Fuzzy Logik

Inhaltsverzeichnis

  Abbildungsverzeichnis  3

  Einführung  4

1.  Theoretische Grundlagen der Fuzzy Logik  5

1.1  Unscharfe Menge (Fuzzy Set)  5

2.2  Linguistische Variablen  8

2.3  Operatoren auf Fuzzy-Mengen  9

2.4  Fuzzy-Relationen  11

2.5  Fuzzy-Inferenz  12

3.  Unscharfe Regelung (Fuzzy Control)  14

3.1  Allgemeines und Motivation für Fuzzy Control  14

3.2  Das Fuzzy-System bzw der Fuzzy-Regler  16

3.2.1  Der Fuzzifizierer  18

3.2.2  Die Wissens bzw Regelbasis  19

3.2.3  Die Entscheidungslogik  20

3.2.4  Der Defuzzifizierer  20

4.  Praxisbeispiel Kranregelung  21

5.  Zusammenfassung  32

6.  Literaturverzeichnis  33

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Abbildungsverzeichnis

  Abbildung 1: Beispiel Körpertemperatur aus der klassischen Mengenlehre  6

  Abbildung 2: zugehöriges Beispiel Körpertemperatur mit unscharfer Menge  7

  Abbildung 3: Funktion des Zugehörigkeitsgrads µ SF (x) ( 4 S 22)  7

  Abbildung 4: Linguistische Variable und linguistische Terme am Beispiel Farben  9

  Abbildung 5: Gegenüberstellung wesentlicher Merkmale beider Logikmodelle  10

  Abbildung 6: Schnitt Vereinigungs und Komplementärmenge bei Fuzzy-Mengen  

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  Abbildung 7: Der Mensch als überlagerter Regler des Fuzzy-Reglers ( 1 S 137)  16

  Abbildung 8: Struktur eines Fuzzy-Reglers mit 2 Eingangs und 1 Ausgangsgröße  16

  Abbildung 9: Die drei Stufen eines Fuzzy-Systems  17

  Abbildung 10: Struktur einer Fuzzifizierungseinheit eines regelbasierten Ü systems  

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  Abbildung 11: Fuzzy-Controller nach E Mamdani  18

  Abbildung 12: Struktur einer Fuzzy-Inferenzeinheit eines regelbasierten Ü systems  

   19

  Abbildung 13: Struktur einer Defuzzifizierungsein-heit eines regelbasierten Ü  

  systems  21

  Abbildung 14: Prinzip-Skizze für Entladung durch den Containerkran  22

  Abbildung 15: Der Aufbau eines Fuzzy-Reglers für einen Containerkran  22

  Abbildung 16: Beispielhafte Definition der linguistischen Variablen für den Kranregler  

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  Abbildung 17: LV Abstand zwischen Krankopf und Eisenbahnwagen  24

  Abbildung 18: LV Winkel der Last am Krankopf  24

  Abbildung 19: Fuzzifizierung der Eingangsgrößen für konkretes Beispiel  25

  Abbildung 20: Drei mögliche Regeln für die Fuzzy-Inferenz  26

  Abbildung 21: Gültigkeiten der Vorbedingungen der drei Regeln  27

  Abbildung 22: Resultat für die Berechnung der Regelmenge der LV Motorleistung  

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  Abbildung 23: Linguistische Variable Motorleistung des Kranantriebes  29

  Abbildung 24: Bestimmung der typischen Werte jedes Terms zur Defuzzifizierung  

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  Abbildung 25: Ermittlung des Ergebnisses durch Balancieren  31

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Einführung

Eine präzise und vollständige Systemmodellierung ist heutzutage in vielen Anwen- dungsfällen nicht praktikabel bzw. sogar unmöglich. Daher gibt es in der klassischen Regelungstechnik bei dem Entwurf und der Anpassung von Reglern oft mathemati- sche Modelle der Regelstrecke. Wenn eine schnelle und kostengünstige Lösung an- gestrebt wird, hat sich schon seit einiger Zeit der Einsatz unscharfer, qualitativer Me- thoden bewährt. Damit hat man die Möglichkeit eine oftmals teure und langwierige Entwicklung eines Modells zu umgehen. Oft sind diese entwickelten Lösungen sogar robuster und besser als die mit erheblich höherem Aufwand entwickelte klassische Variante ([1], S. 118).

