Schmitt, Michael
Thema:
,,Die
l'Hospitalschen
Regeln"
(Facharbeit in Mathematik)
1
Schule: Freiherr-vom-Stein-Gymnasium
Schuljahr:
1998/1999
Freiherr-vom-Stein-Strasse Kurs:
LK
G1
-
Bn
57518
Betzdorf-Kirchen
Fach:
Mathematik
Name des Schülers:
Schmitt, Michael
Thema: ,,Die
l'Hospitalschen
Regeln"
Name des Fachlehrers:
Herr Steiner
Ausgabetermin des Themas:
01.03.1999
Abgabetermin der Arbeit:
______________________________________ ______________________________________
(Unterschrift des Schülers) (Unterschrift des Fachlehrers)
Die vorliegende Facharbeit wurde am
___________________________
eingereicht.
Note:
_________________________
/
____________________
Punkte
______________________________________
(Unterschrift des Fachlehrers)
2
Inhaltsverzeichnis
Seite
1.
Einführung
in
die
Thematik 3
1.1. Eingrenzung und Erklärung
des
Themengebietes
3
1.2.
Die
Geschichte
der
Analysis
3
1.3.
Der
Begriff
des
Grenzwertes
4
1.4.
Herkunft
der
l'Hospitalschen
Regeln
5
2.
Herleitung und Beschreibung der l'Hospitalschen Regeln
5
2.1. Herleitung und Beweis der 1. l'Hospitalschen Regel
5
2.2.
Weitere
l'Hospital
Regeln 6
2.3.
Die
unbestimmten
Ausdrücke
7
3.
Anwendungen
8
3.1. Vergleich der l'Hospitalschen Regeln mit bekannten Regeln
8
3.2. Anwendung der l'Hospitalschen Regeln in der Analysis
10
4.
Zusammenfassung
11
Quellenverzeichnis
12
Verzeichnis der Zitate und sinngemäßen Übernahmen
13
Erklärung
14
3
1. Einführung in die Thematik
1.1 Eingrenzung und Erklärung des Themengebietes
Die l'Hospitalschen Regeln sind Grenzwertregeln. Sie finden ihre Anwendung in der
Analysis und werden verwendet, um Grenzwerte von Funktionen der Form
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f
=
zu bestimmen. Dies trifft insbesondere für gebrochen rationale Funktionen des Aussehens
2
2
)
(
x
d
x
c
x
b
x
a
x
f
+
+
=
o.ä. zu. Mit Hilfe der l'Hospitalschen Regeln können aber auch
Grenzwerte von Funktionen anderen Aussehens bestimmt werden. Um also z.B. den
Grenzwert einer ganz rationalen Funktion der Form
2
)
(
x
b
x
a
x
f
+
=
o.ä. zu bestimmen,
muss diese zunächst auf die oben schon erwähnte Form
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f
=
gebracht werden.
Dies ist normalerweise für jede Funktion möglich.
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion
3
sin
)
(
x
x
x
f
=
. Die l'Hospitalschen Regeln lassen sich nicht auf
diese Funktion anwenden. Sie lässt sich aber durch einfaches Umformen auf die Form
3
3
sin
1
sin
)
(
-
=
=
x
x
x
x
x
f
bringen. Erst jetzt kann man die l'Hospitalschen Regeln verwenden.
Die Analysis ist eine Sammelbezeichnung für ein mathematisches Teilgebiet. Dieses
Gebiet beinhaltet unter anderen das der Infinitesimalrechnung, worunter man eine
zusammenfassende Bezeichnung für Differentialrechnung und Integralrechnung versteht.
Die l'Hospitalschen Regeln sind Teilgebiet der Differentialrechnung.
1.2. Die Geschichte der Analysis
Die ersten Beiträge zur Analysis lieferte bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. Archimedes
(287-212 v.Chr.).
