Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000

Aufgabenstellung

Gegeben sind zwei Plankonvexlinsen S1 und S2.

1. Bestimmen sie nach der Bessel`schen Verschiebungsmethode die

Brennweiten

f

sowie die Brechkräfte

D

folgender Linsen:

- S1

- S2

- Der Linsenkombination S1 + S2, wobei sich experimentell bei der

Kombination die Linsen berühren sollen.

2. Führen sie für ihre Messreihen eine statistische Auswertung durch, mit

Angabe von

- Mittelwert

- Standardabweichung der Messwerte

- Standardabweichung des Mittelwertes

3. Berechnen sie jeweils unter der Annahme folgender Messungenauigkeiten:

a

= ±

mm

1

sowie

e

= ±

mm

3

aus je einer der fünf Messungen zu jeder

Brennweite den Größtfehler.

4. - Berechnen sie unter der Annahme ,,dünner Linsen" aus den gemessenen

Mittelwerten der Linsen ,,

S

±

S

" und ,,

S

±

S

" die effektive Brennweite der

1

1

2

2

Linsenkombination ,,S1 + S2".

- Berechnen sie dazu mit Größtfehlerabschätzung die aus den Feldern der

Einzellinsen zu erwartende Fehlerangabe zur Linsenkombination.

- Vergleichen sie dieses berechnete Ergebnis mit ihrem zuvor experimentell

ermittelten Ergebnis für die Sammellinsenkombination.

- Begründen sie, warum sie aus dem Vergleich dieser beiden Ergebnisse

einen Wert für den Abstand

d

der Hauptebenen der beiden sich berührenden

,,dünnen Linsen" angeben können.

Wie groß ist der Abstand

d

der Hauptebenen ?

5. Die Krümmungsradien

r

der beiden Plankonvexlinsen sind mittels eines

Sphärometers zu messen.

Welchen Betrag des Brechungsindex

n

erhält man aus dem Radius

r

und den

aus den Eingangsteilen des Versuchs bestimmten Brennweiten

f

?

Thema: Brennweite von Linsen

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Geräte und Zubehör

- Lichtquelle mit Reiter

- Gegenstand mit Reiter

- Spanngestell für Linsen mit Reiter

- Abbildungsschirm mit Reiter

- Schiene zum Verschieben der Reiter mit Skala

- Sphärometer

- 2 verschiedene Linsen S1,S2

Bessel-Verfahren

Die durch Linsenfehler hervorgerufenen Änderungen der Brennweite sind

gewöhnlich nicht sehr groß. Zu ihrer Messung macht man von einem Verfahren

Gebrauch, bei dem die Messunsicherheit kleiner als bei der einfachen Messung

von

a

und

a

′ ist.

Dieses Verfahren geht auf BESSEL zurück. Es geht davon aus, dass es für einen

festen Abstand zwischen Gegenstand und Bild zwei Linseneinstellungen gibt, die

jeweils ein scharfes reelles Bild liefern.

Die Größe

e

ist der Abstand zwischen den beiden Linsenstellungen, für die ( bei

festem Gesamtabstand

a

) jeweils ein scharfes vergrößertes (bzw. verkleinertes)

Bild entsteht. Sie ist die Differenz zwischen den Positionen eines beliebigen

Bezugspunktes an der Linse genauer zu messen als die Größen

a′

und

a

, die ja

jeweils von den Hauptpunkten ab zu messen sind.

Mit Messung der Größen

a

und

e

kann man die Brennweite

f′

berechnen,

vorausgesetzt, dass der Hauptebenenabstand

h

bekannt oder zu vernachlässigen

( nur bei dünnen Linsen ) ist.

Von einem Gegenstand

G

, der sich im Abstand

a

vor einem Schirm befindet,

wird eine Linse solange bewegt, bis sich auf dem Schirm eine scharfe Abbildung

ergibt ( Pos 1 ). Ist

a

groß genug, gibt es im allgemeinen eine zweite Position (

Pos 2 ), an der ebenfalls eine scharfe Abbildung auftritt.

Thema: Brennweite von Linsen

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1.Bestimmung der Brennweite f

Die Brennweite

f

( oder

f′ )

beschreibt die Entfernung zwischen dem

objektseitigen oder bildseitigen Hauptpunkt und dem objektseitigen oder

bildseitigen Brennpunkt.

Der Brennpunkt

F′

ist der Punkt auf der optischen Achse, in dem parallel zur

optischen Achse einfallende Strahlen gesammelt werden.

