Entwicklung des Bruchzahlbegriffs unter Berücksichtigung vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten in einer 6. Hauptschulklasse

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  Entwicklung des Bruchzahlbegriffs  

Inhaltsverzeichnis

ABBILDUNGSVERZEICHNIS .............................................................................. II

1  Einleitung  1

1.1  Bezug zum Modul Rechnen mit Sinn und Verstand  1

1.2  Berücksichtung der Ausbildungsstandards  2

1.3  Zielvorstellungen und Leitfragen  2

2  Theoretische Grundlagen  3

2.1  Bruchrechnung  3

2.2  Repräsentationsebenen  4

3  Planung der Unterrichtseinheit  4

3.1  Lehr- und Lernausgangslage  4

3.2  Didaktische und methodische Überlegungen  5

3.3  Bildungs- und Erziehungsziele der Unterrichtseinheit  6

4  Durchführung der Unterrichtseinheit  6

4.1  Die Unterrichtseinheit im Überblick  6

4.2  Darstellung ausgewählter Unterrichtsaspekte  7

4.2.1  Lerntheke  7

4.2.2  Weitere Darstellungsmöglichkeiten  9

4.2.3  Bruchbuch  10

4.2.4  Diagnostischer Test  10

4.2.5  Beobachtung und mündliche Reflexion  11

5  Evaluation der Unterrichtseinheit  11

5.1  Die Lernkontrollen  12

5.2  Die Beobachtungen und Rückmeldungen  14

5.3  Schlussfolgerungen in Bezug auf die Zielvorstellungen  14

6  Schlussfolgerung und Ausblick  16

  LITERATURVERZEICHNIS  17

II

  Entwicklung des Bruchzahlbegriffs  

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

  Abb 1: Kreisdarstellung  4

  Abb 2: Bruchlotto  8

  Abb 3: Wiegen  8

  Abb 4: Holzstäbe  8

  Abb 5: Bruchquartett 9  

  Abb 6: Geobrett  10

  Abb 7a: Ergebnisse Test 1 (vorher)  12

  Abb 7b: Ergebnisse Test 1 (nachher)  12

  Abb 8a: Ergebnisse Test 2 (vorher)  13

  Abb 8b: Ergebnisse Test 2 (nachher)  13

  Abb 9: Ergebnisse Test  3................................................................................13

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Entwicklung des Bruchzahlbegriffs

1 Einleitung

„Und merk dir ein für allemal

den wichtigsten von allen Sprüchen:

Es liegt Dir kein Geheimnis in der Zahl, allein ein großes in den Brüchen.“ Johann Wolfgang Goethe

Schon der Dichter Johann Wolfgang Goethe beklagte die Schwierigkeiten mit der Bruchrechnung. Dennoch kann man im Unterricht auf das Rechnen mit Brü- chen nicht verzichten, denn er ist Gegenstand unseres täglichen Lebens. Um die Einführung in die Bruchrechnung aus der Erfolglosigkeit herauszuführen, weisen Publikationen darauf hin, die Bruchzahlen möglichst anschaulich einzuführen, denn „der wahrscheinlich größte Fehler des traditionellen Mathematikunterrichts besteht darin, dass zu schnell auf eine formal-regelhafte Ebene aufgestiegen wird, bevor noch ausreichende intuitive und anschauliche Vorstellung vom jewei-

ligen Stoff erworben wurde.“ 1 Es sollte also möglichst vermieden werden, die Bruchrechnung anhand von Rechenregeln und unterstützenden Rechenaufga- ben, losgelöst von anschaulichen Darstellungen, einzuführen, denn wenn die

Schüler 2 keine anschaulichen Vorstellungen zu Bruchzahlen entwickeln, bleiben auch die Rechenregeln ein unverstandenes Recheninstrument, welches nur auswendig gelernt wird und somit auch schnell wieder in Vergessenheit gerät. Es stellt sich mir nun die Frage, inwieweit die Schüler vielfältige Darstellungs- möglichkeiten von Brüchen zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs benötigen. Brauchen die Schüler unterschiedliche Darstellungsformen oder reicht die allge- genwärtige Kreisdarstellung aus, um sie auf Bruchrechenoperationen vorzube- reiten? Dieses möchte ich mit dem in dieser Hausarbeit beschriebenen und ana- lysierten Unterrichtsvorhaben herausfinden.

