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Autor: Svenja Futterleib
Fach: Physik
Details
Jahr: 2000
Seiten: 15
Sprache: Deutsch
Dateigröße: 88 KB
ISBN (E-Book): 978-3-640-01580-1
Volltext (computergeneriert)
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
Aufgabenstellung
Gegeben sind zwei Plankonvexlinsen S1 und S2.
1. Bestimmen sie nach der Bessel`schen Verschiebungsmethode die
Brennweiten
f
sowie die Brechkräfte
D
folgender Linsen:
- S1
- S2
- Der Linsenkombination S1 + S2, wobei sich experimentell bei der
Kombination die Linsen berühren sollen.
2. Führen sie für ihre Messreihen eine statistische Auswertung durch, mit
Angabe von
- Mittelwert
- Standardabweichung der Messwerte
- Standardabweichung des Mittelwertes
3. Berechnen sie jeweils unter der Annahme folgender Messungenauigkeiten:
a
= ±
mm
1
sowie
e
= ±
mm
3
aus je einer der fünf Messungen zu jeder
Brennweite den Größtfehler.
4. - Berechnen sie unter der Annahme ,,dünner Linsen" aus den gemessenen
Mittelwerten der Linsen ,,
S
±
S
" und ,,
S
±
S
" die effektive Brennweite der
1
1
2
2
Linsenkombination ,,S1 + S2".
- Berechnen sie dazu mit Größtfehlerabschätzung die aus den Feldern der
Einzellinsen zu erwartende Fehlerangabe zur Linsenkombination.
- Vergleichen sie dieses berechnete Ergebnis mit ihrem zuvor experimentell
ermittelten Ergebnis für die Sammellinsenkombination.
- Begründen sie, warum sie aus dem Vergleich dieser beiden Ergebnisse
einen Wert für den Abstand
d
der Hauptebenen der beiden sich berührenden
,,dünnen Linsen" angeben können.
Wie groß ist der Abstand
d
der Hauptebenen ?
5. Die Krümmungsradien
r
der beiden Plankonvexlinsen sind mittels eines
Sphärometers zu messen.
Welchen Betrag des Brechungsindex
n
erhält man aus dem Radius
r
und den
aus den Eingangsteilen des Versuchs bestimmten Brennweiten
f
?
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
Geräte und Zubehör
- Lichtquelle mit Reiter
- Gegenstand mit Reiter
- Spanngestell für Linsen mit Reiter
- Abbildungsschirm mit Reiter
- Schiene zum Verschieben der Reiter mit Skala
- Sphärometer
- 2 verschiedene Linsen S1,S2
Bessel-Verfahren
Die durch Linsenfehler hervorgerufenen Änderungen der Brennweite sind
gewöhnlich nicht sehr groß. Zu ihrer Messung macht man von einem Verfahren
Gebrauch, bei dem die Messunsicherheit kleiner als bei der einfachen Messung
von
a
und
a
′ ist.
Dieses Verfahren geht auf BESSEL zurück. Es geht davon aus, dass es für einen
festen Abstand zwischen Gegenstand und Bild zwei Linseneinstellungen gibt, die
jeweils ein scharfes reelles Bild liefern.
Die Größe
e
ist der Abstand zwischen den beiden Linsenstellungen, für die ( bei
festem Gesamtabstand
a
) jeweils ein scharfes vergrößertes (bzw. verkleinertes)
Bild entsteht. Sie ist die Differenz zwischen den Positionen eines beliebigen
Bezugspunktes an der Linse genauer zu messen als die Größen
a′
und
a
, die ja
jeweils von den Hauptpunkten ab zu messen sind.
Mit Messung der Größen
a
und
e
kann man die Brennweite
f′
berechnen,
vorausgesetzt, dass der Hauptebenenabstand
h
bekannt oder zu vernachlässigen
( nur bei dünnen Linsen ) ist.
Von einem Gegenstand
G
, der sich im Abstand
a
vor einem Schirm befindet,
wird eine Linse solange bewegt, bis sich auf dem Schirm eine scharfe Abbildung
ergibt ( Pos 1 ). Ist
a
groß genug, gibt es im allgemeinen eine zweite Position (
Pos 2 ), an der ebenfalls eine scharfe Abbildung auftritt.
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
1.Bestimmung der Brennweite f
Die Brennweite
f
( oder
f′ )
beschreibt die Entfernung zwischen dem
objektseitigen oder bildseitigen Hauptpunkt und dem objektseitigen oder
bildseitigen Brennpunkt.
