings nur für einfache Strömungen, also ohne Ablösung und bei dünnen Grenzschichten gut anwendbar.

Zum zweiten werden Ein-Gleichungs-Modelle eingesetzt, bei denen die Wirbelviskosität mit der die Turbulenz charakterisierenden Größe verknüpft wird, für die eine modellierte Trans-portgleichung gelöst wird.

Zum dritten werden Zwei-Gleichungs-Modelle eingesetzt. Am meisten verbreitet ist das sogenannte Standart-k-ε-Modell, in dem k, wie bereits erwähnt, die mittlere turbulente kinetische Energie ist und ε die Dissipationsrate von k.

2

Wirbelviskosität:

Änderung von k = Diffusion von k + Erzeugung von k - Dissipation von k

Änderung von ε = Diffusion von ε + Erzeugung von ε - Dissipation von ε

Die in diesem Modell auftretenden Konstanten wurden durch analytische Überlegungen [6,

9], über Computeroptimierung und Vergleich mit Experimenten bestimmt.

Da das k-ε-Standard-Modell auf die Boussinesq-Hypotese (Strömung sei Isotrope) aufgebaut ist, wird die Genauigkeit der Ergebnisse bei gekrümmten Stromlinien und rotierender Strömung stark beeinflusst. Daher ist ein verbessertes k-ε-Modell für die Genauigkeissteigerung notwendig.

Es wurde eine Reihe von neuen Turbulenzmodellen entwickelt, die je nach Anwendungsfall eine gezielte Genauigkeitserhöhung ermöglichen. Zu erwähnen sind hier beispielsweise das RNG-k-ε- oder das Realizable-k-ε-Modell.

Dabei ist zu beachten, dass bei den neuen Modellen die Rechenzeit sich gegenüber dem Standard-k-ε-Modell um 15% - 20% erhöht. Für die Ölskimmer-Untersuchung wurden das Stan- dard-k-ε-Modell und RNG-k-ε-Modell verwendet.

Das RNG-k-ε-Modell, wie auch das k-ε-Standard-Modell, gelten im allgemeinen nur für die vollturbulente Schicht, d.h. in der Nähe fester Wände ist das k-ε-Turbulenzmodell selbst nicht mehr gültig. Zum einen liegt dies an der geringen Geschwindigkeit des Fluids in Wandnähe

(niedrige lokale Reynoldszahl). Das k-ε-Modell besitzt jedoch nur Gültigkeit für große Reynoldszahlen. Zum andern werden in der Nähe fester Wände die turbulenten Schwankungen senkrecht zur Wand gedämpft, so dass eine weitere Voraussetzung des k-ε-Modells, die oben genannte Annahme isotroper Turbulenz, ebenfalls nicht mehr erfüllt ist. Daher wird hier in der Nähe von reibungsbehafteten Wänden eine Wandfunktion eingefügt.

2.5 Wandfunktion

Die Modellierung des Wandnahbereichs basiert auf der Struktur der turbulenten Grenzschicht. An festen Wänden bildet sich in turbulenten Strömungen eine dünne Grenzschicht aus ( Abb.

), die meist aus drei prinzipiellen Bereichen besteht. Direkt an der Wand ist die Strö-2.2

mungsgeschwindigkeit aufgrund der Haftung des Fluids an der Wand sehr gering. Die Strömung in der Grenzschicht ist in diesem Bereich annähernd laminar (viskose Unterschicht). Darüber liegt eine Übergangszone (Buffer-Schicht) zwischen viskoser Unterschicht und vollturbulenter Schicht, in der die Strömung lokal instabil wird. Noch weiter weg von der Wand liegt dann die vollturbulente Schicht.

Abb. 2.2: Der Umschlag laminar - turbulent

Aus genäherten Berechnungen des Strömungsprofils im Wandbereich sowie aus experimentellen Daten werden auf empirischem Weg sogenannte Wandfunktionen ermittelt, die das Verhalten der Strömung im wandnahen Bereich beschreiben. Damit lässt sich die viskose Unterschicht aus dem Berechnungsgebiet eliminieren und statt dessen mittels der Wandfunktionen in den Randbedingungen modellieren. In der Buffer-Schicht und der vollturbulenten Schicht wird die Strömung diskretisiert und berechnet.

