Implementierung elasto-plastischer Materialgesetze

Danksagung

Ich bedanke mich ganz herzlich bei meinem Dozenten Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Thomas Böhlke für die interessante, motivierende und fordernde Aufgabenstellung. Mein ganz tiefer und aufrichtiger Dank richtet sich an meinen Betreuer Dipl.-Ing. Dipl.-Math. techn. Felix Fritzen, der mir immer mit Rat und Tat zur Seite stand und mir damit eine groÿe Hilfe war. Auÿerdem möchte ich meiner Freundin Ilona für die Unterstützung durch die Korrektur meines Textes danken.

Inhaltsverzeichnis

  Inhaltsverzeichnis  

1  Einleitung  1

2  Plastizitätstheorie  3

2.1  Kinematik  3

2.2  Bilanzgleichungen  5

2.3  Ratenunabhängige Plastizität  6

2.4  Spezielle Plastizitätsmodelle  8

2.4.1  von Mises-Plastizität  8

2.4.2  Einkristall-Elastoplastizität  14

3  Zeitintegration  19

3.1  Rückwärts-Euler Algorithmus  19

3.2  Variationsformulierung  20

3.3  Globales Problem  22

3.3.1  Einführung  22

3.3.2  Algorithmisch konsistente Tangente  23

4  Beispiele  25

4.1  Konsistente Linearisierung der von Mises-Plastizität  25

4.1.1  Motivation  25

4.1.2  Zeitliche Diskretisierung des Materialgesetzes  25

4.1.3  Newton-Verfahren zur Bestimmung von γ  27

4.1.4  Algorithmisch konsistente Tangente  27

4.2  Variationsformulierung der Einkristallplastizität  28

5  Ergebnisse  35

5.1  Einleitung  35

5.2  von Mises-Plastizität  35

5.2.1  Zylinder  35

5.2.2  Leichtbauträger  38

5.3  Kristallplastizität  42

5.3.1  Lochscheibe  42

5.3.2  Polykristalline Einheitswürfel  45

5.3.3  Zylinder  53

6  Diskussion und Ausblick  55

I

Inhaltsverzeichnis

  A Tensorrechnung  I

  A 1 Grundoperationen  I

  A 2 Darstellung von Tensoren  II

  A 3 Tensor-Produkte  II

  A 4 Basistransformation  III

  A 5 Einheitstensoren und Projektoren  IV

  A 6 Tensordierentiation  IV

  Literaturverzeichnis  V

II

Abbildungsverzeichnis

2.1 Kinematische Grundbeziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Darstellung der Plastizierung anhand eines Federmodells . . . . . . . . . . 7

2.3 von Mises-Flieÿäche im Hauptspannungsraum . . . . . . . . . . . . . . . 9

Schnitt durch die von Mises-Flieÿäche in σ 1 σ 2 -Ebene vor und nach iso-2.4

troper Verfestigung und zyklische, isotrope Verfestigungskurve . . . . . . . . 10

2.5 Voce-Verfestigungskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Schnitt durch die von Mises-Flieÿäche in der σ 1 σ 2 -Ebene vor und nach 2.6

isotroper und kinematischer Verfestigung und zyklischer Zugversuch mit nichtlinearer isotroper und kinematischer Verfestigung . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Absättigung der Rückspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Perfekte Plastizität mit und ohne Ratenabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . 14

2.9 kubisch-ächenzentrierte Elementarzelle mit eingezeichneter Gleitebene und Stufenversetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.10 Verfestigungskurve bei einem aktiven Gleitsystem α . . . . . . . . . . . . . 17 2.11 Viskose Überspannung in Abhängigkeit vom Betrag der Dehnrate . . . . . . 17

4.1 Ausgangs- und gedrehtes Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 Zylinder mit Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Verschiebungsamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 symC algo 24 und skwC algo 5.3 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 symC algo 26 und skwC algo 5.4 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Verhältnis V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.5

5.6 Vergleich Zeit/Zeitschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.7 von Mises-Vergleichsspannung, asymmetrische und symmetrische Rechnung 37

5.8 Äquivalente plastische Dehnung, asymmetrische und symmetrische Rechnung 37

5.9 Träger mit Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.10 Verschiebungsamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.11 Verteilung der Vergleichspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.12 Verteilung der äquivalenten plastischen Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.13 Verteilung der Norm der Rückspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.14 Spannnungs-Dehnungs-Kurve zu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.15 Kraft-Verschiebungs-Kurve zu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.16 Spannnungs-Dehnungs-Kurve 2 und 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.17 Rückspannungs-Dehnungs-Kurve zu 2 und 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