Die Grundidee der Fuzzy-Logik liegt in der Formalisierung menschlichen Problem-

Fuzzy-Logik (englisch: fuzzy = unscharf). Es handelt sich hierbei um eine Modellie- rungstechnik, bei der die menschliche Fähigkeit, Sachverhalte auf einer verhaltens- orientierten Ebene zu erfassen, die Grundlage bildet. Somit ist es möglich sich Hand- lungswissen nutzbar zu machen, z.B. in Form von Verhaltensregeln ([2], S. 5). Im optimalen Fall könnte ein solches System die Leistungsfähigkeit der Person, bzw. der Gruppe von Personen, erreichen, die das entsprechende Wissen zu Verfügung gestellt haben ([1], S. 118). Die Anwendungsgebiete der Fuzzy Logik sind sehr diffe- renziert, z.B. in der Technik, der Medizin, den Wirtschaftswissenschaften, der Physik oder der Mathematik. Dabei geht es in den verschiedenen Bereichen um Anwen- dungsfelder wie z.B.:

N Kontrollaufgaben, z.B. Regelungstechnik (fuzzy control)

N Klassifizierung und Kategorisierung

N Entscheidungsfindung

N Optimierung

N Mustererkennung

N Signalverarbeitung

N Managementaufgaben (z.B. Betriebsführung, Störfallmanagement)

N Fuzzy-Hardware-Realisierung für Spezialgebiete

N Im Bereich der künstlichen Intelligenz

N Entwurf hybrider Systeme uvm. ([3], S. 61)

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1. Theoretische Grundlagen der Fuzzy Logik

Im folgenden sollen die grundlegenden Begriffe zum Verstehen eines Fuzzy-Systems erklärt werden. Die genaueren Zusammenhänge zwischen den einzelnen Begriffen werden teilweise in den folgenden Kapiteln, aber vor allem auch in den Kapiteln zum Fuzzy-Controler und im Praxisbeispiel erläutert.

1.1 Unscharfe Menge (Fuzzy Set)

Bei der Analyse einer unscharfen Regel werden natürlichsprachliche Begriffe wie z.B. „hohe Temperatur“ benutzt. Diese sind im mathematischen Sinne keine präzisen Angaben, sondern repräsentieren vielmehr ungenaue, qualitative Informationen. Es stellt sich nun die Frage wie man vage Konzepte mit geeigneten mathematischen Formalismen beschreiben könnte. Der Ausgangspunkt der folgenden Betrachtungen ist dabei die klassische Mengenlehre ([1], S. 119). Diese klassische Mengenlehre soll allerdings an dieser Stelle nur anhand eines Beispiels erläutert werden, um den Un- terschied zur ungenauen Menge zu verdeutlichen. In der klassischen Mengenlehre bezeichnet eine Menge ein präzises und scharf umgrenztes Konzept mit einer fest definierten Anzahl von Elementen. Dazu sieht man in Abbildung 1 ein Beispiel zu den Körpertemperaturen, die bei einem Menschen als Fieber bezeichnet werden. Hier werden alle Patienten ab einer Körpertemperatur von 39,2°C zu einer Menge von Personen mit „starkem Fieber“ zusammengefasst. Alle Patienten mit einer erfassten Körpertemperatur unterhalb dieses Wertes werden als Menge ohne „starkes Fieber“ bezeichnet. Man sieht bereits an diesem Beispiel, dass es eine klare und definierte Abgrenzung der Werte gibt.

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Abbildung 1: Beispiel „Körpertemperatur“ aus der klassischen Mengenlehre ([4], S. 20)

Betrachtet man nun im Gegensatz dazu das zugehörige Beispiel zu der unscharfen Menge, dann sieht man in Abbildung 2 schon einen erheblichen Unterschied. Es gibt hier zwar auch Körpertemperaturen, die kein „starkes Fieber“ bedeuten und solche die definitiv „starkes Fieber“ bedeuten, aber im Gegensatz zur klassischen Mengen- lehre existieren hier auch Werte die nicht ganz eindeutig zugeordnet werden können. Es gibt sozusagen Abstufungen, die der menschlichen Wahrnehmung nachempfun- den sind. So könnte beispielsweise eine Temperatur von 38,9°C als „Fieber“, aber nicht als „starkes Fieber“ bezeichnet werden. Wenn man diesen Zusammenhang ma- thematisch betrachtet, so wird jeder möglichen Körpertemperatur ein Grad zugeord- net, in dem diese starkem Fieber entspricht. In der Fuzzy-Logik wird dieser Grad als Zugehörigkeitsgrad µ(x) bezeichnet. In unserem Beispiel wäre es der Zugehörig- keitsgrad µ SF (x) des Elementes x / X zur Menge „starkes Fieber“ SF.

