Impedanzmessung mit einem Sechstor-Reflektometer

Inhaltsverzeichnis

1 EINLEITUNG 2

2 PRINZIP DER SECHSTORMESSUNG 2

2.1 LEITUNGEN 2

2.1.1 Näherungen für hohe Frequenzen 7
2.1.2 Smith-Diagramm (Smith-Chart) 13

2.2 IDEALER FALL DER REFLEXIONSFAKTORERMITTLUNG 15

2.2.1 Möglichkeiten zur Impedanzmessung 15
2.2.2 Berechnung des Reflexionsfaktors 15

2.2.2.1 Berechnung mit drei Spannungsmessungen 17

2.2.2.2 Berechnung mit vier Spannungsmessungen 18

3 AUFBAU EINES SECHSTORMEßPLATZES 21

3.1 REALER FALL DER REFLEXIONSFAKTORERMITTLUNG MIT DER SECHSTORMESSUNG 21

3.1.1 Der Richtkoppler (Directional Coupler) 22

3.1.1.1 Hohlleiter 22

3.1.1.2 TEM- / Lecherleitung 26

3.1.2 Meßempfänger 27

3.1.2.1 Direkte Messung 28

3.1.2.2 Durchgangsmessung 28

3.2 ARBEITSWEISE UND AUFBAU DES SECHSTOR-MEßPLATZES 28

3.2.1 Methode 1 (Messung mit zwei Richtkopplern und zwei Meßsonden) 29

3.2.1.1 Aufbau und Arbeitsweise 29

3.2.1.2 Bestimmung der Kalibrationskonstanten 31

3.2.1.3 Bestimmung des komplexen Reflexionsfaktor 32

3.2.1.4 Schlußfolgerung und Bestimmung der Meßungenauigkeit 35

3.2.2 Methode 2 (Messung mit einem Richtkoppler und drei Meßsonden) 38

3.2.2.1 Aufbau und Arbeitsweise 38

3.2.2.2 Kalibrierung des Sechstors 39

3.2.2.3 Durchführung von Reflexionsfaktormessungen 43

3.2.2.4 Schlußfolgerung 44

3.3 ABARTEN UND ABWANDLUNGEN DER SECHSTORMETHODE 45

4 VERGLEICHENDE MESSUNG AN EINEM SECHSTOR-REFLEKTOMETER UND
NETZWERKANALYSER 46

4.1 AUFBAU DES SECHSTOR-MEßPLATZES 46

4.1.1 Durchführung der Messung 47
4.1.2 Meßergebnisse 50

4.2 MESSUNG MIT EINEM NETZWERKANALYSER 50

4.2.1 Meßergebnisse 52

4.3 VERGLEICH DER MEßERGEBNISSE 52

4.4 BEURTEILUNG DER MEßERGEBNISSE 56

5 LITERATURVERZEICHNIS 57

6 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 58

7 SACHWÖRTERVERZEICHNIS 59

8 ANHANG : ANLEITUNG ZUR DURCHFÜHRUNG DES SECHSTORVERSUCHES 60

1

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Impedanzmessung mit einem Sechstor-Reflektometer

1 Einleitung

Es wird der Zusammenhang zwischen komplexer Impedanz und Reflexionsfaktor

aufgezeigt. Dazu wird auf die allgemeine Leitungstheorie und im speziellen für den

Hochfrequenzbereich eingegangen. Ziel ist es, die Impedanz bzw. den Reflexionsfaktor

von unbekannten Leitungsabschlüssen zu ermitteln.

Dazu wird das theoretische Prinzip der Sechstor-Methode hergeleitet, sowie ein realer

Meßplatz vorgestellt. Es wird gezeigt, daß es möglich ist mit skalaren Messungen eine

komplexe Größe zu bestimmen.

Anschließend werden vergleichende Messungen an einem Sechstor-Meßplatz und an

einem Netzwerkanalyser vorgenommen und ausgewertet.