Der Brennpunkt
F′
ist der Punkt auf der optischen Achse, in dem parallel zur
optischen Achse einfallende Strahlen gesammelt werden.
Aus dem Abstand
e
der beiden Positionen Pos 1 und Pos 2 und der Größe
a
lässt
sich die Brennweite bestimmen (gemäß folgendem Zusammenhang ):
a
2 -
e
2
f
=
4
a
Beispiel:
a
= 100cm; e = 66,9cm
1002
cm
-
9
,
66 2
f
=
cm
= 810975
,
13
81
,
13
400
cm
Bestimmung der Brechkräfte D
Die Brechkraft einer Linse oder eines Systems von Linsen ist definiert als :
1
1
Brechkraft
=
=
Brennweite
f
′
Die gebräuchliche Einheit für die Brechkraft ist Dioptrie ( dpt ), 1 dpt = 1/ m.
Beispiel:
f =13,8 cm
1
Brechkraft
=
= ,
7 246376812
dpt
,
7
dpt
25
m
138
,
0
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
2. Statistische Auswertung
-
Definition des Mittelwertes
N
1
Mittelwert
=
å
x x
i
=
N i
=1
Beispiel: Linse 1, Mittelwert von
f
x
= 13,842
-
Standardabweichung
der Messwerte
n
1
-
2
1
N
- =
x
-
x
=
s
n
1
å(
i
) 2
N
-1
i
1=
Beispiel: Linse 1
n
- =
030331501
,
0
03
,
0
1
-
Standardabweichung
des Mittelwertes
x
2
N
x
x
n
1
i
-
-
( )
=
=
x
å
N
i
=1
N
(
N
- )
1
Beispiel : Linse 1
03
,
0
=
= 013416407
,
0
01
,
0
x
5
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
3. Berechnung des Größtfehlers
Berechnung unter der Annahme folgender Meßungenauigkeiten:
-
a
=
mm
1
±
-
e
= ±
mm
3
Der Größtfehler wird im allgemein nach folgender Formel berechnet :
æ
= ±
df
F
(
x
,
y
) +
df
x
(
x
,
y
)
ö
æ
df
df
y
Þ
F
= ±
(
a
,
e
)
a
+ (
a
,
e
)
ö
ç
ç
÷
÷
ç
ç
e
÷÷
è
dx
dx
ø
è
dx
dx
ø
Ableitungen:
df
+
=
f
(
a
)
2
2
a
e
=
2
da
4
a
df
=
f
( )
e
e
= -
da
2
a
Diese Terme werden nun in die allgemeine Formel eingesetzt :
æ
a
2 -
e
2
e
ö
f
= ±çç
a
+ -
e
4
a
2
2
a
÷
÷
è
ø
Beispiel : Linse 1
æ (
cm
100
)2 +(
cm
9
,
66
)2
cm
9
,
66
ö
f
1 = ±ç
cm
1
,
0
+ -
cm
3
,
0
÷
ç
4(
cm
100
)2
2
cm
100
÷
è
ø
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
Ergebnistabellen der einzelnen Messungen
Linse S1:
Position1
Position 2
Messung a
[cm] [cm]
[cm]
e [cm]
f [cm]
D [dpt]
1 100 35,3
102,2
66,9
13,81
7,25
2 115 34,7
117,5
82,8
13,84
7,23
3 130 34,5
133
98,5
13,84
7,23
4 145 34,3
148,2
113,9
13,88 7,2
5 160 33,9
163,3
129,4
13,84
7,23
Mittelwert
x f
= 13,842 cm
Mittelwert
x
D1= 7,23 dpt
Standardabweichung
cm
n
-
= 024899799
,
0
= 025
,
0
1
f
1
Standardabweichung
dpt
n
-
= 129298394
,
0
= 13
,
0
1 1
D
02
,
0
Standardabweichung
=
cm
= 008944271
,
0
= 009
,
0
cm
x f
1
5
13
,
0
Standardabweichung
=
dpt
= 016
,
0
dpt
x
1
D
5
Größtfehlerabschätzung :
æ (
cm
100
)2 +(
cm
9
,
66
)2
cm
9
,
66
ö
f
1 = ±ç
cm
1
,
0
+ -
cm
3
,
0
÷
ç
4(
cm
100
)2
2
cm
100
÷
è
ø
f
= ±
+
= ±
±
f
±
f
=
cm
81
,
13
±
cm
14
,
0
1
(
cm
036
,
0
cm
1
,
0
)
cm
136
,
0
cm
14
,
0
1
1
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
Linse S2 :
Position1
Position 2
Messung a
[cm] [cm]
[cm]
e [cm]
f [cm]
D [dpt]
1 100 45,6
91,5
45,9
19,7
5,08
2 115 43,5
108,3
64,8
19,62
5,10
3 130 42,7
124,3
81,6
19,69
5,08
4 145 42,1
139,8