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Abbildung 2: zugehöriges Beispiel „Körpertemperatur“ mit unscharfer Menge ([4],S. 21)

Die Körpertemperatur wird dabei als Basisvariable x und der Wertebereich der Ba- sisvariablen mit X bezeichnet. Man könnte aus der Abbildung 2 dann ableiten, dass ein Wert von 35°C definitiv kein „starkes Fieber“ und ein Wert von 42°C ganz klar „starkes Fieber“ bedeuten würde. Alle Werte dazwischen würden dann mehr oder weniger „starkes Fieber“ bedeuten. Die Darstellung mit dem Zugehörigkeitsgrad könnte nun wie folgt aussehen:

µ SF (35°C) = 0

µ SF (38°C) = 0,1 µ SF (40°C) = 0,65 µ SF (41°C) = 0,9 µ SF (42°C) = 1 Diese Zusammenhänge lassen sich auch als Funktion darstellen, siehe Abbildung 3.

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Nachdem der Zusammenhang zwischen Zugehörigkeitsgrad und Basisvariable er- klärt wurde, ist verständlich warum die Fuzzy-Menge auch als Verallgemeinerung der klassischen Menge zu verstehen ist. Bei der klassischen Mengenlehre gehört ein Element entweder zu einer Menge (µ=1) oder es gehört aber eben nicht zu dieser Menge (µ=0). Wie oben beschrieben ist diese Zuordnung bei der Fuzzy-Menge et- was differenzierter zu betrachten ([5], S. 6).

2.2 Linguistische Variablen

Ein grundlegender Begriff, der auch noch einige Male in den folgenden Kapiteln auf- tauchen wird ist die Linguistische Variable. Linguistische Ausdrücke, welche aus linguistischen Variablen (LV), linguistischen Termen bzw. Werte (LT bzw. LW) und linguistischen Operatoren bestehen, sind eine Grundvoraussetzung zur Interpretation umgangssprachlicher Ausdrücke. Die Begriffe linguistische Variable und linguistische Werte bzw. Terme sind der klassischen Mathematik nachempfunden. Dabei ist die

LV bzw. linguistische Kenngröße als übergeordneter Begriff zu verstehen, der durch

die verschiedenen zugehörigen LW charakterisiert wird. Oder anders ausgedrückt, die LV kann im konkreten Fall die einzelnen LW annehmen. Z.B. könnte die linguisti- sche Variable „Farbe“ durch die linguistischen Werte „Violett“, „Blau“, „Grün“, „Gelb“, „Orange“ oder „Rot“ beschrieben werden. Die einzelnen Farben (LW) lassen sich alle auf einer gemeinsamen scharfen (numerischen) Grundmenge X, hier die Menge aller Wellenlängen, definieren (vgl. Abbildung 4). D.h. zusammenfassend ist zu sagen, dass eine linguistische Variable aus dem Namen der LV, der Summe aller einzelnen LW, den Namen aller einzelnen LW und der numerischen Grundmenge X mit klassi- scher Basisvariablen x besteht ([6], S. 170). Auf die bereits genannten linguistischen Operatoren soll hier nicht weiter eingegangen werden.

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Abbildung 4: Linguistische Variable und linguistische Terme am Beispiel Farben ([6], S. 170)

2.3 Operatoren auf Fuzzy-Mengen

Ähnlich wie in der klassischen Logik gibt es auch in der Fuzzy-Logik grundlegende Operatoren mit deren Hilfe man Elemente bzw. Mengen miteinander verknüpfen kann. Auf die genauen Inhalte der klassischen Logik wird hier nicht weiter eingegan- gen, da exakte Ausführungen den Rahmen dieser Arbeit sprengen würden und die Grundzüge bekannt sein sollten. Die klassische Logik ist hauptsächlich geprägt durch die Begriffe UND-, ODER- und NICHT-Operator, sowie dem Implikationsopera- tor und dem Äquivalenzoperator. Es ist nun naheliegend die Fuzzy-Aussagenlogik ähnlich der klassischen Aussagenlogik zu formulieren. Dieses könnte man erreichen indem man die genannten Operatoren fuzzifiziert. Zum Beispiel würde es dann zum logischen UND ein fuzzy-logisches UND geben. Diese beiden Logikmodelle lassen sich hinsichtlich ihrer wesentlichen Merkmale zusammenfassen und gegenüberstel- len (siehe Abbildung 5). Auf die mathematischen Betrachtungen, wie der Übergang von der klassischen zu Fuzzy Logik zu realisieren ist, soll hier verzichtet werden.

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