2 Prinzip der Sechstormessung

Die

Sechstormessung

hat

die

Aufgabe

durch

skalare

Messungen

komplexe

Reflexionsfaktoren bzw. Impedanzen zu ermitteln. Dazu werden entlang einer Leitung

mehrere Messungen durchgeführt. Um die Zusammenhänge zu verdeutlichen, werden

zunächst einige Begriffe und Grundlagen der Leitungstheorie erläutert.

2.1 Leitungen

Wird ein Signalgenerator an eine Leitung angeschlossen wird, dann sendet er eine Welle

darauf aus (hinlaufende Welle). Sie erzeugt auf jedem Abschnitt der Leitung

Wechselspannungen gleicher Frequenz. Ein Ersatzschaltbild ist in Bild 1 dargestellt.

Es werden hier nur Betrachtungen im eingeschwungenen Zustand gemacht. Außerdem

wird in dem hier angeführtem Leitungsabschnitt ausschließlich auf Lecher- bzw. TEM-

Wellen eingegangen (TEM : Transversal Electric Magnetic Waves). Das sind Wellen,

deren Felder (

H

und

E

) sich ausschließlich in der Querschnittsebene befinden. Sie

besitzen also keine Feldanteile in Ausbreitungsrichtung. Typische Beispiele für TEM-

Leitungen sind Zweidrahtleitungen, Mikrostreifenleitungen oder Koaxialleitungen.

Von diesem Wellentyp sind die Hohlleiterwellen zu unterscheiden. Sie haben in

Ausbreitungsrichtung

elektrische

oder

magnetische

Feldkomponenten.

Für

die

Berechnung solcher Leiter werden fiktive Ströme und Spannungen eingeführt, so daß sie

genauso wie Lecherleitungen behandelt werden können.

2

---

Impedanzmessung mit einem Sechstor-Reflektometer

x

l

I

(x = 0)

I (x)

I

i

L

V (x = 0)

i

Z C

V

V

(x)

V

L

Z L

(x+ x)

I

(x = 0)

r

V (x = 0)

dx

r

R

L

i

___

i

i = i +

dx

2

1

1

x

u

___

v

G

C

v = v +

dx

1

2

1

x

dx

Bild 1: Ersatzschaltbild eines kurzen Leitungsabschnitts

Wählt man einen kurzen Leitungsabschnitt

x

, so ergeben sich die sogenannten

Leitungsbeläge:

Widerstandsbelag :

R

(Widerstand geteilt durch Länge)

R

′ =

l

Induktivitätsbelag :

L

(Induktivität geteilt durch Länge)

L

′ =

l

Leitwertbelag :

G

(Leitwert geteilt durch Länge)

G

′ =

l

Kapazitätsbelag :

C

(Kapazität geteilt durch Länge)

C

′ =

l

3

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Impedanzmessung mit einem Sechstor-Reflektometer

Bei einer

homogenen

Leitung sind diese Werte längs der Leitung konstant. Daher

werden die Beläge auch Leitungskonstanten genannt. Sie sind aber nicht hinsichtlich der

Frequenz konstant.

Ströme und Spannungen auf der Leitung sind Funktionen der Zeit t und des Ortes x. Aus

Bild 1 ergeben sich die Differentialgleichungen der elektrischen Leitung :

v

§

= -

R

′+

L

′

i

x

©

¨

·

t

¹¸

( 2-1)

i

§

= -

G

′+

C

′

u

x

©

¨

·

t

¹¸

( 2-2)

In diesem System partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung ist die Spannung mit dem

Strom

verkoppelt

und

umgekehrt.

Die

partikuläre

Lösung

entspricht

dem

eingeschwungenen Zustand. Unter der Annahme, daß auf der Leitung nur eine Frequenz

besteht, ergeben sich die Differentialgleichungen in komplexer Form für

V

und

I

im

eingeschwungenen Zustand :

dU

1 = -(

R

′+

j L

′)

I

dx

1

( 2-3)

d I

1 = -(

G

′+

j C

′)

V

dx

1

( 2-4)

dI

Wird Gleichung ( 2-3) nach d

z

differenziert, und

1

aus Gleichung ( 2-4) eingesetzt, so

dx

erhält man :

d

2

V

1 = +′ ′ +′ ′

2

(

R j L

)(

G j C

)