Aus dem Abstand

e

der beiden Positionen Pos 1 und Pos 2 und der Größe

a

lässt

sich die Brennweite bestimmen (gemäß folgendem Zusammenhang ):

a

2 -

e

2

f

=

4

a

Beispiel:

a

= 100cm; e = 66,9cm

1002

cm

-

9

,

66 2

f

=

cm

= 810975

,

13

81

,

13

400

cm

Bestimmung der Brechkräfte D

Die Brechkraft einer Linse oder eines Systems von Linsen ist definiert als :

1

1

Brechkraft

=

=

Brennweite

f

′

Die gebräuchliche Einheit für die Brechkraft ist Dioptrie ( dpt ), 1 dpt = 1/ m.

Beispiel:

f =13,8 cm

1

Brechkraft

=

= ,

7 246376812

dpt

,

7

dpt

25

m

138

,

0

Thema: Brennweite von Linsen

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2. Statistische Auswertung

-

Definition des Mittelwertes

N

1

Mittelwert

=

å

x x

i

=

N i

=1

Beispiel: Linse 1, Mittelwert von

f

x

= 13,842

-

Standardabweichung

der Messwerte

n

1

-

2

1

N

- =

x

-

x

=

s

n

1

å(

i

) 2

N

-1

i

1=

Beispiel: Linse 1

n

- =

030331501

,

0

03

,

0

1

-

Standardabweichung

des Mittelwertes

x

2

N

x

x

n

1

i

-

-

( )

=

=

x

å

N

i

=1

N

(

N

- )

1

Beispiel : Linse 1

03

,

0

=

= 013416407

,

0

01

,

0

x

5

Thema: Brennweite von Linsen

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3. Berechnung des Größtfehlers

Berechnung unter der Annahme folgender Meßungenauigkeiten:

-

a

=

mm

1

±

-

e

= ±

mm

3

Der Größtfehler wird im allgemein nach folgender Formel berechnet :

æ

= ±

df

F

(

x

,

y

) +

df

x

(

x

,

y

)

ö

æ

df

df

y

Þ

F

= ±

(

a

,

e

)

a

+ (

a

,

e

)

ö

ç

ç

÷

÷

ç

ç

e

÷÷

è

dx

dx

ø

è

dx

dx

ø

Ableitungen:

df

+

=

f

(

a

)

2

2

a

e

=

2

da

4

a

df

=

f

( )

e

e

= -

da

2

a

Diese Terme werden nun in die allgemeine Formel eingesetzt :

æ

a

2 -

e

2

e

ö

f

= ±çç

a

+ -

e

4

a

2

2

a

÷

÷

è

ø

Beispiel : Linse 1

æ (

cm

100

)2 +(

cm

9

,

66

)2

cm

9

,

66

ö

f

1 = ±ç

cm

1

,

0

+ -

cm

3

,

0

÷

ç

4(

cm

100

)2

2

cm

100

÷

è

ø

Thema: Brennweite von Linsen

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Ergebnistabellen der einzelnen Messungen

Linse S1:

Position1

Position 2

Messung a

[cm] [cm]

[cm]

e [cm]

f [cm]

D [dpt]

1 100 35,3

102,2

66,9

13,81

7,25

2 115 34,7

117,5

82,8

13,84

7,23

3 130 34,5

133

98,5

13,84

7,23

4 145 34,3

148,2

113,9

13,88 7,2

5 160 33,9

163,3

129,4

13,84

7,23

Mittelwert

x f

= 13,842 cm

Mittelwert

x

D1= 7,23 dpt

Standardabweichung

cm

n

-

= 024899799

,

0

= 025

,

0

1

f

1

Standardabweichung

dpt

n

-

= 129298394

,

0

= 13

,

0

1 1

D

02

,

0

Standardabweichung

=

cm

= 008944271

,

0

= 009

,

0

cm

x f

1

5

13

,

0

Standardabweichung

=

dpt

= 016

,

0

dpt

x

1

D

5

Größtfehlerabschätzung :

æ (

cm

100

)2 +(

cm

9

,

66

)2

cm

9

,

66

ö

f

1 = ±ç

cm

1

,

0

+ -

cm

3

,

0

÷

ç

4(

cm

100

)2

2

cm

100

÷

è

ø

f

= ±

+

= ±

±

f

±

f

=

cm

81

,

13

±

cm

14

,

0

1

(

cm

036

,

0

cm

1

,

0

)

cm

136

,

0

cm

14

,

0

1

1

Thema: Brennweite von Linsen

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Linse S2 :

Position1

Position 2

Messung a

[cm] [cm]

[cm]

e [cm]

f [cm]

D [dpt]

