Mathematik-Zusammenfassung
© by Marcel Arnet Version: 08.09.00
1. GRUNDRECHENARTEN ... 2
2. GLEICHUNGEN... 2
3. FUNKTIONENLEHRE... 3
4. FOLGEN UND REIHEN... 4
5. ABSCHREIBUNGEN... 5
6. GRENZWERTE ... 7
7. DIFFERENTIATIONEN ... 7
8. KURVENDISKUSSION ... 8
9. KOSTEN-, ERLÖS- UND GEWINNFUNKTIONEN... 11
10. PREISELASTIZITÄTEN ... 14
11. LINEARE OPTIMIERUNG ... 14
12. STATISTIK ... 15
13. VERSICHERUNGEN ... 19
14. FINANZMATHEMATIK ... 22
15. TILGUNGSRECHNUNG ... 24
16. INVESTITIONSRECHNUNG ... 26
Marcel Arnet, 08.09.00
2
1. Grundrechenarten
1.1. Vorzeichen
-10x
2
= -100
(-10x
2
) = 100
1.2. Potenzieren, Radizieren
1.3. Logarithmus
1.4. Binome
Binome: Formelbuch Seite 19
1.5. Rechnen mit Brüchen
1.5.1 Grösster gem. Teiler
GGT erhält man aus dem Produkt der gemein-
same Primfaktoren der Zahlen
1.5.2 Diverses mit Brüchen
1.5.3 Kleinstes gem. Vielfaches
KGV erhält man aus dem Produkt aller vorkom-
menden Primfaktor-Gruppen, in ihrer Grösst-
form.
1.6. Schriftliche Division mit Brüchen mit Restwert
Man teilt die erste Zahl (12ax) durch den ersten Teiler (3a) und erhält nun 4x. 4x rechnet man nun mit (3a+4b)
zurück und erhält schliesslich (12ax+16bx) welches man nun von den ersten zwei Termen abzieht. etc. Einen
nicht mehr teilbaren Rest schreibt man als Bruch hin
q
p
q
p
n
n
n
n
n
n
x
x
b
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
a
a
a
a
a
=
-
=
-
=
=
=
=
=
=
=
=
=
-
=
-
=
-
-
+
+
-
2
8
4
16
16
)
(
3
3
3
2
1
1
2
)
(
8
)
2
(
4
)
2
(
3
8
4
3
3
3
9
3
3
2
2
4
2
2
8
2
3
5
8
5
3
3
2
)
log(
1
log
5
10
)
log(
)
log(
)
(
log
)
(
log
)
(
log
)
(
log
)
(
log
log
)
(
log
)
(
log
)
(
log
)
5
log(
v
v
a
b
b
b
n
b
c
b
c
b
c
b
c
b
a
a
n
a
a
a
a
a
a
a
-
=
=
=
=
-
=
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
b
a
b
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
ab
a
b
a
-
=
-
+
+
-
=
-
+
+
=
+
)
Rest
(
5
0
)
20
15
(
25
15
0
0
)
16
12
(
4
3
5
5
4
)
4
3
(
:
)
25
15
16
12
(
=
-
-
-
-
-
-
+
-
+
-
-
=
+
-
-
+
by
by
ay
by
ay
bx
ax
b
a
by
y
x
b
a
by
ay
bx
ax
1
1
3
.
0
3
.
0
4
1
4
2
1
2
4
2
4
1
4
3
4
1
3
g
g
=
=
=
=
-
=
-
-
12
3
2
2
3
3
2
2
2
72
5
3
2
2
60
3
2
2
2
2
48
=
=
=
=
=
ggT
24
3
2
2
2
3
2
2
12
2
2
2
8
2
2
4
=
=
=
=
=
kgV
Marcel Arnet, 08.09.00
3
2. Gleichungen
2.1. Lineare Gleichungen
(mit mehreren unbekannten)
2.1.1. Additionsmethode
2.1.2. Gleichsetzungsmethode
2.1.3 Einsetzungsmethode
2.1.4. Substitution
bei kompexen Termen:
2.2. Quadr. Gleichungen
Allg. Form:
Lösungsansätze
Faktorzerlegung:
Allgemeines Lösungsvorgehen:
2.3. Ungleichungen
Das Ungleichheitszeichen ist umzukehren bei:
1. Vertauschung beider Seiten
2. Multiplikation oder Division
mit einernegativen Zahl
3. Kehrtwertbildung
2.4. Absolute Beträge
3. Funktionenlehre
3.1. Die Lineare Funktion
3.1.1 Strahlensatz
y = Punkt auf Ordinate
x = Punkt auf Abszisse
m = Steigung
q = y-Achsenabschnitt
1-Punkte Version
Beispiel
2-Punkte Version
3.2. Die quadratische Funktion
3.2.1 Normalparabel
3.2.2. Parabel 2. Grades
3.2.3. Die Scheitelform
Es gilt:
m = Stauchung, Streckung, Öffnung
a = Versch. der Normalparabel in x-Richtung
b = Versch. der Normalparabel in y-Richtung
3.2.4. Die allgemeine Form:
Die allg. Form lässt sich in die Scheitelform
umwandeln:
20
5
12
4
2
32
4
3
=
-
=
-
=
+
x
y
x
y
x
y
y
y
x
y
x
7
16
4
5
5
4
16
7
-
-
=
-
=
+
-
=
+
y
y
y
x
y
x
9
7
)
3
2
(
4
9
7
4
3
2
=
+
+
=
+
+
=
x
u
x
1
5
:
z.B.
=
c
bx
ax
+
+
=
2
0
])
[
])(
[
(
1
0
2
x
x
x
x
a
y
c
bx
ax
y
-
-
=
+
+
=
a
D
b
x
ac
b
D
2
4
2
/
1
2
±
-
=
-
=
)
2
(
2
)
1
(
)
2
(
2
2
<
-
=
-
-
-
x
für
x
x
für
x
x
4
4 3
4
4 2
1
4
3
42
1
q
m
x
x
y
y
x
y
x
x
x
y
y
y
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
-
-
-
+
-
-
=
x
y
m
q
x
m
y
=
+
=
(
)
{
(
)
)
3
;
4
(
3
)
4
(
2
1
8
16
x
1/2
da
Kl.
ausserh.
8
-
Klamm./
in
16
8
11
16
8
2
1
ert
ausgeklamm
wird
m
11
8
2
1
11
4
2
1
2
2
2
2
2
S
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
c
bx
ax
y
+
-
=
=
+
-
+
+
-
=
+
-
=
+
-
=
+
+
=
x
x
y
1
2
2
2
2
1
=
+
=
2
x
y
=
geöffnet.
unten
nach
Parabel
0
Richtung
-
y
in
Stauchung
1
0
Richtung
-
y
in
Streckung
1
2
=
<
=
<
<
=
>
=
m
m
m
für
x
m
y
-
-
-
=
-
=
+
+
=
a
ac
b
a
b
b
a
S
b
a
x
m
y
4
4
;
2
)
;
(
)
(
2
2
c
bx
ax
y
+
+
=
2
Marcel Arnet, 08.09.00
4
3.2.5 Nullstellen einer quadr.
Funktion
(siehe auch 2.2. Quadr. Gleichungen; Allg. Lö-
sungsvorgehen)
Für Nullstellen der quadratischen Funktion
mit der Diskriminanten
gilt folgendes:
D>0 = zwei versch. reelle Nullstellen
D=0 = eine doppelte Nullstelle
D<0 = keine reelle Nullstellen
3.2.6 Linearfaktorenzerlegung
Man bestimme die Linearfaktorenzerlegung der
Funktion y = 2x
2
12x + 16
Nullstellen:
4. Folgen und Reihen
4.1 Arithm. Reihen + Folgen
Differenz [d] ist konstant
a
1
= 1. Glied
a
n
= n-tes Glied Beispiele:
s
n
= Summe von n Gliedern a
1
= 5; d = 2
n = Anzahl Glieder s
20
= 480
a
20
= 43; d = 2;
s
20
= 480
a
20
= 43; a
1
=5
a
6
= 15
a
20
= 43; a
1
=5
d = 2; s
n
= 480
a
20
= 43; a
1
=5
d = 2; s
n
= 480
]
)
1
(
2
[
2
)
(
2
2
1
a2
a6
von
Diff
Nenner
4
1
2
)
1
(
2
2
)
1
(
2
)
1
(
1
1
1
1
2
6
1
1
1
1
1
1
d
n
a
n
s
a
a
n
s
a
a
s
n
d
a
a
n
a
a
d
n
a
a
d
d
n
n
s
a
a
n
s
a
d
n
a
a
a
n
s
a
d
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
+
=
+
=
+
=
+
-
=
+
=
-
=
-
-
=
-
-
=
-
=
-
-
=
-
=
-
+
=
0
1
2
2
a
x
a
x
a
y
+
+
=
2
0
2
1
4
a
a
a
D
-
=
64
,
2
14
,
1
4
48
9
3
0
6
3
2
1
,
0
2
-
=
+
±
-
=
=
-
+
und
x
x
x
Zahl
reele
keine
2
20
4
)
2
(
0
5
2
1
,
0
2
=
-
±
-
-
=
=
+
-
x
x
x
4
;
2
0
)
4
)(
2
(
0
8
6
0
16
12
2
1
0
2
2
=
=
=
-
-
=
+
-
=
+
-
x
x
x
x
x
x
x
x
[
]
43
5
20
480
2
43
2
)
1
20
(
5
20
-
=
-
+
=
n
a
a
(
)
[
]
(
)
[
]
5
2
2
1
20
20
480
2
5
43
20
480
2
5
2
1
20
43
1
1
1
-
-
=
-
=
-
-
=
a
a
a
2
14
15
43
2
1
20
5
43
-
=
-
-
=
d
d
20
5
43
480
2
20
1
2
5
43
=
+
=
+
-
=
n
n
[
]
480
2
)
1
20
(
5
2
2
20
480
)
43
5
(
2
20
-
+
=
+
=
n
n
s
s
(
)(
)
( )
0
2
0
6
3
0
3
3
0
9
6
1
,
0
1
,
0
2
=
±
-
-
=
=
=
-
-
=
-
+
x
oder
x
x
x
x
x
Marcel Arnet, 08.09.00
5
4.2. Geom. Reihen + Folgen
4.2.1 Geom. Reihen, mit Ende
Quotient [q] zweier aufeinander folgenden
Glieder ist konstant
a
1
= 1. Glied
a
n
= n-tes Glied
s
n
= Summe von n Gliedern
4.2.2 Geom. Reihen, unendlich
Quotient [q] zweier aufeinander folgenden
Glieder ist konstant
lim = Grenzwert
a
1
= 1. Glied
a
n
= n-tes Glied
s
n
= Summe von n Gliedern
s
v
= Teilsumme
r
v
= Differenz zwischen Summe und Teils.
Fall 1
divergente Folge
Fall 2
für alle
n
konstante Folge
Fall 3
Nullfolge
Für Fall 3:
4.2.3. Dezimalzahlen in Brüche
Alle Dezimalzahlen können als Brüche geschrieben
werden.
k=Konstante
Beispiel:
5. Abschreibungen
5.1. Anschaffungswert
A = Anschaffungskosten
p% = Abschreibungsquote
D = jährlicher Abschreibungsbetrag
S = Schrottwert
R
i
= Restwert im Jahr i
n = Anzahl Jahre der gesamten Abschr.
= jährliche Abschreibung
R
v
= Restwert nach v Jahren
E = Einheit für die Degression
5.1.1. Konstant ohne Schrottwert
Abschreibungsbetrag bleibt immer der Selbe. Am
Ende der Abschreibung ist der Betrag auf 0.
[
]
[
]
q
a
a
q
s
n
q
q
q
s
q
a
a
n
q
a
a
n
a
s
a
s
q
q
q
a
q
a
a
q
a
q
a
a
q
a
a
q
q
q
a
s
q
q
s
a
q
a
a
a
a
a
a
a
a
q
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
log
log
)
1
(
log
log
log
)
1
(
log
log
1
log
log
log
1
1
1
)
1
(
1
1
1
1
4
4
2
1
1
6
5
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
7
5
6
1
1
1
1
-
+
-
=
+
-
-
-
=
+
-
=
-
-
=
=
=
=
=
-
-
=
-
-
=
=
+
+
=
=
-
-
+
-
+
-
-
=
>
n
a
q
lim
1
1
1
a
a
q
n
=
=
0
lim
1
=
<
n
n
a
q
(
)
v
v
v
v
n
n
v
v
v
v
v
v
n
n
a
q
s
a
q
a
q
s
a
q
s
a
s
q
q
q
a
s
q
q
a
q
a
r
r
s
s
q
a
s
q
s
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
-
-
=
-
-
=
-
=
-
-
=
-
-
-
-
=
=
-
-
=
-
=
n
A
D
n
p
=
=
100
%
100
p
A
q
a
k
s
n
-
+
=
1
1
6
56
.
0
30
17
30
2
30
15
30
2
2
1
100
9
10
6
2
1
10
1
1
100
6
2
1
...
)
(
006
.
0
)
(
06
.
0
)
(
5
.
0
6
56
.
0
10
1
1
.
0
2
1
=
+
=
+
=
+
=
-
+
=
+
+
+
=
=
n
oder
q
s
a
a
k
4
4
4
3
4
4
4
2
1
D
A
oder
p
n
n
D
A
%
100
=
=
Marcel Arnet, 08.09.00
6
5.1.2. Konstant mit Schrottwert
Abschreibungsbetrag bleibt immer der Selbe. Am
Ende der Abschreibung bleibt ein Schrottwert
übrig.
5.1.3 Digital (degressiv) ohne
Schrottwert
Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber
immer kleiner. Am Ende der Abschreibung bleibt 0.