Die Gedanken und Aussagen dieser "Alten", zu denen Archimedes zählt,
wurden nur ungeordnet und ohne erkennbar regelmäßig oder durchgehaltene Methode überliefert.
4
Doch obwohl sie nicht weit gekommen sind, hatten sie nach Aussage von Vieta den richtigen Weg
eingeschlagen
.
1
In den nächsten Jahrhunderten haben sich die meisten großen
Mathematiker nur damit beschäftigt, die Vorlagen der "Alten" zu kommentieren und zu
übersetzen.
Erst René Descartes (1596-1650) wandte sich von diesen Gedanken ab und fing dort
an, wo die "Alten" aufgehört hatten. Er beschäftigte sich hauptsächlich mit dem Lösen von
Gleichungen. Kurven hingegen wurden untersucht von Blaise Pascal (1623-1662).
1
Alle bisher
kennengelernten Methoden wurden aber schließlich abgelöst durch die des Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Er und Isaac Newton (1643-1727) gelten im Allgemeinen zu den
Entdeckern der Differentialrechnung.
2
Vielen Mathematikern Europas, unter ihnen auch de
l'Hospital oder Johann Bernoulli (1667-1748), nutzten die Methoden des Leibniz
um
Schwierigkeiten überwinden zu können, die man vorher nie anzugehen gewagt hätte.
3
Auch
Newton löste mit seinen Methoden, die er 1687 in seinem Buch "Philosophia naturalis
principia Mathematica" veröffentlichte, viele Probleme der Differentialrechnung
. Zwischen
Leibniz und Newton kam es im 17. Jahrhundert zum sogenannten Prioritätsstreit, der aber
aufgrund der Tatsache, dass sich schon lange vor ihrer Zeit Mathematiker mit der
Differentialrechnung beschäftigt hatten, beendet.
4
1.3. Der Begriff des Grenzwertes
Grenzwerte sind notwendig, um das Verhalten von Funktionen für
+
x
, für
-
x
oder aber für
0
x
x
, wobei
0
x
ein bestimmter Zahlenwert sein soll, zu bestimmen, und
um somit wichtige Erkenntnisse über die Form und das Aussehen der vorliegenden
Funktion zu ziehen und diese schnell und entsprechend der Funktionvorschrift skizzieren
zu können. Deswegen ist bei Kurvendiskussionen das sogenannte Verhalten im
Unendlichen besonders erforderlich, weil dort zuletzt das exakte Skizzieren der Funktion
verlangt wird.
Definition "Grenzwert":
Eine Funktion
)
(x
f
x
hat in
0
x
einen Grenzwert
g
, wenn
)
(
x
f
in einer beliebig kleinen
Umgebung von
g
liegt, falls nur
x
in einer hinreichend kleinen Umgebung von
0
x
liegt, die
0
x
nicht zu enthalten braucht. Es kann auch sein, dass bei rechts- und linksseitiger Annäherung an
0
x
verschiedene Grenzwerte entstehen. Die Funktion hat in
0
x
nur dann einen Grenzwert, wenn
die Grenzwerte bei Annäherung von beiden Seiten gleich sind. Ist dieser Grenzwert außerdem
noch gleich dem Funktionswert
)
(
0
x
f
, dann heißt die Funktion in der Umgebung von
0
x
stetig.
5
Vorraussetzung für die Existenz eines Grenzwertes ist, dass
)
(x
f
in der Umgebung von
0
x
definiert ist ;
0
x
muss nicht dem Definitionsbereich angehören: z.B. hat die Funktion
0
2
0
2
)
(
x
x
x
x
x
f
-
-
=
den Grenzwert
0
2 x
, wenn
x
gegen
0
x
strebt obwohl
0
x
nicht zu ihrem
Definitionsbereich gehört.
