Das Nautische Dreieck und seine Anwendungen

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

2  Sph arische Trigonometrie mit gerichteten Winkeln  5

2.1  Die S atze der sph arischen Trigonometrie in Eulerschen Dreiecken  5

2.2  Die S atze f ur Eulersche Dreiecke mit gerichteten Winkeln  7

2.3  Die S atze f ur beliebige Dreiecke mit gerichteten Winkeln  10

3  Das Nautische Grunddreieck  17

3.1  Die Himmelskugel  17

3.2  Das  

  Aquatorsystem  18

3.3  Das Horizontsystem  19

3.4  Das Nautische Dreieck  20

4  Auf- und Untergang von Gestirnen  22

4.1  Die Bewegungsgleichungen der Fixsterne  22

4.2  Praktische Anwendung  24

5  Zusammenfassung  29

6  Quellenverzeichnis  30

7  Abbildungsverzeichnis  31

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1 Einleitung

Die Geschichte der Astronomie nahm in 16. Jahrhundert in Folge der Beitr¨ age des Astrono- men Nikolaus Kopernikus (1473-1543) eine dramatische Wende. Nach seinen Studien an der Universit¨ at Krakau, die damals ein weltber¨ uhmtes Zentrum f¨ ur mathematische F¨ acher war, ging er nach Italien und setzte in seinen Theorien anstelle der Erde die Sonne als Zentralge- stirn. Diese angezweifelte Theorie, das sogenannte heliozentrische System setzte sich erst nach der Einf¨ uhrung der Ellipsenbahnen durch Johannes Kepler (1571-1630) durch. Weiter unter- mauerte der italienische Mathematiker Galileo Galilei (1564-1642) mit Hilfe des Teleskops die heliozentrische bzw. die kopernikanische Theorie, indem er anhand seiner Beobachtungen be- weisen konnte, dass sich einzelne Planeten nicht um die Erde sondern um die Sonne drehen 1 .

Den endg¨ ultigen physikalischen Beweis f¨ ur die elliptischen Planetenbahnen um die Sonne lieferte der Physiker Sir Isaac Newton (1643-1727) mit seinem sogenannten Newton’schen Gravitationsgesetz. Dies legte den Grundstein f¨ ur die moderne Astronomie 2 .

Besonders die sph¨ arische Astronomie besch¨ aftigt sich noch heute mit der scheinbaren Bewe- gung der Himmelsk¨ orper infolge der t¨ aglichen Drehung der Erde um sich und der j¨ ahrlichen Bewegung der Erde um die Sonne. Dieses Ph¨ anomen liegt dieser Arbeit zu Grunde, die sich thematisch mit dem Nautischen Dreieck und seiner Anwendung besch¨ aftigt, welches die Be- stimmung der Koordinaten eines Gestirns berechenbar macht.

In der Astronomie spielt die Beobachtung von Sternen eine fundamentale Rolle. Um Sterne beobachten zu k¨ onnen muss man zuerst ihre genaue Himmelsposition ermitteln, ebenso wie den Zeitpunkt zu dem sie dort anzutreffen sind. Ihre genaue Position zu ermitteln ist ohne die Mathematik, genauer die Kugelgeometrie (auch sph¨ arische Trigonometrie genannt) kaum realisierbar. Mit Hilfe der S¨ atze der sph¨ arischen Trigonometrie kann man die Position eines Gestirns, unter Ber¨ ucksichtigung der genauen Koordinaten des Beobachtungsortes, bestim- men. Um alle relevanten Angaben des Gestirns erhalten zu k¨ onnen braucht man zus¨ atzlich noch den Greenwichen Stundenwinkel, mit dem man die ” Mittlere Greenwich-Zeit” des Ge- stirns bestimmen kann. Aus dieser l¨ asst sich die genaue Ortszeit bestimmen und somit auch der zeitliche Verlauf des Gestirns an einem Tag.

Bei der Einf¨ uhrung des Nautischen Dreiecks tritt jedoch ein mathematisches Problem auf, welches in vielen B¨ uchern und selbst im Buch von H.-G. Bigalke, welches die Grundlage mei- ner Arbeit darstellt, ignoriert wird: Bei den ¨ ublicherweise in der sph¨ arischen Trigonometrie betrachteten Eulerschen Dreiecken sind nur ungerichtete Winkel, also Winkel die kleiner als π sind, zugelassen. Azimut und Stundenwinkel im Nautischen Dreieck sind jedoch gerichtete Winkel, also Winkel die kleiner als 2π sind. Somit m¨ ussen die Formeln der sph¨ arischen Geo- metrie f¨ ur die gerichteten Winkel hergeleitet werden.

1 Liebold et al., 1988, S. 236ff 2 Liebold et al., 1988, S. 487f

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Der Schwerpunkt meiner Arbeit liegt im mathematischen Beweis und der Herleitung der S¨ atze der sph¨ arischen Trigonometrie f¨ ur Dreiecke mit gerichteten Winkeln, wobei das Nauti- sche Dreieck ein solches Dreieck ist und der Beweis eine Notwendigkeit darstellt, mit diesem speziellen Dreieck arbeiten zu k¨ onnen.