5.1.4 Digital (degressiv) mit
Schrottwert
Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber
immer kleiner. Die Abschreibungsquoten bilden eine
arithmetische Folge. Am Ende der Abschreibung
bleibt ein Schrottwert übrig.
5.2. Buchwert
A = Anschaffungskosten
p% = Abschreibungsquote
w = jährlicher Abschreibungsfaktor
S = Schrottwert (S=0 wenn ohne Schrottwert)
R
i
= Restwert im Jahr i
R
n
= Restwert nach n Jahren
n = Anzahl Jahre der ges. Abschreibung
5.2.1 Degr. mit/ohne Schrottwert
Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber
immer kleiner. Die Abschreibungsquoten bilden eine
geometrische Folge. Am Ende der Abschreibung
bleibt ein Schrottwert übrig.
5.2.2. Degr. mit Abschwächung
A = Anschaffungskosten
p%
B
= Abschreibungsquote mit Abschwächung
w
B
= jährlicher Abschreibungsfaktor mit Ab-
schwächung
S = Schrottwert (S=0 wenn ohne Schrottwert)
R
i
= Restwert im Jahr i
R
n
= Restwert nach n Jahren
n
B
= Anzahl Jahre der ges. Abschreibung mit
Abschwächung
Beispiele: siehe nächste Seite
D
S
A
oder
p
A
S
n
S
p
n
A
R
p
n
S
A
n
S
A
D
n
A
S
p
n
-
-
=
=
-
=
-
=
-
=
-
=
100
1
100
1
100
100
100
1
%
2
)
(
)
1
2
(
)
1
(
)
1
(
2
2
n
n
E
A
n
v
v
n
n
n
A
v
A
R
n
n
A
E
v
+
=
+
-
+
-
=
+
=
(
)
(
)
2
2
)
(
)
1
2
(
)
1
(
)
1
(
2
2
S
n
n
E
A
n
v
v
n
n
n
S
A
v
A
R
n
n
S
A
E
v
+
+
=
+
-
+
-
-
=
+
-
=
-
-
=
-
=
-
=
=
-
=
=
-
=
100
%
1
log
)
log(
)
log(
1
100
100
%
1
100
%
1
100
%
1
p
A
S
n
A
S
p
p
A
S
R
p
A
R
S
p
oder
A
S
w
n
n
n
n
n
n
(
)
(
)
n
n
B
B
n
B
n
n
n
n
n
B
p
S
p
A
B
p
B
A
B
S
n
B
A
B
S
p
B
p
B
A
S
R
B
p
B
A
R
S
B
A
B
S
w
-
-
-
-
=
-
+
-
+
=
+
+
-
=
-
-
+
=
=
-
-
+
=
=
+
+
=
100
%
1
1
100
%
1
100
%
1
log
)
log(
)
log(
1
100
100
%
1
100
%
1
Marcel Arnet, 08.09.00
7
Beispiele:
Wie hoch ist p bei degressiver Abschreibung vom
Buchwert, wenn zum Anschaffungswert von Fr.
200000 und zum Schrottwert von 10000 zwecks
Abschwächung je 40000 hinzugefügt werden und
die Lebensdauer 10 Jahre geschätzt wird.
Wie hoch ist der Restwert im 6 und 8 Jahr?
Wie hoch sind die 10 Abschreibungsbeträge?
Jahr Buchwert fiktiver Rest-
wert
Abschrei-
bung
Restwert
richtig
0
240000
0
200000
1
200000
205157.367
34842
165157
2
165157
175373.106
29784
135373
3
135373
149912.853
25460
109913
4
109913
128148.859
21765
88148
5
88148
109544.511
18604
69544
6
69544
93641.098
15903
53641
7
53641
80046.505
13595
40046
8
40046
68425.542
11621
28425
9
28425
58491.684
9934
18491
10
18491
50000
8491
10000
WICHTIG:
Anfangswert x w
B
= fiktiver Restwert 1
Restwert 1 x w
B
= fiktiver Restwert 2, etc.
Anfangswert fiktiver Restwert 1 = Abschreibung 1
fikt. Restwert 1 fiktiver Restwert 2 = Abschreib. 2.
etc.
richtiger Anfangswert Abschreib. 1 = Buchwert 1
Buchwert 1 Abschreibung 2 = Buchwert 2, etc.
6. Grenzwerte
6.1 Rechenregeln
; wobei c = Konstante
6.2. Grenzwerte spezieller
Funktionen
7. Differentiationen
7.1. Differentiationsregeln
(wichtige Ableitungen im Formelbuch S. 37)
Konstante
Beispiel
Faktorregel
Beispiel
)
ln(lim
)
lim(ln
lim
lim
lim
)
(lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
)
lim(
lim
lim
)
lim(
lim
lim
a
a
e
e
a
n
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
a
a
n
n
n
n
=
=
=
=
=
=
±
=
±
=
(
)
(
)
>
=
<
<
>
=
<
<
=
=
=
-
=
-
=
+
=
+
-
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
-
-
-
-
-
1
0
1
1
1
0
lim
1
1
1
1
0
0
lim
0
lim
1
1
lim
1
1
lim
1
lim
1
1
lim
)
(ln
lim
0
)
(ln
lim
)
(ln
lim
1
lim
lim
0
lim
0
lim
lim
lim
0
lim
1
lim
lim
1
0
1
0
0
1
0
0
0
fürq
fürq
q
für
q
fürq
fürq
q
für
q
e
x
e
x
x
e
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
x
n
x
n
x
0
)
(
.
)
(
=
=
=
x
f
const
c
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
c
x
f
x
g
c
x
f
=
=
x
x
f
x
x
f
2
)
(
5
)
(
2
=
+
=
x
xoder
x
f
x
x
f
4
7
2
7
)
(
7
)
(
2
=
=
%
51
.
14
40000
200000
40000
10000
1
100
10
=
+
+
-
=
B
p
8548
.
0
40000
200000
40000
10000
10
=
+
+
=
B
w
(
)
(
)
28425
40000
100
51
.
14
1
240000
53641
40000
100
51
.
14
1
40000
200000
8
8
8
6
6
6
=
-
-
=
=
=
-
-
+
=
=
R
S
R
R
S
R
Marcel Arnet, 08.09.00
8
Summenregel
Beispiel
Potenzregel
Beispiel
Produkteregel
Beispiel:
Quotientenregel
Beispiel:
Kettenregel
Beispiel:
7.2. Differentiation einiger
wichtiger Funktionen
Siehe Formelbuch S. 37
7.3. Umkehrfunktion
Vertauscht man in einer F-Gleichung das Argument
(x) mit der Variablen (y), löst die Gleichung nach y
auf, erhält man die Umkehrfunktion:
Schreibweise:
Beispiel:
8. Kurvendiskussion
8.1. Definitionsbereich
Welche Zahlen umfasst der Diskussionsbereich
D = ?
8.2. Stetigkeit
Ganzrationale Funktion ist stetig + differenzierbar
8.3. Symmetrie
Achsen- oder Punktsymmetrie?
Ist f(-x) = f(x) für alle x, so ist y = f(x) achsensym-
metrisch bezüglich der y-Achse:
Beispiel:
Ist f(-x) = -f(x) für alle x, so ist y=f(x) punktsymme-
trisch bezüglich 0
Beispiel:
8.4. Grenzwerte
Man setzt für x Grenzwerte unendlich (pos. +neg.)
ein und schaut wohin das führt
Beispiel:
Wenn Exponent gerade, immer positiv = negativ,
wenn Exponent ungerade, unterschiedlich
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f
x
v
x
u
x
f
±
=
±
=
1
)
(
.
)
(
-
=
=
n
n
x
n
x
f
x
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f
x
v
x
u
x
f
+
=
=
x
x
x
f
x
x
x
f
4
3
)
(
2
)
(
2
2
3
+
=
+
=
3
1
4
4
16
4
4
)
(
.
4
)
(
x
x
x
f
x
x
f
=
=
=
-
(
)
(
)
(
)
3
3
3
2
2
2
2
2
2
8
4
4
4
4
)
(
2
2
1
4
)
(
2
)
(
1
)
(
4
)
(
2
)
(
1
2
)
(
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
v
x
x
v
x
x
u
x
x
u
x
x
x
f
+
=
+
+
=
+
+
=
=
+
=
=
=
+
=
[ ]
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f
x
v
x
u
x
f
-
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
4
2
3
2
4
4
3
2
2
3
2
3
2
3
2
1
9
2
)
1
(
9
3
2
2
)
(
1
)
3
(
3
)
1
(
2
)
(
3
)
(
1
)
(
2
)
(
3
)
(
1
3
)
(
+
+
+
-
=
+
+
-
+
=
+
-
-
+
=
=
+
=
=
-
=
+
-
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
x
v
x
x
v
x
x
u
x
x
u
x
x
x
f
2
2
1
)
(
auflösen
y
nach
;
4
2
hen
y vertausc
und
x
;
4
2
)
(
1
+
-
=
=
+
-
=
+
-
=
=
-
x
x
f
y
y
x
x
x
f
y
)
(
1
x
f
y
-
=
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
x
g
x
f
x
f
x
g
f
x
f
=
=
(
)
( )
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
f
2
)
1
(
2
1
)
(
)
1
(
1
)
(
2
1
2
2
)
(
1
)
(
)
1
(
2
1
)
(
1
)
(
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
+
=
+
+
=
-
=
+
=
+
=
+
=
-
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
( ) ( )
2
4
2
4
2
4
2
2
)
2
(
2
2
)
2
(
?
)
(
)
(
)
(
-
=
=
-
-
-
=
-
=
-
-
=
f
f
x
f
x
f
x
x
x
f
( )
[
]
( )
[
]
2
4
2
4
2
4
2
2
)
2
(
2
2
)
2
(
?
)
(
)
(
)
(
-
=
-
-
-
=
-
-
=
-
-
=
f
f
x
f
x
f
x
x
x
f
-
=
+
=
+
-
=
+
=
+
=
-
=
-
+
-
+
x
x
x
x
x
x
x
f
oder
x
x
x
f
lim
lim
3
2
3
)
(
lim
lim
)
(
2
3
2
4
Marcel Arnet, 08.09.00
9
8.5. Asymptoten
Nur bei gebrochenen rationalen Funktionen wird
das Verhalten für sehr grosse x untersucht. Es
gibt 3 Fälle:
8.5.1. Grad Zähler ist kleiner als
Grad Nenner
Beispiel
x-Achse = Asymptote
8.5.2. Grad Zähler ist gleich wie
Grad Nenner
Beispiel
Parallele zur x-Achse = Asymptote.
8.5.3. Grad Nenner ist kleiner wie
Grad Zähler
Beispiel
Wenn x gegen unendlich strebt, verschwindet der
zweite Summand. Somit ergibt sich eine y=x und
eine Gerade durch 0. Dies ist die Asymptote.
8.6. Polstellen
Nur bei gebrochen rationalen Funktionen!!!
x strebt gegen Zahlen welche aus dem Def.-Bereich
ausgeschlossen sind.
Beispiel:
Die Polstelle ist immer eine parallele zu der y-Achse
und führt in diesem Fall nach /+ Unendlich.
8.7. Nullstellen
Man setzt den x-Wert auf Null und löst Gleichung
nach x auf . So erhält man die Schnittpunkte mit der
y-Achse. Eine ganzrationale Funktion n-Grades
hat höchstens n verschiedene Nullstellen.
Beispiel:
8.7.1 Nullstellen bei Funktionen
höheren Grades
Sollte das obenerwähnte Verfahren nicht aufgehen,
z.B. bei einer Gleichung höheren Grades, dann gibt
es verschiedene andere Anwendungen
Beispiel:
Keine Möglichkeit mit ,,normalem" Verfahren
8.7.2 Nullstellen nach Newton
Iteratives Näherungsverfahren mit der Formel.
Kann nur bei differenzierbaren Funktionen an-
gewendet werden.
wobei für x irgendein Wert angenommen wird. Zu
beachten ist, das nach dem ersten Verfahren mit
Newton die Zahl x2 möglichst nahe bei 0 liegen
muss. Ansonsten muss eine andere Zahl genom-
men werden.
Beispiel:
Eine Nullstelle liegt nun bei 0.0565198. Da es eine
Potenz 3. Grades in der Funktionsgleichung hat,
könnte es bis zu drei Nullstellen geben. Die höchste
Potenz in der Funktionsgleichung zeigt an, wieviel
Nullstellen es geben kann.
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
oder
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
=
±
=
=
=
-
=
=
-
=
=
+
=
-
=
-
=
-
=
=
-
=
2
4
4
4
4
0
0
)
(
4
)
(
0
;
1
;
1
1
0
0
0
)
(
)
(
2
3
3
3
2
1
2
2
2
4
2
4
3
2
3
1
0
0
3
2
3
1
)
(
2
3
2
3
+
-
=
=
+
-
=
x
x
x
x
x
f
)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x
-
=
+
0565198
.
0
088741
.
2
00000001
.
0
565198
.
0
0565198
.
0
089008
.
2
000103
.
0
565247
.
0
565247
.
0
122449
.
2
013120
.
0
571429
.
0
571429
.
0
75
.
1
125
.
0
5
.
0
75
.
1
)
(
;
25
.
1
)
(
;
5
,
0
!
angenommen
0.5
-
wird
Für x1
2
3
)
(
5
.
