Adverse Selektion auf Versicherungsmärkten - Modelltheoretische Fundierung

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INHALTSVERZEICHNIS

  Abbildungsverzeichnis  II

  Abkürzungsverzeichnis  III

  Symbolverzeichnis  III

1.  Einleitung : Abgrenzung des Themas und Gang der Arbeit  1

2.  Grundlagen  3

2.1.  Das Bernoulli-Prinzip als Grundlage zur Entscheidungsfindung  3

2.2.  Risikoeinstellungen  4

2.3.  Der Versicherungsmarkt  5

2.3.1.  Begriff des Versicherungsschutzes  5

2.3.2.  Situation eines Versicherungsnehmers  6

2.3.3.  Der Versicherer  10

2.4.  Informationsverteilung  11

2.4.1.  Bedeutung der Informationsverteilung  11

2.4.2.  symmetrische Informationsverteilung  12

2.4.3.  asymmetrische Informationsverteilung und ihre  

  Erscheinungsformen  13

3.  Der Versicherungsmarkt bei symmetrischer Information  16

3.1.  Prämissen des Grundmodells  16

3.2.  Wahl des individuell optimalen Deckungsgrades  16

3.3.  Angebot und Marktgleichgewicht  19

3.3.1.  Prämiendifferenzierung und Gleichgewichtsbedingung  19

3.3.2.  First-Best Optimum  21

4.  Der Versicherungsmarkt bei asymmetrischer Information  22

4.1.  Einschränkungen der Informationsannahmen  22

4.2.  Adverse Selektion bei Durchschnittstarifierung  22

4.3.  Gleichgewichtskonzepte unter asymmetrischer Information  24

4.3.1.  Der Versicherungsmarkt als Principal-Agent Beziehung  24

4.3.2.  Signaling am Versicherungsmarkt  24

4.3.3.  Self-Selection  25

4.3.4.  Definition des Nash-Gleichgewichts  27

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4.4.  Modellierung des Second-Best Optimums  27

4.4.1.  Angebotsstruktur unter self-selection als second-best optimum27  

4.4.2.  Pareto - Effizienz bei self - selection  30

4.4.3.  Prüfung der Existenz eines trennenden Gleichgewichtes  31

4.5.  Ausblick auf Änderung des Modelles  32

4.5.1.  Interne Subventionierung und Transfer-Gleichgewicht  32

4.5.2.  Versicherungsmarkt ohne informationsmäßige Kooperation  34

4.6.  Ausblick auf weitere Gleichgewichtskonzepte  35

4.7.  staatliche Regulierung am Versicherungsmarkt  36

5.  Zusammenfassung und Bewertung  37

  Literaturverzeichnis  39

  Abbildungsverzeichnis  

  Abb. 2 1 : Die Versicherungsgerade  8

  Abb. 2 2 : Indifferenzkurven unterschiedlicher Risikoklassen  10

  Abb. 3 1 : Optimaler Deckungsgrad bei festem Prämiensatz und  

  unterschiedlicher Schadeneintrittswahrscheinlichkeit  19

  Abb. 3 2 : Gleichgewicht am Versicherungsmarkt unter  

  Prämiendifferenzierung  21

  Abb. 4 1 : Gleichgewicht am Versicherungsmarkt unter self-selection  30

  Abb. 4 2 : Situation am Versicherungsmarkt ohne trennendes  

  Gleichgewicht  32

  Abb. 4 3 : Situation am Versicherungsmarkt unter interner  

  Subventionierung  34

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Abkürzungsverzeichnis

H-Risiko Versicherungsnehmer mit hoher

Schadeneintrittswahrscheinlichkeit

L-Risiko Versicherungsnehmer mit niedriger

Schadeneintrittswahrscheinlichkeit

VN Versicherungsnehmer

VR Versicherungsgesellschaft

Symbolverzeichnis

a , b Handlungsalternativen, Vertragsangebote

a , H für L- bzw. H-Risiken bestimmte Vertragsvariante a

L

d , Deckungsgrad (für L- bzw. H-Risiken) ) ; ( L d d

H

H Index für H-Risken („schlechte“ Risiken) im Fall mit

zwei Risikoklassen

k Anteil der H-Risiken an der Versicherungsnachfrage

L Index für L-Risken („gute“ Risiken) im Fall mit zwei

Risikoklassen

p , Schadeneintrittswahrscheinlichkeit (der L- bzw. ) , ( L p p

H

H-Risiken)

durchschnittliche Schadeneintrittswahrscheinlichkeit p

q , Prämiensatz (der L- bzw. H-Risiken) ) , ( L q q

H

^* Einheitsprämiensatz q

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SB Selbstbeteiligung eines Versicherungsnehmers am

