Anwendung des Gravitationsgesetzes

1. Einleitung zum Gravitationsgesetz

2. Anwendungen

2.1. Astronomische Massenbestimmung

2.2. Gezeiten

2.3. Weitere Anwendungen, als auch Allgemeines

3. Eingehen auf Arbeitsblätter

4. Zu guter letzt Quellen

1. Einleitung:

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Newton als erster Gesetze der Mechanik auf Bewegung von Himmelskörpern

angewandt, die auf Erde gelten, für Sonnensystem genutzt

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überprüfte 1666 mit ,,Mondrechnung" Vermutung Keplers , daß gegenseitige

Anziehung zwischen zwei Körpern umgekehrt zum Quadrat ihrer Entfernung

abnimmt

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Newton erklärte in Principia, daß Planeten aufgrund Wirkung einer Kraft mit

großer Reichweite ­ der Gravitation ­ um die Sonne kreisten

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kam zu dem Schluß, daß Stärke der Gravitationskraft entfernungsabhängig ist

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auf einen Planeten, der doppelt so weit von der Sonne entfernt ist wie ein

anderer, wirkt nur ein Viertel der Gravitationskraft

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beträgt Abstand das Dreifache, wirkt nur noch ein Neuntel der Kraft

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weiterer Einflußfaktor ist Körpermasse

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je größer Masse der Körper, um so stärker wirkt Gravitation zwischen ihnen

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Überprüfung mittels eines herabfallenden Apfels, da Newton zunächst Kraft

berechnete, die den Mond in seiner Bahn um die Erde hält, und verglich das

Ergebnis mit der Kraft, die den Apfel vom Baum fallen läßt

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berücksichtige hierbei, daß Mond weiter von Erde entfernt ist und größere

Masse als Apfel hat

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kam hierbei zum Schluß, daß in beiden Fällen ein und dieselbe Kraft am Werk

ist ­ die Gravitation

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infolge Erdanziehung fällt Apfel gleichmäßig beschleunigt à aus gleichem

Grunde fällt auch Mond ständig in Richtung Erde

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damit er auf Bahn um Erde bleibt, muß Mond mit seiner Bewegung in Richtung

der Tangente gleichzeitig jedesmal Stück zur Erde hin fallen, damit er auf

Kreisbahn bleibt

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wenn Radialbeschleunigung des Mondes auf Bahn um Erde und

Fallbeschleunigung des Apfels von gleichen Anziehungskraft der Erde

herrühren müßten sie sich umgekehrt wie Quadrate ihrer Entfernung verhalten

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da, so Newton, Wirkung der Anziehungskraft umgekehrt mit Quadrat der

Entfernung abnehmen wird

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zwanzig Jahre nach Mondrechnung, also 1686, stellte Newton in Hauptwerk

,,Philosophiae naturalis principia mathematica" Mechanik und

Gravitationstheorie vor

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zeigte zudem, daß das zweite Keplersche Gesetz durch Annahme einer

Zentralkraft (Kraft die von Zentralkörper ausgeht --> Sonne) erklärt werden

kann

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Gravitationsgesetz mit Hilfe des dritten Keplerschen Gesetzes, da er

herausfand das Zentralkraft umgekehrt dem Quadrat des Abstandes

abnehmen müßte

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umgekehrt zeigte er, daß sich aus dem Gravitationsgesetz und seinen

Axiomen die Keplerschen Gesetze folgern lassen

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Kepler, Johannes

, * 1571, 1630, dt. Astronom, Kaiserl. Mathematiker; fand

aufgrund der Beobachtungsergebnisse Tychos die nach ihm ben. Gesetze der

Planetenbewegung (Keplersche Gesetze) (Tycho war Lehrer Keplers in Prag um

1600, nach dessen Tod Nachfolger)

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Keplersche Gesetze

, 1. Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem

Brennpunkt die Sonne steht. 2. Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten

überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Die dritten Potenzen (Kuben) der

großen Halbachsen der Planetenbahnen verhalten sich wie die Quadrate der

Umlaufzeiten (T2= C r3; C=Konstante,mit der für Planeten, die sich um die Sonne

bewegen)

Gravitationsgesetz:

Zwei beliebige Körper mit der Masse m1 und m2 ziehen sich

gegenseitig mit der Gravitatioskraft F in Richtung der Verbindungslinien ihrer

Schwerpunkte an. Die Gravitationskraft ist proportional dem Produkt ihrer Massen

m1 und m2 und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes r.