0
)
(
5
4
3
2
1
1
1
2
2
3
-
-
-
-
=
-
-
-
-
=
-
-
-
-
=
-
-
-
=
=
=
-
=
-
=
+
-
=
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
f
0
1
1
1
1
lim
1
)
(
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
2
1
1
1
2
1
1
2
lim
1
1
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
-
+
-
=
+
-
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
(
) (
)
1
1
2
1
:
1
1
1
)
(
2
2
3
2
3
-
+
+
=
-
+
+
-
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
-
=
=
=
-
=
-
+
)
(
lim
)
(
lim
1
1
)
(
1
1
2
x
f
x
f
Rohne
Df
x
x
x
f
x
x
Marcel Arnet, 08.09.00
10
8.7.3 Nullstellen nach Regula falsi
Iteratives Verfahren, ohne das die Funktion diffe-
rentierbar sein muss. Die Formel lautet:
Beispiel:
da f(x
3
) positiv ist, wird x
3
nun anstelle von x1 ge-
setzt. Nur so gilt wieder f(x
1
)· f(x
2
)<0. daraus folgt:
da f(x
3
) wieder positiv ist, wird x
3
nun anstelle von
x1 gesetzt. Nur so gilt wieder f(x
1
)· f(x
2
)<0. Dieses
Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis mein f(x
3
)-
Wert nahe Null ist.
8.7.4 Nullstellen durch Division
und Anzahl der Nullstellen
bestimmen
Eine ganzrationale (ganze Zahlen) Funktion n-Gra-
des kann auch bis auf eine Quadratische reduziert
werden, um die restlichen Nullstellen herauszufin-
den. Die erste Nullstelle kann nach Newton oder
Regula Falsi bestimmt werden. Die erweitern kön-
nen mittels Divisionsverfahren herausgefunden
werden.
Um zu entscheiden, ob das Polynom noch weitere
Nullstellen besitzt, dividiert man das Polynom durch
den Linearfaktor (x-x
n
). Gibt es noch weitere Null-
stellen, darf bei dieser Division kein Rest entstehen.
Gibt es keine weiteren, erhält man in der Regel
einen Rest.
Beispiel:
(Behandlung von Division von Brüchen siehe
auch unter Kapitel 1.5.)
Nun weiss man, da es keinen Rest gegeben hat,
dass es noch mehr Nullstellen haben muss. Man
kann mittels Newton, Regula falsi oder durch erra-
ten weitere Nullstellen herausfinden.
Es gab wieder kein Rest. Da man jetzt aber eine
Quadratische Gleichung erhält, kann mit der allg.
Nullstellenbestimmung (
à
3.2.5) die restliche(n)
bestimmen.
Eine ganzrationale Funktion 4-Grades hat höch-
stens 4 verschiedene Nullstellen.
8.8. Extremwerte
Erhält man , in dem man y in der 1. Ableitung auf
Null setzt.
Somit sind die Nullstellen an den x-Werten bekannt,
aber nicht ob Minimum oder Maximum.
Mittels 2. Ableitung erhält man die Auskunft, ob Min.
oder Max., indem man die x-Werte einsetzt.
Daraus folgt:
Beispiel:
Um die y-Werte der Extremwerte nun zu erreichen,
setzen wir die erhaltenen x-Werte in die Ausgangs-
gleichung ein.
Beispiel:
( )
( ) ( )
0
,
)
(
)
(
2
1
1
2
1
2
2
2
3
<
-
-
-
=
x
f
x
f
wobei
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
(
) (
)
375
.
0
1
5
.
0
5
.
0
)
5
.
0
.
(
5
.
0
3
1
1
1
)
1
(
1
1
)
(
1
3
)
(
1
1
)
(
3
3
3
2
1
3
=
+
-
+
-
=
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
=
-
=
-
=
=
=
+
+
=
bzw
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
f
(
) (
)
...
105935
.
0
1
3
636
.
0
3
636
.
0
)
3
636
.
0
.
(
3
63636
.
0
375
.
0
1
)
5
.
0
(
1
)
1
(
1
1
)
(
1
375
.
0
)
(
5
.
0
3
3
3
2
1
3
=
+
-
+
-
=
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
=
-
=
=
-
=
bzw
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
(
)
24
26
9
1
:
24
50
35
10
1
lautet
und
erraten
wurde
x
Nullstelle
Die
24
50
35
10
)
(
2
3
2
3
4
01
2
3
4
-
+
-
=
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
(
)
[
]
?
:
)
(
=
±
-
n
x
x
x
f
(
)
12
7
2
:
24
26
9
2
lautet
und
erraten
wurde
x
Nullstelle
2.
Die
2
2
3
02
+
-
=
-
-
+
-
+
x
x
x
x
x
x
=
=
±
+
=
-
±
+
=
+
-
4
3
2
1
7
2
48
49
7
,
12
7
04
03
04
03
2
x
x
x
x
x
x
2
1
;
2
1
;
0
)
1
2
(
2
0
2
4
0
)
(
2
4
)
(
)
(
3
2
1
2
3
3
2
4
-
=
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
f
x
x
x
f
( )
.
.
4
2
2
1
12
)
2
1
(
)
(
.
.
4
2
2
1
12
)
2
1
(
)
(
.
.
2
2
0
12
)
0
(
)
(
2
12
)
(
)
(
2
2
2
2
2
1
2
2
4
Min
rel
f
x
f
Min
rel
f
x
f
Max
rel
f
x
f
x
x
f
x
x
x
f
=
-
-
=
-
=
=
-
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
( )
( )
( )
=
=
=
>
=
<
=
t
Sattelpunk
0
(Tief)
Minimum
rel.
0
(Hoch)
Maximum
rel.
0
und
0
0
0
0
0
x
y
x
y
x
y
)
(x
y
25
.
0
2
1
2
1
)
2
1
(
)
(
25
.
0
2
1
2
1
)
2
1
(
)
(
0
)
0
(
)
(
)
(
2
4
2
2
4
2
2
4
1
2
4
-
-
-
-
=
-
=
-
-
=
=
-
=
=
-
=
f
x
f
f
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
f
Marcel Arnet, 08.09.00
11
Daraus folgt:
In der Gleichung f(x)=x
4
-x
2
haben an folgenden
Punkten Extremwerte:
8.9. Krümmungsverhalten
Gibt Auskunft, ob konkav (rechts-) oder konvex
(links gekrümmt). Dies sieht man in der 2. Ableitung
8.10. Wende- und Sattelpunkte
Wechsel zwischen konvex und konkav oder Umge-
kehrt. Bei einem Sattelpunkt ist eine Wendestelle
mit horizontaler Tangente
Beispiel
Setzt man nun den erhaltenen x-Wert in die Aus-
gangsgleichung, erhält man den dazugehörigen y-
Wert der/des Wendepunkte(s).
9. Kosten-, Erlös- und
Gewinnfunktionen
9.1. Nachfragefunktion
Beispiel:
9.2. Formeln Gesamtkosten
9.2.1. Gesamtkostenfunktion
Beispiel:
9.2.2. Fixkosten
Beispiel:
9.2.3. Variable Kosten
Beispiel:
9.3. Formeln Durchschnitts-
kosten
9.3.1. Totale Durchschnittskosten
Beispiel:
9.3.2. Durchschn. Fixkosten
Beispiel:
9.3.3. Durchschn. variable Kosten
Beispiel:
9.4. Formeln Gewinn + Erlös
9.4.1 Gesamterlös
Beispiel:
9.4.2. Gesamtgewinn
Beispiel:
9.4.3. Durchschnittsgewinn
Beispiel:
9.4.4. Grenzgewinn
Beispiel:
( )
konvex
Minimum,
relatives
25
,
0
;
2
1
konvex
Minimum,
relatives
25
,
0
;
2
1
konkav
Maximum,
relatives
0
;
0
-
-
-
P
P
P
konvex
x
y
konkav
x
y
>
<
0
)
(
0
)
(
t
Sattelpunk
x
x
y
x
y
e
Wendestell
x
x
y
x
y
=
=
+
=
=
+
=
0
0
0
0
0
0
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
6
1
24
)
6
1
(
6
1
12
2
12
2
2
12
0
)
(
24
)
(
2
12
)
(
)
(
2
2
2
2
4
±
=
±
±
±
=
=
-
-
=
=
=
-
=
-
=
y
x
x
x
x
y
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
8
138
.
0
6
1
6
1
6
1
)
(
2
4
2
4
±
=
±
-
±
=
±
-
=
f
x
x
x
f
d
cx
bx
ax
x
Y
K
+
+
+
=
2
3
)
(
200
=
f
Y
d
Y
f
=
200
150
20
)
(
2
3
+
+
-
=
x
x
x
x
Y
K
f
K
v
Y
x
Y
x
Y
-
=
)
(
)
(
x
x
x
x
Y
K
150
20
)
(
2
3
+
-
=
x
x
Y
x
Y
K
KD
)
(
)
(
=
x
x
x
x
x
x
x
x
Y
KD
200
150
20
200
150
20
)
(
2
2
3
+
+
-
+
+
-
=
x
Y
Y
f
fD
=
x
Y
fD
200
=
x
x
Y
x
Y
v
vD
)
(
)
(
=
150
20
150
20
)
(
2
2
3
+
-
+
-
=
x
x
x
x
x
x
x
Y
vD
300
)
(
+
-
=
x
x
Y
N
)
(
Pr
)
(
x
Y
x
eis
Menge
x
Y
N
E
=
x
x
x
x
x
Y
E
300
)
300
(
)
(
2
+
-
=
+
-
=
)
(
)
(
)
(
x
Y
x
Y
x
Y
K
E
G
-
=
(
) (
)
200
150
19
200
150
20
300
)
(
2
3
2
3
2
-
+
+
-
+
+
-
-
+
-
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Y
G
x
x
Y
x
Y
G
GD
)
(
)
(
=
x
x
x
x
x
x
x
x
Y
GD
200
150
19
200
150
19
)
(
2
2
3
-
+
+
-
-
+
+
-
=
)
(x
Y
G
150
38
3
)
(
2
+
+
-
=
x
x
x
Y
G
Marcel Arnet, 08.09.00
12
9.4.5. Menge des max. Erlöses
Beispiel:
Die Menge 150 ergibt den grösstmöglichen Erlös
von 22500.
9.4.6. Gewinnmaximum beim
Monopol
Beispiel:
Das heisst bei einer Menge von 15.83 und einem
Preis von 284.17 würde das Gewinnmaximum er-
reicht.
Merke:
Beim Cournotschen Punkt (=Gewinnmaximum)
ist die Nachfrage stets elastisch oder fliessend!
9.4.7. Gewinnmaximum beim
Polypol
Beispiel:
Das heisst bei einer Menge von 8 und einem Preis
von 60 würde der Gesamtgewinn von Fr. 158.--
erreicht.
9.4.8. Gewinnmaximierung mit
indirekten Steuern
R = Gesamtsteuer = r · x
r = Steuer pro Stück
Beispiel:
Bei einer indirekten Steuer von Fr. 2.--pro Stück
wäre die gewinnmaximierende Menge 7.3 Stück
und der Preis pro Stück Fr. 3.832.
9.4.9. Gesamtsteuer
R = r · x
Für das obenerwähnte Beispiel gilt:
Die Gesamtsteuer beträgt beim Gewinnmaximum
Fr. 14.6.
9.4.10. Steuerrate festlegen, damit
möglichst hohes Steuerauf-
kommen erzielt wird
Die Kostenfunktion Y
kr
(x) muss abgeleitet und nach
r aufgelöst werden.
Beispiel:
Die Steuerrate müsste nun wie oben festgelegt
werden, damit der Staat ein möglichst hohes Steu-
eraufkommen erzielt.
./.
0
)
(
)
(
)
(
=
=
x
Y
oder
x
Y
x
Y
G
E
K
17
.
284
300
83
.
15
)
83
.
15
(
83
,
15
16
,
3
6
1800
1444
38
2
D
Verf.
allg.
nach
Auflösung
150
38
3
0
300
2
150
40
3
300
)
(
2
1
2
/
1
2
2
+
-
=
=
-
=
+
±
±
-
=
-
-
=
+
-
=
+
-
+
-
=
N
N
Y
x
x
a
b
x
x
x
x
x
x
x
x
Y
0
)
(
=
x
Y
E
(
)
(
)
22500
150
300
150
)
150
(
150
300
2
0
)
(
300
)
(
2
2
+
-
=
=
+
-
=
=
+
-
=
E
E
E
Y
x
x
x
Y
x
x
x
Y
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
=
-
=
=
=
x
Y
x
Y
x
Y
Y
p
x
Y
x
p
x
Y
K
E
G
E
E
(
)
158
322
480
)
(
)
8
(
8
)
8
(
Menge
gewinnmax.
8
;
0
0
)
24
3
(
0
24
3x
60
60
24x
-
3x
)
(
/
60
12
0
;
98
60
12
)
(
2
1
2
2
2
3
=
-
=
-
=
=
=
=
-
=
-
=
+
=
=
+
+
-
=
x
Y
Y
p
Y
x
x
x
x
x
p
x
Y
ME
GE
p
x
x
x
x
x
Y
G
K
G
K
K
832
.
3
)
3
.
7
(
3
.
7
;
0
0
)
88
.
0
12
.
0
(
0
88
.
0
12
.
0
5
32
.
0
2
3
2
.
1
12
.
0
)
(
)
(
)
5
16
.
0
(
)
(
5
16
.
0
)
(
2
3
3
6
.
0
04
.
0
)
(
2
/
2
3
3
6
.
0
04
.
0
)
(
2
1
2
2
2
3
2
3
=
=
=
=
-
=
-
+
-
=
+
+
-
=
+
-
=
+
-
=
+
+
+
-
=
=
+
+
-
=
N
E
Kr
E
N
Kr
K
Y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Y
x
Y
x
x
x
Y
x
x
Y
x
x
x
x
x
Y
x
ME
GE
r
x
x
x
x
Y
)
(
)
(
x
Y
x
Y
E
Kr
=
6
.
14
3
.
7
2
=
=
R
2
88
.
0
12
.
0
0
2
88
.
0
12
.
0
5
32
.
0
3
2
.
1
12
.
0
)
(
)
(
)
5
16
.
0
(
)
(
5
16
.
0
)
(
)
(
3
3
6
.
0
04
.