III

Abbildungsverzeichnis

giger Plastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

isochoren Zugversuch in y-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.36 Schmid-Spannung τ 1 und akkumulierte plastische Gleitung ν 1 beim isochoren Zugversuch in y-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

such in x y-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.39 Schmid-Spannung τ 8 und akkumulierte plastische Gleitung ν 8 beim Scherversuch in x y-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Zugbelastung in y-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.43 Eektive, akkumulierte Gleitungen bei grobem und feinem Netz nach iso-chorer Zugbelastung in y-Richtung am gesamten Würfel . . . . . . . . . . . 50 5.44 Eektive, akkumulierte Gleitungen bei grobem und feinem Netz nach iso-chorer Zugbelastung in y-Richtung an einem periodisch fortgesetzten Korn . 51 5.45 Akkumulierte Gleitungen im Gleitsystem 2 bei grobem und feinem Netz nach isochorer Zugbelastung in y-Richtung am gesamten Würfel . . . . . . . 51 5.46 von Mises-Vergleichsspannung bei grobem und feinem Netz nach Scherung in der x y-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.47 Aktive Gleitsysteme bei grobem und feinem Netz nach Scherung in der x y- Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.48 Eektive, akkumulierte Gleitung bei grobem und feinem Netz nach Scherung in der x y-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV

  Abbildungsverzeichnis  

5.50  von Mises-Vergleichsspannung und eektive, akkumulierte Gleitung mit  

  eingezeichneter Orientierung  53

5.51  Schmid-Spannung τ 4 und akkumulierte Gleitung ν 4  54

5.52  Schmid-Spannung τ 8 und akkumulierte Gleitung ν 8  54

5.53  Schmid-Spannung τ 10 und akkumulierte Gleitung ν 10  54

V

Abbildungsverzeichnis

VI

Kapitel 1

Einleitung

Durch den stark gestiegenen Kostendruck in Industrie und Forschung und die ebenso stark gestiegene Rechenleistung ist es heute einerseits notwendig, auf der anderen Seite aber auch möglich, teure Versuche an Bauteilen und Systemen zum groÿen Teil durch Computersimulationen zu ersetzen. Wo Versuche nicht vollständig ersetzt werden können, leisten Simulationsrechnungen häug trotzdem nennenswerte Beiträge zur optimalen Auslegeung von Versuchen und Bauteilen. Diese Entwicklung hat sich auch im Feld der Kontinuumsmechanik durchgesetzt.

So werden heute die in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch Wissenschaftler wie von Mises oder Schmid entdeckten und von anderen weiterentwickelten Gesetzmäÿigkeiten im Bereich der Metallplastizität durch geeignete Rechneranwendungen numerisch lösbar und damit auch zur Auslegung von Produkten nutzbar. Auf diese Weise können sie leichter, sicherer oder kostengünstiger gestaltet werden und damit zur Wertschöpfung einen groÿen Beitrag leisten.

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit werden zwei verschiedene Lösungvarianten für Plastizitätsmodelle implementiert und evaluiert.

Zum einen wird eine klassische Formulierung der von Mises-Plastizität mit Einbeziehung der nichtlinearen kinematischen Verfestigung nach Frederick-Armstrong

[Armstrong 66] aufgestellt. Plastizität nach von Mises ist dort einsetzbar, wo keine oder vernachlässigbar kleine Anisotropien bei der Belastung eines metallischen Bauteils auftreten.

Da aber in vielen Fällen beim Einsatz kristalliner Werkstoe starke Anisotropien auftreten, ist es notwendig, diese in einem entsprechenden Modell zu berücksichtigen. Dazu wurde unter Verwendung der freien Helmholtz-Energie eine Variationsformulierung implemetiert, die es ermöglicht, die Plastizität für den kubisch-ächenzentrierten Gittertyp im Rahmen kleiner Deformationen zu beschreiben.

Die Materialformulierungen werden für die in Forschung und Industrie verbreitete FEM-Software ABAQUS/Standard über die Benutzerschnittstelle UMAT unter Verwendung des Fortran 90-Standards implementiert. Die implementierten Materialgesetze werden in numerischen Simulationen verwendet und deren Ergebnisse diskutiert.

Hinweis: Die in dieser Arbeit verwendete Notation von Tensoren und Operatoren wird im Anhang beschrieben.

