Inhaltsverzeichnis

1  Einf uhrung  2

1.1  Spezifikationen des Standardauktionsmodells  2

1.1.1  Grundlegende Annahmen  2

1.1.2  L osungskonzept und zentrale Annahmen  2

1.2  Modifikationen zur Implementierung von Externalit aten  3

1.3  Theoretische Modelle und praktische Beispiele f ur Auktionen  

  mit Externalit aten  4

2  Modelle mit vollst andiger Information  5

2.1  Das Modell von J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti (1996)  5

2.1.1  Motivation des Modells  5

2.1.2  Modellierung externer Effekte  6

2.1.3  Entwurf und Analyse des Auktionsmechanismus  6

2.1.4  Strategische Teilnahmeverweigerung bei Vorauswahl  

  der Bieter  7

2.2  Das Konzept interdependenter Wertsch atzungen (Funk 1996)  8

2.2.1  Motivation des Modells  8

2.2.2  Modellierung externer Effekte  9

2.2.3  Definition des Auktionsspiels und Kritik  10

2.3  Der Fall volldimensionaler Externalit aten im Zwei-Bieter Fall  

  (Cornet 1996)  11

2.3.1  Motivation des Modells  11

2.3.2  Entwurf und Analyse des Auktionsmechanismus  12

2.3.3  Exemplarische Konfigurationen  14

3  Ein Modell mit unvollst andiger Information  15

3.1  Das erweiterte Modell von J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti  15

3.1.1  Modifikationen des Grundmodells  15

3.1.2  Maximierung des erwarteten Gesamterl oses  16

4  Vergleichende Diskussion der Modelle  17

  Literaturverzeichnis  19

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1 Einf¨ uhrung

1.1 Spezifikationen des Standardauktionsmodells

1.1.1 Grundlegende Annahmen

Das bestuntersuchte Auktionsmodell ist in der englischsprachigen Literatur unter der Bezeichnung “symmetric independent private values model” (SIPV) bekannt. Wolfstetter (1996) umschreibt dessen Charakteristika wie folgt ¹ :

1. Ein unteilbares Gut steht zum Verkauf an einen von mehreren Bietern.

2. Alle Bieter sind ununterscheidbar, d.h. in ihren f¨ ur die Auktion erheblichen Eigenschaften identisch.

3. Jeder Bieter kennt (ausschließlich) seine pers¨ onliche Wertsch¨ atzung des Objekts, die Wertsch¨ atzungen der Mitbieter sind dem einzelnen unbekannt. Kein Bieter w¨ urde seine Wertsch¨ atzung ¨ andern, erhielte er Kenntnis von der Wertsch¨ atzung anderer Bieter.

4. Die pers¨ onlichen Wertsch¨ atzungen der Bieter sind unabh¨ angige und identisch verteilte stetige Zufallsvariablen.

5. Sowohl die Bieter als auch der Verk¨ aufer sind risikoneutral.

6. Der Verk¨ aufer hat eine auf Null normalisierte Wertsch¨ atzung.

Standardm¨ aßig befaßt sich die Theorie der Auktionen mit der vergleichenden Analyse verschiedener Auktionsformen. Hierbei untersucht sie die Auswirkungen abweichender institutioneller Designs beispielsweise unter den Gesichtspunkten der Allokationseffizienz, der Transaktionskostenminimierung oder der Interessenwahrung des Verk¨ aufers durch Maximierung des Erl¨ oses unter Risikoaspekten und Implementierung von Hemmnissen gegen Kollusion bzw. Korruption.

1.1.2 L¨ osungskonzept und zentrale Annahmen

Die ¨ ubliche Vorgehensweise zur L¨ osung eines Auktionsspiels besteht in der Herleitung der gleichgewichtigen Gebote der Bieter sowie der gleichgewichtigen Payoffs. Die Beantwortung der Frage nach dem optimalen Gebot eines Bieters f¨ uhrt dabei ¨ uber den Begriff der Gebotsstrategie. Mit Ausnahme der Englischen bzw. der Vickrey-Auktion h¨ angt die H¨ ohe des optimalen Gebots nicht ausschließlich von der individuellen Wertsch¨ atzung des Bieters f¨ ur das Auktionsgut ab. Die Gebotsstrategie eines Bieters bestimmt die H¨ ohe des abzugebenden Gebots als Funktion der Informationen, die dem Bieter hinsichtlich der anstehenden Auktion zur Verf¨ ugung stehen. (z.B. Anzahl der

¹ E. Wolfstetter. Auctions: an introduction. Journal of Economic Surveys, 10:371, 1996.

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Bieter und Expertensch¨ atzungen). Sieht ein Bieter die Gebotsstrategien aller anderen Bieter richtig voraus und w¨ ahlt dem entsprechend seine eigene optimale Strategie (im Sinne der Maximierung des erwarteten Gewinns), so stellt die Gesamtheit dieser Strategien ein Nash-Gleichgewicht der Auktion dar. Wohlgemerkt bedeutet die richtige Vorwegnahme der Gebotsstrategien der konkurrierenden Bieter nicht, daß ein Bieter die H¨ ohe aller Gebote im voraus bestimmen k¨ onnte. Er trifft nur Annahmen ¨ uber die Gebotsfunktionen seiner Mitbewerber, d.h. dar¨ uber, welche Bestimmungsgr¨ oßen auf welche Weise in ihre Gebote eingehen. Da er die seinen Konkurrenten jeweils zur Verf¨ ugung stehenden Informationen ¨ uber die ber¨ ucksichtigten Bestimmungsgr¨ oßen nicht kennt, kann er nicht mit Sicherheit auf ihre Gebote schließen.

1.2 Modifikationen zur Implementierung von Externalit¨ aten

Eine grundlegende Vorgehensweise in der Literatur ¨ uber optimale Auktionen

liegt darin, die Payoffs der Spieler ausgehend von einem eindimensionalen Typ (ihrer Wertsch¨ atzung π i ) ausschließlich anhand zweier Ergebnisse einer Auktion zu bestimmen: erstens der Tatsache, ob ein Spieler das versteigerte Gut nach der Auktion besitzt und zweitens der Zahlungen, die die Regeln der Auktion den Spielern auferlegen ² .

Unber¨ ucksichtigt bleibt dabei zumeist die M¨ oglichkeit, daß von dem Auktionsgut nach Ablauf der Auktion Wechselwirkungen auf andere Spieler ausgehen, die deren Payoffs nachtr¨ aglich ver¨ andern, zum Zeitpunkt der Auktion aber bereits absehbar sind. Es gibt jedoch unzweifelhaft eine Vielzahl von Situationen, in denen sich die Teilnehmer einer Auktion auch nach deren Beendigung gegenseitig beeinflussen, d.h. in denen das Ergebnis der Auktion sich auf zuk¨ unftige Spiele zwischen den Teilnehmern auswirkt. In diesen F¨ allen ist es einem Bieter nicht gleichg¨ ultig, welcher andere Bieter den Zuschlag erh¨ alt, sollte er selbst nicht zum Zuge kommen. Dies f¨ uhrt zu einem Modell, welches in zweierlei Hinsicht von der herk¨ ommlichen Theorie optimaler Auktionen abweicht: Zum einen werden die Pr¨ aferenzen eines Bieters i (sein Typ) nicht mehr durch eine Zahl π i ∈ beschrieben, sondern durch einen N-dimensionalen Vektor π i = (π ⁱ 1 , . . . , π i N ), i = 1, . . . , N . Die Koordinate π i i entspricht dabei

der aus dem SIPV-Modell bekannten pers¨ onlichen Wertsch¨ atzung des Bieters i, w¨ ahrend alle anderen Koordinaten π i j als der Nutzen zu interpretieren

sind, den das Auktionsgut in den H¨ anden von Bieter j f¨ ur Bieter i hervorbringt. Auf diese ¨ uber das Aktionsgut vermittelte Wechselwirkung zwischen den Teilnehmern der Auktion bezieht sich im folgenden der Begriff der Externalit¨ at.