Schaden

Schadenhöhe S

Nutzenfunktion ) (U

VP (VP L , VP H ) Versicherungsprämie (der L- bzw. H-Risiken)

VL Versicherungsleistung, Deckungssumme

) (a Indifferenzkurve durch den Vertrag a V

V , H Indifferenzkurve der L- bzw. H-Risiken V

L

) ( H Nutzen eines H-Risikos aus dem Versicherungs- H a V

vertrag bei Nutzung der Vertragsvariante H a

) ( L Nutzen eines H-Risikos aus dem Versicherungs- H a V

vertrag bei Nutzung der Vertragsvariante L a

) ( L Nutzen eines L-Risikos aus dem Versicherungs- L a V

vertrag bei Nutzung der Vertragsvariante L a

Anfangsvermögen eines Versicherungsnehmers W

A

Vermögensposition ohne Versicherungsschutz W

UV

Vermögensposition mit Versicherungsschutz W

V

Endvermögen eines Versicherungsnehmers ohne W

1

Endvermögen eines Versicherungsnehmers ohne W

2

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V Endvermögen eines Versicherungsnehmers nach W 1

V Endvermögen eines Versicherungsnehmers nach W 2

V Erhöhung von V ∆ W 2 W 2

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1. Einleitung : Abgrenzung des Themas und Gang der Arbeit

Durch eine Vielzahl empirischer Studien ist belegt, dass sich die Mehrzahl der Individuen risikoscheu verhält ¹ . Für diese Individuen ist es wünschenswert, die Betroffenheit von für sie ungünstigen Umweltzuständen zu reduzieren und somit ihr bestehendes Risiko zu verringern. Versicherungsschutz stellt ein geeignetes Instrument zum Risikotransfer vom Versicherungsnehmer auf den Versicherer dar. Versicherungsnehmer haben in der Praxis im Regelfall unterschiedliche Schadeneintrittswahrscheinlichkeiten und daraus folgend auch eine variierende Bereitschaft, vom Versicherer vorgegeben Prämien für den Risikotransfer zu zahlen. Kennen die Versicherer ihrerseits die individuellen Schadeneintrittswahrscheinlichkeiten der jeweiligen Versicherungsnehmer, so können sie dies in der Prämienkalkulation entsprechend berücksichtigen. Es ist aber davon auszugehen, dass die Versicherungsnehmer ihre persönliche Schadenerwartung dem Versicherer gegenüber geringer angeben werden als sie tatsächlich ist, da sie hierdurch hoffen eine günstigere Prämie für ihren Versicherungsvertrag zu erhalten. Ist der Versicherer in Bezug auf die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit schlechter informiert als der VN, so liegt ein Fall von asymmetrischer Informationsverteilung vor ² .

Die Auswirkungen asymmetrischer Informationsverteilung sind seit einer Arbeit von Akerlof ³ in vielen Wirtschaftsbereichen untersucht worden. Wesentliche Erkenntnisse für den Bereich des Versicherungsmarktes gehen dabei auf Rothschild/Stiglitz ⁴ zurück. Beide Werke haben den Begriff der Adversen Selektion entscheidend geprägt. In der vorliegenden Arbeit wird die Adverse Selektion auf dem Versicherungsmarkt modelltheoretisch fundiert.

Im zweiten Kapitel dieser Arbeit werden kurz ein Entscheidungsprinzip und Annahmen zur Risikoeinstellung eingeführt, nach welchen die Akteure nachfolgend handeln sollen. Des Weiteren erfolgt hier eine bewusst einfach gehaltene Modellierung des Versicherungsmarktes und die Betrachtung

¹ Vgl. Bamberg/Coenenberg (1991) S. 83; Genauere Ausführungen zu verschiedenen Formen der Risikoeinstellung erfolgt in Abschnitt 2.2.

