Staatliche FOS/BOS Ingolstadt

Fachreferat

Erstellt von: Böhm Manfred

Lehrfach: Mathematik

Thema: Näherungsweise Berechnung von Nullstellen mit dem

Iterationsverfahren von Newton

(Newton Verfahren)

---

Inhaltsverzeichnis

1. Herleitung der Iterationsvorschrift über die Tangentengleichung

2. Beschreibung des Newton Verfahrens

3. Hinweise auf das Newton Verfahren

4. Beispiele

5. Handout

6. Literaturverzeichnis

---

1

. Herleitung

Die Lösung einer Gleichung

f

(x) = 0 gehört zu den wichtigsten mathematischen Aufgaben.

Doch dies ist nicht ohne weiteres möglich, z.B. bei Polynomen höheren Grades. Um auch bei

solchen Gleichungen die Lösungen (Nullstellen) zu erhalten, brauchen wir ein

Näherungsverfahren.

· Halbierungsverfahren (Bisektion)

· Regula Falsi

Eine weitere mögliche Methode entwickelte Isaac Newton, dass

Newtonsche Näherungsverfahren.

Der Grundgedanke dabei ist, dass der Schnittpunkt einer Kurventangente mit der x-Achse

eines beliebigen Startpunktes der gesuchten Nullstelle einen genaueren Näherungswert liefert

als der Startwert.

Wiederholt man unter Anwendung einer bestimmten Rechenvorschrift diesen Vorgang, so

erhält man unter bestimmten Voraussetzungen einen Wert der gegen die gesuchte Lösung

konvergiert.

Ist x0 ein geeigneter Startwert für die Nullstellenberechnung der Funktion y = f(x), so ersetzt

man den Funktionsgraph y = f(x) durch die im Kurvenpunkt

P

(

x

/

y

) erstellte Tangente,

0

0

0

mit der Funktionsgleichung.

Y

Y

-

Y

0

f

x

=

=

( 0)

X

X

-

X

0

---

2.

Beschreibung des Newton Verfahrens

Durch auflösen der Gleichung nach

x

1 erhält man den neuen (genaueren) Schnittpunkt mit

der X-Achse.

0 -

Y

0

=

f

(

x

0) y = 0 (Schnittpunkt mit X-Achse)

X

-

X

1

0

y

0

x

=

x

-

1

0

f

(

x

0 )

Es muss unbedingt vorausgesetzt sein, dass

f

(

x

0 )

x

=

x

-

f

x

1

0

( 0) 0

f

(

x

0 )

Den so neu ermittelten Schnittpunkt mit der X-Achse betrachten wir nun als neuen Startwert

für die Berechnung der Nullstelle der Kurventangente im Punkt

P

(

x

/

y

) . Mit diesem neuen

1

1

1

Startwert

x

1 wird nun die 2. Näherung für die gesuchte Nullstelle ermittelt.

0 -

Y

y

f

(

x

1 )

1

1

=

f

(

x

x

=

x

-

x

=

x

-

1 )

X

-

X

2

1

f

(

x

2

1

f

(

x

1 )

1 )

2

1

Nun wird

x

2 als neuer Startwert betrachtet und das oben beschriebene Verfahren solange

wiederholt, bis nach n-Schritten die n-te Näherung

xn

erreicht ist. Die allgemeine

Iterationsvorschrift für diesen Vorgang lautet

f

(

xn

1-)

x

=

x

-

n

n

1

-

f

(

x

n

1

- )

---

3.

Hinweise auf das Newton Verfahren

Um beim Newton Verfahren möglichst schnell zum Erfolg zu kommen, müssen bestimmte

Voraussetzungen erfüllt sein.

· Die Funktion y = f(x) muss in dem Intervall der gesuchten Nullstelle, stetig und

mindestens zweimal differenzierbar sein.

· Die erste Ableitung

f

(

x

) 0

· Desto näher der erste Startwert an der gesuchten Nullstelle liegt, desto schneller führt

in der Regel das Newtonsche Tangentenverfahren zum Erfolg. Geeignete Startwerte

können durch verschiedene Methoden ermittelt werden.

· In dem man den Funktionsgraphen zeichnet und daraus die ungefähre Position der

Nullstelle ermittelt.

· Eine Funktion f(x) hat nach dem Nullstellensatz mindestens eine Nullstelle in dem

Intervall [A;B], wenn

f

(

A

) > 0 und

f

(

B

) < 0

oder

f

(

A

) < 0 und

f

(

B

) > 0

· Dagegen als völlig ungeeignet sind Startwerte, in deren Umgebung Wendestellen oder

Extremstellen vorhanden sind. Da die Kurventangente in Ihrer Nähe nahezu parallel

zur x-Achse verläuft. Durch die nur wenig von Null verschiedene Steigung, ist der

Schnittpunkt mit der x-Achse in weiter Entfernung zum Startwert zu erwarten. Es

kann zu einem Versagen des Newton Verfahrens kommen.