Zum anderen gilt, daß Bieter in aller Regel die Auswirkungen der Externalit¨ aten auf ihr Nutzenniveau nicht einfach dadurch vermeiden k¨ onnen, daß

² Formal kommt dies in der Nutzenfunktion Ui(p, x, ti) zum Ausdruck (s. R. B. Myerson. Optimal auction design. Mathematics of Operations Research, 6:58-73, 1981.).

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sie nicht an der Auktion teilnehmen (also kein Gebot abgeben). Daher ist ihr Gewinn bei Nichtteilnahme nicht mehr exogen gegeben (im Standardmodell Null), sondern wird entsprechend dem individuellen Typ endogen durch das Ergebnis der Auktion bestimmt. Im Gegensatz zu Auktionen ohne Externalit¨ aten, bei denen der Gewinn eines potentiellen K¨ aufers bei Nichtteilnahme auf Null normalisiert werden kann, schwankt dessen Nutzen im Falle der Existenz von externen Effekten mit der Auspr¨ agung seines Typs und den Handlungen des Verk¨ aufers. Jeder Bieter erzielt einen positiven Gewinn, sofern er den Zuschlag erh¨ alt. Im Fall negativer Externalit¨ aten verbleibt ein Verlierer jedoch nicht im status quo, sondern erleidet einen Schaden. Im umgekehrten Fall, d.h. bei Vorliegen positiver Externalit¨ aten, k¨ onnen hingegen auch Verlierer der Auktion in den Genuß positiver Gewinne kommen.

Des weiteren wird in der Regel angenommen, daß der Verk¨ aufer das Auktionsgut niemandem aufzwingen kann; um den Besitzer zu wechseln, muß es verkauft werden. Der Verk¨ aufer verpflichtet sich dabei glaubhaft auf ein bestimmtes Auktionsverfahren. Außerdem verursacht der bloße Besitz des Auktionsgutes durch einen K¨ aufer externe Effekte, d.h. ihr Eintreten ist unabh¨ angig von den weiteren Handlungen des K¨ aufers. Auch die H¨ ohe der Externalit¨ aten ist nicht verhandelbar.

1.3 Theoretische Modelle und praktische Beispiele f¨ ur Auktionen mit Externalit¨ aten

Auktionen mit Externalit¨ aten wurden bereits untersucht von J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti (1995a, 1996b), Funk (1996) und Cornet (1996). Erstere (1995b, 1995c) haben daneben auch Beitr¨ age ¨ uber den Einfluß von

Externalit¨ aten im Rahmen anderer Verkaufsverfahren (Verhandlungsspiele) ver¨ offentlicht. Im Zusammenhang mit Auktionen konzentrieren sie sich auf Externalit¨ aten zwischen den Bietern und entwerfen ein Grundmodell, welches f¨ ur den Fall vollst¨ andiger Information grundlegende Einsichten in das ver¨ anderte Kalk¨ ul der Auktionsteilnehmer vermittelt (Abschnitt 2.1). Aus der Verallgemeinerung des Modells f¨ ur den Fall unvollst¨ andiger Information ergeben sich f¨ ur die Konstruktion einer optimalen Auktion weitere Restriktionen (Kapitel 3). Funk und Cornet behandeln hingegen ausschließlich den Fall vollst¨ andiger Information. Funk ber¨ ucksichtigt dabei auch Wechselwirkungen zwischen den Bietern und dem Verk¨ aufer, d.h. von K¨ aufern ausgehende externe Effekte in bezug auf den Verk¨ aufer bzw. solche, die Bieter infolge des Konsums durch den Verk¨ aufer erfahren, falls dieser das Auktionsgut beh¨ alt (Abschnitt 2.2). Diesen allgemeinen Fall untersucht Cornet unter der Bezeichnung “full-dimensional externalities” (Abschnitt 2.3). W¨ ahrend Funk argumentiert, Externalit¨ aten bez¨ uglich des Verk¨ aufers k¨ onnte auch im Rahmen von auf die Bieter beschr¨ ankten Externalit¨ aten Rechnung getragen werden, zeigt Cornet f¨ ur den Zwei-Bieter-Fall, daß im Unterschied zum Fall

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ausschließlicher Bieter-Externalit¨ aten der Verk¨ aufer bei Einbeziehung der auf ihn wirkenden externen Effekte unter Umst¨ anden den Bieter bevorzugt, der das niedrigere Gebot abgibt.

In der Literatur werden f¨ ur Situationen, in denen Interdependenzen zwischen den Interessenten f¨ ur ein Objekt bestehen, eine Reihe allgemeiner Beispiele genannt: Ver¨ anderungen der Mehrheitsverh¨ altnisse (z.B. bei Firmenzusammenschl¨ ussen, Beteiligungen oder Privatisierungen) bei Unternehmen in oligopolistischen M¨ arkten, der Verkauf eines wichtigen Inputs (z.B. eines Patents) an Wettbewerber nachgelagerter Produktionsstufen, die Vergabe großer Industrieprojekte zur Entwicklung bzw. zur Verbreitung neuer Technologien (z.B. Hochgeschwindigkeits-Schienenfahrzeuge), Standortentscheidungen ¨ uber den Bau umweltgef¨ ahrdender Anlagen (z.B. M¨ ullverbrennungsanlagen, AKWs) oder die Gr¨ undung wichtiger internationaler Institutionen, die Bereitstellung eines ¨ offentlichen Gutes durch einen alleinigen Anbieter oder der Arbeitsmarkt f¨ ur heftig umworbene Spitzenkr¨ afte (z.B. Starfußballer, Pops¨ anger, renommierte Professoren). Einige dieser Beispiele lassen sich anhand konkreter F¨ alle aus der Praxis illustrieren, die den hier vorgestellten Modellen jeweils einleitend vorangestellt sind.

2 Modelle mit vollst¨ andiger Information

2.1 Das Modell von J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti (1996)

2.1.1 Motivation des Modells

J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti entwerfen einen aus Sicht des Verk¨ aufers optimalen Auktionsmechanismus f¨ ur den Fall, daß die Ver¨ außerung des Auktionsgutes an bestimmte Bieter negative Externalit¨ aten bei anderen zur Folge hat, die das Objekt nicht erhalten. Die H¨ ohe aller Externalit¨ aten wird dabei als allgemein bekannt vorausgesetzt und ist gleichermaßen abh¨ angig von der Person des K¨ aufers sowie der jeweiligen Verlierer. Infolgedessen ist es denkbar, daß interessierte Bieter neben ihrer pers¨ onlichen Wertsch¨ atzung individuelle Merkmale aufweisen, aufgrund derer das Auktionsgut einem bestimmten anderen Bieter zugeschlagen wird.