In der viskosen Unterschicht wird die Strömungsgeschwindigkeit mit einer Wandfunktion, dem logarithmischen Wandgesetzt, berechnet. Hierbei wird ein logarithmischer Zuwachs der Geschwindigkeit nach außen angenommen:

wobei:

u: Geschwindigkeit in x-Richtung

⁺ Dimensionslose Geschwindigkeit : u

: Wandschubspannungs-Geschwindigkeit u τ

E: Empirische Konstante, für glatte Wände E = 9,0

⁺ : Dimensionsloser Wandabstand y

τ : Schubspannung

w

ρ : Dichte

Das logarithmische Wandgesetzt wird in der numerischen Berechnung in der innersten Zell-

schicht an einer reibungsbehafteten Wand angewendet. Außerhalb dieses Bereich wird mit

dem verwendeten Turbulenzmodell gerechnet. Deshalb ist die Zelldicke an der Wandoberflä-

che von besonderer Bedeutung.

Bei der Berechnung des Strömungsprofils entstehen allerdings zusätzliche Probleme. Insbe-sondere ist nicht klar, wie groß die Zelldicke in der Wandnähe sein muss. Als Kontrolle für

⁺ eine ausreichend kleine Zelldicke dient der dimensionslose Wandabstand . Dieser ist wie y

folget definiert:

u

ν = und y der Wandabstand. Hierbei sind ν die kinematische Viskosität

Der dimensionslose Wandabstand ist keine von vornherein bestimmbare geometrische Größe,

da die Wandschubspannungsgeschwindigkeit mit eingeht. Aus diesem Grund kann man erst

nach einer durchgeführten Berechnung bewerten, ob der Wandabstand klein oder groß genug

gewählt war. Zu beachten ist insbesondere, dass die konstant zu haltenden Werte für den di-mensionslosen Wandabstand dazu führen, dass der geometrische, dimensionsbehaftete Wand-

abstand für Berechnungen bei steigender Reynoldszahl kleiner werden muss. Deshalb müssen

für Berechnungen von Großausführungen, bei denen deutlich größere Reynoldszahlen auftre-

ten, aufwendige Netze generiert werden.

2.6 Generierung der freien Oberfläche

2.6.1 Allgemeine Methoden

Im vorherigen Abschnitt wurden Strömungen nur in fest vorgegebenen Gebieten berechnet, bei denen die Zustandgleichungen von Geschwindigkeit und Druck ohne freie Oberfläche ermittelt werden. Um zusätzlich die Berechnung der Verformung der freien Oberfläche und deren Einfluss auf den Ölfilmpartikel und auf den Ölskimmer in einem turbulent viskosen Lösungsverfahren zu ermöglichen, gibt es unterschiedliche Lösungsansätze. Eine Möglichkeit sind die sogenannten Marker-Partikeln Methoden [18], wie z. B. MAC-Marker (marcer-andcell). Zweite Möglichkeit sind die sogenannten Moving Boundary Methoden (Mitbewegter Gitterrand). Die Idee dabei ist die Formulierung einer Randbedingung an der Phasengrenzfläche (PGF), an der die folgenden zwei Bedingungen zu erfüllen sind:

♦ kinematische Randbedingung

♦ dynamische Randbedingung

Diese Methode ist allerdings nur bei der freien Oberfläche ohne Ölfilmpartikel (Zwei-Phasenströmung) gut geeignet und hat eine scharfe Darstellung an der PGF.

In dieser Arbeit besteht das besondere Interesse darin, die freie Oberfläche mit Ölfilm oder Ölpartikeln zu untersuchen. Deshalb ist die Moving Boundary Methode für diese Aufgabe nicht gut geeignet.

Ein anderer Ansatz ist die Volume of Fluid-Methode (VOF). Auf diese Methode wird hier näher eingegangen, da sie im Strömungslöser (STAR-CD) die Standardmethode für die Berechnungen von turbulenten Strömungen mit freier Oberfläche ist.