0
)
(
3
3
6
.
0
04
.
0
)
(
2
2
2
2
3
2
3
+
+
-
=
=
+
-
-
+
-
=
+
+
-
=
+
-
=
+
-
=
+
+
+
-
=
+
+
-
=
x
x
r
r
x
x
x
r
x
x
x
Y
x
Y
x
x
x
Y
x
x
Y
x
r
x
x
x
x
Y
x
x
x
x
Y
E
Kr
E
N
Kr
K
Marcel Arnet, 08.09.00
13
Die Gesamtsteuer würde wie folgt berechnet:
Auflösung nach allgemeinem Lösungsverfahren:
Die Gesamtsteuer würde bei der oben berechneten
Steuerrate Fr. 17.792 ergeben.
9.4.11 Gewinnmaximierung mit
Subventionen
S = Gesamtsubvention = s · x
s = Subvention pro Stück
Gleich wie bei den Steuern, ausser das eine Sub-
vention von den Kosten abgezogen würde
9.5. Formeln Grenzfunktionen
9.5.1. Grenzkosten
Beispiel:
9.5.2. Grenzerlös
Beispiel:
9.6. Formeln Deckungsbeitrag
9.6.1. Totaler Deckungsbeitrag
Beispiel:
9.6.2. Deckungsbeitrag per Stk.
Beispiel:
9.7. Marktgleichgewicht
Y
N
(X) = Nachfragef.; Y
A
(X)= Angebotsf.
Beispiel:
Das heisst, dass das Marktgleichgewicht bei einem
Preis von 10 eine Menge von 4 erreicht wird.
9.8. Preisuntergrenzen
9.8.1. langfr. Preisuntergrenze
Minimum der Durchschnittskosten
Beispiel:
Näherungsverfahren nach Newton nötig, um Null-
stelle zu bestimmen.
9.8.2. kurzfr. Preisuntergrenze
Beispiel:
Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt bei einer
Menge von 10 und einem Preis von 50
9.9. Break-even-point / Nut-
zenschwelle, -grenze
Gewinnschwelle
Beispiel:
Auflösung mittels Näherungsverfahren nach Newton
Kleinste Zahl = Nutzschwelle;
Grösste Zahl = Nutzengrenze
)
(
)
(
x
Y
x
Y
A
N
=
10
)
4
36
(
2
1
)
4
(
;
10
)
1
4
(
2
)
4
(
damit
weg
also
Bereich,
-
Def.
in
nicht
fällt
x
8
4
1
36
2
2
4
:
fahren
Lösungsver
Allg.
16
2
2
1
2
1
18
2
2
0
)
1
(
2
)
36
(
2
1
6
2
1
)
36
(
2
1
)
(
)
1
(
2
)
(
2
2
2
1
2
2
/
1
2
2
2
2
=
-
=
=
+
=
-
=
=
±
-
=
-
±
-
=
-
+
=
-
-
-
+
=
+
=
-
-
=
+
=
N
A
N
A
Y
Y
x
x
a
ac
b
b
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Y
x
x
Y
)
(x
Y
K
150
40
3
)
(
2
+
-
=
x
x
x
Y
K
)
(x
Y
E
300
2
+
-
=
x
Y
E
)
(
)
(
)
(
x
Y
x
Y
x
Y
v
E
D
-
=
(
) (
)
(
) (
)
(
)
83
.
15
150
83
.
15
19
83
.
15
)
83
.
15
(
150
19
150
20
300
)
(
mum
Gewinnmaxi
vom
Menge
die
ist
Basis
2
3
2
3
2
3
2
+
+
-
=
+
+
-
+
-
-
+
-
=
D
D
Y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Y
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
Y
x
Y
x
Y
x
Y
x
Y
vD
ED
DD
N
ED
-
=
=
(
)
(
)
(
)
150
83
.
15
20
83
.
15
17
.
284
)
83
.
15
(
150
20
17
.
284
)
(
Gewinnmax.
vom
Preis
der
und
Menge
die
ist
Basis
2
2
+
-
-
=
+
-
-
=
D
DD
Y
x
x
x
Y
)
(
)
(
x
Y
x
Y
KD
K
=
x
x
x
x
x
200
150
20
150
40
3
2
2
+
+
-
=
+
-
)
(
)
(
x
Y
x
Y
vD
K
=
50
)
10
(
10
2
20
20
2
0
150
20
150
40
3
2
2
2
2
=
=
=
-
=
+
-
=
+
-
K
Y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
x
Y
x
Y
oder
x
Y
x
Y
x
Y
E
K
K
E
G
=
=
-
=
200
150
19
0
300
200
150
20
2
3
2
2
3
-
+
+
-
=
+
-
=
+
+
-
x
x
x
x
x
x
x
x
2
76
.
1
36
.
0
0
2
88
.
0
12
.
0
)
2
88
.
0
12
.
0
(
2
2
3
2
+
+
-
=
=
+
+
-
=
+
+
-
=
x
x
R
x
x
x
x
x
x
R
792
.
17
)
3
83
.
5
(
3
83
.
5
;
4
94
.
0
2
76
.
1
36
.
0
0
2
1
2
=
=
-
=
+
+
-
=
=
R
x
x
x
x
R
Marcel Arnet, 08.09.00
14
10. Preiselastizitäten
10.1. Nachfrageelastizität
Es gilt:
Vollkommen elastisch: Parallel zur x-Achse E=unendl.
Vollkommen unelastisch: Parallel zur y-Achse E=0
Formel:
Falls angegeben:
Beispiel:
10.2. Angebotselastizität
Es gilt:
Formel:
10.3. Amoroso-Robinson
Mit dieser Gleichung kann nachgewiesen werden,
dass der Grenzerlös von dem Preis und dem Elasti-
zitätskoeffizienten abhängig ist.
Formel:
11. Lineare Optimierung
11.1. Allgemeines
Vorgehen
1. Nichtnegativitätsbedingung:
2. Restriktionen
3. Zielfunktion
Beispiel:
Eine Bergwerksgesellschaft fördert die gleiche Erzsorte in
zwei Gruben G1 und G2 die an 3 Verhüttungswerken W1,
W2 und W3 geliefert werden.
Die Höhe der Tagesförderung, der Mindestbedarf der 3
Verhüttungswerke in der Woche und die täglichen Produk-
tionskosten sind in der folgenden Tabelle angegeben. An
wieviel Tagen muss in den einzelnen Gruben Erz gefördert
werden, damit der Bedarf erfüllt wir und die Produktions-
kosten möglichst gering sind?
Tageförderung in t
G1 G2
Bedarf je
Woche
W1
W2
W3
2 1
1 1
1 4
8
6
12
Prod.kosten je
Tag in SFR
100 200
Min.
1. Nichnegativitätsbedingung
2. Restriktionen
3. Zielfunktion
Beim Zeichnen ist darauf zu achten, dass bei einem
Minimum der Bereich rechts der Restriktionsgera-
den Maximum der Bereich links der Restriktionsge-
raden gilt.
Das zulässige Ziel ist jeweils der Eckpunkt:
Maximum der letztmögliche
Minimum der erstmögliche
11.2. Lineare Optimierung mit 3
x-Werten
NUR MÖGLICH, WENN MINDESTENS EINE RE-
STRIKTION EINE GLEICHUNG UND KEINE UN-
GLEICHUNG IST!!!
Beispiel:
Ein Wohnwagenhersteller stellt drei Typen A, B, C von
Caravans her. Die Grundmontage erfolgt in Werk 1, die
Herstellung der Inneneinrichtung in Werk 2. Die Anzahl der
Arbeitsstunden, die für die Herstellung eines WW erforder-
lich sind, die Gesamtanzahl der zur Verfügung stehenden
Arbeits-h im Monat sowie die Gewinne je Wohnwagen sind
wie folgt:
Arbeitszeit je WW
A B C
Gesamtanzahl der h
Werk I
40 60 20
11200 h
Werk 2
80 60 40
17600 h
Gewinn je WW 400 500 200
Max.
Die Firma stellt im Monat insgesamt 300 WW her. Von Typ
A können höchstens 120, von Typ B höchstens 100
WW/Monat produziert werden.
Wieviele WW müssen von jedem Typ im Monat hergestellt
werden, damit der G möglichst gross ist.
1. Nichtnegativitätsbedingung
2. Restriktionen
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
x
Y
x
x
Y
x
dY
dx
x
x
Y
x
N
N
N
N
N
=
=
}
48
.
0
160
1
80
6100
)
80
(
80
für x
nt
tkoeffizie
Elastizitä
:
Gesucht
100
50
12500
)
(
2
-
-
=
=
+
-
=
N
N
x
x
x
Y
)
(
1
)
(
)
(
x
Y
x
x
Y
x
A
A
A
=
fliessend
1
)
(
Güter
.
lebensnotw
h
unelastisc
1
)
(
Luxusgüter
elastisch
1
)
(
-
=
-
>
-
<
x
x
x
N
N
N
fliessend
1
)
(
sprobl.
Produktion
verderbl./
h
unelastisc
1
)
(
erbar
./konservi
Massenprod
elastisch
1
)
(
=
<
>
x
x
x
A
A
A
+
=
)
(
1
1
)
(
)
(
x
x
Y
x
Y
N
N
E
3
4
1
12
4
6
6
8
2
8
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
+
-
+
+
-
+
+
-
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
200
2
1
.
200
100
1
2
2
1
Z
x
x
Min
Z
x
+
-
=
=
+
2
1
3
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
300
300
)
100
;
120
)
17600
40
60
80
)
11200
20
60
40
)
x
x
x
x
x
x
d
x
x
c
x
x
x
b
x
x
x
a
-
-
=
=
+
+
+
+
+
+
0
2
/
1
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
Y
x
Y
x
dx
x
dY
x
Y
x
x
N
N
N
N
N
=
=
0
2
/
1
x
Marcel Arnet, 08.09.00
15
Daraus folgt, dass die 4. Restriktion nach x3 aufgelöst
werden kann. Dieses Ergebnis wird dann in für x3 in die
anderen Gleichungen eingesetzt:
3. Zielfunktion
Schlussendlich wird dies behandelt wie 12.1.! Die restli-
chen Wohnwagen von den 300 sind dann automatisch x3-
WW.
11.3. Spezialfälle
12.3.1 Zielfunktion = Restriktion
In diesem Fall sind sämtliche Lösungen auf der
Lösungsgeraden der Restriktion optimal. Bei Max.
und Min.
11.3.2. Lösungsmenge ist nicht be-
schränkt
Ex existiert kein Maximum. Kommt nur bei Max. vor
11.3.3. Lösungsm. wird durch Ach-
sen d. Koordinaten beschr.
Wertepaar (0;0) ist Zielfunktion. Kommt nur bei Min.
vor.
11.3.4. Lösungsmenge ist leer
Die einschränkenden Bedingungen widersprechen
sich. Somit gibt es keine Lösung
11.4. Konstanter Deckungsbei-
trag
Angenommen der ein Deckungsbeitrag bleibt kon-
stant, muss der Bereich einer linearen Optimierung
verschoben werden, ohne dass sich die Zielfunktion
ändert.
Beispiel:
Der Zielbereich ist der Schnittpunkt folgender Re-
striktionen:
Die Zielfunktion sieht so aus:
Der Deckungsbeitrag von x2 von 4000 soll nicht
verändert werden. In welchem Bereich darf der DB
von x1 schwanken?
mz = Steigung der Zielfunktion
ma = Steigung der Restriktion a
mb = Steigung der Restriktion b
Der Deckungsbeitrag von x1 darf zwischen 1600
und 5333.33.. schwanken
12. Statistik
12.1. Skalierung und Zählung
Skala
Beschreibung
Beispiel
Nominal
Merkmale sind unterscheidbar,
aber keine Reihenfolge
Geschlecht, Religion,
Beruf, Nationalität
Ordinal
natürliche Rangordnung, jedoch
keine Abstände erkennbar
Noten
metrisch
Rangordnung da und Abstände
quantifizierbar
Kilometer, Temperatu-
ren
diskrete Merkmale
Zählvorgang in ganzen Einheiten
stetige Merkmale
Zählvorgang in Einheiten mit Dezimalzahlen
12.2. Lagemasse
12.2.1. Modus
Wert, welcher in einer Verteilung am häufigsten
vorkommt
Anwendung: bei mehrgipfligen Verteilungen
Vorteil: keine Berechnung erforderlich
fällt immer mit existierenden Merk-
malswerten zusammen
Nachteil: charakterisiert nur Grössen an einer
bestimmten Stelle. Somit wird nur ein
Bruchteil der verfügbaren Infos aus-
geschöpft
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
Kann direkt abgelesen werden.
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
Mo = Modus
x
u
= Untergrenze der Klasse, in die der
Modus fällt
f
0
= Häufigkeit der Modus-Klasse
f
0-1
= Häufigkeit der vorangehenden Kl.
f
0+1
= Häufigkeit der nachfolgenden Kl.
i = Klassenbreite, bei allen Kl. gleich
300
)
100
;
120
)
280
2
)
260
2
11200
))
300
(
20
(
60
40
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
+
+
+
-
-
+
+
x
x
d
x
x
c
x
x
b
x
x
x
x
x
x
a
.
60000
300
200
.
)
300
(
200
500
400
.
200
500
400
2
1
2
1
2
1
3
2
1
Max
Z
x
x
Max
Z
x
x
x
x
Max
Z
x
x
=
+
+
=
-
-
+
+
=
+
+
8
5
2
1200
150
60
)
3
1
13
3
4
800
60
80
)
1
2
2
1
1
2
2
1
+
-
+
+
-
+
x
x
x
x
b
x
x
x
x
a
4000
4
5
.
4000
5000
2
2
1
Z
x
Max
Z
x
x
+
-
=
=
+
1600
5000
3
3
.