Einige der qualitativen Besonderheiten der optimalen Auktion sind in den Ereignissen zu erkennen, die 1994 der Entscheidung der Ukraine zur Abr¨ ustung ihrer Nuklearwaffensysteme vorangingen. Damals entschieden sich die USA und Rußland angesichts der bef¨ urchteten Proliferation ukrainischer Atomwaffen dazu, der Ukraine großz¨ ugige Unterst¨ utzung zum Abbau ihres nuklearen Arsenals zu gew¨ ahren ³ . Im selben Jahr konnten die USA ¨ ubrigens China zum Verzicht auf Raketenlieferungen an arabische Staaten bewegen, indem sie im Gegenzug ihr aus Anlaß der Anbahnung der Waf- ³ TheEconomist. Europe lags again. 26.11.1994, S. 63.

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fenverk¨ aufe verh¨ angtes Embargo von Kommunikationssatelliten aufhoben ⁴ . Beide Beispiele sind geeignet, eine der wesentlichen Erkenntnisse des Modells zu illustrieren, das im folgenden dargestellt wird.

2.1.2 Modellierung externer Effekte

Die Autoren betrachten einen Markt mit einem Verk¨ aufer und n interessierten Bietern, auf dem ein unteilbares Gut zum Verkauf steht. Die Autoren erweitern das Standardauktionsmodell um eine Matrix A = {α ij } 1≤i,j≤n, i =j der externen Effekte, die wie folgt zu interpretieren ist: Kauft Bieter i das Auktionsgut, so verringert dies den Nutzen des Bieters

⁵ . Ein externer Effekt in bezug auf den Verk¨ aufer wird im vor- j um α ij

liegenden Modell nicht explizit ber¨ ucksichtigt, da sich die f¨ ur die Autoren wesentlichen strategischen Folgen f¨ ur Auktionen mit Externalit¨ aten bereits aus Externalit¨ aten unter den Bietern ergeben ⁶ .

2.1.3 Entwurf und Analyse des Auktionsmechanismus

Der allgemeine Ablauf der Auktion gestaltet sich in gewohnter Weise: In einem ersten Schritt entwirft der Verk¨ aufer einen Mechanismus, der die Allokation des Auktionsgutes und einen Vektor von Zahlungsstr¨ omen bestimmt. In einem darauffolgenden Schritt entscheiden die Bietinteressenten simultan ¨ uber die Teilnahme an der Auktion. Schließlich spielen die teilnehmenden Bieter das durch den Mechanismus vorgegebene Spiel. W¨ ahrend unter den Rahmenbedingungen fehlender Externalit¨ aten f¨ ur die in Schritt 2 ausgeschiedenen Bieter in der Regel ein exogen vorgegebenes Nutzenniveau angenommen wird, steht ihre Entscheidung auf dieser Stufe bei Vorliegen von Externalit¨ aten unter einem anderem Vorzeichen. Annahmegem¨ aß wird n¨ amlich auch der Nutzen der Nichtteilnehmer durch das Ergebnis der Auktion beeinflußt und damit endogen durch den Mechanismus und die Strategien der Teilnehmer bestimmt ⁷ .

J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti konzipieren f¨ ur den Fall vollst¨ andiger Information einen optimalen Mechanismus Γ, der im eindeutigen Nash-Gleichgewicht dem Verk¨ aufer den maximalen Erl¨ os sichert. F¨ ur jeden Bieter ist die Teilnahme am Mechanismus Γ eine dominante Strategie, und der Erl¨ os des Verk¨ aufers ist maximal unter allen Nash-Gleichgewichten m¨ oglicher Mechanismen ⁸ . Zur Sicherstellung der Teilnahme aller Bieter bedroht der

⁴ The Economist. The long march back to China. 5.11.1994, S. 75.

⁵ Definitionsgem¨ aß gilt αij ≥ 0 f¨ ur negative Externalit¨ aten.

⁶ Ein solcher kann jedoch ohne weiteres zugelassen werden. Der Gewinn des Verk¨ aufers bei Verkauf an Bieter i zum Preis p betr¨ agt dann p−αi0. Im hier behandelten Fall gilt normalisiert αi0 = 0, ∀i; wie im ¨ ubrigen auch α0j = 0, ∀j.

⁷ JMS setzen diese Annahme in ihren Arbeiten wiederholt in folgendes Bild: We make the realistic assumption that buyers cannot “escape to the moon”.

⁸ Folglich ist die Optimalit¨ atseigenschaft des vorgestellten Mechanismus sehr stark, da ein eindeutiges Nash-Gleichgewichts im allgemeinen nur unter sehr restriktiven Beding-

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optimale Mechanismus jeden, der nicht teilnimmt, mit derjenigen Allokation des Auktionsgutes, die f¨ ur ihn das niedrigste Nutzenniveau aller m¨ oglichen Konstellationen bedeutet. Das heißt, derjenige Bieter erh¨ alt den Zuschlag, von dem f¨ ur einen Außenstehenden die am wenigsten w¨ unschbare Externalit¨ at ausgeht. Der Mechanismus f¨ uhrt mithin sowohl bei positiven als auch bei negativen Externalit¨ aten zum optimalen Ergebnis f¨ ur den Verk¨ aufer ⁹ . Dessen Erl¨ os im Gleichgewicht betr¨ agt

 

i j =i

, ∀i ¹⁰ . (1) Der zweite Summand in Gleichung (1) verschwindet, falls die Ungleichung max i {π i − j =i α ij } < 0 erf¨ ullt ist, d.h. falls die totale Externalit¨ at, die von jedem potentiellen K¨ aufer auf die anderen Bieter ausgeht, dessen pers¨ onliche Wertsch¨ atzung ¨ ubertrifft. Unter diesen Umst¨ anden beh¨ alt der Verk¨ aufer das

Auktionsgut im Besitz, jeder Bieter muß jedoch eine Zahlung leisten, die ann¨ ahernd so hoch ist wie die h¨ ochste von ihm bef¨ urchtete Externalit¨ at.

Dieses Ergebnis ¨ ahnelt sehr dem Beispiel des ukrainischen Nukleararsenals. 2.1.4 Strategische Teilnahmeverweigerung bei Vorauswahl der Bieter J´ ehiel und Moldovanu (1996a) er¨ offnen durch die Aufnahme einer Bieter-vorauswahl in den Ablauf der Auktion eine interessante Alternativperspektive hinsichtlich der Partizipationsanreize ¹¹ . Der Mechanismus Γ wird hierf¨ ur um eine Vorrunde erweitert, mit der die Bietinteressenten die M¨ oglichkeit erhalten, sich vor Eintritt in die eigentliche Auktion f¨ ur oder gegen die Teilnahme zu entscheiden. Obwohl wiederum keiner der potentiellen Bieter den Externalit¨ aten im Anschluß an die Auktion entgeht, kann es f¨ ur bestimmte Typen von Bietern dennoch optimal sein, sich nicht an der Auktion zu beteiligen. Der Grund hierf¨ ur liegt darin, daß die bloße Anwe-

senheit eines Bieter auf dem Markt die Identit¨ at des sp¨ ateren Gewinners beeinflußt wie auch den Preis, den er zu zahlen h¨ atte, wollte er in Konkurrenz mit anderen Bietern das Auktionsgut ersteigern. Auch f¨ ur derartige Konstellationen l¨ aßt sich ein praktischer Fall anf¨ uhren: Im Winter 1991/92 k¨ ampften der franz¨ osische Ern¨ ahrungskonzern BSN und die italienische Agnelli-Gruppe um die Kontrolle ¨ uber den Mineralwasser- ungenerreicht werden kann. Mit der Existenz mehrerer Nash-Gleichgewichte besch¨ aftigen

sich die in den folgenden Abschnitten vorgestellten Arbeiten von Funk und Cornet. ⁹ Die optimale Drohung eliminiert auch den Anreiz zur Nicht-Teilnahme im Fall posi-

tiver Externalit¨ aten (free-rider effect).