Schreibweise:
g
x
f
x
x
=
)
(
lim
0
(lim Abkürzung von Limes, lateinisch, übersetzt: Grenzwert)
1
1.4. Herkunft der l'Hospitalschen Regeln
Entstanden sind die l'Hospitalschen Regeln durch einen Entwurf des französischen
Mathematikers Guillaume F. de l'Hospital (1661-1704), veröffentlicht ohne Angabe von
Beweisen in seinem Buch ,,Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes
courbes" (deutsch: ,,Analyse des unendlich Kleinen, für die Kurvendiskussion") im Jahre
1696.
Es erschien im Pariser Verlag ,,Imprimerie Royale" und 1988 in einem unveränderten
Nachdruck im Verlag ,,ACL-editions", Paris. Dieses Buch ist historisch gesehen das erste Buch der
Differentialrechnung. Die erläuterte Analysis aus diesem Werk unterscheidet sich von der
gewöhnlichen Analysis, denn sie behandelt auch unendlich kleine Differenzen.
2
Die Entwürfe
des de l'Hopsital beruhen hierbei auf den Methoden von Gottfried Wilhelm Leibniz, von
dem de l'Hospital ein großer Anhänger war.
2. Herleitung und Beschreibung der l'Hospitalschen Regeln
2.1. Herleitung und Beweis der 1. l'Hospitalschen Regel
Die 1. l'Hospitalsche Regel lässt sich beweisen mit Hilfe des Mittelwertsatzes der
Differentialrechnung, der folgendermaßen lautet:
Eine im Intervall
b
x
a
differenzierbare Funktion
)
(x
f
y
=
hat im Innern des Intervalls
mindestens eine Stelle
, für die
a
b
a
f
b
f
f
-
-
=
)
(
)
(
)
(
bzw.
)
(
)
(
)
(
)
(
f
a
b
a
f
b
f
-
+
=
. Man
kann diesen Satz auch etwas verändert darstellen, indem man
1
0
mit
<
<
+
=
h
a
und
h
a
b
+
=
setzt:
)
(
)
(
)
(
h
a
f
h
a
f
h
a
f
+
+
=
+
.
3
6
Mit dieser veränderten Darstellung lässt sich nun die
1. l'Hospitalsche Regel
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
v
x
u
x
v
x
u
a
x
a
x
=
1
beweisen. Gegeben ist eine gebrochene Funktion
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f
=
.
Nun
seien
0
)
(
=
a
u
und
0
)
(
=
a
v
. Zudem muss vorausgesetzt sein, dass die Funktion im Zähler sowie
die Funktion im Nenner in einer gemeinsamen Umgebung von
a
x
=
0
differenzierbar sind und
dass der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen der beiden Funktionen für
a
x
existiert.
2
Beweis:
Wenn nun
x
gegen
a
läuft, kann man
h
a
x
+
=
setzen, indem man
h
gegen 0 laufen
lässt:
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
h
a
v
h
a
u
x
v
x
u
h
a
x
+
+
=
; der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lässt sich nun auf
Zähler und Nenner anwenden:
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
2
1
0
h
a
v
h
a
v
h
a
u
h
a
u
h
a
v
h
a
u
o
h
h
+
+
+
+
=
+
+
. Wegen obiger
Voraussetzung erhält man:
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
2
1
0
2
1
0
h
a
v
h
a
u
h
a
v
h
a
v
h
a
u
h
a
u
h
h
+
+
=
+
+
+
+
3
;
nun macht man
den ersten Schritt des Beweises wieder rückgängig
:
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
2
1
0
x
v
x
u
h
a
v
h
a
u
a
x
h
=
+
+
, wegen
obiger Vorraussetzung gilt auch, dass dieser Grenzwert existiert.
4
q.e.d.
Nun ergibt sich folgende Regel von l'Hospital: Wenn
0
)
(
=
a
u
und
0
)
(
=
a
v
, dann gilt
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
v
x
u
x
v
x
u
x
v
x
u
x
v
x
u
a
x
a
x
a
x
a
x
=
=
=
usw. Der Grenzwert ergibt sich also aus dem
Quotienten der Ableitungen des Zählers und Nenners. Wenn jedoch
)
(x
u
und
)
(x
v
ebenfalls 0 sind, so ergibt sich der Grenzwert aus dem Quotienten der 2. Ableitungen des
Zählers und des Nenners, usw.