· Die hinreichende Konvergenzbedingung muss für den Startwert und jeden weiteren

x-Wert

x

,

x

,

x

x

gelten, so dass mit Sicherheit gewährleistet ist, dass sich die

0

1

2

n

Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern.

f

(

x

)

f

(

x

) <

[

f

(

x

)]

1

2

---

Beispiel

3

x

+ 2

x

+1

3

2

x

- 3

x

+ 6

x

+ 2

( 3

2

2

x

- 6

x

+15

x

+ 2)

f(x) =

f´(x) = -

f´ (x) =

4

(

x

+ )

1

(

x

+ )5

1

(

x

+ )6

1

Der Startwert sollte so nah wie möglich an der gesuchten Nullstelle liegen, um ein Versagen

des Verfahrens zu verhindern.

Startwert x0 = -0,5

- 2 48

Die Konvergenzbedingung ist mit [

=

< für

x

erfüllt.

60]

02666667

,

0

1

2

0

f

(

xn

1-)

Der Startwert wird nun in die Iterationsvorschrift

x

=

x

-

eingesetzt.

n

n

1

-

f

(

xn

1-)

n

Xn-1

f(Xn-1)

f ´(Xn-1)

Xn

1

-0,5

-2

60

-0,46666667

2

-0,46666667 -0,432128906 36,0351563

-0,4546748

3

-0,4546748

-0,0378148

29,9059035 -0,45341034

4

-0,45341034 -0,000371905 29,3194419 -0,45339765

5

-0,45339765 -3,69715E-08 29,3136127 -0,45339765

Nach 6 Iterationsschritten steht das Ergebnis fest.

---

x = 0,45339765

Beispiel

f(x) = cosx + 2sinx f `(x) = 2cos x ­ sin x

x

[ ]

5

;

0

Wie aus dem Graphen ersichtlich liegt die gesuchte Nullstelle ca. bei x = 2,5

f

(

xn

1-)

Der Start wert wird nun in die Iterationsvorschrift

x

=

x

-

eingesetzt.

n

n

1

-

f

(

xn

1-)

(

cos 5

,

2 )+ 2sin( 5

,

2 ) - 0,80114362 + 1,19694429

x

= 5

,

2 -

=

=

1

2

(

cos 5

,

2 )- sin( 5

,

2 )

2,67984732

-1,60228723 - 0,59847214

cos(2,67984732 ) + 2sin( 67984732

,

2

) - 0,8952763 + 0,89102268

x

= 2,67984732 -

=

=

2

2cos(2,67984732 )- sin( 67984732

,

2

)

67794504

,

2

-1,79055259 - 0,44551134

cos(2 67794504

,

)+ 2sin( ,267794504) - 89442719

,

0

+ 8944272

,

0

x

= 67794504

,

2

-

=

=

3

2cos( ,

2 67794504 )- sin( 67794504

,

2

)

67794504

,

2

- ,

1 78885438 - ,

0 4472136

Ergebnis: x = 2,67794504

---

Die gesuchte Nullstelle ist bereits nach der dritten Näherung bis auf die achte Stelle hinterm

Komma genau.

Schlechtes Beispiel

f(x) = 4 3

x

-12 2

x

+ 12

x

- 3 f´(x) = 12 2

x

- 24

x

+12 f´´(x) = 24

x

- 24

Nullstelle x = 0,37003948

f

(

xn

1-)

Startwert

x

= 1,5 in Näherungsformel einsetzen

x

=

x

-

0

n

n

1

-

f

(

xn

1-)

n

Xn-1

f(Xn-1)

f ´(Xn-1)

Xn

1

1,5

1,5

3

1

2

1

1

0

#DIV/0!

Überprüfung mit der Konvergenzbedingung

f

(

x

)

f

(

x

)

[

f

(

x

)] <1

2

f(1,5) = 1,5 f´(1,5) = 3 f´´(1,5) = -12

5

,

1 (-12)

-18

(

=

= < Konvergenzbedingung ist nicht erfüllt, Startwert ist

3)

2 1

2

9

ungeeignet.

Setzt man dagegen den Startwert

x

= 0,5 in die Formel der Konvergenzbedingung ein, so

0

erhält man

f(0,5) = 0,5 f´(0,5) = 3 f´´(0,5) = -12

f

(

x

)

f

(

x

)

5

,

0 (-12)

[

- 6

2

f

(

x

)]

<1

2

(

=

= <

3)

1

2

9

3

---

Konvergenzbedingung ist für

x

= 0,5 erfüllt. Startwert ist geeignet.