¹⁰ JMS verwenden als kleinste Geldeinheit zur Umgehung aufwendiger Fallunterschei-

dungen. Es gilt > 0 so, daß ∀i, j πi − ≥ 0, αij − ≥ 0.

hersteller Source Perrier. Nach monatelangem ¨ Ubernahmekampf schlug BSN eine ¨ Ubereinkunft vor, derzufolge der schweizerische Nahrungsmittelkonzern ubernehmen sollte ¹² . Der Economist kommentierte die Strate-Nestl´ e Perrier ¨

gie von BSN wie folgt: “Why does BSN want a powerful rival such as Nestl´ e to take control of Perrier? The answer is that Mr Ribaud [Generaldirektor von BSN] fears the Agnellis more than Nestl´ e.” Zwei einfache Anreize f¨ ur Bieter, sich vor Abgabe der Gebote glaubhaft gegen die Teilnahme zu verwahren k¨ onnen dadurch erkl¨ art werden, daß zum einen ein mutmaßlicher Verlierer der Auktion, durch seine Teilnahme lediglich andere Bieter ver¨ angstigen k¨ onnte, die infolgedessen bereit sind, einen hohen Preis zu bieten, um unerw¨ unschte Externalit¨ aten abzuwenden. W¨ urde sich der zuerst genannte Bieter gar nicht an der Auktion beteiligen, bek¨ ame wom¨ oglich ein dritter Bieter den Zuschlag, was f¨ ur den Außenstehenden eventuell g¨ unstiger sein k¨ onnte. Zum zweiten k¨ onnte ein potentieller Gewinner sich gezwungen sehen, einen bedrohlichen Rivalen kostspielig zu uberbieten, obwohl dieser sich m¨ oglicherweise von denselben ¨ ¨ Uberlegungen

geleitet wird und bei verl¨ aßlicher Zusicherung der Nichtteilnahme durch den anderen das Interesse am Objekt verlieren w¨ urde. Dann k¨ onnte wiederum ein Dritter zum Zuge kommen, der f¨ ur die Außenstehenden weniger abschrekkend wirkt.

Ein ¨ ahnliche Lage der Dinge mag im Fall Perrier ausschlaggebend f¨ ur BSN gewesen sein, seine ¨ Ubernahmepl¨ ane g¨ anzlich aufzugeben. Weil

n¨ amlich BSN bef¨ urchten mußte, den Agnellis zu unterliegen, verbesserte der ,,freiwillige“ R¨ uckzug die Chancen des (weniger gef¨ urchteten) Nestl´ e-Konzerns, Perrier schließlich f¨ ur sich zu gewinnen. BSN machte ihren Plan glaubw¨ urdig, indem sie ihre Minderheitsbeteiligung an Perrier umgehend an Nestl´ e verkaufte.

2.2 Das Konzept interdependenter Wertsch¨ atzungen (Funk 1996)

2.2.1 Motivation des Modells

Auch Funk merkt an, daß die umfangreiche Literatur ¨ uber Auktionen mit

nur wenigen Ausnahmen von der Annahme ausgeht, ein Bieter interessiere sich ausschließlich daf¨ ur, ob er das versteigerte Objekt erh¨ alt oder nicht. In zahlreichen Situationen, die als Auktionen modelliert werden k¨ onnten, seien gegenseitige Abh¨ angigkeiten unter den Teilnehmern jedoch augenscheinlich und k¨ onnten schwerlich ausgeblendet werden. Funk sieht ein anschauliches Beispiel hierf¨ ur im Verhalten eines Museums bei der Auktion eines ber¨ uhmten Gem¨ aldes. Er argumentiert, die Wertsch¨ atzung des Museums h¨ ange allgemein davon ab, welche Bieter außerdem in Erscheinung tr¨ aten: ein weiteres Museum oder ein privater Sammler, ein zweites Museum

¹² The Economist. BSN and the Agnellis: friend or foe? 29.2.1992, S. 77.

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derselben Stadt oder eines von einem anderen Kontinent. W¨ urde n¨ amlich ein Museum aus der N¨ ahe des ersteren das Werk ersteigern, k¨ onnte sich dies negativ auf die Besucherzahlen respektive den Ruf des Verlierers auswirken, w¨ ahrend ein weit entferntes Museum wohl nicht zu einer sp¨ urbaren Umlenkung der Besucherstr¨ ome f¨ uhrte, und ein Privatmann f¨ ur das Museum wahrscheinlich v¨ ollig ohne Belang w¨ are. Die Struktur von Auktionen mit Externalit¨ aten ist vor Funk (1996) noch nicht unter dem Gesichtspunkt interdependenter Wertsch¨ atzungen analysiert worden. Funks Ansatz untersucht sie vor allem hinsichtlich der Existenz und der Charakteristika von Gleichgewichten, wobei er unterschiedliche Gleichgewichtsbegriffe verwendet. Er beschr¨ ankt sich dabei durchgehend auf geschlossene Auktionen unter vollst¨ andiger Information.

2.2.2 Modellierung externer Effekte

Funks stellt sein Konzept anhand eines einfachen Beispiels vor: Eine stillgelegte Bahnhofsstation in dem idyllischen D¨ orfchen D nahe der Stadt S steht zum Verkauf. Unter den Interessenten befindet sich eine wohlt¨ atige Organisation aus S. Diese m¨ ochte die Anlage in ein Ferienheim f¨ ur Minderj¨ ahrige aus zerr¨ utteten Familien umgestalten. Just neben dem Bahnhof wohnt ein Notar in einem restaurierten Gutshof. Dieser m¨ ochte jedoch auf keinen Fall mit einer Bande unberechenbarer Halbw¨ uchsiger in unmittelbarer Nachbarschaft leben. Aus der Auflehnung des Notars gegen die Wohlfahrtsinstitution ergibt sich eine hohe Zahlungsbereitschaft f¨ ur die Verhinderung des Ferienheims. Als dritter Bieter beteiligt sich ein wohlhabender Ruhest¨ andler aus S, der sich einen ruhigen Zweitwohnsitz außerhalb der Stadt einrichten m¨ ochte. Die Gemeinde D ist als Eigent¨ umerin des zum Verkauf stehenden Objekts lediglich an einem m¨ oglichst hohen Verkaufserl¨ os interessiert.