2.6.2 VOF Methode zur Berücksichtung der freien Oberfläche

Die Möglichkeit, die die VOF-Methode uns bietet ist, zwei oder drei Phasen in einem Strömungsgebiet bzw. eine freie Oberfläche zu berechnen. Auf diese Weise wird gegenüber der Rechnung mit nur einem Medium eine neue Variable, die Volumen-Fraktionszahl q’, einge- führt. Diese Variable beschreibt die Phasenanteile eines Fluids in einer Zelle i:

• q’ i = 0; in Zelle i ist Phase q’ nicht enthalten (z. B. Luft).

• q’ i = 1; Zelle i ist vollständig mit Phase q’ gefüllt (bzw. mit Wasser).

• 0 i <1; Zelle i enthält die Phasengrenze.

Die Zelle, die die Phasengrenze enthält, muss eine freie Oberfläche enthalten. Als zusätzliches Kriterium dafür wird angegeben, dass sie mindestens eine Nachbarzelle besitzen muss, die leer ist, d.h. das Verfahren soll eine scharfe Trennschicht für die freie Oberfläche ermitteln. Weiterhin wird an der Grenzoberfläche innerhalb dieser Zelle angenommen, dass die beiden Fluide gleiche Geschwindigkeit, gleiche Temperatur und gleichen Druck haben.

Die VOF-Methode ist sehr rechenintensiv, da man besonders an der Grenzoberfläche den Zellen eine geringe Dicke zuordnet, so dass die Dichte und die Zähigkeit sich zwar stark aber kontinuierlich ändern (Abb. 2.4). Demzufolge vervielfacht sich die Anzahl der Zellen innerhalb des Rechengebietes, welches den Rechenaufwand erhöht. Nicht zu Vergessen bei der VOF-Methode ist, dass diese gegenüber anderen Methoden (siehe oben) die Möglichkeit bietet, beispielsweise brechende Wellen oder Öl-Wasser-Gemische zu erfassen. Die VOF-Methode wird heute schon in vielen Bereichen wie z. B. in der Verfahrenstechnik, eingesetzt, da sie sehr universell anwendbar ist und mehrere, evtl. auch miteinander reagierende Phasen innerhalb eines Berechnungsgebietes gestattet.

Abb. 2.4: Kontinuierlicher Übergang Wasser (rot) zu Luft (Blau)

2.7 Euler-Langrange-Methode zur Ölmodellierung

Wie bereits im Abschnitt (2.6.2) erwähnt wurde, kann man mit der VOF-Methode zwei- oder

dreiphasige Strömungen berechnen. In Star-CD ist es leider nicht möglich, die dritte Phase

innerhalb der VOF-Methode zu definieren. Dagegen bietet Star-CD die Möglichkeit, die Be-rechnung der dritten oder vierten Phase durch die Euler-Langerage-Methode zu modellieren.

In dieser Methode wird das Fluid in einer primären und einen sekundären Phase beschrieben.

Die primäre Phase (eulerische Betrachtungsweise) wird als Wasser oder Luft definiert und die

eine oder mehreren sekundären Phasen (langrangische Betrachtungsweise) werden in der

Form von Partikeln (z.B. Tröpfchen für Flüssigkeiten und Blasen für Gase) definiert.

Im allgemeinen wird die Bewegung der sekundären Phase (Abb. 2.5) durch die primäre Phase

beeinflusst und umgekehrt. Die Wechselwirkungen zwischen der primären und sekundären

Phase werden durch die Wärme-, Massen- und Impulsflusse wie folgt berechnet:

Kräftegleichgewicht des Tröpfchens

r

Hier sind:

r ist die Reibkraft

1. dr F

r 1 r r r r ( d ) ρ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (2.27) u u u u A C F

d d d dr 2

r Geschwindigkeit des Fluides,

A d die Oberfläche des Tröpfchens, C d die Reibkoeffizienten, u

r

d Geschwindigkeit des Tröpfchens. u

r ist die Druckkraft

2. p F

r

∇ ⋅ − = (2.28) p V F

d p

∇ V d das Volumen des Tröpfchens, der Druckgradient im Fluid, p beinhaltet alle hydrostati- p

sche Komponenten.