² Zur Problematik der Informationsverteilung siehe Abschnitt 2.4.

³ Vgl. Akerlof (1970)

⁴ Vgl. Rothschild/Stiglitz (1976)

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möglicher Informationsverteilungen wobei der Schwerpunkt auf die verschiedenen Ausprägungen der Informationsasymmetrie gelegt wird. Im dritten Kapitel erfolgt die Modellierung eines Gleichgewichtes am Versicherungsmarkt unter vollkommener Konkurrenz und symmetrischer Informationsverteilung. Es wird gezeigt, dass dieses Gleichgewicht dann auch pareto-optimal ⁵ ist.

Die Prämisse der symmetrischen Informationsverteilung wird im vierten Kapitel aufgehoben, um die dadurch entstehenden Auswirkungen auf das Marktgleichgewicht zu analysieren. In diesem Marktumfeld tritt dann Adverse Selektion auf. Für die Versicherungsnehmer bedeutet dies, dass die Existenz von „schlechten“ Risiken ⁶ die Versicherungsprämie auch für „gute“ Risiken steigen lässt, bis diese komplett vom Versicherungsmarkt verdrängt werden.

Im allgemeinen Kontext der Principal-Agent-Theorie werden in der Literatur verschiedene Lösungsansätze diskutiert, die die

Wohlfahrtsminderung durch asymmetrische Informationsverteilung beheben sollen ⁷ . Im Abschnitt 4.3. erfolgt daher eine Validierung der Anwendbarkeit dieser Ansätze am Versicherungsmarkt. Ausgangspunkt der weiteren anschließenden Analyse ist dann das Konzept des

Nash-Gleichgewichts. Es wird gezeigt, dass ein solches Gleichgewicht unter einer Angebotsstruktur, welche zu self-selection führt, existieren kann. Daraufhin wird geprüft ob ein solches Gleichgewicht pareto-optimal ist und ob es immer existieren muss.

Am Ende des vierten Kapitels erfolgen dann noch ein Ausblick, wie sich das Modell bei Änderung der grundlegenden Prämissen verhält, und ein kurzer Ausblick auf andere Gleichgewichtskonzepte. Die Arbeit endet im fünften Kapitel mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse, deren Einordnung im Kontext der realen Versicherungswirtschaft.

⁵ Zum Begriff der Pareto-Optimalität siehe Abschnitt 3.3.2

⁶ Unter „schlechten“ Risiken seien Versicherungsnehmer mit hoher und unter „guten“ Risiken entsprechend Versicherungsnehmer mit niedriger Schadeneintrittswahrscheinlichkeit verstanden.

⁷ Vgl. hierzu neben vielen anderen Spremann (1990), Hartmann-Wendels (1989), Hartmann-Wendels (1990)

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2. Grundlagen

2.1. Das Bernoulli-Prinzip als Grundlage zur Entscheidungsfindung Für die Entscheidungssituationen in den folgenden Kapiteln gilt es ein Entscheidungsprinzip festzulegen, nach dem die Akteure die Auswahl zwischen den möglichen Handlungsalternativen treffen.

Bei Entscheidungssituationen unter Risiko liefert jede mögliche Handlungsalternative eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ergebnissen ⁸ . Der rational handelnde Akteur ⁹ wird eine Präferenzordnung dieser wahrscheinlichkeitsverteilten Ergebnisse bilden und nach dieser die Wahl der Handlungsalternative treffen.

Von allen in der entscheidungstheoretischen Literatur vorgeschlagenen Prinzipien kommt dem Bernoulli-Prinzip insbesondere in der Versicherungsökonomie besondere Bedeutung zu ^{10 11} . Dieses Prinzip bildet daher nachfolgend die Grundlage in den Entscheidungssituationen. (U ¹² . Nach dem Bernoulli-Prinzip gibt es eine eindeutige Nutzenfunktion ) Die Präferenzordnung des Akteurs wird dann aus den

Nutzenerwartungswerten gebildet ¹³ . Eine Handlungsalternative a ist einer Alternative vorzuziehen, wenn der Nutzenerwartungswert b ) ( )) ( ( der Alternative a größer ist als der Nutzenerwartungswert = a V a U E ) ( )) ( ( der Alternative b. Es muss dann folglich gelten: = b V b U E

) ( ) ( > b V a V

⁸ Vgl. Nell ( 1993) S. 20

⁹ Es wird in dieser Arbeit generell von rational handelnden Versicherungsnehmern und Versicherern ausgegangen. Kritisch hierzu z.B. Farny (1989) S. 325 ff.