Der Autor faßt die Wertsch¨ atzungen des Verk¨ aufers und der N Bieter in Abh¨ angigkeit von der Identit¨ at des Besitzers des Auktionsgutes in einer (N +1)×(N +1)-Matrix zusammen, deren Elemente π i j f¨ ur die Wertsch¨ atzung

des Spielers j stehen, wenn Spieler i Besitzer des Auktionsgutes ist. Im vorgestellten Beispiel ist der Verk¨ aufer Spieler 0, die wohlt¨ atige Organisation Spieler 1, der Notar Spieler 2 und der Ruhest¨ andler Spieler 3. Die Matrix der interdependenten Wertsch¨ atzungen k¨ onnte somit folgende Gestalt annehmen:



   

Die Verwendung des Begriffs der Wertsch¨ atzung erscheint f¨ ur π i j , i = j, allerdings wenig anschaulich, zumal eine Beschreibung des Typs damit nicht unmittelbar gegeben ist. In der Definition des Auktionsspiels wird klar, daß π i j

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eigentlich dreierlei Bedeutungen hat: 1. die tats¨ achliche Wertsch¨ atzung eines Bieters f¨ ur das Auktionsgut (i = j), 2. der Payoff von Bieter j, wenn Spieler i das Objekt besitzt (i = j > 0) ¹³ , 3. die Externalit¨ at, die der Verk¨ aufer durch die Ver¨ außerung des Auktionsguts an Bieter i erf¨ ahrt (j = 0, i > 0). Hinsichtlich der Verwendung der Begrifflichkeiten finden sich in Funks Darstellung auch dar¨ uber hinaus noch weitere kleinere Ungenauigkeiten. Aus der Matrix der Wertsch¨ atzungen ist die Matrix der Zahlungsbereitschaften abzuleiten. Deren Elemente α ij = π j j − π i j geben f¨ ur j > 0 den Betrag

an, den Bieter j bereit w¨ are zu zahlen, um zu erreichen, daß er anstelle von Spieler i das Objekt erh¨ alt bzw. (f¨ ur j = 0) den Mindestbetrag, den Spieler i dem Auktionator zu zahlen hat, damit dieser an i verkauft:

 







Im Beispiel variiert nur die Zahlungsbereitschaft des Notars mit der Identit¨ at des K¨ aufers. Der Wohlfahrtsorganisation und dem Ruhest¨ andler ist es hingegen gleichg¨ ultig, was im Dorf D geschieht, wenn sie den ehemaligen Bahnhof nicht ¨ ubern¨ ahmen. Der Verk¨ aufer k¨ ummert sich im ¨ ubrigen wie

bereits erw¨ ahnt nur um den Verkaufserl¨ os.

2.2.3 Definition des Auktionsspiels und Kritik

Im vorgestellten Beispiel sind die gegenseitigen Abh¨ angigkeiten von ¨ außerst geringer Komplexit¨ at. Funk verallgemeinert den Betrachtungsrahmen zur Untersuchung von Auktionen, die im Grundsatz ¨ ahnliche, jedoch viel umfangreichere Interdependenzen zwischen den Teilnehmern aufweisen (das anf¨ angliche Beispiel wird wiederholt zur Veranschaulichung herangezogen). Er verbleibt dabei im Rahmen vollst¨ andiger Information, d.h. einer bekannten Matrix der Wertsch¨ atzungen und definiert das Auktionsspiel folgendermaßen:

Spieler:

Es gibt eine endliche Zahl von Spielern j ∈ J = {0, 1, ..., N }. Spieler 0 ist als Auktionator Eigent¨ umer eines Objektes, das an einen der ¨ ubrigen Spieler

verkauft werden kann. Alle Spieler j > 0 sind somit potentielle Bieter.

Strategien:

Die Strategie jedes Bieters j ist eine reelle Zahl p j ∈ . Alle abgegebenen Gebote p j bilden den Gebotsvektor p. Die Strategie des Verk¨ aufers ist eine Funktion w(p) : ^N → 0, 1, ..., N , die einen Gewinner w(p) ∈ {0, 1, ..., N } definiert. Der Fall w(p) = 0 tritt ein f¨ ur alle Gebotsvektoren p ∈ {0} × ^N

¹³ π i j ist dann gleichzeitig auch externer Effekt.

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(da der Auktionator keinen Preis bezahlt, wenn er das Objekt nicht verkauft, setzt man p 0 = 0 und vernachl¨ assigt diesen Parameter).

Payoffs:

Der Gewinn P j (p, w(·)) des Bieters j betr¨ agt π i j , falls w(p) = i = j (nicht j, sondern i = 0 gewinnt), bzw. π j j − p j , falls w(p) = j (j gewinnt). Der Gewinn P 0 (p, w(·)) des Verk¨ aufers betr¨ agt p i + π ⁱ 0 f¨ ur w(p) = i.

Ablauf und Information:

Alle Bieter geben ihre Gebote simultan ab. Der Verk¨ aufer spielt nach Entgegennahme der Gebote. Alle Spieler sind vollst¨ andig ¨ uber die Matrix π der Wertsch¨ atzungen informiert.

Vereinfachtes Spiel:

Vor der Anwendung verschiedener L¨ osungskonzepte des Spiels konzentriert Funk seine Aufmerksamkeit auf Spiele, f¨ ur die π ⁱ 0 = 0 gilt, d.h. auf

Auktionen, in denen der Auktionator nur am Verkaufpreis interessiert ist. Im Vergleich mit dem optimalen Auktionsmechanismus im Modell von J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti weist Funks Auktionsspiel einen grundlegenden Mangel auf. Dieser besteht darin, daß Funks Verk¨ aufer die Partizipationsanreize der Bieter unber¨ ucksichtigt l¨ aßt ¹⁴ . Durch den Verzicht auf Drohgeb¨ arden existiert kein Gleichgewicht in dominanten Strategien, mithin kann der Verk¨ aufer seinen Gewinn nur unter den abgegebenen Geboten maximieren. Obwohl Funk im Fall vollst¨ andiger Information argumentiert, in dem der Auktionator doch ¨ uber alle Bietertypen im Bilde ist, verwendet er

unverh¨ altnism¨ aßig viel M¨ uhe auf die Charakterisierung und Unterscheidung der notwendigerweise multiplen Gleichgewichte. Dadurch ger¨ at das Ziel der Erl¨ osmaximierung jedoch aus den Augen. Funks ¨ Uberlegungen sind somit

eher auf rein spieltheoretische Problemstellungen konzentriert und verfehlen das selbstgew¨ ahlte Ziel der Erl¨ osmaximierung.

2.3 Der Fall volldimensionaler Externalit¨ aten im Zwei-Bieter-Fall (Cornet 1996)

2.3.1 Motivation des Modells

Im Januar 1996 verkaufte das Internationale Olympische Komitee (IOC) die europ¨ aischen ¨ Ubertragungsrechte der kommenden Olympischen Spiele an die European Broadcasting Union (EBU), die Vereinigung ¨ offentlichrechtlicher Rundfunkanstalten Europas ¹⁵ . Der Preis, den das IOC von der EBU forderte, war dabei niedriger als das Konkurrenzgebot eines von Rupert

¹⁴ Die Regel ,,der Verk¨ aufer spielt nach Entgegennahme der Gebote“ ist daher f¨ ur sich genommen unzureichend.

¹⁵ The International Herald Tribune. Murdoch loses bidding on Olympic television rights.