5333
4000
5
2
4000
5000
3
4
-
-
-
-
mb
mz
ma
-
-
-
+
=
+
-
-
i
f
f
f
f
f
x
M
u
o
1
0
1
0
0
1
0
0
)
2
(
Restriktion =Lösungsmenge
Zielfunktion
Marcel Arnet, 08.09.00
16
12.2.2. Median
Merkmalsausprägung des Wertes, welcher eine
der Grösse nach geordneten Reihe halbiert.
Anwendung: Fälle, in welchen AM nicht angewen-
det wird. Speziell bei extrem kleinen
Stichproben, Häufigkeitsverteilung mit
offenen Klassen, bei ausgesprochen
schiefen Verteilungen.
Vorteil: ohne Berechnung bestimmbar
Extremwerte haben keinen verzer-
renden Einfluss
Charakterisiert auch Verteilungen mit
kleinem Umfang
Summe der absoluten Abweichungen
aller Merkmalswerte vom Median ist
klein
Nachteil: Es werden nur Rangnummern einbe-
zogen
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
z = Ordnungsnummer
n = Anzahl der Werte
Bei der Ordnungsnummer z entspricht der Wert
dem Median:
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
Mz = Median
x
u
= Untergrenze der Kl., in die der Medi-
an fällt
f
u
= Häufigkeit aller vorangehenden Kl.
f
e
= Häufigkeit der Kl., in welche der Me-
dian fällt
i = Klassenbreite, bei allen Kl. gleich
Beispiel:
Punktzahlen bei einer Prüfung (n=34)
Punkte 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Schüler 0
0
1
0
1
0
2
1
3
0
1
Punkte 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Schüler 2
3
6
5
4
3
2
1
1
1
Schritt 1
Der 17.5 Schüler gilt als Median. 17.5 fällt zwischen
die Klasse 17 und 18. Kumuliert man die Anzahl
Schüler der 17 bzw. 18 Klasse, sieht die Punktzahl
des 17.5 Schülers wie folgt aus:
12.2.3. Arithmetisches Mittel
Summe der Merkmalsausprägung geteilt durch
deren Anzahl
Anwendung: Kann immer angewendet werden.
Sollte jedoch nicht berechnet werden
bei: kleinen Stichproben, schiefer
Verteilung, Veränderung im Zeitablauf
Vorteil: Jeder Wert hat Einfluss auf Berech-
nung.
Nachteil: Da jeder Wert Einfluss hat, können
Extremwerte das AM verzerren.
AM kann ein Wert sein, welches in
der Verteilung selbst nicht gibt.
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
12.2.4. Geometrisches Mittel
Berechnung von Wachstumsraten
Anwendung: Bestimmung des Durchschnittes von
Veränderungen
Um Wachstumtendenzen zu berück-
sichtigen
Vorteil: Aussagekräftiger Durchschnittswert
bei multiplikativ verknüpften Daten.
Extremwerte haben geringeren Ein-
fluss als bei AM
Nachteil: theoretischer Wert (Wert, welcher in
der Verteilung nicht vorkommt
Einzelne Veränderungsraten sind bekannt:
Anfangs- und Endwert sind bekannt:
Beispiel:
Problem Bruttosozialprodukt:
Das BSP beträgt 1965 Fr. 62190, 1980 Fr. 177345
und 1994 Fr. 365635. Zwischen 1965 und 1980 ist
es somit um
angestiegen.
Wie hoch wäre es 1994, wenn es ab 1965 in der
selben Wachstumsrate wie 1965 1980 angestie-
gen wäre:
12.2.5 Schiefe einer Verteilung
Normalverteilung = Symmetrisch: Mo=AM=Mz
Rechtsschief = Mo > AM < Mz
Linksschief = Mo< AM > Mz
12.3. Streuungsmasse
12.3.1 Spannweite
Differenz zwischen dem grössten und kleinsten
Merkmalswert.
2
1
+
=
n
z
-
+
+
=
i
f
f
n
x
M
e
u
u
z
2
1
n
x
x
x
x
n
x
x
n
n
i
i
+
+
+
+
=
=
=
...
3
2
1
1
(
)
(
) (
)
(
)
=
=
=
+
+
+
=
=
n
i
i
n
n
n
i
i
n
i
i
i
f
f
x
f
x
f
x
f
f
x
x
1
2
2
1
1
1
1
...
(
)
100
1
...
3
2
1
%
-
=
n
n
x
x
x
x
G
100
1
1
1
%
-
=
=
=
-
n
n
x
t
Anfangswer
x
Endwert
G
min
max
x
x
SW
-
=
%
72
100
1
62190
177345
15
%
=
-
=
G
471604
62190
62190
177345
29
15
%
=
=
G
5
.
17
2
1
34
=
+
=
z
.
5
.
13
2
14
13
2
18
17
Pkt
x
x
Klasse
=
+
=
+
=
Marcel Arnet, 08.09.00
17
12.3.2. Mittlere, absol. Abweichung
AM aus den absoluten Beträgen der Abweichung
aller Werte einer Verteilung vom AM
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
12.3.3. Varianz
Summe der Abweichungsquadrate aller Werte einer
Verteilung vom AM, dividiert durch die Anzahl Werte
Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten:
Bei in Klassen eingeteilten Werten:
12.3.4. Standardabweichung
Standardabweichung umgeht das Problem der
Quadratur bei der Varianz
12.3.5. Variationskoeffizient
Prozentuales Verhältnis der Standardabweichung
zum AM. Es handelt sich um ein relatives Streu-
ungsmass.
12.4. Zeitreihen / Trends
12.4.1. Lineare Regression
Analyse der Beziehung von zwei Datenreihen.
b = Schnittpunkt der Trendfunktion mit y-Achse
a = Steigung der Trendfunktion
x = unabhängige Variable
n = Anzahl Werte
Das Ganze ergibt schlussendlich eine lineare Funk-
tion: y = b + a · x
1.
2. Alternativformel:
12.5. Korrelationskoeffizient
12.5.1. nach Bravais-Pearson
Anwendung bei metrisch skalierten Variablen. Er
gibt den linearen Zusammenhang zwischen 2
Merkmalen an und kann so als Gütemass einer lin.
Regression verwendet werden
AUSWERTUNG:
Das Ergebnis liegt immer zwischen 1 und +1. Je
näher der Wert an einer Geraden liegt, desto näher
liegt rxy bei +1, wenn die Gerade eine positive Stei-
gung hat und bei 1, wenn die Gerade eine negati-
ve Steigung aufweist
12.5.2. Rangkorrelationskoeffizient
Anwendung bei ordinal skalierten Variablen. Den
Reihen müssen Ränge verteilt werden, mit welchen
gearbeitet wird.
d
i
= Differenz des Rangplatzpaares (rx
i
ry
i
)
n = Anzahl der Rangplätze
Beispiel:
Verwaltungs-
effizienz x
i
r(x
i
) Bürgerzu-
friedenheit y
i
r(y
i
)
d
i
(rx
i
ry
i
)
d
i
2
150
141
128
120
100
1
2
3
4
5
135
130
105
110
95
1
2
4
3
5
0
0
-1
1
0
0
0
1
1
0
0
2
Die Verwaltungseff. und die Bürgerzufriedenheit korrelieren stark
positiv miteinander (Auswertung siehe unter Bravais-Pearson)
12.6. Wahrscheinlichkeit
12.6.1. Zentrale Axiome (Regeln)
Jedem Ereignis eines klar definierten Ereignis- oder
Stichprobenraum wird eine Wahrscheinlichkeit zwi-
schen 0 und 1 zugeordnet.
Die Wahrscheinlichkeit p eines sicheren Ereignisses
S ist stets 1, die Wahrscheinlichkeit eines unmögli-
chen Ereignisses ist stets 0.
Die Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B,
die sich gegenseitig ausschliessen, ist gleich der
Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
Sind zwei oder mehrere Ereignisse nicht diskjunkt
(=sich gegenseitig ausschliessend), so muss die
Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung noch um die
Doppelzählung (Schnittmenge) korrigiert werden:
Beispiel:
Ereignis A: Ein Ass aus einem Kartenspiel ziehen
Ereignis B: Eine Rose aus einem Kartenspiel ziehen
(
)
(
)
n
x
x
x
x
n
x
x
d
n
n
i
i
-
+
+
-
=
-
=
=
...
1
1
(
) (
)
(
)
=
=
=
-
+
+
-
=
-
=
n
i
i
n
n
n
i
i
n
i
i
i
f
f
x
x
f
x
x
f
f
x
x
d
1
1
1
1
1
..
(
)
(
)
(
)
n
x
x
x
x
n
x
x
n
n
i
i
2
2
1
1
2
2
...
-
+
+
-
=
-
=
=
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
=
=
=
-
+
+
-
=
-
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
f
f
x
x
f
x
x
f
f
x
x
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
..
2
=
100
%
=
x
v
(
)
(
)
-
-
=
i
i
i
i
i
x
x
x
x
y
y
x
a
2
(
)
x
a
y
b
-
=
(
)
n
x
a
y
b
i
i
-
=
(
)
(
)
(
)(
)
-
-
-
=
2
2
2
2
y
n
y
x
n
x
y
x
n
y
x
r
i
i
i
i
xy
(
)
-
-
=
1
6
1
2
2
n
n
d
r
i
s
(
)
9
.
0
1
5
5
2
6
2
+
=
-
=
s
r
1
;
1
+
-
s
xy
r
r
1
)
(
0
A
P
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P
+
=
0
)
0
(
;
1
)
(
=
=
P
S
P
)
(
)
(
)
(
)
(
C
A
P
C
P
A
P
C
A
P
-
+
=
36
12
36
1
36
9
36
4
)
(
)
(
)
(
)
(
=
-
+
-
+
=
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
Marcel Arnet, 08.09.00
18
12.6.2. Klassische Wahrscheinlich-
keit
P(A) = Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A
eintritt
m = Anzahl günstige Fälle
n = Anzahl mögliche Fälle
Beispiel:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit einem
Wurf bei einem fairen Würfel eine gerade Zahl ge-
würfelt wird?
Das Nichteintreten, also der Misserfolg wird so
geschrieben:
Beispiel:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem
Wurf mittels eines fairen Würfels, keine 3 oder 4
erscheint?
12.6.3. Mathematische Erwartung
P(G) = Wahrscheinlichkeit
G = Wahrscheinlicher Geldbetrag
E = Erwartungswert
Die Wahrscheinlichkeit, einen Geldbetrag von 10.--
zu erhalten ist 1/5. Der Geldbetrag ist somit:
Bein einer diskreten Zufallsgrösse X sieht dies so
aus:
Beispiel:
Der Erwartungswert, bei einem Wurf mit einem
fairen Würfel, dass eine Augenzahl auftritt ist gleich:
12.6.4. Bedingte Wahrscheinlichkeit
A und B sind zwei Ereignisse. Die Wahrscheinlich-
keit, dass B eintritt, vorausgesetzt A ist eingetreten,
wird dann bedingte Wahrscheinlichkeit von B gege-
ben A genannt und als P(B I A) geschrieben.
Beispiel:
Fischteich mit 20 % Karpfen (K) / 80 % Forellen (F)
Geschlechter bei Karpfen 50 % w / 50 % m
Geschlechter bei Forellen 70 % w / 30 % m
Wie gross ist Wahrschenlichkeit, dass ein zufällig
gefangener Fisch, weiblich ist, wenn es sich um
einen Karpfen handelt?
P (w I K) = 0.5
12.6.5. Stochastische Unabhängig-
keit
A: Wahrsch. dass er in 10 J. noch lebt = 0.8
B: Wahrsch. dass er in 10 J: noch lebt = 0.6
Das beide in 10 J. noch leben ist:
12.7. Normalverteilung
12.7.1. Standardnormalverteilung
Tabelle im Formelbuch auf Seite 126
z = Wert der Zufallsvariablen
ì = Zentralwert
ó = Standardabweichung
ì = 0.5
12.7.2. Stichprobenberechnung
ð=n =Stichprobengrösse
p = Stichprobenwert
óp = Standardabweichung der Stichprobe
á = Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Befragung von 100 Personen geben 40 an,
dass sie bei den nächsten Wahlen den amtierenden
Präsidenten wählen. In welchem Bereich liegt nun
der tatsächliche Ja-Stimmen Anteil mit einer Wahr-
scheinlichkeit von 95 %.
Normalverteilsungsvert von 2.5 % gemäss Tabelle
liegt bei 1.96/1.96
Bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der
Anteil Ja-Stimmen zwischen 30.4 % und 49.6 %
12.8. Binomialverteilung
Tabelle im Formelbuch auf Seite 120 ff.
Anwendung, wenn ein Ereignis eintritt oder
nicht.
12.8.1. geordnetes Ziehen mit zu-
rücklegen
p = Anteil des eintretenden Erfolges
q = Anteil des nichteintretenden Erfolges
1-p = q = Anteil des nichteintretenden Erfolges
n = Grösse der Stichprobe
x
i
= Anzahl der gezogenen Stichprobe
n
m
A
P
=
)
(
3
1
6
3
)
(
=
=
A
P
)
(
1
)
(
A
P
n
m
n
A
P
-
=
-
=
3
2
6
4
6
2
1
6
2
6
)
(
=
=
-
=
-
=
A
P
-
=
-
=
=
.
2
5
/
1
.
10
)
(
E
G
G
P
E
n
n
x
p
x
p
x
p
x
E
+
+
+
=
...
)
(
2
2
1
1
5
.
3
6
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
2
6
1
1
6
1
)
(
=
+
+
+
+
+
+
=
Augenzahl
E
48
.
0
6
.
0
8
.