1 100 45,6

91,5

45,9

19,7

5,08

2 115 43,5

108,3

64,8

19,62

5,10

3 130 42,7

124,3

81,6

19,69

5,08

4 145 42,1

139,8

97,7

19,7

5,08

5 160 41,4

155,4

114

19,69

5,08

Mittelwert

x f

2 = 19,68 cm

Mittelwert

xD

2 = 5,084 dpt

Standardabweichung

cm

n

-

= 033911649

,

0

= 03

,

0

1

f

2

Standardabweichung

dpt

n

-

D

=

008944271

,

0

= 009

,

0

1 2

034

,

0

Standardabweichung =

cm

= 015205262

,

0

015

,

0

cm

x

5

01

,

0

Standardabweichung =

dpt

= 004472135

,

0

004

,

0

dpt

x

5

Größtfehlerabschätzung :

æ (

cm

100

)2 +(

cm

9

,

45

)2

cm

9

,

45

ö

f

2 = ±ç

cm

1

,

0

+ -

cm

3

,

0

÷

ç

4(

cm

100

)2

2

cm

100

÷

è

ø

f

= ±

+

= ±

f

±

f

=

cm

68

,

19

±

cm

1

,

0

2

(

cm

030

,

0

07

,

0

cm

)

cm

1

,

0

2

2

Thema: Brennweite von Linsen

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Linsenkombination S1 + S2 :

Position1

Position 2

Messung a

[cm] [cm]

[cm]

e [cm]

f [cm]

D [dpt]

1 100 27,4

108,4

81

8,6

11,63

2 115 27,3

123,5

96,2

8,6

11,63

3 130

27,25

138,6

111,35

8,6

11,63

4 145 27,2

153,6

126,4

8,7

11,5

5 160 27,1

168,7

141,6

8,6

11,63

Mittelwert

x f

= 8,62 cm

3

Mittelwert

xD

3 = 11,604 dpt

Standardabweichung

cm

n

-

= 044721359

,

0

045

,

0

1

f

3

Standardabweichung

dpt

n

-

= 056137767

,

0

056

,

0

1

D

3

045

,

0

Standardabweichung

=

cm

= 020124611

,

0

02

,

0

cm

x f

3

5

056

,

0

Standardabweichung

=

dpt

= 025043961

,

0

025

,

0

dpt

xD

3

5

Größtfehlerabschätzung :

æ (

cm

100

)2 +(

cm

81

)2

cm

81

ö

f

1

,

0

3

,

0

kombi

= ±ç

cm

+ -

cm

÷

ç

4(

cm

100

)2

2

cm

100

÷

è

ø

f

= ± 041

,

0

+ 12

,

0

= ± 161

,

0

± 16

,

0

kombi

(

cm

cm

)

cm

cm

Thema: Brennweite von Linsen

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4. Berechnungen unter Annahme ,,dünner Linsen"


a)effektive Brennweite

Für zwei ,,dünne Linsen" mit den Brennweite

f1

und

f2

mit einem Abstand

d

lässt

sich eine effektive Brennweite

f1 + f2

der Linsenkombination bestimmen :

1

1

1

d

f

1

f

=

+

-

Þ

f

2

+

1 2 =

f

f

f

f

+

1 2

1

2

1

f

f

2

1 +

f

2 -

d

Daraus folgt unter Annahme sich berührender Linsen :

d

= 0

f

f

842

,

13

cm

,

19

cm

68

f

1

2

+ =

=

= 156848852

,

8

cm

= 16

,

8

cm

1 2

f

+

f

842

,

13

cm

+ ,

19 69

cm

1

2

b) Größtfehlerabschätzung

æ

= ±

df

F

(

df

df

df

x

,

y

)

x

+

(

x

,

y

)

ö

æ

y

Þ

F

= ±

(

f

,

f

f

f

,

f

f

1

2 ) 1 +

( 1 2)

ö

ç

ç

dx

dy

÷

÷

ç

ç

2

df

df

÷

÷

è

ø

è 1

2

ø

-1

-1

df

2

=

df

f

f

(

f

)

2

f

1

=

=

f

(

f

=

2 )

2

1

2

df

2

df

1

æ 1

1 ö

2

æ 1

1 ö

ç

ç +

÷

÷

+

è

f

f

ç

ç

÷

÷

f

f

1

2 ø

è 1

2 ø

Thema: Brennweite von Linsen

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Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000

ç

æ

-1

-1

÷

ö

ç

2

2

f

f

÷

Þ

F

= ±ç

1

f

+

2

f

2

1

2

2 ÷

ç æ 1

1 ö

æ 1

1 ö

÷

ç

ç çç + ÷÷

ç

ç

+

÷

÷

f

f

f

f

÷

÷

è è 1

2 ø

è 1

2 ø

ø

Nach dem Einsetzen unserer Werte ergibt sich:

