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I  Inhaltsverzeichnis  

I  Inhaltsverzeichnis.  1

II  Abkürzungsverzeichnis.  2

III  Symbolverzeichnis  2

IV  Abbildungsverzeichnis.  2

1  Einleitung.  3

2  Das zweidimensionale homogene Palettenbeladungsproblem.  4

3  Wichtigkeit von oberen Schranken  5

4  Elementare Verfahren.  5

4.1  Flächenbetrachtung.  5

4.1.1  Verfahren von Dowsland.  5

4.1.2  Verfahren von Exeler und Keber.  6

4.2  Verfahren von Barnes zur Bestimmung der nicht nutzbaren Fläche.  6

4.2.1  Verfahren von Barnett und Kynch.  6

4.2.2  Verfahren von Barnes.  8

4.3  LP-Verfahren von Isermann.  9

4.4  Sukzessive Verkleinerung des Packstücks nach Keber.  12

4.5  Die Naujoks-Schranke.  12

4.6  Vergleich der elementaren Verfahren.  13

5  Dekomposition.  13

6  Betrachtung identischer Strukturen.  14

6.1  Verfahren von Exeler.  14

6.2  Verfahren von Isermann.  14

6.3  Bedeutung des Verhältnisses zwischen den Packstückseiten.  15

7  Kombination der Verfahren.  16

8  Zusammenfassung.  17

Literaturverzeichnis   18

II Abkürzungsverzeichnis

o.B.d.A. # ohne Beschränkung der Allgemeinheit

LP # Lineares Programm NNB # Nichtnegativitätsbedingung

III Symbolverzeichnis

obere Schranke nach Verfahren X O

X

Länge einer Palette L Breite einer Palette B Länge eines Packstückes l Breite eines Packstückes b Palettenbeladungsproblem P Menge der Überdeckungen U

nicht nutzbarer Teil der Grundfläche einer Palette W

IV Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Nummerierungsschema für die Grundfläche.............................................. 6 Abbildung 2: Beispiel zur Bestimmung der Überdeckungsvariablen............................... 9

1 Einleitung

Fast jeder Autofahrer kennt das Problem, so viel Ladung wie möglich in einen vorgegebenen Kofferraum zu bekommen. Diese Aufgabe stellt nichts anderes als ein Packproblem dar, welches am häufigsten im dreidimensionalen Fall auftritt. Da jedoch überwiegend beladungstechnisch und aufgrund der Beschaffenheit der Packstücke nur eine einzige senkrechte Richtung möglich ist, wird in den meisten Fällen nur das zweidimensionale Packproblem betrachtet um die Anzahl der Packstücke pro Lage zu maximieren ¹ . Solche sogenannten Palettenbeladungsprobleme sind die am häufigsten betrachteten Probleme der betriebswirtschaftlichen Logistik, da hier große Kosteneinsparungen mit relativ geringem Aufwand möglich sind (Logistikkosten betragen im Durchschnitt europäischer Unternehmen immerhin 10% des Umsatzes ² ). So erwähnt Nelißen, dass bei den Pfanni-Werken durch eine Optimierung der Palettenbeladung eine jährliche Kostenreduzierung um mehr als eine Million DM möglich war ³ . Sehr häufig betrachtete Sachverhalte sind das Beladen von Frachtcontainern und Lastwagen sowie zweidimensionale Zuschnittprobleme. Doch auch Probleme aus anderen Bereichen werden in der Literatur häufig als Packprobleme dargestellt, u.a. das Füllen von Flüssigkeiten in verschiedene Tanks, Kapitalanlageprobleme, die Einteilung von Werbeblöcken im Fernsehen und sogar Schedulingprobleme. ⁴ Wie man sieht, verdienen Packprobleme besondere Aufmerksamkeit, doch schon das eindimensionale Problem ist NP-schwer. Daher ist es nicht möglich, polynomielle Algorithmen zu finden, die exakte Lösungen liefern. Folglich werden in der Realität überwiegend Lösungsheuristiken verwendet.

Die vorliegende Arbeit beschreibt die Wichtigkeit von oberen Schranken für die Lösung von zweidimensionalen homogenen Palettenbeladungsproblemen und beschreibt die bekanntesten Obergrenzen näher. Die folgenden zwei Kapitel dienen dabei der Begriffseinführung und Motivation der Suche nach den oberen Schranken, während in Kapitel 4-7 die verschiedenen Grenzen näher erläutert werden, von elementaren Verfahren bis hin zur Kombination von mehreren Methoden. In Kapitel 8 wird versucht, ein Fazit zu ziehen um zusammenfassend darzulegen, welche Verfahren dominant sind bzw. welches Vorgehen bei der Suche nach bestmöglichen oberen Schranken empfehlenswert ist.