0
)
(
)
(
)
(
=
=
B
P
A
P
B
A
P
eilt
Normalvert
sei
X
)
;
(
~
)
(
)
(
2
=
+
=
-
=
=
<
µ
µ
µ
N
X
z
x
x
z
P
x
X
P
)
1
(
)
0
(
)
1
P(X
)
1
(
)
0
(
1
)
1
P(X
)
x
P(X
rteilt
Binomialve
sei
x
)
:
(
~
i
=
+
=
=
<
=
-
=
-
=
>
=
=
=
-
X
P
X
P
X
P
X
P
q
p
x
n
p
n
B
X
i
i
x
n
x
i
(
)
)
z
-
P(p
Bandbreite
)
1
(
)
(
)
1
(
2
/
2
/
2
2
/
2
2
/
p
z
p
p
n
p
p
p
p
z
p
p
z
n
+
=
-
=
-
=
49
.
0
100
)
4
.
0
1
(
4
.
0
;
4
.
0
100
40
;
100
=
-
=
=
=
=
p
p
n
)
496
.
0
100
304
.
0
(
)
049
.
0
96
.
1
4
.
0
100
049
.
0
96
.
1
4
.
0
(
=
+
-
P
P
Marcel Arnet, 08.09.00
19
Beispiel:
Nach Angaben der Swisscom kommen 64 % der
Telefongespräche beim ersten Wählen zustande.
Muster muss acht Gespräche starten:
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindes-
tens ein Gespräch beim ersten Wählen zu stande
kommt:
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchs-
tens 7 Gespräche beim ersten Wählen zu stande
kommen:
Taschenrechn: ,,10 tief 5" mittels ,,10 PRB (nCr) 5"
12.9.1. ungeordnetes Ziehen ohne
zurücklegen
Ziehen ohne Wiederholung
k = Ereignis trifft ein
n = Anzahl möglicher Fälle
Beispiel:
3 Klassen stehen 6 Freikarten für ein Konzert zur
Verfügung. Es melden sich aus Kl. A sechs, aus Kl.
B drei und Kl. C vier = insgesamt 13 Interessenten.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Freikarten zu
verteilen, wenn 6 der 13 Interessenten ausgelost
werden
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Freikarten zu
verteilen, wenn jeder Kurs genau 2 Karten erhält?
12.8.1 Mittelwert / Varianz B-Vert.
Der Mittelwert = Erwartungswert lautet
Die Varianz lautet:
12.9. Lorenz-/ Konzentrations-
kurve
59.2 % Steuerpflichtige erbringen 16.3 % des Steu-
erbetrages
32.4 % Steuerpflichtige erbringen 36.6 %
8.4 % Steuerpflichtige erbringen 47.1 %
Steuerpflichtige in %
ð
100%
ñ
S
t 52.9%
e
u
e 16.3 %
r
n
59.2% 91.6% 100%
13. Versicherungen
13.1 Lebensversicherung
13.1.1. Lebenserwartung
Sterbetafel: Formelbuch S. 132 ff.
P = Wahrscheinlichkeit der Lebenserwartung
l
x
= Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel)
l
(x+y)
= Alter, welches erreichbar ist (Zahl Sterbet.)
Beispiel:
Wie gross ist die W., dass ein 10-jähriger Mann 50
Jahre wird
13.1.2. Sterbeerwartung
P = Wahrscheinlichkeit des Sterbens
l
x
= Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel)
l
(x+y)
= Todeserwartung in y Jahren (Zahl Sterbet.)
Beispiel
Wie gross ist W., dass ein 90-jähriger Mann inner-
halb 10 Jahren stirbt?
13.2. Leistung des Versicherten
Formelerklärungen:
D(x) = diskontierte Lebende (s. FUT ab S. 132)
N(x) = der disk. Lebenden (s. FUT ab S. 132)
P = Mise / einmalige Zahlung
p = Höhe der jährlichen Ratenzahlung
l
x
= Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel)
n = Anzahl Jahre der Zahlung des Versicherten
13.2.1 Einmalige Zahlung / Mise
Beispiel:
Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein
40jähriger Mann Fr. 100'000 bezahlt?
p
n
x
E
=
)
(
q
p
n
x
V
=
)
(
x
y
x
y
x
x
l
l
P
+
+
=
)
(
%
90
.
92
97605
90672
50
10
=
=
P
x
y
x
y
x
x
l
l
P
+
+
-
=
1
)
(
%
18
.
98
5052
92
1
1
90
100
100
90
=
-
=
-
=
l
l
P
000
'
726
'
617
'
2
26
.
177
'
26
000
'
100
)
40
(
=
=
D
P
999718
.
0
32
.
0
64
.
0
0
8
1
)
1
P(X
rteilt
Binomialve
sei
x
)
64
.
0
;
8
(
~
0
8
0
=
-
=
=
-
B
X
971853
.
0
32
.
0
64
.
0
8
8
1
)
7
P(X
rteilt
Binomialve
sei
x
)
64
.
0
;
8
(
~
8
8
8
=
-
=
=
-
B
X
=
k
n
C
n
k
1716
6
13
13
6
=
=
C
270
6
3
15
6
2
4
3
2
3
15
2
6
4
2
3
2
6
2
=
=
=
=
=
=
=
C
C
C
100
1
)
(
p
l
P
q
l
P
x
D
P
x
x
x
-
=
=
Marcel Arnet, 08.09.00
20
13.2.2. Mehrm. Zahlung ohne Ende
Beispiel:
Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein
40jähriger Mann jährlich Fr. 100 bezahlt?
13.2.3. Mehrm. Zahlung mit Ende
Beispiel:
Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein
40jähriger Mann während 30 Jahren jährlich Fr. 100
bezahlt?
13.2.4 Prämienkorrektur bei Raten-
zahlung
Falls die Jahresprämie in mehrmaligen Zahlungen
bezahlt wird, wird die Prämie wie folgt korrigiert
Aufteilung: Beispiel:
Bei JP von Fr. 100 koste
die jew. Rate:
13.3. Leistung der Versicherung
Formelerklärung:
x = Ausgangsjahr
y = Anzahl Jahre der Gültigkeit der Auszahlung
K = Betrag, welcher Versicherter erreichen will
k = Karenzzeit
D(x) = diskontierte Lebende (s. FUT ab S. 132)
N(x) = der disk. Lebenden (s. FUT ab S. 132)
M(x) = diskontierte Tote (s. FUT ab S. 132)
r = jährliche Rente
n = Anzahl Jahre der Zahlung des Versicherten
13.3.1. Vers. auf Erlebensfall
Dem Versicherten wird eine Summe beim Erreichen
des (x+y)-ten Lebensjahres ausbezahlt
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähriger Mann will beim Erreichen des 65
Altersjahres Fr. 50'000 erhalten. Welche Mise muss
er bezahlen.
13.3.2. Rentenvers. / Leibrente
Dem Versicherten wird ab sofort bis ans Lebensen-
de eine jährliche Rente ausbezahlt
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 70jähr. Mann will bis zum Lebensende jährl. Fr.
15'000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen?
13.3.3. Abgekürzte Rente
Dem Versicherten wird ab sofort während y Jahre
jährlich eine Rente ausbezahlt.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 70jähr. Mann will während 15 Jahren eine jährl.
Fr. 15'000 erhalten. Welche Mise muss er bezah-
len?
13.3.4. Rente mit Karenzzeit
ohne Ende
Dem Versicherten wird nach k Jahren bis zum Tode
jährlich eine Rente ausbezahlt.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will in 20 Jahren jährl. Fr. 15'000
erhalten. Welche Mise muss er bezahlen?
)
(x
N
p
800
'
198
'
53
988
'
531
100
)
40
(
100
=
=
N
[
]
)
(
)
(
n
x
N
x
N
p
+
-
[
]
[
]
100
'
366
'
47
327
'
58
988
'
531
100
)
30
40
(
)
40
(
100
=
-
=
+
-
N
N
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
y
x
D
K
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
+
=
+
-
80
.
572
'
17
26
.
177
'
26
17
.
9200
000
'
50
)
40
(
)
65
(
000
'
50
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
+
=
+
=
D
D
x
D
y
x
D
K
P
y
x
D
K
x
D
P
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
N
r
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
=
+
-
55
.
864
'
132
94
.
584
'
6
327
'
58
000
'
15
)
70
(
)
70
(
000
'
15
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
=
=
D
N
x
D
x
N
r
P
x
N
r
x
D
P
[
]
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
y
x
N
x
N
r
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
+
-
=
+
-
[
]
[
]
[
]
[
]
35
,
224
'
123
94
.
584
'
6
4232
327
'
58
000
'
15
)
70
(
)
85
(
)
70
(
000
'
15
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
-
=
-
+
-
=
+
-
=
D
N
N
x
D
y
x
N
x
N
r
P
y
x
N
x
N
r
x
D
P
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
x
N
r
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
+
=
+
-
10
.
876
'
87
26
.
177
'
26
357
'
153
000
'
15
)
40
(
)
60
(
000
'
15
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
+
=
+
=
D
N
x
D
k
x
N
r
P
k
x
N
r
x
D
P
2
02
.
1
2
/
1
p
p
Jahr
=
-
HJ
p
HJ
/
51
2
100
02
.
1
=
=
4
03
.
1
4
/
1
p
p
Jahr
=
-
VJ
p
HJ
/
75
.
25
4
100
03
.
1
=
=
12
04
.
1
.
p
p
monatl
=
Mt
p
Mt
/
66
.
8
12
100
04
.
1
=
=
Marcel Arnet, 08.09.00
21
13.3.5. Abgek. Rente mit Karenzzeit
mit Ende
Dem Versicherten wird nach k Jahren während y
Jahren jährlich eine Rente ausbezahlt.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will in 20 Jahren während 25 Jah-
ren jährl. Fr. 15'000 erhalten. Welche Mise muss er
bezahlen?
13.3.6. Einfache Todesfallvers.
Den Hinterbliebenen des Versicherten wird im To-
desfall ein Betrag ausbezahlt.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will, dass bei seinem Todesfall die
Hinterbliebenen Fr. 100000 erhalten. Welche Mise
muss er bezahlen?
13.3.7. Verkürzte Todesfallvers.
Den Hinterbliebenen des Versicherten wird falls er
innert y Jahren stirbt - ein Betrag ausbezahlt.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will, dass die Hinterbliebenen im
Todesfall Fr. 100000 erhalten. Diese erhalten die
Summe aber nur, wenn der Todesfall in den nächs-
ten 20 Jahren eintritt. Welche Mise muss er bezah-
len?
13.3.8. Aufgeschobene Todesfallv.
Den Hinterbliebenen des Versicherten wird im
Todesfall ein Betrag ausbezahlt. Dies aber nur,
wenn der Todesfall erst in k Jahren eintritt.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will, dass bei einem Todesfall die
Hinterbliebenen Fr. 100000 erhalten. Dies gilt aber
nur, wenn der Todesfall nicht vor 50 Jahren eintritt.
Welche Mise muss er bezahlen?
13.3.9. Aufgesch., verk. Todefallver.
Fall unter 13.3.8. Unterschied ist, dass Versiche-
rung nur während y Jahren zahlen muss.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann will, dass bei einem Todesfall
innert 10 Jahren welcher nicht vor 10 Jahren
eintreten darf die Hinterbliebenen Fr. 100000
erhalten. Welche Mise muss er bezahlen?
13.3.10. Gemischte Versicherung
Bei den Todesfallversicherungen unter 13.3.6. bis
13.3.9 muss die Versicherung nur zahlen, wenn der
Todesfall eintritt. Dies kann man mit der gemischten
Versicherung ausschliessen.
Dem Versicherten falls er nicht stirbt - oder seinen
Hinterbliebenen falls er stirbt - wird ein Betrag
ausbezahlt.
Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen!
Beispiel siehe nächste Seite
[
]
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
y
k
x
N
k
x
N
r
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
+
+
-
+
+
-
[
]
[
]
[
]
[
]
95
.
449
'
85
26
.
177
'
26
4234
357
'
153
000
'
15
)
40
(
)
85
(
)
60
(
000
'
15
)
(
(
)
(
(
)
(
)
(
=
-
=
-
+
+
-
+
=
+
+
-
+
=
D
N
N
x
D
y
k
x
N
k
x
N
r
P
y
k
x
N
k
x
N
r
x
D
P
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
M
K
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
=
+
-
80
.
36030
26
.
177
'
26
88
.
9431
000
'
100
)
40
(
)
40
(
100000
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
=
=
D
M
x
D
x
M
K
P
x
M
K
x
D
P
[
]
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
y
x
M
x
M
K
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
+
-
=
+
-
[
]
[
]
[
]
[
]
45
.
8603
26
.
177
'
26
73
.
7179
88
.
9431
000
'
100
)
40
(
)
60
(
)
40
(
000
'
100
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
-
=
-
=
+
-
=
+
-
=
D
M
M
P
x
D
y
x
M
x
M
K
P
y
x
M
x
M
K
x
D
P
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
x
M
K
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
+
=
+
-
50
.
049
'
33
26
.
177
'
26
45
.
8651
000
'
100
)
40
(
)
50
(
000
'
100
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
=
+
=
+
=
D
M
P
x
D
k
x
M
K
P
k
x
M
K
x
D
P
[
]
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
y
k
x
M
k
x
M
K
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
+
+
-
+
=
+
-
[
]
[
]
[
]
15
.
5622
26
.
177
'
26
73
.
7179
45
.
8651
000
'
100
)
40
(
)
60
(
)
50
(
000
'
100
)
(
)
(
)
(
=
-
=
-
=
+
+
-
+
=
D
M
M
x
D
k
y
x
M
k
x
M
K
P
[
]
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
y
x
D
y
x
M
x
M
K
n
x
N
x
N
p
x
N
p
x
D
P
+
+
+
-
=
+
-
Marcel Arnet, 08.09.00
22
Beispiel:
Ein 40jähr. Mann schliesst eine Vers. ab. Mit dem
50. Lebensjahr erhält er, oder falls er in der Zwi-
schenzeit stirbt erhalten seine Hinterbliebenen Fr.