1.1 Bezug zum Modul „Rechnen mit Sinn und Verstand“

Die vorliegende Hausarbeit befasst sich mit dem Thema: „Entwicklung des Bruchzahlbegriffs unter Berücksichtigung vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten in einer 6. Hauptschulklasse“. Im Modul „Rechnen mit Sinn und Verstand“ wurde ich auf die Problematik der Zahlraumerweiterung bei Schülern aufmerksam. Die Schüler haben unterschiedliche Zugangsweisen, um eine Vorstellung von Bruchzahlen aufzubauen. Nach BRUNER vollzieht sich die Denkentwicklung auf drei unterschiedlichen Darstellungsebenen, die in Wechselbeziehung zueinander

stehen. 3 Schnell wurde mir bewusst, dass es meine Aufgabe als Lehrerin ist, die Bruchzahlen einerseits auf vielfältige Weise darzustellen, als auch unterschiedli- che Lerneingangskanäle im Unterricht zu berücksichtigen.

Weiterhin wurde mir, durch das Modul, die Bedeutung von „Rechnen mit Sinn und Verstand“ klar. Dabei geht es nicht um eine schnelle Herleitung einer Mus- terlösung, die jeder Schüler einzeln nach einem gesteuerten Ablauf sucht, son- dern vielmehr soll die Beweglichkeit und Eigenständigkeit der Schüler auf mög- lichst handelnder Ebene in Partner- und Gruppenarbeit gefördert werden. Auch diese Prinzipien versuchte ich in meine Unterrichtseinheit zu integrieren, indem ich den Schülern ein Repertoire an Darstellungsmöglichkeiten zur Verfügung stellte, mit denen sie vornehmlich in Partnerarbeit arbeiteten.

1 Zitiert nach Malle, G. (2004), S.4

2 Aus Gründen der Übersichtlichkeit gilt in dieser vorliegenden Ausarbeitung der Begriff „Schüler“ gleichermaßen für Jun-

gen und Mädchen.

3 vgl. Zech, F. (1978), S. 104

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Entwicklung des Bruchzahlbegriffs

Allerdings erwies es sich als ziemlich schwierig, problemorientierte Aufgaben zur Förderung der Beweglichkeit und Eigenständigkeit zu finden.

1.2 Berücksichtung der Ausbildungsstandards

Ich entwickelte für meine sechste Klasse eine Unterrichtseinheit unter Berück- sichtigung allgemeiner sowie fachspezifischer Ausbildungsstandards. Im Quali- tätsbereich „Planung, Durchführung und Evaluation von Unterricht“ konzentrierte

ich mich auf folgende „Allgemeine Ausbildungsstandards “4 : Die einzelnen Unterrichtsstunden wurden im Kontext der Unterrichtsein- heit „Einführung in die Bruchrechnung“ durchgeführt (Ausbildungsstan- dard 2).

Durch den Einsatz von Stationen, die eine handelnde Auseinanderset- zung ermöglichten, wurde die Selbstständigkeit der Schüler gefördert (Ausbildungsstandard 5).

Des Weiteren wurde die Unterrichtseinheit unter verschiedenen Gesichts- punkten evaluiert (Ausbildungsstandard 14).

Im Qualitätsbereich „Bildungs- und Erziehungseffekte“ fand nachfolgender Aus- bildungsstandard besondere Beachtung:

Die Schüler wurden in die Bruchrechnung sowohl in Einzelarbeit, als auch in Partnerarbeit eingeführt.

Was die fachspezifischen Ausbildungsstandards für das Fach Mathematik an-

geht, so fanden folgende Punkte besondere Berücksichtigung 5 : Die Unterrichtseinheit unterstützte durch die Auswahl geeigneter Darstel- lungsebenen, Methoden und Aufgaben die Fähigkeit der Lernenden, Problemlösestrategien zu entwickeln.

Weiterhin wurde die Entwicklung allgemeiner mathematischer Kompeten- zen wie Problemlösen, Verwendung von Darstellungen und Kommunizie- ren gefördert.