2.2. Weitere l'Hospital Regeln
Neben der in Abschnitt 2.1. hergeleiteten und bewiesenen 1. l'Hospitalschen Regel gibt es
noch drei weitere Regeln, die sich nur in den Voraussetzungen und in den von
x
angenommenen Werten von der 1.Regel unterscheiden. Bei allen vier Regeln wird
vorausgesetzt,
dass der Grenzwert
)
(
)
(
lim
x
v
x
u
a
x
existiert.
5
Die erste und die dritte
l'Hospitalsche Regel haben gemeinsam, dass mit ihnen der Grenzwert für
a
x
, d.h.
x
läuft nur bis zu einem bestimmten Zahlenwert, bestimmt wird. Im Gegensatz zur ersten
7
Regel, bei der die Funktionen des Zählers bzw. des Nenners für
a
x
=
das Ergebnis 0
haben,
wird bei der zweiten l'Hospitalschen Regel vorausgesetzt, dass die Nennerfunktion für
a
x
gegen unendlich strebt.
1
Diese unterschiedlichen Voraussetzungen haben auf die
Form der Regel keinerlei Einfluss, d.h. die zweite l'Hospitalsche Regel hat genau wie die
erste folgendes Aussehen:
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
v
x
u
x
v
x
u
a
x
a
x
=
2
.
Bei den anderen beiden Regeln, der zweiten und der vierten l'Hospitalschen Regel, wird
der Grenzwert für
x
bestimmt. Sie haben ebenfalls beide exakt das gleiche
Aussehen:
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
v
x
u
x
v
x
u
x
x
=
.
3
Bei ihnen gelten die gleichen Unterschiede wie bei den
vorigen Regeln:
Bei der zweiten l'Hospitalschen Regel haben die Funktionen des Zählers und
des Nenners für
x
das Ergebnis 0; bei der vierten Regel soll die Nennerfunktion für
x
gegen unendich streben.
4
2.3. Die unbestimmten Ausdrücke
Bei der Anwendung der l'Hospitalschen Regeln können häufig aus Funktionen für einen
bestimmten Wert
0
x
x
=
folgende
sogenannte unbestimmte Ausdrücke entstehen:
0
0
(für
Funktion der Form
)
(
)
(
x
v
x
u
),
(
)
(
)
(
x
v
x
u
),
0
(
)
(
)
(
x
v
x
u
),
0
(
)
(
)
(
x
v
x
u
),
0
0
(
)
(
)
(
x
v
x
u
),
1
(
)
(
1
x
v
) und
-
(
)
(
)
(
x
v
x
u
-
).
5
Bei den zuletzt genannten Ausdrücken muss zunächst
jeweils durch Umformung einer der beiden zuerst genannten Ausdrücke
0
0
oder
erreicht werden. Diese Formen sind sinnlos, sie ergeben sich, wenn man mit dem Wert
a
x
=
den Funktionswert ausrechnet. Um nun den Grenzwert solcher Funktionen zu
bestimmen, bildet man getrennt für Zähler und Nenner die 1. Ableitung und setzt für
x
erneut den Zahlenwert
a
x
=
ein und errechnet wiederum den Funktionswert. Diese
Methode wiederholt sich bis ein Zahlenwert gefunden wird oder bis keine Ableitung mehr
gebildet werden kann.
Beispiele:
1.
32
20
12
2
8
2
lim
3
2
3
2
+
-
+
+
-
x
x
x
x
x
x
; durch einsetzen von
2
=
x
ergibt sich der Ausdruck
0
0
.