100'000 ausbezahlt. Welche Mise muss er bezah-
len?
14. Finanzmathematik
K
0
= Anfangs- bzw. Barwert
K
n
= End- oder Zeitwert nach n Jahren
n = ganze Jahre
m = Verzinsungszeiträume
N = ganze Jahre bei gemischter Verzinsung
t = Tage bzw. Monate
(1+i)
n
= Aufzinsungsfaktor (FUT S. 136)
q
n
= (1+i)
n
v
n
= Abzins.- / Diskontierungsf. (FUT S. 137)
i = Zinsfuss in Dezimalschreibweise
p = Zinsfuss in % (p/100 = i)
z = Zinsanteil
z
t
= Tageszinsen
14.1. Einfache Verzinsung
Der Zins wird am Ende der Zinsperiode auf ein
separates Konto entrichtet. Anwendbar bei ange-
brochenen Jahren.
Tageszins:
14.2. Zinseszinsen
14.2.1. Nachschüssige Verzinsung
postnumerando
Der Zins wird am Jahresende zum Kapital addiert.
Anwendbar bei ganzen Jahren.
Diskontierung:
14.2.2. Vorschüssige Verzinsung
antizipativ, pränumerando
Vorschüssige Zinsen kommen bei Wechselgeschäf-
ten und bei der geometrisch, degressiven Abschrei-
bung zum Zuge.
Beispiel:
Ein Kapital von 10000 ist bei einem vorschüssigen
Zinsfuss von 8 % in 4 J. zurückzuzahlen. Welcher
Betrag muss der Schuldner heute zahlen?
14.2.3. Unterjährliche Verzinsung
Bei Darlehen, Schuldverschreibungen findet die
Verzinsung nicht jährlich sondern meist halb-, vier-
teljährlich oder anderen Abschnitten statt.
p
R
= relativer, unterjährlicher Zinsfuss
p = Jahreszinsfuss
m = Anzahl der Jahresabschnitte
Beispiel: (p=8%)
Bei monatlicher gibt es 2, bei vierteljährlicher 4, bei
monatlicher 12 Verzinsungszeiträume pro Jahr.
[
]
[
]
[
]
[
]
75
.
972
'
72
26
.
26177
84
.
18321
45
.
8651
88
.
9431
000
'
100
)
40
(
)
50
(
)
50
(
)
40
(
000
'
100
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
-
=
+
-
=
+
+
+
-
=
+
+
+
-
=
D
D
M
M
P
x
D
y
x
D
y
x
M
x
M
K
P
y
x
D
y
x
M
x
M
K
x
D
P
(
)
p
K
z
n
n
K
z
p
n
i
K
K
n
p
z
K
i
K
n
z
i
K
n
K
K
p
K
n
K
K
n
n
n
=
=
+
=
=
=
+
=
+
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100
100
1
oder
100
oder
100
Zinsteiler
Zinszahl
p
t
K
p
K
t
z
o
t
=
=
360
100
360
100
0
( )
n
n
n
q
K
K
i
K
K
=
+
=
0
n
0
oder
1
100
)
log(
)
log(
)
log(
)
1
log(
)
log(
)
log(
1
oder
)
1
(
0
0
0
0
0
K
p
z
q
K
K
n
i
K
K
n
K
K
q
K
K
i
v
K
K
i
K
K
o
n
o
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
-
=
+
-
=
=
-
=
=
+
=
n
A
n
n
A
n
i
K
K
i
K
K
A
A
)
1
(
)
1
(
0
0
-
=
-
=
93
.
7163
)
08
.
0
1
(
10000
4
0
=
-
=
K
m
p
p
R
=
3
2
12
8
:
2
4
8
:
4
2
8
:
=
=
=
=
=
=
R
R
R
p
monatlich
p
rlich
vierteljäh
p
ch
halbjährli
Marcel Arnet, 08.09.00
23
Formeln:
Beispiel:
Auf welchen Endwert wachsen 5000 in 6 J. bei
einem Jahreszinsfuss von 10 % - bei monatlicher
Verzinsung an.
Man kann den jährlichen, nominellen Zinsfuss (p)
auch auf den dazu konformen effektiven Zinsfuss
(p
eff
) umrechnen
14.2.4. Umrechnung vom antizipati-
ven zum dekursiven Zins-
satz
Zu jedem dekursiven gibt es auch den dazugehöri-
gen antizipativen Zinssatz und umgekehrt.
Berechnung des antizipativen Zinssatzes:
Beispiel: dekursiver Zinssatz: 4 %
Berechnung des dekursiven Zinssatzes:
Beispiel: antizipat. Zinssatz: 4 %
14.3. Gemischte Verzinsung
Bei Verzinsung für Jahresbruchteile und ganze
Jahre
14.3.1. Verzinsung zu Jahresbeginn
Beispiel:
Ein Kapital von 5000.--wird 5 Jahre und 5 Mt. ver-
zinst. Zinsfuss = 4 %. Wie hoch ist der Endwert
14.3.2. Verzins. im Laufe des Jahres
Beispiel:
Auf welchen Betr. wächst ein Kap. von 5000.--, dass
bei einem p=4 % vom 20.5.9129.9.95 angel. wird?
20.5.91 31.12.91 220 Tage einf. Verzinsung
31.12.91 31.12.94 3 Jahre Zinseszinsen
31.12.94 29.9.95 269 Tage einf. Verzinsung
14.4. Stetige Verzinsung
Bei bisherigem Vorgehen wird immer angenommen,
dass Wachstum sprunghaft zu nimmt. Es kann aber
sein, dass der Wachstum kontinuierlich zu nimmt .
Beispiel:
Einwohner einer Stadt sind in 5 Jahren bei stetigem
W mit W-Rate 3 % auf 147500 gewachsen. Wieviel
Einwohner hatte die Stadt vor 5 Jahren?
14.5. Mittlerer Zahlungstermin
14.5.1. bei einfachen Zinsen
Beispiel:
Ein Schuldner hat folgende Zahlungen zu leisten:
6000.--nach 2 Jahren, 4000.--nach 3 Jahren,
5000.--- nach 5 Jahren. Wann ist der mittlere Zah-
lungstermin bei p = 4 %.
14.5.2. bei Zinseszinsen
Gleiches Beispiel wie 14.7.1
14.6. Rentenrechnung
Eine in gleicher Höhe periodische Zahlung. Je nach
dem kann die Rente am Ende (nachschüssig,
postnumerando) oder am Anfang (vorschüssig,
pränumerando) einer Periode ausgezahlt werden.
r = Rente
B = Anfangswert nachschüssig
S
n
= Endwert nachschüssig
B` = Anfangswert vorschüssig
S`
n
= Endwert vorschüssig
q = (1+i)
n = Laufzeit
)
1
(
0
t
i
q
K
K
N
n
+
=
65
.
6184
)
12
5
04
.
0
1
(
)
04
1
(
5000
5
12
5
5
=
+
+
=
K
[
]
[
]
02
.
934
'
5
)
360
269
04
.
0
(
1
04
.
1
)
360
220
04
.
0
(
1
5000
3
=
+
+
=
n
K
i
K
K
n
n
K
K
i
e
K
K
e
K
K
e
K
K
e
K
K
n
n
in
n
o
pn
n
in
n
pn
n
0
0
100
0
0
100
0
ln
ln
ln
ln
oder
oder
-
=
-
=
=
=
=
=
-
-
EW
e
K
e
K
K
pn
n
126954
147500
100
5
3
0
100
0
=
=
=
-
-
i
n
i
K
n
i
K
n
i
K
K
K
K
n
m
nn
n
n
nn
n
n
Mittel
1
1
1
...
1
1
...
2
2
1
1
2
1
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Jahre
n
n
Mittel
Mittel
209
.
3
04
.
0
1
1
5
04
.
0
1
5000
3
04
.
0
1
4000
2
04
.
0
1
6000
5000
4000
6000
=
-
+
+
+
+
+
+
+
=
234
.
3
)
04
.
1
log(
)
96
.
13212
log(
)
15000
log(
96
.
13212
04
.
1
5000
04
.
1
4000
04
.
1
6000
5
3
2
0
=
-
=
=
+
+
=
Mittel
n
K
)
1
(
)
1
(
2
1
0
t
i
q
t
i
K
K
N
n
+
+
=
1
+
=
i
i
i
A
0385
.
0
1
04
.
0
04
.
0
=
+
=
A
i
A
A
i
i
i
-
=
1
0526
.
0
04
.
0
1
04
.
0
=
-
=
i
n
m
n
m
n
m
n
m
m
p
K
K
m
p
K
K
+
=
+
=
100
1
100
1
0
0
97
.
9087
12
100
10
1
5000
6
12
6
12
=
+
=
K
-
+
=
-
+
=
1
100
1
100
1
100
1
100
m
eff
m
eff
p
m
p
m
p
p
Marcel Arnet, 08.09.00
24
14.6.1. Nachschüssige Rente
z.B. Pensionskasse
14.6.2. Vorschüssige Rente
z.B. bei Miet- und Pachtzahlungen
14.6.3. Aufgeschobene Rente
Rente mit Karenzzeit. Kann nach- oder vorschüs-
sig berechnet werden.
n1 = Laufzeit
n2 = Karenzzeit
Beispiel:
Eine Rente von 2000.--p.a. soll erst nach 5. J.
beginnen und dann 8x gezahlt werden. Wie hoch ist
der Barwert der Rente bei p = 5 %. Das ganze ge-
schieht nachschüssig.
14.6.4. Unterbrochene Rente
Rente mit Wartezeiten zwischen den Auszahlungen.
(siehe Formel nachschüssige/vorschüssige Rente
und Aufgeschobene Rente)
Beispiel:
Ein Holzbestand wirft am Ende des 14 bis zum
Ende des 17 Jahres einen Ertrag von Fr. 6000.--
p.a. ab; desgleichen nach Wiederaufforstung am
Ende des 28. bis zum Ende des 31 Jahres. Wie
hoch ist der Barwert dieses Ertrages (p=5)?
Schritt 1: Abzinsung bis auf jeweils ein Jahr vor dem
ersten Ertrag. Da beide Perioden gleich gross sind,
gilt auch der gleiche Anfangswert
Schritt 2: Nun wird der Barwert auf den Zeitpunkt 0
abgezinst:
14.6.5. Abgebrochene Rente
Im Anschluss an die letzte Zahlung liegt ein Zeit-
raum, in welchem keine Z. folgen. Der Wert wird
aber verzinst.
k = Unterbruch
14.6.6. Ewige Rente
Die jährlichen Zinsen werden immer wieder, vorzu,
entnommen.
14.6.7. Sparkassenformel
Kapitalaufbau
Zu einer einmaligen Zahlung folgen regelmässig
zusätzlich Renten.
z.B. bei Geburt, wird ein Konto eingerichtet
NACHSCHÜSSIG: VORSCHÜSSIG:
Kapitalentnahme
Von einer einmaligen Zahlung werden regelmässige
Renten abgehoben.
z.B. bei Erbe
NACHSCHÜSSIG: VORSCHÜSSIG:
14.6.8. Bestimmung des Zinses
Der Zinssatz p kann nur iterativ nach Newton gelöst
werden: Newton siehe: 8.7.2
15. Tilgungsrechnung
A = Annuität (jährliche Gesamtzahlung)
Z = Zinsen, für die jeweilige Restschuld
Q, T = Tilgungsrate
l = gesuchter Zeitpunkt
K
0
/R
i
= Gesamt- bzw. Restschuld
a = Agio / Aufgeld
* = Betrag inkl. Agio
15.1. Annuitätentilgung
, wobei A konstant ist, Z abnimmt und
Q zunimmt.
15.1.1 Tilgungsplan/Zahlungsplan
Vorgehen: siehe Beispiel
Beispiel:
Eine Schuld von 500'000 soll durch Annuitätentil-
gung in 6 J. bei p = 8% getilgt werden.
1.
2.
3.
4.
Restschuld
anfangs J.
Zins (Z)
Tilgung
(Q)
Annuität (A) Restschuld
ende J.
500000
40000
68157.69 108157.69
431842.31
431.842.31
34547.38 73610.31 108157.69
358.232
358232
28658.56 79499.13 108157.69
278732.87
1
1
1
1
-
-
=
-
-
=
q
q
r
S
q
q
S
r
n
n
n
n
(
)
[
]
( )
)
log(
log
log
1
1
q
r
r
i
S
n
q
q
q
r
q
S
B
n
n
n
n
n
-
+
=
-
-
=
=
1
1
'
1
1
1
'
-
-
=
-
-
=
q
q
q
r
S
q
q
q
S
r
n
n
n
n
(
) ( )
[
]
( )
)
log(
log
'
log
1
1
'
'
1
q
q
r
q
r
i
S
n
q
q
q
r
q
S
B
n
n
n
n
n
-
+
=
-
-
=
=
-
1
1
-
-
+
=
q
q
r
q
K
E
n
n
1
1
'
-
-
+
=
q
q
q
r
q
K
E
n
n
1
1
-
-
-
=
q
q
r
q
K
E
n
n
1
1
'
-
-
-
=
q
q
q
r
q
K
E
n
n
2
1
1
2
n
n
n
n
q
B
B
=
20
.
128
'
10
05
.
1
43
.
12926
43
.
926
'
12
1
05
.
1
1
05
.
1
05
.
1
2000
5
8
5
8
8
8
=
=
=
-
-
=
B
B
70
.
21275
1
05
.
1
1
05
.
1
05
.
1
6000
4
4
4
=
-
-
=
B
62
.
16981
66
.
5698
05
.
1
70
.
21275
96
.
11282
05
.
1
70
.