Im weiteren Verlauf wird das Nautische Dreieck eingef¨ uhrt und die, in diesem Zusammenhang relevanten mathematischen S¨ atze hergeleitet. Mit dem Einf¨ uhren der S¨ atze lassen sich nun die Bewegungsgleichungen der Sterne aufstellen, die die genaue Bewegung der Sterne am Himmel vollst¨ andig beschreiben. Zum Schluss wird die oben genannte Theorie an einem Beispiel, der Sirius ¨ uber Bochum, praktisch verdeutlicht.

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2 Sph¨ arische Trigonometrie mit gerichteten Winkeln

2.1 Die S¨ atze der sph¨ arischen Trigonometrie in Eulerschen Dreiecken

Gegeben sind drei Punkte A, B und C auf der Kugel, die nicht auf einem gemeinsamen

Großkreis liegen. Die drei Großkreise durch je zwei dieser Punkte zerlegen die Kugel in acht

Gebiete. So bilden die drei k¨ urzeren Großkreisbogen AB, BC und CA, wobei hier die k¨ urzeste

Kurve von jeweils zwei Punkten zueinander gemeint ist, das Kugeldreieck ABC. Seine Innen-

winkel, α, β und γ, sind die, die von jeweils zwei seiner Seiten eingeschlossen werden und

< 180 o sind. Die Dreiecksseiten, a, b und c, haben nach der Definition der Großkreisebogen

als k¨ urzeste Kurve zweier Punkte zueinander eine L¨ ange von ≤ 180 o . Diese L¨ ange wird im

Folgenden ebenfalls mit a, b und c bezeichnet. Ein Kugeldreieck, bei dem also die Winkel

< 180 o und die Seitenl¨ angen jeweils ≤ 180 o sind, wird Eulersches Dreieck genannt.

Abbildung 1: Das Eulersche Dreieck (aus Bigalke, 1984. S. 16)

In einem solchen Eulerschen Dreieck gelten die folgenden Zusammenh¨ ange zwischen Seiten

und Winkeln 3 :

Sinussatz:

sin β sin γ sin α

sin a sin b sin c

Seiten-Kosinussatz:

cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α

cos b = cos a · cos c + sin a · sin c · cos β

cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos γ

3 Bigalke, 1984, S. 24ff

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Kotangenssatz: cos a · cos β = sin a · cot c − sin β · cot γ cos b · cos γ = sin b · cot a − sin γ · cot α cos c · cos α = sin c · cot b − sin α · cot β Durch Vertauschen der Seiten und Winkel folgen die weiteren Kotangenss¨ atze. Diese werden im weiteren Verlauf der Arbeit jedoch nicht ben¨ otigt.

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2.2 Die S¨ atze f¨ ur Eulersche Dreiecke mit gerichteten Winkeln

F¨ ur Anwendungen der sph¨ arischen Trigonometrie in der Astronomie ist es zweckm¨ aßig, Drei-

ecke mit gerichteten Winkeln zur Verf¨ ugung zu haben. Dazu ist eine Orientierung der Kugel-

oberfl¨ ache notwendig. In der Astronomie ist die gebr¨ auchliche Konvention – im Gegensatz zu

der in der Mathematik ¨ ublichen – dass ein Winkel im Uhrzeigersinn gemessen wird, wenn man

von außen auf die Kugeloberfl¨ ache schaut. Ein sph¨ arisches Dreieck besteht nun aus drei Punk-

ten A, B und C und (m¨ oglicherweise nicht k¨ urzesten) Großkreisb¨ ogen a , b , c : [0, 1] → S 2

mit

a (0) = B ; a (1) = C

und den gerichteten Winkeln

α = b (1), ˙ c (0)) (− ˙

Betrachtet man das Eulersche Dreieck unter diesen Vorgaben so sind zwei Varianten dieses

Dreiecks m¨ oglich. Abh¨ angig von der Orientierung der, durch die Punkte A, B und C defi-

nierten Kurve, sind die neu eingef¨ uhrten gerichteten Winkel entweder die Innenwinkel des

Dreiecks oder aber deren Komplemente.

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F¨ ur den ersten Fall, bei dem die gerichteten Winkel die Innenwinkel sind, vgl. Abb. 2, besteht kein Unterschied zu dem in Kapitel 2.1 besprochenen Eulerschen Dreieck.

Abbildung 2: Das Eulersche Dreieck mit gerichteten Winkeln 1

Beim zweiten Fall, bei dem die gerichteten Winkel die jeweiligen Komplemente der Innen- winkel sind muss beachtet werden, dass bei jedem beliebigen Winkel ein Vorzeichenwechsel stattfindet, also x → −x, vgl. Abb. 3. Dieser Vorzeichenwechsel hat jedoch keine Auswirkun- gen auf die S¨ atze der sph¨ arischen Trigonometrie. Dies h¨ angt mit den Identit¨ aten

cos(−x) = cosx

zusammen.

Abbildung 3: Das Eulersche Dreieck mit gerichteten Winkeln 2

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