8
4
3
8
6
lim
20
3
2
16
6
lim
32
20
12
2
8
2
lim
2
2
2
2
3
2
3
2
-
=
-
-
=
-
+
-
=
+
-
+
+
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
2.
2
0
1
sin
1
lim
x
x
x
; wenn
x
gegen 0 läuft, erhält man den Ausdruck
.
0
sin
1
sin
1
lim
2
2
0
=
=
x
x
x
x
x
3.
)
1
(
lim
2
0
x
x
x
; wenn
x
gegen 0 läuft, ergibt sich die Form
0
. Durch Umformen
kann man den Ausdruck
erhalten:
0
lim
1
1
lim
1
1
lim
)
1
(
lim
0
3
2
0
2
0
2
0
=
=
-
-
=
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
4.
)
sin
1
1
(
lim
2
0
x
x
x
-
; wenn
x
gegen o läuft ergibt sich die Form
-
. Durch
Umformen lässt es sich auf die Form
0
0
kommen:
+
=
+
-
=
-
=
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
sin
2
2
cos
lim
sin
sin
lim
)
sin
1
1
(
lim
2
0
2
2
0
2
0
.
3. Anwendungen
3.1. Vergleich der l'Hospitalschen Regeln mit bekannten Regeln
Aus dem 11. Schuljahr ist bereits eine Regel zur Bestimmung von Grenzwerten für
x
bekannt. Diese Regel wird in drei Fälle unterteilt:
(I)
Der Rang des Zählers ist größer als der Rang des Nenners: Es lässt sich kein Wert
als
Grenzwert bestimmen, der Grenzwert liegt im positiven oder negativen Unendlichen und
die Funktion nähert sich einer Asymptote.
(II)
Der Rang des Zählers ist gleich dem Rang des Nenners: Der Grenzwert ist der Quotient
der Koeffizienten der ranghöchsten Zähler- und Nennerterme.
9
(III)
Der Rang des Zählers ist kleiner als der Rang des Nenners: Der Grenzwert ist 0.
1
Diese Gesetze sind nicht anzuwenden, wenn
x
gegen einen bestimmten Zahlenwert
0
x
läuft, sondern nur für
x
.
Bei den folgenden Beispielen soll jeweils der Grenzwert der Funktion für
x
bestimmt
werden:
(I)
x
x
x
f
5
3
)
(
2
=
Der Rang des Zählers ist größer als der Rang des Nenners:
Es kann kein Grenzwert bestimmt werden.
nach
l'Hospital:
Bei dieser Funktion darf keine der vier l'Hospitalschen Regel angewandt werden, da
weder die Voraussetzung der 2. Regel (
0
)
(
lim
)
(
lim
=
=
x
v
x
u
x
x
) noch die
Voraussetzung der 4. Regel (
x
x
v
für
)
(
) erfüllt werden, und dieses
überhaupt die einzigen beiden Regeln sind, die angewandt werden könnten, weil
der Grenzwert für
x
bestimmt werden soll.
(II) 1.
4
2
4
2
9
12
3
8
)
(
x
x
x
x
x
x
f
-
+
-
=
Der Rang des Zählers ist gleich dem Rang des Nenners:
3
1
9
3
lim
9
12
3
8
lim
4
2
4
2
=
-
-
=
-
+
-
x
x
x
x
x
x
x
. Der Grenzwert ist
3
1
.
nach
l'Hospital:
Anwendung der vierten l'Hospitalschen Regel:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
216
72
lim
108
2
36
16
lim
36
2
12
12
16
lim
9
12
3
8
lim
2
2
3
3
4
2
4
2
-
-
=
-
-
=
-
+
-
=
-
+
-
3
1
216
72
lim
=
-
-
=
x
. Der Grenzwert ist
3
1
.
2.