21275
4
27
4
13
27
4
27
13
4
13
=
+
=
=
=
=
B
B
B
B
)
1
(
1
1
1
0
-
-
=
=
-
-
=
+
+
+
q
q
q
r
q
S
B
q
q
q
r
S
n
n
k
n
k
n
k
n
k
n
)
1
(
100
-
=
=
q
K
K
p
r
0
1
)
100
1
(
100
)
(
8
=
+
+
-
=
p
p
r
S
p
f
n
Q
Z
A
+
=
1
0
-
-
=
=
q
q
q
q
A
B
K
n
n
n
1
1
0
-
-
=
n
n
q
q
q
K
A
40000
%
8
500000
1
=
=
Z
1
1
0
-
-
-
=
q
q
A
q
K
R
l
l
l
(
)
[
]
q
i
K
A
A
n
ln
ln
ln
0
-
-
=
69
.
108157
1
08
.
1
1
08
.
1
08
.
1
500000
6
6
=
-
-
=
A
1
-
=
l
l
l
q
Q
Q
69
.
68157
40000
69
.
108157
1
=
-
=
Q
31
.
431842
69
.
68157
500000
1
=
-
=
R
Marcel Arnet, 08.09.00
25
Die Tilgungsraten nach Jahr 1 können auch wie
folgt gerechnet werden:
Beispiel mit verschiedenen Zinssätzen:
Eine Schuld von Fr. 50000 soll mit vier gleichen
nachschüssigen Annuitäten getilgt werden. Es wur-
den folgende Zinssätze abgemacht: J1 10 %, J2
9%, J3 8%, J4, 7%. Annuität?
Beispiel mit verschiedenen Annuitäten
Gemäss Vertrag vom 1.1.96 muss Muster Ende
1996 Fr. 50000 und Ende 1999 nochmals 50000
bezahlen. Er möchte mehrere und zu Beginn grös-
sere Zahlungen leisten. Offerte Bank: Zahlung von 4
Annuitäten im Abstand von einem Jahr (erstmals
Ende 96). Ende 1997 soll Annuität 15 % kleiner sein
als 1996, 1998 15 % kleiner als 1997 und Ende
1999 15 % kleiner als 1998. p = 6 %
15.1.2. Methode der mittleren Kre-
ditfrist
:
Beispiel:
Ein Kreditbetrag von Fr. 16000.-- soll in 48 Monats-
raten zu Fr. 449.35 getilgt werden. Die Bank
schreibt im Prospekt, dass der Zins zwischen 15.8
und 17.0 % liegt. Stimmt das?
Beispiel 2 zur mittleren Kreditfrist
Berechne die Monatsrate für ein Kredit von Fr.
18'000.-- in 36 Monatsraten bei einem Jahreszins
von 15.5 %. Der monatliche Zins ist zu rechnen als:
Jahreszins / 12
15.2. Ratentilgung
Nicht Annuität ist konstant, sondern Tilgungsrate Q.
Somit nimmt A und Z ab.
Beispiel:
Eine Schuld von 60000 soll bei p=8% in 6 J. durch
gleich hohe Jahresraten zurückbezahlt werden.
Restschuld
anfangs J.
Zins (Z) Tilgung
(Q)
Annuität
(A)
Restschuld
ende J.
60000
4800
10000
14800
50000
50000
4000
10000
14000
40000
40000
3200
10000
13200
30000
15.3. Tilgung mit Agio
Als Anreiz zur Übernahme einer Schuld/Anleihe
wird gelegentlich ein Agio in % des Tilgungsbetra-
ges vereinbart.
15.3.1 Ratentilgung mit Agio
Grundformeln siehe 15.2. Zusätzliche Formeln:
Beispiel:
Eine Schuld von 500000 soll durch gleich grosse
Tilgungsraten in 5 J bei p=6% getilgt werden. Zu-
sätzlich ist ein Agio von 5 % der jew. Tilgungsrate
vereinbart.
1.
2.
3.
etc
13
.
79499
08
.
1
31
.
73610
31
.
73610
08
.
1
69
.
68157
=
=
[
]
i
n
l
K
Q
l
K
Z
n
K
Q
l
-
-
=
-
-
=
=
1
1
)
1
(
0
0
0
)
1
(
0
0
n
l
K
Q
l
K
R
l
-
=
-
=
a
Q
Z
A
l
l
+
+
=
100
0
a
n
K
a
=
+
-
-
+
=
n
a
i
n
l
n
K
A
l
100
1
1
1
0
5000
100
5
5
500000
=
=
a
30000
%
6
500000
1
=
=
Z
135000
5
100
5
06
.
0
1
5
1
500000
1
=
+
+
=
A
95
.
15445
)
7217
.
0
7722
.
0
8340
.
0
9
090
.
0
50000
07
.
1
08
.
1
09
.
1
1
.
1
1
08
.
1
09
.
1
1
.
1
1
09
.
1
1
.
1
1
1
.
1
1
50000
=
+
+
+
=
+
+
+
=
A
A
(
)
31430
187
.
3
25042
4
85
.
0
85
.
0
85
.
0
1
4
85
.
0
85
.
0
85
.
0
4
25042
1
06
.
1
06
.
0
06
.
1
94
.
86774
94
.
86774
06
.
1
1
50000
06
.
1
1
50000
:
96
'
96
3
2
96
Re
3
96
2
96
96
96
Re
4
Re
4
99
98
97
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
-
=
=
+
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Barwert
g
A
A
A
g
g
4
8
47
6
4
8
47
6
4
8
47
6
mk
p
K
Z
mk
p
K
Z
Q
mk
Monat
Monat
Jahr
=
=
+
=
100
12
100
2
1
0
0
%
047
.
17
5
.
24
16000
12
100
8
.
5568
8
.
5568
16000
35
.
449
48
5
.
24
2
1
48
=
=
=
-
=
=
+
=
p
Z
mk
mk
K
z
p
K
A
Q
Z
=
-
=
0
0
12
100
48
.
619
36
25
.
4301
18000
25
.
4301
5
.
18
100
12
5
.
15
18000
5
.
18
2
1
36
6
291
.
1
12
5
.
15
=
+
=
=
=
=
+
=
=
=
A
Z
mk
p
Monat
m
Marcel Arnet, 08.09.00
26
Restschuld
anfangs J.
Zins (Z) Tilgung
(Q)
Agio (a)
Annuität (A)
500000
30000
100000 5000
135000
400000
24000
100000 5000
129000
300000
18000
100000 5000
123000
15.3.2. Annuitätentilgung mit Agio
(ohne konst. Annuität)
Lediglich Summe von Z+Q bleiben konstant. Grund-
formeln siehe 15.1. Zusätzliche Formeln:
Beispiel:
Eine Schuld von 500000 soll durch gleich grosse
Tilgungsraten in 5 J bei p=6% getilgt werden. Zu-
sätzlich ist ein Agio von 10 % der jew. Tilgungsrate
vereinbart.
1.
2.
3.
4.
Restschuld
anfangs J.
Zins (Z)
Tilgung
(Q)
Agio (a)
Annuität
(A
l
)
500000
40000
68157.69 6815.77
114.973.46
431842.31
34547.38 73610.31 7361.03
115518.72
358232
28658.56 79499.13 7949.91
116107.60
konstant=108`157.69
15.3.3. Annuitätentilgung mit Agio
(konstante Annuität)
Ähnlich wie 15.3.2. Ausser, dass Annuität konstant
ist.
Beispiel:
Ein Darlehen von 100000 ist bei p=5 ½ mit einem
Agio von a=10 in 6 Jahren durch gleich hohe Annui-
täten zu tilgen.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Restschuld
anfangs J.
Zins (Z)
Tilgung
ohne
Aufgeld
(Q)
Agio (a)
Annuität
(A*)
100000
5500
14701.75 1470.17
21671.92
85298.25
4691.40
15436.83 1543.69
21671.92
69861.42
3842.37
16208.68 1620.87
21671.92
Die Tilgungsraten nach Jahr 1 können auch wie
folgt gerechnet werden:
16. Investitionsrechnung
B
a
= Barwert der Ausgaben
B
e
= Barwert der Einnahmen
A = Annuität
a = Ausgabe
e = Einnahme
t = Nutzungsdauer
l = Jahr l
r = Restwert
i = Zins dezimal (p dezimal)
C
0
= Kapitalwert
16.1. Annuitätenmethode
Diese Methode vergleicht die diskontierten Werte.
Man erhält schlussendlich einen Wert, welcher einer
Rente gleicht.
Aussage:
Beispiel:
Eine Maschine wird für 80000 angeschafft. Die
Nutzungsdauer beträgt 4 J.. Für diese Zeit werden
folgenden Einnahmen und Ausgaben geschätzt. Der
Restwert ist 3000.
Jahr
Einnahmen e Ausgaben a
1
60000
40000
2
75000
45000
3
70000
46000
4
78000
50000
Restwert 3000
l
l
l
l
a
Q
Z
A
+
+
=
100
a
Q
a
l
l
=
69
.
108157
1
08
.
1
1
08
.
1
08
.
1
500000
6
6
=
-
-
=
A
69
.
68157
40000
69
.
108157
1
=
-
=
Q
77
.
6815
100
10
69
.
68157
=
=
l
a
114973
77
.
6815
69
.
68157
40000
=
+
+
=
+
+
=
l
l
l
l
a
Q
Z
A
100
1
*
a
p
p
+
=
1
*
*
*
-
=
l
l
q
Q
Q
1
*
)
1
*
(
*
*
*
-
-
=
n
n
q
q
q
K
A
100
*
a
K
K
+
=
05
.
1
*
%
5
100
10
1
2
/
51
*
=
=
+
=
q
p
110000
100
10
100000
*
=
+
=
K
92
.
21671
1
05
.
1
)
1
05
.
1
(
05
.
1
110000
*
6
6
=
-
-
=
A
l
l
Z
A
Q
-
=
*
*
5500
%
5
110000
1
=
=
Z
100
1
*
a
Q
Q
l
l
+
=
92
.
16171
5500
92
.
21671
*
=
-
=
l
Q
75
.
14701
100
10
1
92
.
16171
=
+
=
l
Q
etc
68
.
16208
05
.
1
83
.
15436
83
.
15436
05
.
1
75
.
14701
=
=
( )
=
+
=
n
l
t
l
a
l
i
a
B
0
1
( )
=
+
=
n
l
t
l
e
l
i
e
B
0
1
(
)
(
)
-
-
-
=
1
1
n
n
a
e
G
q
q
q
B
B
A
nicht
sich
lohnt
n
Investitio
0
ab
Gewinn
n wirft
Investitio
0
auf
genau
geht
n
Investitio
0
<
>
=
G
G
G
A
A
A
(
)
(
)
(
)
65
.
1834
1
08
.
1
1
08
.
1
08
.
1
05
.
885
'
228
65
.
961
'
234
05
.
885
'
228
08
.
1
50000
08
.
1
46000
08
.
1
45000
08
.
1
40000
65
.
961
'
234
08
.
1
3000
08
.
1
78000
08
.
1
70000
08
.
1
75000
08
.
1
60000
4
4
4
3
2
4
4
3
2
=
-
-
-
=
=
+
+
+
=
=
+
+
+
+
=
G
a
e
A
B
B
Marcel Arnet, 08.09.00
27
16.2. Net present value / Kapi-
talwertmethode
Diese Methode gibt lediglich an, ob es sich lohnt,
eine Invest. zu tätigen oder nicht. Sie gibt keine
diskontierten Werte an. Der Schlusswert zeigt, ob
es sich netto lohnt oder nicht. Der Kalkulationszins
ist 10 %.
Wenn Überschüsse gleich bleiben:
Aussage:
Beispiel:
Ein Invest.-Objekt mit Anschaffungskosten von
120000 wird während 5 J. genutzt und durch fol-
gende Einnahmenüberschüsse gekennzeichnet:
Jahr (l)
1
2
3
4
5
e
l
a
l
(in TFR)
30 30 45 35 60
Die Investition ist zweckmässig, da sie eindeutig
einen Überschuss erzielt.
16.3. Interner Zinsfuss
Man rechnet, mit welchem Zinsfuss eine Investition
genau aufgeht, also 0 ergibt. Dies passiert mittels
Auflösung einer Gleichung (bei höherer Potenz wie
2 mittels Newton (siehe 8.7.2)
Beispiel:
Eine Invest. mit einer Anschaffung von 47900 kann
2 J. genutzt werden. Im 1. Jahr gibt es Einnahmen-
überschüsse von 30000, im 2. Jahr von 25000. Es
soll kein Liquiditätserlös geben. Mit welchem Zins
lohnt sich diese Investition?
Bei einem Zinsfuss von 10.05 % oder höher ist
diese Investition zweckmässig.
( )
( )
n
n
n
l
l
l
l
i
r
i
a
e
a
C
+
+
+
-
+
-
=
=
1
1
0
0
0
nicht
sich
lohnt
n
Investitio
0
ab
Gewinn
n wirft
Investitio
0
auf
genau
geht
n
Investitio
0
<
>
=
G
G
G
A
A
A
03
.
27036
1
.
1
0
1
.
1
60000
1
.
1
35000
1
.
1
45000
1
.
1
30000
1
.
1
30000
120000
5
5
4
3
2
0
=
+
+
+
+
+
+
-
=
C
n
n
n
l
l
l
l
q
r
q
a
e
a
C
int
0
int
0
0
0
+
-
+
-
=
=
=
4742
.
0
;
1005
.
1
2.2)
(siehe
nte
Diskrimina
mittels
Auflösung
25000
30000
47900
0
0
25000
30000
47900
0
2
1
2
2
2
0
-
=
=
+
+
-
=
+
+
+
-
=
=
q
q
q
q
q
q
q
C
( )
n
n
n
n
i
r
q
q
q
a
e
a
C
+
+
-
-
-
+
-
=
1
1
1
0
0
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