F = y * m1 * m2 / r2

-y ist eine Konstante à Gravitationskonstante y = 6,673 * 10-11 Nm2/kg2

2. Anwendung

Astronomische Massenbestimmung

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durch Gravitationsgesetz lassen sich Massen M eines Zentralkörpers (z.B.

Sonne, Erde) bestimmen

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unter Vorsetzung , daß Umlaufzeit T und (mittlere) Entfernung r eines seiner

Satelliten (z.B. Erde, Mond) bekannt sind

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erforderliche Radialkraft FR = m * w2 * r , durch Kreisbewegung des Satelliten,

ist durch die vom Zentralkörper ausgehende Gravitationskraft F = y m M / r2

gegeben

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Gleichsetzung beider Kräfte à Masse des Zentralkörpers nun errechenbar

( M = w2 r 3 / y = 4 ¶2 r3 / y T2 )

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somit Masse des Satelliten (z.B. Erde, Mond) zur Berechnung der Masse des

Zentralkörpers nicht nötig à auch Nachteil, da keine Bestimmung der

Satellitenmasse möglich

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Masse der Sonne durch Umlaufzeit T = 365 d 6 h 9 min 10 s der Erde um

Sonne, der mittleren Entfernung Erde und Sonne r = 1,496 * 1011 m

à Masse der Sone M = 1,989 * 1030 kg

(siderisches Jahr à Zeitspanne, die Himmelskörper benötigt, um wieder vor

demselben Fixstern, von der Erde aus beobachtet, zu stehen)

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Masse der Erde nach dem selben Ansatz aus der Umlaufzeit des Mondes um

Erde (siderischer Monat), und mittleren Entfernung von Erde r = 3,844 * 108 m

mit M = 6,031 * 1024 kg à weicht vom üblichen Tabellenwert M = 5,976 * 1024

kg erheblich ab

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Grund hierfür liegt darin, daß Mittelpunkt der Mondbahn nicht im Mittelpunkt

der Erde liegt

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Mond und Erde drehen sich um einen, noch innerhalb der Erde liegenden

Schwerpunkt

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Schwerpunkt S liegt 4671 km vom Erdmittelpunkt entfernt (Folie 1)

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sind Abstände des Schwerpunktes vom Erdmittelpunkt r1 bzw. vom

Mondmittelpunkt r2, so gilt nach Schwerpunktsatz M*r1=m*r2

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Mond bewegt sich um Schwerpunkt im Abstand r2 (= m*r/m+M) mit der

Radialkraft (F=m*w2*r2), ist durch Gravitationskraft der Erde (F=ymM/r2)

gegeben

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man erhält nach Gleichsetzung die Summe der Masse von Erde und Mond zu

m+M=6,031*1024 kg

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Masse der Erde wird durch Überlegung berechnet, daß Gewichtskraft G = m*g

auf beliebigen Körper mit m im Abstand R vom Erdmittelpunkt (R Erdradius)

durch Gravitationskraft F = y*m*M/R2

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da g, R und y gegebn ist, erhält man für die Erdmasse M=5,968*1024 kg

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aus Differenz (m+M)-M nun Mondmasse m = 6,33*1022 kg

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aus Satellitenbeobachtungen genauerer Wert der Mondmasse bekannt (

m=7,35*1022 kg)

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durch Schwerpunktrechnung ungenaue Werte, da kein Zweikörperproblem

Erde-Mond

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Sonne und Planeten wirken auf Drehung Erde und Mond um Schwerpunkt

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außerdem die nicht homogene Zusammensetzung (keine gleichartige

Zusammensetzung) von Erde und Mond, sowie Abweichung ihrer Form von

Kugelgestalt (Folie 2)

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bei Bewegung Erde um Sonne gemeinsame Schwerpunkt fast im Mittelpunkt

der Sonne, bedingt durch Größe der Sonnenmasse und Abstand Erde-Sonne

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Masse der Erde nicht gleich, somit nicht homogen, verteilt

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Eindruck, wenn Berechnung aus Masse und Volumen zu mittlerer Dichte der