2
2
12
4
5
7
)
(
x
x
x
x
f
-
+
=
Der Rang des Zählers ist gleich dem Rang des Nenners:
12
5
12
5
lim
12
4
5
7
lim
2
2
-
=
-
=
-
+
x
x
x
x
x
. Der Grenzwert ist
12
5
-
.
nach
l'Hospital:
Anwendung der vierten l'Hospitalschen Regel:
10
12
5
24
10
lim
24
10
7
lim
12
4
5
7
lim
2
2
-
=
-
=
-
+
=
-
+
x
x
x
x
x
x
x
x
. Der Grenzwert ist
12
5
-
.
(III)
3
2
2
3
5
)
(
x
x
x
x
x
f
+
-
=
Der Rang des Zählers ist kleiner als der Rang des Nenners:
Der Grenzwert ist 0.
nach
l'Hospital:
Anwendung der vierten l'Hospitalschen Regel:
0
12
0
lim
12
6
lim
6
6
5
lim
2
3
5
lim
2
3
2
=
=
-
=
-
=
+
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. Der Grenzwert ist 0.
3.2. Anwendung der l'Hospitalschen Regeln in der Analysis
Unterscheiden muss man zwischen zwei unterschiedlichen Fällen: Dem Grenzwert
)
(
lim
0
x
f
x
x
und dem Grenzwert
)
(
lim
x
f
x
. Auf die Anwendung der vierten l'Hospitalschen
Regel kann man in der Analysis weitgehend verzichten, weil der Grenzwert einer Funktion
für
x
,unter der Voraussetzung, dass der Nenner unendlich groß bzw. klein wird ,am
einfachsten mit Hilfe der in Abschnitt 3.1. genannten Schulmethode zu bestimmen ist.
Dabei ist der Grenzwert sofort abzulesen, unter Verwendung der vierten l'Hospitalschen
Regel müsste man jedoch zuerst einige Rechenschritte durchführen, um das Ergebnis zu
erhalten.
Die erste bzw. dritte l'Hospitalsche Regel lässt sich vor allem bei der Kurvendiskussion
von gebrochen rationalen Funktionen nutzvoll verwenden. Wenn der Nenner einer solchen
Funktion nämlich für einen oder mehrere Werte 0 wird, entsteht an dieser Stelle ein Pol.
Nun kann die dritte l'Hospitalsche Regel (die Vorausetzung der ersten l'Hospitalschen
Regel (
0
)
(
)
(
0
0
=
=
x
v
x
u
) wird meistens nicht erfüllt) angewandt werden, um das
Verhalten der sich von links und von rechts an den Pol annähernden Funktion zu
bestimmen.
11
Nun zu jeder l'Hospitalschen Regel hier noch ein Anwendungsbeispiel:
1. l'Hospitalsche Regel:
63
46
1
8
6
10
2
3
lim
60
4
2
40
10
lim
2
2
4
2
3
2
3
4
=
-
-
-
+
=
-
-
-
-
-
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
2. l'Hospitalsche Regel:
=
=
=
-
-
=
2
2
4
4
2
3
lim
lim
1
1
lim
1
1
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
3. l'Hospitalsche Regel:
0
1
2
lim
1
7
lim
2
0
2
0
=
-
=
+
x
x
x
x
x
x
.
4. l'Hospitalsche Regel:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
96
12
120
lim
6
48
2
12
60
lim
6
16
2
6
20
lim
1
3
4
5
2
5
lim
2
2
3
2
3
2
4
2
3
4
+
=
+
-
+
=
+
-
+
=
+
+
+
-
+
4
5
96
120
lim
=
x
.