1

2

Kapitel 2

Plastizitätstheorie

2.1 Kinematik

Verformungen von Körpern lassen sich als Übergang von einer Lage in einer Anfangsplatzierung X in eine Lage in einer Momentanplatzierung x ausdrücken [Truesdell 65]. Je nachdem, ob ein Deformationsprozess aus Sicht der Anfangsplatzierung oder aus Sicht der Momentanplatzierung beschrieben wird, handelt es sich um die raumfeste oder Lagrangesche bzw. die materielle oder Eulersche Betrachtungsweise. Das Vektorfeld, welches von der Lage in der Anfangs- zur Lage in der Momentanplatzierung zeigt, wird als Verschiebungsfeld u bezeichnet. Abb. 2.1 veranschaulicht den Sachverhalt. Für das Verschiebungsfeld gilt also

u = x − X.

Der Zusammenhang zwischen den Platzierungen ergibt sich aus der Betrachtung der Linienelemente dx und dX als

∂x

dx = dX = Grad(x) dX = F dX.

∂X

F wird als Deformationsgradient bezeichnet. Es handelt sich um den Tensor, der die Beziehung zwischen Anfangs- und Momentanplatzierung in der Lagrangeschen Betrachtungsweise herstellt. Er wird als Gradient der Lage in der Momentanplatzierung bezüglich der

2.1 Kinematik

Lage in der Anfangsplatzierung Grad(·) := ∂ X (·) berechnet. Auf ähnliche Weise lässt sich der Verschiebungsgradient

∂u

= Grad(u) = F − 1 H =

∂X

angeben. In dieser Darstellungsweise gilt für den Green-Lagrangeschen Verzerrungs-tensor

E =

. quadratischen Terms H H zum innitesimalen Verzerrungstensor mit 1 H + H

Für kleine Verzerrungen mit H 1 vereinfacht sich E unter Vernachlässigung des 2

ε =

= sym (Grad(u)) . (2.1) In diesem Kontext kann zwischen raumfester und materieller Betrachtungsweise nicht un-

terschieden werden. Deshalb ist auch der Gradient bezüglich der Lage in der Momentan-

∂X = sym (grad(u)) .

Die Geschwindigkeit ist als Ableitung der Lage in der Momentanplatzierung x nach der Zeit t deniert. Es gilt also

(2.2)

v = dx

dt ∂X ∂X ∂x

= ˙ F F −1 .

2.2 Bilanzgleichungen

Die Plastizitätstheorie befasst sich als Erweiterung der Elastizitätstheorie mit dem Materi-

alverhalten bei irreversiblen Verformungen. Hierbei treten Nichtlinearitäten auf. Durch die

Belastung auf Grund der Einwirkung von Kräften oder Verschiebungen treten an Körpern

Verformungen und innere Spannungen auf, um einen Gleichsgewichtszustand zu erreichen.

Mathematisch lässt sich diese Tatsache in sogenannten Bilanzgleichungen formulieren. Es

lassen sich so die drei fundamentalen Bilanzgröÿen Masse, Impuls und Energie darstellen.

Die Massenbilanzgleichung enthält den Massenstrom ˙ m, die Massendichte ρ, das materi-elle Volumenelement dv und das materialle Flächenelement da = n da mit dem äuÿeren

Normalenvektor n. Sie lässt sich als d ρ v · n da = 0 ˙ m = ρ dv = ˙ ρ dv + (2.4) dt v v ∂v

darstellen [Truesdell 60]. Unter Verwendung des Gaussschen Integralsatzes ergibt sich

˙ ρ dv + div(ρ v) dv = 0.

v v

ergibt sich die lokale Form der Massenbilanzgleichung ˙ ρ + div(ρ v) = 0, da (2.4) für alle Teilvolumina gilt.

Der Impuls p besteht aus dem Massendichtefeld ρ und dem Geschwindigkeitsfeld v:

p = ρ v dv.

V

Die Impulsbilanz besagt, dass die zeitlichen Änderungen des Impulses ˙ p unter der Annahme

konstanter Masse (2.4), ausschlieÿlich von auÿen auf einen Körper einwirken können. Dies

t da und die Volumenkraft ρ b dv: geschieht über die Oberächenkraft

˙ ρ ˙ p = v dv = ρ b dv + ∂V

v v

t da.

Unter Verwendung des Lemma von Cauchy t = σn, dem äuÿeren Normalenvektor n und

mit erneuter Anwendung des Gaussschen Integralsatzes folgt für Gebiete ohne singuläre ∂v σn da =

v

Flächen t da = ∂v

Die Impulsbilanz für den Körper lautet also v dv = ρ b dv +

v v v

div(σ) dv. ρ ˙

div(σ) dv. Da diese Beziehung auch für innitesimale Körper gilt, ergibt sich die lokale Form der Implusbilanz zu ρ ˙

v = div(σ) + ρ b.