97,7
19,7
5,08
5 160 41,4
155,4
114
19,69
5,08
Mittelwert
x f
2 = 19,68 cm
Mittelwert
xD
2 = 5,084 dpt
Standardabweichung
cm
n
-
= 033911649
,
0
= 03
,
0
1
f
2
Standardabweichung
dpt
n
-
D
=
008944271
,
0
= 009
,
0
1 2
034
,
0
Standardabweichung =
cm
= 015205262
,
0
015
,
0
cm
x
5
01
,
0
Standardabweichung =
dpt
= 004472135
,
0
004
,
0
dpt
x
5
Größtfehlerabschätzung :
æ (
cm
100
)2 +(
cm
9
,
45
)2
cm
9
,
45
ö
f
2 = ±ç
cm
1
,
0
+ -
cm
3
,
0
÷
ç
4(
cm
100
)2
2
cm
100
÷
è
ø
f
= ±
+
= ±
f
±
f
=
cm
68
,
19
±
cm
1
,
0
2
(
cm
030
,
0
07
,
0
cm
)
cm
1
,
0
2
2
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
Linsenkombination S1 + S2 :
Position1
Position 2
Messung a
[cm] [cm]
[cm]
e [cm]
f [cm]
D [dpt]
1 100 27,4
108,4
81
8,6
11,63
2 115 27,3
123,5
96,2
8,6
11,63
3 130
27,25
138,6
111,35
8,6
11,63
4 145 27,2
153,6
126,4
8,7
11,5
5 160 27,1
168,7
141,6
8,6
11,63
Mittelwert
x f
= 8,62 cm
3
Mittelwert
xD
3 = 11,604 dpt
Standardabweichung
cm
n
-
= 044721359
,
0
045
,
0
1
f
3
Standardabweichung
dpt
n
-
= 056137767
,
0
056
,
0
1
D
3
045
,
0
Standardabweichung
=
cm
= 020124611
,
0
02
,
0
cm
x f
3
5
056
,
0
Standardabweichung
=
dpt
= 025043961
,
0
025
,
0
dpt
xD
3
5
Größtfehlerabschätzung :
æ (
cm
100
)2 +(
cm
81
)2
cm
81
ö
f
1
,
0
3
,
0
kombi
= ±ç
cm
+ -
cm
÷
ç
4(
cm
100
)2
2
cm
100
÷
è
ø
f
= ± 041
,
0
+ 12
,
0
= ± 161
,
0
± 16
,
0
kombi
(
cm
cm
)
cm
cm
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
4. Berechnungen unter Annahme ,,dünner Linsen"
a)effektive Brennweite
Für zwei ,,dünne Linsen" mit den Brennweite
f1
und
f2
mit einem Abstand
d
lässt
sich eine effektive Brennweite
f1 + f2
der Linsenkombination bestimmen :
1
1
1
d
f
1
f
=
+
-
Þ
f
2
+
1 2 =
f
f
f
f
+
1 2
1
2
1
f
f
2
1 +
f
2 -
d
Daraus folgt unter Annahme sich berührender Linsen :
d
= 0
f
f
842
,
13
cm
,
19
cm
68
f
1
2
+ =
=
= 156848852
,
8
cm
= 16
,
8
cm
1 2
f
+
f
842
,
13
cm
+ ,
19 69
cm
1
2
b) Größtfehlerabschätzung
æ
= ±
df
F
(
df
df
df
x
,
y
)
x
+
(
x
,
y
)
ö
æ
y
Þ
F
= ±
(
f
,
f
f
f
,
f
f
1
2 ) 1 +
( 1 2)
ö
ç
ç
dx
dy
÷
÷
ç
ç
2
df
df
÷
÷
è
ø
è 1
2
ø
-1
-1
df
2
=
df
f
f
(
f
)
2
f
1
=
=
f
(
f
=
2 )
2
1
2
df
2
df
1
æ 1
1 ö
2
æ 1
1 ö
ç
ç +
÷
÷
+
è
f
f
ç
ç
÷
÷
f
f
1
2 ø
è 1
2 ø
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
ç
æ
-1
-1
÷
ö
ç
2
2
f
f
÷
Þ
F
= ±ç
1
f
+
2
f
2
1
2
2 ÷
ç æ 1
1 ö
æ 1
1 ö
÷
ç
ç çç + ÷÷
ç
ç
+
÷
÷
f
f
f
f
÷
÷
è è 1
2 ø
è 1
2 ø
ø
Nach dem Einsetzen unserer Werte ergibt sich:
ç
æ
-1
-1
÷
ö
ç
(
cm
842
,
13
)2
(
cm
68
,
19
)2
÷
Þ
F
= ±ç
cm
136
,
0
+
cm
1
,
0
2
2
÷
ç æ
1
1
ö
æ
1
1
ö
÷
ç ç
+
÷
ç
+
÷
cm
842
,
13
cm
68
,
19
cm
842
,
13
cm
68
,
19
÷
è è
ø
è
ø
ø
Þ
F
= -
cm
048252341
,
0
+ -
cm
017050529
,
0
=
cm
06
,
0
Þ
F
= ,
0 06
cm
Daraus ergibt sich nun für die effektive Brennweite der Linsenkombination
f
+ =
cm
16
,
8
±
cm
06
,
0
1 2
Beim Vergleich mit der gemessenen Brennweite zeigt sich ein Unterschied von
ca. 0,46cm, der sich auf statische Fehler bzw. zufällige Fehler wie z.B.