4. Zusammenfassung
Die l'Hospitalschen Regeln sind notwendig, um bestimmte Grenzwerte von Funktionen zu
ermitteln, obwohl doch leichtere Methoden zur Bestimmung bekannt sind. Der Unterschied
bei den l'Hospitalschen Regeln ist der, dass die Werte die
x
annehmen kann, von Regel
zu Regel unterschiedlich sind, d.h. der Definitionsbereich von
x
ist entweder unbeschränkt
und
x
läuft bis ins Unendliche oder der Definitionsbereich ist durch einen bestimmten
Wert
0
x
x
=
eingeschränkt und
x
kann nur Werte bis zu diesem Wert
0
x
annehmen. Für
den zuletzt genannten Fall waren bisher keine Methoden zur Bestimmung eines
Grenzwertes bekannt, d.h. diese l'Hospitalschen Regeln von 1696 sind bis heute die
einzige Methode zur Bestimmung solcher Grenzwerte.
12
Quellenverzeichnis
·
Klett Schulbuchverlag: LS Mathematik ,,Analysis", Leistungskurs Gesamtausgabe
·
B.I.-Hochschultaschenbücher-Verlag:
Detlef Laugwitz ,,Ingenieurmathematik II"
·
Verlag Moritz Diesterweg: Schröder-Uchtmann-Mathematik ,,Einführung in die
Mathematik"
·
Verlag Weltbild Kolleg: ,,Abiturwissen Mathematik"
·
Verlag Harri Deutsch: ,,Lehr- und Übungsbuch der Mathematik", für Ingenieur- und
Fachschulen Band 3
·
Bayerischer Schulbuch-Verlag: Wörle-Kratz-Keil ,,Infinitesimalrechnung"
·
Bertelsmann-Verlag: ,,Bertelsmann Universal Lexikon" Bände 1, 4, 7
·
Duden-Verlag: Schülerduden ,,Die Mathematik II"
·
Mathematikheft
MSS
11
·
Internet: -www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hp3.htm
-www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/intro.html
-www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/hospital1/hospital1.html
13
Verzeichnis der Zitate und sinngemäßen Übernahmen
(gekennzeichnet durch Kursivschrift und Ziffern)
Seite
3
1
sinngemäß aus ,,www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/
hospital1/hospital1.html",
S.
1
4
1
sinngemäß aus ,,www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/
hospital1/hospital1.html",
S.
2
sinngemäß aus ,,Bertelsmann Universal Lexikon" Band 4, S. 299
3
sinngemäß aus ,,www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/
hospital1/hospital1.html",
S.
2
4
sinngemäß aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 185 187
5
1
Zitat aus ,,Bertelsmann Universal Lexikon" Band 7, S. 131
2
sinngemäß aus ,,www.uni-bielefeld.de/idm/personen/njahnke/hospital/
hospital1/hospital1.html",
S.
1
3
Zitat aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 144
6
1
Zitat aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 145
2
sinngemäß aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 145
3
sinngemäß aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 145
4
sinngemäß aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 145
5
sinngemäß aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 145/146
7
1
sinngemäß aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 146
2
Zitat aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 146
3
Zitat aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 146
4
sinngemäß aus ,,Infinitesimalrechnung", S. 146
5
sinngemäß aus ,,Lehr- und Übungsbuch der Mathematik", S. 306
9
1
sinngemäß aus Mathematikheft MSS 11
14
Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und ohne fremde Hilfe
verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.
Insbesondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen aus
anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.
_______________________________________________, den_____________________
_____________________________
(Unterschrift)
Phillip Reiner
Facharbeit.
Hallo,
eigentlich geht es mir garnicht sosehr um Deine Facharbeit (die übrigens garnicht mal so schlecht ist - Kompliment!).
Jedenfalls schreibe ich auch gerade Facharbeit in Mathematik, hab aber das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich die Formeln in Word darstellen soll, da Quadrate, Wurzeln und Brüche größere Probleme machen. Wie hast Du das gemacht? Gibt es ein spezieles Progrmm oder einen Patch dafür? Wäre nett, wenn Du mir weiterhelfen könntest. Danke im Vorraus.
Phillip
am Wednesday, July 04, 2001-
Anonym
JO!.
jo mic!
coole arbeit!
hab sie mit sehr gut bewertet :)
der bas
am Friday, September 06, 2002-