Während der Unterrichtseinheit verwendete ich konsequent und adressa- tengerecht die mathematische Fachsprache und achtete darauf, dass auch die Lernenden diese Begriffe benutzten (z.B.: Fachwort: Nenner, Schülerwort: Zahl unter dem Strich)

1.3 Zielvorstellungen und Leitfragen

In der Unterrichtseinheit sollten die Schüler eine Grundvorstellung von Bruchzah- len und deren unterschiedlichen Darstellungen erwerben. Dabei gilt es in dieser Arbeit zu überprüfen, ob es sinnvoll war die Bruchzahlen mit vielfältigen Darstel- lungen und Handlungen einzuführen. Folgende Leitfragen konkretisieren das Ziel und halfen bei der Überprüfung der Zielvorstellung:

1. Inwieweit gelingt es mir durch die verschiedenen Darstellungsformen und

der handelnden Auseinandersetzung die Voraussetzung zum Rechnen mit Brüchen zu schaffen?

2. Welche Darstellungsformen waren für meine Schüler besonders geeig-

net?

Die vorliegende Arbeit beginnt mit einem theoretischen Teil, der die Bruch- rechnung und die Darstellungsebenen nach BRUNER näher erläutert. Es folgt

4 vgl. IQSH (2005), S. 10

5 vgl. IQSH (2004), S. 7

3

Entwicklung des Bruchzahlbegriffs die Planung und Beschreibung der Unterrichtseinheit, die ich im November 2006 in der Klasse 6b der Hauptschule im Hoffmann von Fallersleben Schulzentrum Lütjenburg durchführte und deren Evaluation. Meine gewonnenen Erkenntnisse und Schlussfolgerungen aus meinem Handeln fasse ich in einer abschließenden Reflexion zusammen.

2 Theoretische Grundlagen

2.1 Bruchrechnung

Als Bruch bezeichnet man den Quotienten zweier ganzer Zahlen. Die mathema- a

tische Schreibweise lautet b , wobei a und b natürliche Zahlen sind.

Man liest die Bruchzahl

Dieser Bruch wird nicht konsequenter Weise als m Zweitel gelesen, sondern als m Halb(e). Die Zahl, die über dem Bruchstrich steht, ist der Zähler, die darunter stehende der Nenner. Während der Nenner angibt, in wie viele gleich große Tei- le das Ganze geteilt wird, gibt der Zähler an, wie viele Teile genommen werden. Bruchzahlen, deren Zähler gleich 1 ist, bezeichnet man als Stammbrüche. Bruchzahlen, deren Zähler kleiner als der Nenner ist, heißen echte Brüche. Wenn der Zähler größer als der Nenner ist (=unechte Brüche), kann man den

Bruch als gemischte Zahl schreiben. 6 Es gibt unterschiedliche Bruchzahlauffassungen, die uns im Alltag begegnen. So a

kann man eine Bruchzahl b folgendermaßen auffassen:

1. als Teil vom Ganzen, z.B. eine Zweidrittelpizza

2. als Maßzahl: Die Bruchzahl beschreibt eine Größe. Man nennt sie auch

1

konkrete Brüche, z.B. 2 m

3. als Operator: Die Bruchzahl gibt eine Rechenoperation an, z.B.

km

4. als Verhältnis, z.B. Mischungsverhältnis, Maßstab

3

5. als Quotient: Die Bruchzahl als das Resultat einer Division, z.B.

6. als Skalenwert: Die Bruchzahl bezeichnet eine Stelle auf einer Skala, z.B.

1

Wasserstand in einem Messbecher

7. als absoluter Anteil, z.B. drei von 4 = 7

Zur Veranschaulichung von Bruchzahlen können im Unterricht vielfältige Darstel- lungsformen wie z.B. der Kreis, das Rechteck, der Zahlenstrahl, ... eingesetzt

3

werden. So kann z.B. die Bruchzahl vier gleichgroße Teile zerlegt wird, wobei der Kreisausschnitt sich dann aus drei

solchen Teilen zusammensetzt (vgl. Abb.1). 8 Um den Kreisausschnitt zu bestimmen, müssen folgende Fragen beantwortet werden:

1. Was ist das Ganze?

2. In wie viele Teile ist es zerlegt worden?

3. Sind die Teile „gleich groß“?

6 vgl. Duden (1994), S. 75f

7 vgl. Malle, G. (1989) S. 42

8 vgl. Griesel, H. (1973), S. 148