ungenaues Ablesen oder unkontrollierbare Störungen zurückführen lässt.
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
Warum man den Abstand d der Hauptebene berechnen muß
Die Annahme, der Abstand betrage Nul ist nicht richtig, da sich der errechnete
Wert vom gemessenen unterscheidet. Es ist also anzunehmen, dass es einen
Abstand
d
gibt.
Berechnung des Abstandes
d
:
1
1
1
d
f
f
=
+
-
Þ
d
=
f
+
f
1
2
-
f
f
f
f
f
2
1
f
kombi
1
2
1
2
kombi
cm
842
,
13
cm
68
,
19
Þ
d
=
cm
68
,
19
+
cm
842
,
13
-
= 91984687
,
1
cm
cm
92
,
1
cm
62
,
8
Man darf
d
nicht vernachlässigen, weil man in der Theorie von ,,unendlich
dünnen" Linsen ausgeht und dieses in der Praxis nicht zu verwirklichen ist.
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
5.Krümmungsradien und Brechungsindex
Linse Höhe h [mm] Krümmungsradius r[mm]
S1 6,034
72,07
S2 4,225
100,73
Berechnung von
r
:
2
a
h
r
=
+
6
h
2
(50
mm
)2
(50
mm
)2
Þ
r
=
+ 017
,
3
mm
Þ
r
=
+
mm
1125
,
2
1
6 034
,
6
mm
2
6 ,
4
mm
225
Þ
r
=
mm
0701433
,
72
07
,
72
mm
Þ
r
=
7318294
,
100
mm
mm
73
,
100
1
2
Berechnung des Brechungsindex :
1
1
r
= (
n
- )
1 Þ
n
=
+1
f
r
f
,
7 207
=
cm
073
,
10
cm
n
+1= 520661754
,
1
52
,
1
n
=
+1= 511839431
,
1
51
,
1
1
842
,
13
cm
2
68
,
19
cm
Daraus ergibt sich : n1= 1,52
n2= 1,51
Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
Vergleich mit Kronglas
Der Brechungsindex von Borkkronglas beträgt 1,51 ( aus Stöcker, Taschenbuch der
Physik ) . Aufgrund der Messungenauigkeit können wir davon ausgehen, dass es sich bei
den Linsen um Borkkronglas handelt.
Herleitung der Formel
2
a
h
r
=
+
6
h
2
Gleichung :
+
2
2
h
2
2
s
2
1.
r
=
s
+ (
r
-
h
) Þ
r
=
2
h
Das Verhältnis der Winkelhalbierenden zur Seitenhalbierenden ist 3:1.
Daraus folgt die Aufteilung von
d
in 2/3:
2
2.
s
=
d
3
Mit Verwendung des Satz des Pythagoras :
2
æ
a
ö
3
3. 2
2
2
2
a
= ç ÷ +
d
Þ
d
=
a
è 2 ø
4
Wenn man nun die Gleichungen 2 und 3 in 1einsetzt erhält man :
2
2 3
h
æ
+
÷
ö
ç
d
2
2
4 3
h
+
a
2
3
9 4
h
è ø
2
4
a
3 2
r
=
=
=
+
2
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Thema: Brennweite von Linsen
Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000
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Thema: Brennweite von Linsen
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