Erde erfolgt

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aus Vergleich mit durchschnittlicher Dichte der zugänglicher Erdkruste

schlußfolgert man auf schwereren Kern im Erdinneren (ab 5000 km Tiefe

überwiegend aus Eisen und Nickel)

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ebenfalls einer Korrektur bedarf es der durch Gravitationsgesetz und Ermasse

berechneten Erdbeschleunigung

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Gewichtskraft G=m*g durch zwei Kräfte

1. die zum Schwerpunkt der Erde gerichtete Gravitationskraft (F = y m M / R2)

2. und durch Zentrifugalkraft Fz = m w2 r mit r = R * cos a ( ageographische

Breite)

Zentrifugalkraft,

Fliehkraft, die Kraft, die bei einer Rotationsbewegung einen

bewegten Körper vom Zentrum nach außen fortzuziehen versucht. Sie ist eine

Trägheitskraft, d.·h. sie entsteht erst, wenn der Körper durch eine andere Kraft

(Zentripetalkraft) aus seiner geradlinigen Bewegung herausgezwungen wird

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Zentrifugalbeschleunigung, Erde als beschleunigtes Bezugssystem, hat

kleineren Wert als Gravitationsbeschleunigung

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beide zusammen ergeben Erdbeschleunigung g, die sowohl der Größe als

auch Richtung nach sich mit geographischer Breite ändert

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Erdoberfläche senkrecht zur Erdbeschleunigung eingestellt, ist daher in erster

Näherung keine Kugel, sondern abgeplattetes Rotationsellipsoid

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wirkliche Erdoberfläche ist unregelmäßiges Gebilde

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2.1.

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weitere Anwendungsgebiet des Gravitatiosgesetzes stellen die Gezeiten dar

Gezeiten, Tiden, das period. Steigen (Flut) u. Fallen (Ebbe) des

Meeresspiegels, der Wasserstand schwankt zw. Hochwasser u.

Niedrigwasser, Hauptursache der G. ist die Anziehungskraft des Mondes (u.

der Sonne). Bei Voll- u. Neumond addieren sich die Wirkungen von Sonne u.

Mond (Springflut), bei Halbmond heben sie sich z.·T. auf (Nippflut)

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somit Gravitationskräfte auch Ursache für Ebbe und Flut, da sich Wasser der

Weltmeere, das durch Gravitationskräfte von Mond und Sonne angezogen

wird, weitgehend frei verschieben kann

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Mond zeigt dabei wegen größerer Nähe zweitfach große Wirkung, so daß ich

mich auf das System Erde-Mond beschränke

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Tidenhub (Unterschied zwischen Hoch- und Niedrigwasser) entsteht, sobald

Erde, Mond und Sonne auf einer Linie liegen, welches bei Neumond und

Vollmond der Falls ist (Springflut)

Neumond

: Begegnungen des M. mit der Sonne (Neumond) finden im Mittel alle

29,53 Tage statt (synodischer Monat)

Springflut

: bes. starkes Hochwasser nach Voll- u. Neumond

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sobald Mond im ersten oder letzten Viertel steht, Verbindungslinie Sonne-Erde

senkrecht zur Verbindungslinie Mond-Erde verläuft, ist Tidenhub am

geringsten (Nippflut)

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gezeigt werden kann somit auch, weshalb nicht nur auf der mondzugewandten

Seite Hochwasser entsteht, als Folge der Gravitationskräfte, sondern auch auf

der mondabgewandten Seite

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zur Erklärung der Gezeitenwirkung des Mondes nutzt man zur Betrachtung die

Gravitationskräfte des Mondes und Zentrifugalkräfte an verschiedenen

Punkten der Erde

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aufgrund Drehung der Erde und Mond um besagten Schwerpunkt entstehen

Zentrifugalkräfte

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befindet sich immer im Abstand von etwa 0,73 Erdradien vom Erdmittelpunkt

auf Linie Erde-Mond und zieht, während Mond um Erde, auf Kreis mit Radius

0,73 R um Erdmittelpunkt

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Bezugssystem wird für Betrachtungen als raumfest betrachtet (Abbildung