31.1.1996, S. 1.

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Murdochs News Corporation unterst¨ utzten Konsortiums privater Sender. Das IOC begr¨ undete die Ablehnung des h¨ ochsten Gebots damit, daß es außer am Erl¨ os aus dem Verkauf der Senderechte auch an der Reichweite der Sender interessiert sei. Deshalb sei im Hinblick auf die erzielbare Reichweite dem Gebot der EBU der Zuschlag erteilt worden. Gem¨ aß dieser Erkl¨ arung waren Externalit¨ aten in bezug auf den Verk¨ aufer anscheinend von ausschlaggebender Bedeutung.

W¨ ahrend J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti ihre Aufmerksamkeit ausdr¨ ucklich auf die wesentlichen Effekte infolge (negativer) Externalit¨ aten unter den Bietern beschr¨ anken, beginnt Funk den Entwurf seines Modells unter Einbeziehung von auf den Verk¨ aufer gerichteten Externalit¨ aten. Cornets Analyse volldimensionaler Externalit¨ aten bei einer Auktion mit zwei Bietern widerlegt allerdings Funks These, daß die Wertsch¨ atzung des Verk¨ aufers ohne Verlust der Allgemeinheit unabh¨ angig vom Gewinner der Auktion auf Null normalisiert werden k¨ onne, so daß sich der Verk¨ aufer in einer reduzierten Version des Auktionsspiels ausschließlich an der H¨ ohe der Gebote zu orientieren br¨ auchte. Dar¨ uber hinaus analysiert Cornet die Stabilit¨ at der Anfangsallokation, d.h. er untersucht die Bedingungen f¨ ur das (Nicht-) Zustandekommen eines Verkaufs und beschreibt vollst¨ andig die Menge der Gleichgewichte, in denen kein Handel stattfindet.

2.3.2 Entwurf und Analyse des Auktionsmechanismus

Betrachtet wird eine genau definierte Menge von Spielern: zwei Bieter (Spieler 1 und 2) und ein Verk¨ aufer (Spieler 3). Der Verk¨ aufer bietet ein unteilbares Objekt an. Das Auktionsverfahren ist ein aus zwei Runden bestehendes Spiel. In der ersten Runde geben die Bieter simultan ihre Gebote p 1 und p 2 ab. In der zweiten Runde entscheidet sich der Verk¨ aufer entweder f¨ ur die Annahme des Gebots p 1 , f¨ ur die Annahme des Gebots p 2 oder f¨ ur die Ablehnung beider Gebote. Im Falle des Zuschlags bezahlt der K¨ aufer sein eigenes Gebot. Bei Ablehnung beider Gebote findet kein Handel statt. Daraus ergibt sich das Strategieprofil (p 1 , p 2 , w(· , ·)), wobei w(· , ·) die Strategie des Verk¨ aufers als Funktion der beiden Gebote bezeichnet. Der Spieler i bewertet das Objekt in seinen H¨ anden mit π i , und erf¨ ahrt eine Externalit¨ at von α ij , wenn es Spieler j geh¨ ort. Der Verk¨ aufer macht einen Gewinn von p i +α 3i , wenn er an Bieter i verkauft bzw. von π 3 wenn er nicht handelt ¹⁶ . Der Gewinn des Bieters i betr¨ agt π i − p i , wenn er den Zuschlag erh¨ alt und α ij in den beiden anderen F¨ allen. Der Verk¨ aufer trifft f¨ ur jedes Gebotspaar die f¨ ur ihn optimale Entscheidung. Die Analyse der zweiten Spielrunde f¨ uhrt auf folgenden Hilfssatz:

¹⁶ Cornet l¨ aßt hierbei offen, warum das Objekt durch das Einbehalten in der Auktion einen Wert f¨ ur den Verk¨ aufer gewinnt, ihm Fall der Ver¨ außerung jedoch kein Nutzen entgeht. Der Payoff des Verk¨ aufers m¨ ußte sonst n¨ amlich pi +α3i −π3 betragen.

12

Lemma 2.1 In einem Gleichgewicht ¹⁷ (· , · , w(p 1 , p 2 ) gilt



  w(p 1 , p 2 ) =

 

Der Verk¨ aufer hat folglich genau dann mehr als nur eine beste Antwort zur

Auswahl, wenn gilt ∃i, j p i + α 3i = max{p j + α 3j , π 3 }.

Die Analyse der ersten Spielrunde zeigt, daß die Anfangsallokation ein

Gleichgewicht des Auktionsspiels darstellt, wenn die Externalit¨ at, die der

Verk¨ aufer im Falle des Zuschlags an einen der Bieter erf¨ ahrt, nicht zu groß

ist im Vergleich mit den Externalit¨ aten, die jeweils einer der Bieter im Falle

der Nichtver¨ außerung erf¨ ahrt:

Satz 2.1 Das Einbehalten des Objekts bildet ein Gleichgewicht nur dann,

wenn

π i − α i3 ≤ π 3 − α 3i i = 1, 2. (2)

F¨ ur jedes Gleichgewicht (p 1 , p 2 , w(· , ·)) ohne Handel gilt ¨ uberdies

p i ≤ min π 3 − α 3j , max(π i − α ij , π i − α i3 ) i, j = 1, 2 j = i. (3)

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen daf¨ ur, daß es im Gleich-

gewicht zum Verkauf an einen Bieter kommt lauten:

Satz 2.2 Der Verkauf an Bieter i bildet ein Gleichgewicht nur dann, wenn

π 3 −α 3j , π j −α ji ≤ min π i −α ij +α 3i −α 3j , max(π j −α ji , π j −α j3 ) max (4)

oder

p i − α i3 ≥ π 3 − α 3i und π j − α ji ≤ π 3 − α 3j (5)

F¨ ur jedes Gleichgewicht (p 1 , p 2 , w(· , ·)) mit Handel gilt ¨ uberdies

p i ∈ π 3 − α 3i , π j − α ji + α 3j − α 3i max , (6)

π i − α ij , max(π j − α ji , π j − α j3 ) + α 3j − α 3i min ,

p j = p i + α 3i − α 3j

oder

p i = π 3 − α 3i , (7)

p j ≤ min π 3 − α 3j , max(π j − α ji , π j − α j3 ) mit j = i.

¹⁷ Mit Gleichgwicht sind hier wie im folgenden gemeint: SPNE in schwach dominanten

Strategien.