¹ Vgl. Naujoks (1995), S. 5

² Vgl. o.V. (2001), S. 224

³ Vgl. Nelißen (1995), S. 7

⁴ Vgl. Wottawa (1996), S. 1, S. 6

2 Das zweidimensionale homogene Palettenbeladungsproblem

Def. 2.1: Eine Palette ist ein Rechteck mit Länge L und Breite B, wobei LB t . Ein

Packstück ist ein Rechteck mit Länge l und Breite b, wobei lb t (, ,, ) LBlb ´ .

Def. 2.2: Eine Anordnung von Packstücken auf einer Palette heißt orthogonal, falls die

Packstücke seitenparallel zur Palette angeordnet sind. Def. 2.3: Das zweidimensionale homogene Palettenbeladungsproblem (, ,,) PL B l b ist

die Aufgabe, die orthogonale Anordnung der identischen (homogenen) Packstücke (Größe: lb u ) auf einer Palette (Größe: LB u ) so zu wählen, dass die Anzahl der Packstücke maximiert wird.

Bemerkung 2.4: Es gibt auch Probleme, bei denen die optimale Anordnung nicht

orthogonal ist, doch diese Probleme sind sehr selten und werden hier nicht betrachtet, da solch eine Anordnung u.a. zu Schäden an der Ladung führen kann ⁵ . Im folgenden sei o.B.d.A. immer Ll t und B b t angenommen, d.h. dass die Packstücke in Länge und Breite kleiner als die Palette sind.

Def. 2.5: Die Packrichtung heißt längs, wenn die l-Seite parallel zur L-Seite ist und quer,

wenn sie parallel zur B-Seite ist. Wenn eine Anordnung nur diese beiden Packrichtungen enthält, heißt sie orthogonal. ^ ` ij  ´ und il jb G d gilt.  Def. 2.6: (, ) ij heißt Überdeckung von , wenn , , GL B

0

Def. 2.7: Die Menge aller Überdeckungen von G ist definiert durch  ´ . d G :{ ( ,) : ;, } Ui j i l j b G i j

0

 G Def. 2.8: Eine Überdeckung ( , ) heißt effizient, wenn > gilt. ij U il jb b G

Def. 2.9: Die Menge aller effizienten Überdeckungen von G ist definiert durch  d  ´ . GG :{ ( ,) : > } { ( ,) : < ;, } U i j U il jb b G i j il jb G il jb b i j

0 eff

effizientes Problem zu ( , , , ) PL B l b .

⁵ Vgl. Naujoks (1995), S. 8 f.

3 Wichtigkeit von oberen Schranken

Es gibt zwar effiziente Lösungsheuristiken für das homogene Palettenbeladungsproblem, mit denen meistens schnell eine gute Lösung berechnet werden kann, aber es fehlt dann der Nachweis, dass diese gefundene Lösung optimal ist. Hierbei spielen dann die oberen Schranken eine sehr große Rolle, denn eine scharfe Obergrenze kann zeigen, dass keine bessere Lösung existiert.

Der Nachweis der Optimalität einer gefundenen Lösung kann aber auch durch ein exaktes Verfahren erfolgen. Hierbei werden die oberen Schranken als Abbruchkriterium verwendet, z.B. beim Branch & Bound - Verfahren ⁶ .

Wie man schnell sieht, ist es sinnvoll, wenn man versucht eine möglichst gute Obergrenze für das homogene Palettenbeladungsproblem zu finden um den Lösungsaufwand der Heuristiken (bzw. der exakten Verfahren) zu minimieren. Einige dieser Schranken werden im Folgenden näher erläutert.

4 Elementare Verfahren 4.1 Flächenbetrachtung

Die einfachste, und dementsprechend oft zu große, obere Schranke ist der Quotient aus Grundfläche und Packstück-Fläche (abgerundet auf die nächste ganze Zahl):

4.1.1 Verfahren von Dowsland

In den meisten Fällen ist die effiziente Grundfläche ^** LB u um einiges kleiner als LB u .

Da die effiziente Grundfläche so konstruiert ist, dass die optimale Lösung von PL B l b und ^{** *} (, ,,) (, , ,) PL B l b gleich ist, kann man auch die obere Schranke durch folgende von Dowsland genannte verbessern:

Desweiteren könnte man die Dimension des Problems noch durch Division mit dem größten gemeinsamen Teiler von l und b weiter verringern.

⁶ Vgl. Wottawa (1996), S. 69