Seite 85 2-18), auf Schwerpunkt bezogen, um den sich Erde und Mond drehen

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Mond wendet Erde fast gesamte Zeit seine gleiche Seite zu, Erde hingegen

behält aufgrund täglicher Drehung um Erdachse Richtung im Raum bei;

schiebt sich parallel unter den Schwerpunkt hindurch, wobei Erdmittelpunkt

Kreis um S mit Radius beschreibt (r1=MS) und somit Punkte M1, M2, M3 ...

durchläuft

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steht Mond beispielsweise im Punkt Mo1, wie in 2-18 zu erkennnen, sind

Gravitationskräfte in Erdpunkte A1,B1,C1,D1 je nach Abstand vom Mond

verschieden groß

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Zentrifugalkräfte an allen diesen Punkten gleich groß, da Erdpunkte

gleichgroße Kreise durchlaufen

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für den Erdmittelpunkt M1 heben sich Gravitationskraft und Zentrifugalkraft auf

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somit gilt für die Zentrifugalbeschleunigung und für

Gravitationsbeschleunigung auf Körper der Masse m

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Gleichsetzung m w2 r1 = y mM m / r2 mM als Masse des Mondes

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in allen Punkten der Erde gleiche Zentrifugalbeschleunigung, vom Mond weg

gerichtet

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in Punkt A wirkt zum Mond Gravitationsbeschleunigung

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für Mondzugewandten Punkt C ist die Gravitationsbeschleunigung größer als

Zentrifugalbeschleunigung

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nach etlichen Gleichungen resultieren dann Gezeitenbeschleunigungen , die

auf Mondzugewandten Seite der Erde und auf Mondabgewandten Seite gleich

groß sind, als auch vom Erdmittelpunkt weggerichtet

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für Verschiebung der Wassermassen wirksam sind Horizontalkomponenten

der Gezeitenbeschleunigung, sind parallel zur Erdoberfläche und sind für

Ebbe und Flut verantwortlich

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Entstehung von gleich großen Flutbergen, während nidrigwasser auf

Kugelzone zwischen jenen Bereichen

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Flutberge und Ebbezone wandern mit Mond um Erde

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dreht sich zusätzlich um eigene Achse unter Flutberge und Ebbezone

hindurch

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Mond läuft in gleicher Richtung um Erde

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daher Mondtag ca. 50 min länger als Sonnentag

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daher alle rund 12 Stunden Hochwasser oder auch Niedrigwasser

Fazit: -Meerwasser an mondnahen Seite der Erde wird angezogen und bildet einen

Flutberg

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gleiches an mondfernen Seite; dort wirkt Gravitationskraft des Mondes

schwächer, deshalb Wölbung

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Sonne ähnlichen, wenn auch schwächeren Einfluß aus

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befindet sie sich jedoch bei Voll- oder Neumond mit Erde und Mond in einer

geraden Linie, dann erfolgt Summierung der Wirkungen, und es kommt zu

Springflut

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stehen sie im rechten Winkel zueinander, heben sich Wirkungen teilweise auf

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Folge ist schwache Nippflut

Allgemeines:

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Newtons Gravitationsgesetz sagt mit bemerkenswerter Genauigkeit die

Bewegung der Planeten um die Sonne und des Mondes um Erde voraus

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es kann zudem genutzt werden, um die Sonne zu wiegen, und zwar bis auf ein

Millionstel genau

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Newtons Gesetz ist sogar alles, was man braucht, um Bewegung von

Satelliten in niedrigen Höhen über Erde mit Genauigkeit von besser als 1:100

000 000 zu berechnen

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allerdings weiß man auch, daß Beugung eines Lichtstrahls, der nahe an Erde

vorbeistreift, doppelt so groß ist , als man nach Newtons Gesetz erwarttet

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korrekte Vorhersage hierfür liefert Revaltivitätstheorie, die Newtons Gesetz

verallgemeinert und Gültigkeit auf solche Fälle begrenzt, in welchen

Gravitationsfeld schwach ist

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insofern ist Newtons allgemeines Gesetz der Gravitation unvollständig, aber

dennoch nicht falsch, da man Abweichungen von Newtons Gesetz messen

kann

3. Arbeitsblätter

Quellen:

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1. Lehrbuch ­ Metzler Physik

2. Bertelsmann Lexikon ­ Ausgabe ´96

3. Diverse Lexika des Studienkreises der Berliner Stadtbibliothek

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