13

Die Existenz eines Gleichgewichts ist dadurch gew¨ ahrleistet, daß der gesamte Wertebereich aller neun Parameter durch Satz 2.1 und Satz 2.2 abgedeckt wird. Ist Bedingung (4) erf¨ ullt, so kann man ein Paar (p i , p j ) finden, welches Bedingung (6) erf¨ ullt. Entsprechendes gilt f¨ ur Bedingung (7) in Verbindung mit (5). Bedingung (6) zeigt, daß Preise p i innerhalb eines bestimmten Intervalls f¨ ur ein Gleichgewicht sorgen k¨ onnen, in dem Bieter i gewinnt. Dieses Ergebnis steht in auff¨ alligem Gegensatz zur Theorie von Auktionen ohne Externalit¨ aten, wo im Falle eines gleichgewichtigen Verkaufs immer nur ein einziger Gleichgewichtspreis existiert. ¨ Uberdies existieren in Cor-

nets Modell entweder ein oder zwei Gleichgewichte. F¨ ur jedes Paar der drei Spieler (d.h. f¨ ur jeweils zwei der drei m¨ oglichen Allokationen) gibt es unterschiedliche Konfigurationen der Parameter, unter denen das Auktionsgut beiden Spielern in einem Gleichgewicht zuf¨ allt. Im speziellen Fall ausschließlicher Bieter-Externalit¨ aten existiert eine solche Menge nur f¨ ur den Fall negativer Externalit¨ aten, wenn gleichzeitig der Verk¨ aufer die h¨ ochste Wertsch¨ atzung aufweist, oder f¨ ur den Fall positiver Externalit¨ aten, wenn der Verk¨ aufer die kleinste Wertsch¨ atzung hat. Schließlich bleibt im Hinblick auf das Beispiel des Verkaufs der olympischen ¨ Ubertragungsrechte die Frage zu beantworten, unter welchen Bedingungen der Verk¨ aufer das niedrigere Gebot akzeptiert. Die Externalit¨ aten in bezug auf den Verk¨ aufer spielen hierf¨ ur offensichtlich eine entscheidende Rolle. Existiert ein Gleichgewicht, in dem Bieter i den Zuschlag erh¨ alt, dann akzeptiert der Verk¨ aufer ein niedrigeres Gebot von i nur, wenn gilt α 3i > α 3j , i = j. Im ¨ ubrigen ist an Bedingung (6) abzulesen, daß auch ein Gleichgewicht bei negativem Preis m¨ oglich ist, beispielsweise, wenn α ³ⁱ hinreichend groß ist. Bei dem Objekt handelte es sich dann nicht um ein gew¨ ohnliches Gut, sondern eher um ein Gefahrgut bzw. ”Un-Gut”.

2.3.3 Exemplarische Konfigurationen

Beispiel 1: π 1 = 9 α 12 = −2 α 13 = 0 α 23 = 0

Das Beispiel umschreibt stark vereinfacht den ”IOC-Fall”. Das IOC (Spieler 3) kann die Senderechte nicht verwerten, wenn es sie nicht verkauft. Die Bieter EBU (Spieler 2) und News Corp. werden gleiche Wertsch¨ atzungen unterstellt (z.B. aufgrund exogen gegebener Werbeeinnahmen). Allerdings schadet News Corp. eine Niederlage bei der Auktion mehr als der EBU (z.B. wegen gr¨ oßerer Abh¨ angigkeit von Werbezeiten). Das IOC profitiert von einem positiven externen Effekt beim Verkauf an die EBU (wegen der h¨ oheren Einschaltquoten). Das einzige Paar gleichgewichtiger Gebote ist (11,9), wobei das IOC indifferent zwischen beiden Geboten ist. Die EBU ist jedoch eher geneigt, ihr Gebot zum Kauf der Rechte etwas zu erh¨ ohen, w¨ ahrend News Corp. dazu keinen Anreiz hat.

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Beispiel 2: π 1 = 5 α 12 = 0 α 13 = 3 α 23 = 2

Hier bestehen zwei Gleichgewichte: Das Einbehalten des Objekts bildet ein Gleichgewicht, weil die Bieter verh¨ altnism¨ aßig hohe positive Externalit¨ aten erfahren, wenn das Gut beim Verk¨ aufer verbleibt, w¨ ahrend ein Verkauf sp¨ urbare negative R¨ uckwirkungen auf den Verk¨ aufer h¨ atte. Andererseits w¨ are Spieler 3 bereit zu verkaufen, sofern er vom Gewinner entsch¨ adigt wird. Dies tritt ein, wenn beide Spieler kaufen wollen und somit den Preis nach oben treiben. Bieter 1 hat dabei den l¨ angeren Atem und kauft zum Preis p 1 = 4.

3 Ein Modell mit unvollst¨ andiger Information

3.1 Das erweiterte Modell von J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti

3.1.1 Modifikationen des Grundmodells

Das im Abschnitt 2.1 vorgestellte Ausgangsmodell basiert auf der zentralen Annahme der allgemein bekannten Matrix A externer Effekte. Die Haupt¨ uberlegungen des Verk¨ aufers sind hierbei von der Erkenntnis geleitet, daß das Auftreten externer Effekte den Nutzen Außenstehender endogenisiert und damit direkten Einfluß auf die Teilnahmeentscheidung der Bieter hat. Innerhalb dieses Rahmens l¨ ost der Verk¨ aufer das Erl¨ osmaximierungsproblem mit Hilfe des optimalen Mechanismus Γ. In einem realistischeren Umfeld muß der Verk¨ aufer jedoch Wechselwirkungen zwischen dem Streben nach Erl¨ osmaximierung und den Beschr¨ ankungen durch die Unkenntnis der Zahlungsbereitschaft der Bieter ber¨ ucksichtigen. J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti nehmen daher folgende Modifikationen am Grundmodell vor:

Jeder Bieter i kennt nur seine eigene Wertsch¨ atzung π i sowie die Externalit¨ at α i , die von ihm f¨ ur alle anderen Bieter ausgeht ¹⁸ . Die privaten Informationen des Bieters i, d.h. sein Typ, lassen sich somit durch einen zweidimensionalen Vektor t i = (π i , α i ) darstellen. Dieser wird aus dem kartesischen Produkt zweier Tr¨ agermengen ¹⁹ zuf¨ allig gem¨ aß der Dichte f i gezogen. Unter R¨ uckgriff auf Myersons (1981) “revelation principle” kann die weitere Betrachtung ohne Verlust der Allgemeinheit auf direkte, individuellrationale und anreizkompatible Mechanismen beschr¨ ankt werden ²⁰ . Der Verk¨ aufer faßt die Regeln der Auktion in einen Mechanismus (x, p), wobei

21 . Dies ist wie folgt zu interpretieren: x i : T → , 1 ≤ i ≤ n; p : T →

¹⁸ Im Unterschied zum Grundmodell gilt somit αij = αi, ∀j = i.

¹⁹ Ti = [π u i , π o i ] × [α u i , α o i ] ∈ ² + .

²⁰ R. B. Myerson (1981). S. 62.

²¹ T := T1 × . . . × Tn, t = ( t1, . . . , tn) ∈ T ; := {q ∈ ⁿ 0+ |

der Verk¨ aufer bittet jeden Bieter um die Angabe seines Typs. Wenn alle Bieter einen Typ angeben, verf¨ ugt der Verk¨ aufer ¨ uber das Typenprofil

( t 1 , . . . , t n ) ²² . Daraus ergibt sich die Zahlung des Bieters i als Funktion x i ( t 1 , . . . , t n ) und die Zuschlagswahrscheinlichkeit als p i ( t 1 , . . . , t n ).