0

Beispiel

Die Funktion f(x)=x³-2x-5 soll mit Hilfe des Newton Verfahren gelöst werden.

Suche nach geeignetem Startwert.

x-Wert

0

1

2

3

f(x) =

-5

-3

-1

16

Durch den Nullstellensatz wissen wir dass im Intervall [2; 3] eine Nullstelle liegen muss.

Ersten Startwert

x

= 5

,

2 in die Newtonsche Iterationsvorschrift einsetzen.

0

2 5

, 625

,

5

Die Konvergenzbedingung ist mit

[

=

< für

x

erfüllt.

15]

,

0 0625 1

2

0

f

(

xn

1-)

x

=

x

-

n

n

1

-

f

(

xn

1-)

n

Xn-1

f(Xn-1)

f`´(Xn-1)

Xn

1

2,5

5,625

16,75

2,1641791

2

2,1641791 0,80794513 12,0510136 2,09713536

3

2,09713536 0,02888172 11,1939301 2,09455523

4

2,09455523 4,1865E-05 11,1614849 2,09455148

5

2,09455148 8,8407E-11 11,1614377 2,09455148

Bereits nach dem vierten Iterationsschritt steht die Nullstelle bis auf die achte Stelle hinter

dem Komma fest. Würde der erste Startwert x=10 lauten bräuchte man 8 Iterationsschritte um

auf die gleiche Genauigkeit zu kommen.

Um auch ohne Zeichnung festzustellen, ob noch andere Nullstellen vorhanden sind, trennen

wir x - 2,09455148 mit Hilfe der Polynomdivision ab.

( 3

x

-2

x

-5):(

x

- 09455148

,

2

) 2

=

x

+ 09455148

,

2

x

+ 3871459

,

2

---

Die neue Funktion lautet x² + 2,09455148x + 2,3871459

Keine weitere Nullstelle vorhanden, da diese Funktion nie null werden kann.

Das Newtonsche Tangentenverfahren

(Newton Verfahren)

Beim Newtonschen Tangentenverfahren geht man von der Überlegung aus, dass die im

Kurvenpunkt P0 (y0 /x0) errichtete Kurventangente, einen Schnittpunkt mit der x-Achse

besitzt, der im allgemeinen eine bessere Näherung für die gesuchte Nullstelle hat als der

Startwert.

Durch Umstellung der Tangentengleichung nach x erhält man den Schnittpunkt mit der

x-Achse

Y

-

Y

0 =

f

(

x

0)

X

-

X

0

0 -

y

y

f

(

x

0 )

0

0

=

f

(

x

x

=

x

-

x

=

x

-

0 )

x

-

x

0

f

(

x

0

f

(

x

0 )

0 )

0

Die errechneten Näherungswerte werden dann als Startwerte verwendet, bis das Verfahren

nach n-Schritten zur n-ten Näherung xn führt.

f

(

xn

1-)

x

=

x

-

n

n

1

-

f

(

x

n

1

- )

---

Iterationsvorschrift von Newton

Hinweise auf das Newton Verfahren

· Die hinreichende Konvergenzbedingung muss für den Startwert und jeden weiteren

x-Wert

x

,

x

,

x

x

gelten, so dass mit Sicherheit gewährleistet ist, dass sich die

0

1

2

n

Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern.

f

(

x

)

f

(

x

) <

[

f

(

x

)]

1

2

· Die Funktion y = f(x) muss in dem Intervall der gesuchten Nullstelle, stetig und

mindestens zweimal differenzierbar sein.

· Die erste Ableitung

f

(

x

) 0

· Das Newtonsche Tangentenverfahren führt in der Regel umso schneller zum Erfolg,

je genauer die Startwerte sind. Geeignete Startwerte können durch den Nullstellensatz

f

(

A

) > 0 und

f

(

B

) < 0

oder

f

(

A

) < 0 und

f

(

B

) > 0

oder durch Zeichnen des Funktionsgraphen ermittelt werden.

· Dagegen ungeeignet, sind Startwerte in deren Umgebung Wendestellen oder

Extremstellen vorhanden sind.

---

6.

Literaturverzeichnis

Verwendete Fachbücher

· ,,Einführung in die Höhere Mathematik" von Karl Strubecker Oldenbourg Verlag

· ,,Mathematik 12 Analysis" von H. Schneider und G. Stein Winklers Verlag

· ,,Mathematik für Ingenieure" von Lothar Papula Vieweg Verlag

· ,,Mathematisch Formeln und Definitionen" Bayerischer Schulbuch-Verlag

Verwendete Internetseiten

· http://www.hausarbeiten.de/rd/faecher/hausarbeit/mat/4058.html

· http://sites.inka.de/picasso/Dueser/page.htm

· http://www.mbfosbos.odn.de/fachbereiche/mathe/daten/referate/ref_newton.pdf

---