ç

æ

-1

-1

÷

ö

ç

(

cm

842

,

13

)2

(

cm

68

,

19

)2

÷

Þ

F

= ±ç

cm

136

,

0

+

cm

1

,

0

2

2

÷

ç æ

1

1

ö

æ

1

1

ö

÷

ç ç

+

÷

ç

+

÷

cm

842

,

13

cm

68

,

19

cm

842

,

13

cm

68

,

19

÷

è è

ø

è

ø

ø

Þ

F

= -

cm

048252341

,

0

+ -

cm

017050529

,

0

=

cm

06

,

0

Þ

F

= ,

0 06

cm

Daraus ergibt sich nun für die effektive Brennweite der Linsenkombination

f

+ =

cm

16

,

8

±

cm

06

,

0

1 2

Beim Vergleich mit der gemessenen Brennweite zeigt sich ein Unterschied von

ca. 0,46cm, der sich auf statische Fehler bzw. zufällige Fehler wie z.B.

ungenaues Ablesen oder unkontrollierbare Störungen zurückführen lässt.

Thema: Brennweite von Linsen

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Warum man den Abstand d der Hauptebene berechnen muß

Die Annahme, der Abstand betrage Nul ist nicht richtig, da sich der errechnete

Wert vom gemessenen unterscheidet. Es ist also anzunehmen, dass es einen

Abstand

d

gibt.

Berechnung des Abstandes

d

:

1

1

1

d

f

f

=

+

-

Þ

d

=

f

+

f

1

2

-

f

f

f

f

f

2

1

f

kombi

1

2

1

2

kombi

cm

842

,

13

cm

68

,

19

Þ

d

=

cm

68

,

19

+

cm

842

,

13

-

= 91984687

,

1

cm

cm

92

,

1

cm

62

,

8

Man darf

d

nicht vernachlässigen, weil man in der Theorie von ,,unendlich

dünnen" Linsen ausgeht und dieses in der Praxis nicht zu verwirklichen ist.

Thema: Brennweite von Linsen

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5.Krümmungsradien und Brechungsindex

Linse Höhe h [mm] Krümmungsradius r[mm]

S1 6,034

72,07

S2 4,225

100,73

Berechnung von

r

:

2

a

h

r

=

+

6

h

2

(50

mm

)2

(50

mm

)2

Þ

r

=

+ 017

,

3

mm

Þ

r

=

+

mm

1125

,

2

1

6 034

,

6

mm

2

6 ,

4

mm

225

Þ

r

=

mm

0701433

,

72

07

,

72

mm

Þ

r

=

7318294

,

100

mm

mm

73

,

100

1

2

Berechnung des Brechungsindex :

1

1

r

= (

n

- )

1 Þ

n

=

+1

f

r

f

,

7 207

=

cm

073

,

10

cm

n

+1= 520661754

,

1

52

,

1

n

=

+1= 511839431

,

1

51

,

1

1

842

,

13

cm

2

68

,

19

cm

Daraus ergibt sich : n1= 1,52

n2= 1,51

Thema: Brennweite von Linsen

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Vergleich mit Kronglas

Der Brechungsindex von Borkkronglas beträgt 1,51 ( aus Stöcker, Taschenbuch der

Physik ) . Aufgrund der Messungenauigkeit können wir davon ausgehen, dass es sich bei

den Linsen um Borkkronglas handelt.

Herleitung der Formel

2

a

h

r

=

+

6

h

2

Gleichung :

+

2

2

h

2

2

s

2

1.

r

=

s

+ (

r

-

h

) Þ

r

=

2

h

Das Verhältnis der Winkelhalbierenden zur Seitenhalbierenden ist 3:1.

Daraus folgt die Aufteilung von

d

in 2/3:

2

2.

s

=

d

3

Mit Verwendung des Satz des Pythagoras :

2

æ

a

ö

3

3. 2

2

2

2

a

= ç ÷ +

d

Þ

d

=

a

è 2 ø

4

Wenn man nun die Gleichungen 2 und 3 in 1einsetzt erhält man :

2

2 3

h

æ

+

÷

ö

ç

d

2

2

4 3

h

+

a

2

3

9 4

h

è ø

2

4

a

3 2

r

=

=

=

+

2

h

2

h

2

h

9 4 2

h

Thema: Brennweite von Linsen

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Physik-Praktikum Svenja Futterleib & Cordula Gewecke 19.12.2000

h a

2

Þ

r

= +

q.e.d.

2 6

h

Thema: Brennweite von Linsen

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