Der Satz von Schönflies

Der Satz von Schönflies

Achim Beckers
19. Dezember 2006

Bachelorarbeit im Fach Mathematik
Ruhr Universität Bochum
Fakultät für Mathematik

Seminar: Kurven und Flächen

Betreuer: Prof. Dr. Gerd Laures

Semester: WS 2006/07

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ... 3

2 Der Satz von Schönflies ... 3

3 Jordanscher Kurvensatz ... 5

4 Ankleben einer D2 an das Innere ... 9

5 Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0 ... 11

6 Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion ... 14

7 Ausweitung der Einbettung zum Diffeomorphismus ... 17

8 Verallgemeinerung und verwandte Probleme ... 19

1 Einleitung

Das Ziel dieser Arbeit ist der Beweis des Satzes von Schönflies, der zunächst vorgestellt wird. Dieser Beweis ist sehr komplex und umfasst zwei - schon an sich sehr wichtige - Sätze, nämlich den Jordanschen Kurvensatz (vgl. Kapitel 3) und den Satz über die Charakterisierung der geschlossenen Flächen (vgl. Kapitel 5). Hierüber entsteht im Laufe der Arbeit der Beweis des Satzes von Schönflies, welcher in Kapitel 7 noch einmal zusammengefasst wird. Abschließend wird im achten Kapitel ein Ansatz zur Verallgemeinerung des Satzes bzw. eine ähnliche Formulierung betrachtet und kurz erläutert.

Vorrausgesetzt sind in dieser Arbeit Grundkenntnisse der Analysis und der Differentialgeometrie bzw. -topologie. Insbesondere sollte der Begriff der Untermannigfaltigkeiten geläufig sein. Zusätzlich werden, obwohl hier eine differenzierbare Version des Satzes von Schönflies betrachtet wird, an vielen Stellen Kenntnisse der Topologie benötigt.

Mit diesen Grundkenntnissen sollte es möglich sein, ein Verständnis des Beweises zu erhalten und die Komplexität dieses zunächst recht einfach klingenden Satzes zu verstehen.

2 Der Satz von Schönflies

Der Satz von Schönflies wurde erstmals 1908 in dem Buch "Die Entwicklung der Lehre von Punktmannigfaltigkeiten" von Arthur Schönflies veröffentlicht. Ich möchte den Satz in folgender Formulierung betrachten:

Satz. 2.1. Satz von Schönflies

(Beschreibung + Formel in der Downloadversion enthalten)

Hierbei ist

Definition 2.2. Seien X,Y glatte Mannigfaltigkeiten. Eine glatte Einbettung ist eine Einbettung f : X ! Y , so dass f ein Diffeomorphismus auf sein Bild ist.

Bemerkung 2.3. im Folgenden sollen, soweit es nicht anders erwähnt ist, Einbettungen stets glatt sein.

Betrachtet man den Satz von Schönflies, so erkennt man, dass jeder Diffeomorphismus des R2 stets eine Einbettung der S1 induziert. Der Satz formuliert jedoch gerade die umgekehrte Schlussrichtung, die nicht trivial ist. Um den gewünschten Diffeomorphismus zu erzeugen ist man versucht, um die entstandene

(Abbildung 1: Einbettung der S1 in die Ebene - In der Downloadversion enthalten)

Kurve weitere Kurven zu legen und so die Abbildung fortzusetzen (s. Abbildung 1). Auch wenn dies anschaulich funktionieren mag, stellt sich doch die Frage, ob ich hierbei auch noch im Ursprung eine differenzierbare Abbildung schaffen kann, usw.. An diesen Überlegungen merkt man schon, dass hier nicht auf einen formalen Beweis verzichtet werden kann.

Der Satz von Schönflies taucht aber auch in anderen Formulierungen auf. So ist zum Beispiel ebenfalls interessant, ob bei einer homöomorphen Einbettung der S1 immer noch ein Homöomorphismus der Ebene gefunden wird, so dass seine Einschränkung der Einbettung entspricht. Selbst diese scheinbare Vereinfachung ist keinesfalls trivial und ihr Beweis benötigt noch mehr topologische Kenntnisse als hier vorausgesetzt werden. Auch sind Verallgemeinerungen in andere Dimensionen von Interesse. An dieser Verallgemeinerung des Satzes, einer Verschärfung seines Differenzierbarkeitsargumentes und an einer Vereinfachung des Beweises wird noch immer gearbeitet.

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