¹⁰ Vgl. hierzu u. a. Eisen (1979) S. 30 - 38

¹¹ Es sei angemerkt, dass das Bernoulli-Prinzip in der Literatur nicht unumstritten ist. Eine Auseinandersetzung mit dieser Kritik ist im Rahmen dieser Arbeit leider nicht möglich. Erörterungen zur Kritik finden sich u. a. bei Ellsberg (1961), Kreps (1990) und Schildbach (1989).

¹² Auf den Verlauf der Nutzenfunktion wird im Abschnitt 2.2. näher eingegangen.

¹³ Es wird davon ausgegangen, dass der Akteur im Sinne der Bernoulli-Axiome handelt. Auf eine Darstellung der Axiome muss im Rahmen dieser Arbeit verzichtet werden. Eine ausführliche Darstellung findet sich z.B. in Arrow (1974) und Schneeweiß (1967).

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2.2. Risikoeinstellungen

Akteure sind im unterschiedlichen Maße bereit Risiken ¹⁴ einzugehen ¹⁵ . Es können hierbei mit Risikofreude, Risikoneutralität und Risikoaversion ¹⁶ drei Grundtypen der Risikoeinstellung unterschieden werden. Risikofreudige Akteure werden nur gegen Zahlung eines sicheren Betrages, der größer als der Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Projektrückflüsse ist, auf die Durchführung des Projektes verzichten. Die (U ¹⁷ verläuft in diesem Fall konvex Risikonutzenfunktion ) ) 0 , 0 ( . ′ ′ ′ > > U U

Ein risikoneutraler Akteur ist indifferent zwischen dem Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Projektrückflüsse und einer sicheren Zahlung in gleicher Höhe. Hier verläuft die Risikonutzenfunktion linear . ) 0 , 0 ( ′ ′ ′ = > U U

Risikoaversion liegt dann vor, wenn der Akteur eine sichere Zahlung dem Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Projektrückflüsse in gleicher Höhe vorzieht ¹⁸ . Die Risikonutzenfunktion hat dann einen konkaven Verlauf . ) 0 , 0 ( ′ ′ ′ < > U U

Grundlage der weiteren Überlegungen ist ein risikoavers handelnder Versicherungsnehmer. Diese Annahme ist insoweit zu rechtfertigen, da die in der Praxis zu beobachtenden Versicherungsprämien regelmäßig über dem liegen ¹⁹ . Schadenerwartungswert Nur ein risikoscheuer

Versicherungsnehmer wird in diesem Fall überhaupt einen Versicherungsvertrag abschließen ²⁰ . Zudem ist Risikoaversion die nach empirischen Erkenntnissen vorherrschende Risikoeinstellung ²¹ .

¹⁴ Unter dem Begriff Risiko sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung potentieller Ergebnisse einer Handlungsalternative verstanden. Vgl. Karten (1972) S. 152

¹⁵ Vgl. Nell (1993) S. 24

¹⁶ Gleichbedeutend für Risikoaversion wird auch der Begriff Risikoscheu verwandt.

¹⁷ Die Begriffe Nutzenfunktion und Risikonutzenfunktion werden nachfolgend synonym verwendet.

¹⁸ Vgl. Eisen (1979) S.40

¹⁹ Die reale Versicherungsprämie setzt sich zusammen aus Nettorisikoprämie (diese entspricht der Schadenerwartung) sowie Sicherheits-, Betriebskosten- und Gewinnzuschlag. Vgl. Karten (1993)

²⁰ Der Erwartungswert der wahrscheinlichkeitsverteilten Projektrückflüsse ohne Versicherungsschutz ist in diesem Fall sogar größer als der sichere Projektrückfluss mit Versicherungsdeckung. Aus dem Abschluss eines Versicherungsvertrages wird klar, dass die Versicherungsnehmer dennoch die Alternative mit Versicherungsschutz der Alternative ohne Versicherungsschutz vorziehen.

²¹ Vgl. Nell (1993) S.25