V

dx

1

( 2-5)

Dieses ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung und kann mit dem Ansatz

V

c e z

= integriert werden. Durch Lösen und Einsetzen erhält man mit den noch

unbestimmten Konstanten

c

1 und

c

2

V

c e

-

x

c e

x

= 1

+ 2

( 2-6)

und

4

---

Impedanzmessung mit einem Sechstor-Reflektometer

= (

R

+′

j

L

)′(

G

+′

j

C

)′ = +

j

( 2-7)

Dabei ist der

Ausbreitungskoeffizient

, ist der

Dämpfungskoeffizient

und ist der

Phasenkoeffizient.

Der Strom wird nach demselben Prinzip ermittelt :

I Z

c e

-

x

c e

x

= 1

- 2

C

( 2-8)

Die Abkürzung

ZC

steht für den Wellenwiderstand der Leitung (Characteristic

Impedance) und ergibt sich :

(

R

′+

j

L

)′

Z

=

C

(

G

′+

j C

′)

( 2-9)

Setzt man nun für

x

die Leitungslänge

l

ein, so erhält man für den Strom bzw. die

Spannung am Leitungsende :

V

=

c

e

-

l

+

c

e l

2

1

2

( 2-10)

I

Z

=

c

e

-

l

-

c

e

l

2

C

1

2

( 2-11)

Durch Umformung lassen sich dann die Konstanten

c

1 und

c

2 berechnen und in die

Gleichungen ( 2-6) und ( 2-8) einsetzen.

1 (

2

2

) (

l

-

x

) 1 (

-

l

-

x

( ) =

+

+ 2 - 2

C

)

(

)

V x

V

I

Z

e

V

I

Z

e

C

2

2

( 2-12)

1 §

V

2

· ( -

1 § 2

·

l x

)

V

- (

l

-

x

)

I

(

x

) =

¨

+

I

2¸

e

+ ¨

-

I

2¸

e

2 ©

Z

¹

2 ©

Z

¹

C

C

( 2-13)

Es läßt sich also feststellen, daß die Ausbreitung der Ströme und Spannungen auf der

Leitung das Bild der Überlagerung zweier Wellenzüge darstellt. Das ist zum einen die

hinlaufende Welle (

V

i incident wave), die vom Leitungsanfang wegläuft (in positiver x-

Richtung), und die rücklaufende oder reflektierte Welle (

V

r reflected wave), die vom

Leitungsende zum Leitungsanfang läuft (negative x-Richtung). In Bild 2 ist ein möglicher

Verlauf der Wellen dargestellt. Es ist zu erkennen, daß die Amplitude der hinlaufenden

5

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Impedanzmessung mit einem Sechstor-Reflektometer

Welle exponential mit

e-

x

abnimmt. Am Leitungsende (x =

l

) wird die Welle bei

Nichtanpassung (

Z

L

Z

C) reflektiert, und die Amplitude der dann rücklaufenden Welle

nimmt weiter mit

e

x

ab.

V

-

x

e

x

x = l

Bild 2 : Beispiel einer Signalausbreitung auf einer homogenen Leitung [7]

Setzt man für die beiden Spannungen der Wellen am Leitungsanfang (x = 0) die Begriffe

Vi0

und

Vr0

ein, dann ergibt sich für die beiden Wellen :

hinlaufende Welle

rücklaufende Welle

V x

V

e x

( ) =

V

x

V

e

x

( ) =

0

0

-

i

i

r

r

( 2-14)

( 2-16)

V

V

I x

i

0

e x

( ) =

-

r

0

x

i

I

(

x

) = -

e

Z

r

C

Z C

( 2-15)

( 2-17)

Die Spannung bzw. den Strom auf der Leitung an der Stelle x läßt sich durch

Überlagerung der beiden fortschreitenden Wellen ermitteln :

6

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Impedanzmessung mit einem Sechstor-Reflektometer

-

V

(

x

) =

V

(

x

) +

V

(

x

) =

V

0

e x

+

V

0

e x

i

r

i

r