3.1.2 Maximierung des erwarteten Gesamterl¨ oses

Nimmt ein Bieter i an, daß alle anderen Bieter an der Auktion teilnehmen und ihren Typ t i wahrheitsgetreu offenbaren, so beurteilt er unter diesen Umst¨ anden die Chancen seiner Typenangabe mit Hilfe der auf sie bedingten Erwartungswerte seiner Zahlung bzw. Zuschlagswahrscheinlichkeit. Die entsprechenden Funktionen y i : T i → und q i : T i → sind wie folgt definiert ²³ :

p i ( t i , . . . , t n ) φ i (t −i ) dt −i , (9) Glaubt Bieter i vom Typ t i , daß s¨ amtliche Mitbewerber ihren Typ wahrheits-

gem¨ aß offenbaren, so bestimmt sich sein erwarteter Nutzen bei Angabe eines

j =i

^T −i p j ( s i , t i ) α j × φ −i (t −i ) dt −i − y i ( s i ). (10) Die Bedingung f¨ ur die Anreizkompatibilit¨ at des Auktionsmechanismus (x, p)

in bezug auf Bieter i lautet: ∀ s i , t i ∈ T i . U i ( t i , t i ) ≥ U i ( s i , t i ) (11) Zur Sicherstellung der individuellen Rationalit¨ at von (x, p) droht der

^T −i max

j =i {α j } φ −i (t −i ) dt −i , (12)

und der Mechanismus (x, p) erf¨ ullt die Bedingung der individuellen Ratio-

nalit¨ at f¨ ur Bieter i, falls gilt ∀ t i ∈ T i .

U i ( t i , t i ) ≥ A i (13) der Wahrscheinlichkeitsvektoren q.

²² Betrachtet werden nur Bayes-Nash-Gleichgewichte, in denen alle Bieter sich f¨ ur ,,Teil-

Die Bedingungen der vollst¨ andigen Teilnahme und der Anreizkompatibilit¨ at sorgen daf¨ ur, daß das Profil der Strategien, bei dem alle Bieter teilnehmen und ihre Typen wahrheitsgem¨ aß angeben, ein Bayes-Nash-Gleichgewicht bildet. Werden die Teilnahme- und Anreizbedingungen durch den Mechanismus (x, p) erf¨ ullt, so handelt es sich um einen durchf¨ uhrbaren Mechanismus ²⁵ .

Das Problem des Verk¨ aufers, die Maximierung des erwarteten Gesamterl¨ oses, lautet formell

y i ( t i ) f i ( t i ) d t i , (14)

unter den Bedingungen der Anreizkompatibilit¨ at und individuellen Rationalit¨ at. J´ ehiel, Moldovanu und Stacchetti transformieren dieses Problem durch Einbeziehung der Nebenbedingungen und Einsetzen eines entsprechenden Ausdrucks f¨ ur die erwarteten Zahlungen der Bieter. Den Rechenaufwand des resultierenden Maximierungsproblems vereinfachen sie in zwei Anwen-

dungen durch Symmetrieannahmen bez¨ uglich der Tr¨ agermengen der Bieter-

typen sowie der zugrunde gelegten Dichten. 4 Vergleichende Diskussion der Modelle Untersucht wurden optimale Verkaufsmethoden f¨ ur Situationen, in denen das Ergebnis des Verkaufs nachfolgend zu Wechselwirkungen zwischen den Kaufinteressenten f¨ uhrt. Unter diesen Umst¨ anden wurden im Zusammenhang mit dem endogenisierten Nutzen Außenstehender zwei wichtige Erscheinungen beobachtet. Zum einen wurde deutlich, daß der erl¨ osmaximierende Verk¨ aufer auch Zahlungen von Bietern fordern kann, denen er nicht den Zuschlag erteilt. Zum anderen ist es f¨ ur den Verk¨ aufer unter besonderen Voraussetzungen (wenn die durch einen Verkauf her-vorgerufenen Externalit¨ aten in der Summe gr¨ oßer sind als jede individuelle Wertsch¨ atzung) sogar optimal, das Auktionsgut nicht zu ver¨ außern, und

lediglich Zahlungen von all jenen Bietern einzustreichen, denen aus einem Verkauf Nachteile entst¨ unden. Im Fall vollst¨ andiger Information l¨ aßt sich der Verk¨ aufer haupts¨ achlich durch die Teilnahmeentscheidungen der Bietinteressenten leiten. Im Fall unvollst¨ andiger Information muß der Verk¨ aufer dar¨ uber hinaus noch die Anreizeffekte im Zusammenhang mit der Aufdeckung der ihm unbekannten Zahlungsbereitschaft der Bieter ber¨ ucksichtigen. Die hiervon ausgehenden Beschr¨ ankungen erweisen sich als sehr stark, und das Ergebnis des erl¨ osmaximierenden Mechanismus f¨ allt nicht immer effizient aus. Unter

²⁵ R. B. Myerson (1981), S. 61. Die bei Myerson zuerst genannte Wahrscheinlichkeitsbe-

Umst¨ anden kommt es zum Verkauf, obwohl das Auktionsgut unter dem Effizienzaspekt in den H¨ anden des Verk¨ aufers bleiben sollte. Hierin besteht ein scharfer Gegensatz zur Theorie von Auktionen ohne Externalit¨ aten. Ungeachtet der Effizienz¨ uberlegungen, bleiben die wichtigsten Erkenntnisse aus dem Grundmodell auch bei unvollst¨ andiger Information g¨ ultig: Besonders die Drohungen gegen Nichtteilnehmer sind hierbei von Bedeutung. Im Fall unvollst¨ andiger Information gr¨ unden sie sich auf die erwarteten Externalit¨ aten. Dabei kann der Verk¨ aufer ebenso Verlierer der Auktion zu Zahlungen heranziehen. Falls die Gesamtheit der erwarteten Externalit¨ aten im Vergleich mit den tats¨ achlichen Wertsch¨ atzungen sehr hoch ist, ist es f¨ ur den Verk¨ aufer wiederum am besten, das Auktionsgut zu behalten, aber trotzdem Forderungen an die Bieter zu stellen. Bestehen allerdings Absprachem¨ oglichkeiten zwischen den Bietern, k¨ onnen sich daraus Anreize zur Teilnahmeverweigerung ergeben, die das Ergebnis der Auktion aus Sicht der Außenstehenden g¨ unstiger ausfallen lassen als es beim Eintritt in den Markt der Fall w¨ are.

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Literaturverzeichnis

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[6] The International Herald Tribune. Murdoch loses bidding on Olympic television rights. 31.1.1996, S. 1.

[7] P. J´ ehiel, B. Moldovanu and E. Stacchetti. Multidimensional mechanism design for auctions with externalities. Working paper, University of Michigan, Ann Arbor, 1995a.

[8] P. J´ ehiel und B. Moldovanu. Cyclical delay in bargaining with externalities. Review of Economic Studies, 62:619-637, 1995b. [9] P. J´ ehiel und B. Moldovanu. Negative externalities may cause delay in negotiation. Econometrica, 63:1321-1336, 1995c.

[10] P. J´ ehiel and B. Moldovanu. Strategic nonparticipation. RAND Journal of Economics, 27:84-98, 1996a.

[11] P. J´ ehiel, B. Moldovanu and E. Stacchetti. How (not) to sell nuclear weapons. American Economic Review, 86:814-829, 1996b. [12] P. Milgrom. Auctions and bidding: a primer. Journal of Economic Perspectives, 3:3-22, 1989.

[13] R. B. Myerson. Optimal auction design. Mathematics of Operations Research, 6:58-73, 1981.

[14] E. Wolfstetter. Auctions: an introduction. Journal of Economic Surveys, 10:367-421, 1996.

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