Michael Heinemann

DAX und Dow Jones

Mathematik - Leistungskurs

Neues Gymnasium Oldenburg

Abiturjahrgang 2005

Schule des Leistungskurses: Neues Gymnasium Oldenburg
Stammschule: Herbartgymnasium Oldenburg
12. Jahrgang, Abiturjahrgang 2005
Mathematik - Leistungskurs
Autor: Michael Heinemann
Thema: DAX und Dow Jones
 Abgabetermin der Facharbeit: 22. März 2004

1. Inhaltsverzeichnis

1. Inhaltsverzeichnis 3
2. Vorwort 5
3. Geschichte des DAX und des Dow Jones 6

A. Chronik 6
B. Die Entstehung des Dow Jones 7
C. Die Entstehung des Deutschen Aktien Indexes 8

4. Börsenlexikon 9

Index / Aktienindex 9
Marktkapitalisierung 9
Durchschnittswerte, gewichteter und ungewichteter Börsenindex 9
Chart / Linienchart 10

5. Die allgemeine Berechnung von Indizes 12

A. Verschiedene Berechnungsweisen 12
Die Berechnung von Durchschnitten (,,Averages") 12
Die Berechnung von ungewichteten Indizes 13
Die Berechnung von gewichteten Indizes 14
Die Berechnung der Wertindexformel 15
Die Berechnung der Laspeyres - Formel 16
Die Berechnung der Paasche - Formel 16
B. Auswirkungen der unterschiedlichen Berechnungen 17
Durchschnitt 18
Ungewichteter Index 18
Gewichteter Index 18
Wertindexformel 18
Laspeyres - Formel 19
Paasche - Formel 19
Vergleich 20

6. Die Berechnung von DAX und Dow Jones 21

A. Die Berechnung des Dow Jones Industrial Average 21
Die Formel zur Berechnung 21
Beispielberechnung vom 4. März 2004 23
B. Die Berechnung des Deutschen Aktien Indexes 24
Die Formel zur Berechnung 24
Beispielberechnung vom 20. Februar 2004 25
C. Die langfristige Entwicklung der Indizes 27

7. Vor- und Nachteile der Berechnung des DAX und Dow Jones, 28

8. Schlussbemerkung 30

9. Literatur- und Abbildungsverzeichnis 32

A. Bücher und Zeitschriften 32
B. Informationsmaterialen der Banken und der Deutschen Börse 32
C. Internetseiten 33
Lexika 33
Offizielle Internetseiten 33
Sonstige Internetseiten 33
D. Quellen der Zitate 34
E. Abbildungsverzeichnis 34

2. Vorwort

,,Die meisten Leute interessieren sich für Aktien, wenn es alle anderen tun. Die beste Zeit ist aber, wenn sich niemand für Aktien interessiert."¹

Warren Buffet

Das Thema der Arbeit ,,DAX und Dow Jones" klingt in erster Linie nach Wirtschaftslehre statt nach Mathematik, und in der Tat sind große Teile dieser Facharbeit nicht mathematisch. Dennoch sind beide Börsenindizes, wie fast alles in der modernen Wirtschaft, ohne die dahinterstehende Mathematik undenkbar. Auch wenn Aktien heutzutage fast ein fester Bestandteil der Gesellschaft sind und beinahe jeder schon einmal etwas vom Deutschen Aktien Index und Dow Jones gehört hat, interessiert es die meisten anscheinend weniger, wie die Aktienkurse und Indizes zustande kommen.
Die erhältliche Literatur und erst Recht die Informationen der Banken beschränken sich in erster Linie auf Anlagetipps ohne auf die Hintergründe einzugehen. Folglich habe ich die Deutsche Börse angeschrieben (Brief siehe Anlage) und viele Informationen von Webseiten bezogen, so dass es insbesondere beim Dow Jones kaum Zitate gibt, da die Quellen in englischer Sprache verfasst sind.
Die Arbeit geht nach einem geschichtlichen Rückblick auf die Entstehung von DAX und Dow Jones zunächst auf den wirtschaftlich relevanten Teil des Themas ein und führt im zweiten Teil zu den mathematischen Grundlagen der beiden Indizes.

3. Geschichte des DAX und des Dow Jones

,,Ein alter Börsianer kann alles verlieren, nur nicht seine Erfahrung."²

André Kostolany

A. Chronik

1884	Mr. Dow erstellt den ,,Dow Jones Railroad Average"1,2
1889	Das ,,Wall Street Journal" wird erstmals veröffentlicht
1896	Ab dem 26. Mai wird der ,,Dow Jones Industrial Average" (DJIA) berechnet; er startet mit 12 Werten bei 40,94 Zählern
1902	Dow stirbt im Alter von 51 Jahren
1916	Die Anzahl der Werte im DJIA wird auf 20 erhöht
1928	Nochmalige Erhöhung auf 30 Werte; diese Anzahl ist bis heute konstant geblieben Einführung des ,,Dow Divisor", womit der DJIA ein Index wird; der Name mit ,,Average" wird jedoch beibehalten
1929	Der ,,Dow Jones Utilities Average" wird gegründet
1959	Der Hardy-Index wird veröffentlicht (ein Vorgänger des DAX)3
1970	Der ,,Dow Jones Railroad Average" wird in ,,Dow Jones Transportation Average" umbenannt
1981	Der Börsen-Zeitungs-Index erscheint viermal pro Woche (ebenfalls ein Vorgänger des DAX)
1988	Einführung des ,,Deutschen Aktien Index" (DAX) am 1. Juli4
1999	Die Berechnung des DAX erfolgt vollständig elektronisch im 15 Sekunden-Takt

B. Die Entstehung des Dow Jones ⁵

Vor 1884 war es schwierig die Entwicklung der Börsenwerte zu verfolgen, insbesondere wenn man nicht direkt beruflich mit Aktien beschäftigt war. So kamen auch weder Börsenmakler noch Bankangestellte auf die Idee einen Börsenindex zu gründen, sondern der Journalist Charles Henry Dow.
Mr. Dow wurde 1851 in Sterling, USA als Sohn einer Farmerfamilie geboren. Nach verschiedenen Jobs wurde er mit 21 Jahren Journalist bei der ,,Daily Republican" in Springfield, MA. Schon drei Jahre später wechselte er zur Evening Press, wo Mr. Dow und Edward Jones zusammentrafen. Im Jahre 1877 kam Dow zum ,,Providence Journal", hier wurde er Finanzjournalist, berichtete jedoch in erster Linie über die Gold- und Silberfunde in Colorado. Nach der Arbeit für weitere verschiedene Zeitungen gründeten im Jahre 1882 Mr. Dow, Mr. Jones und Charles M. Bergstresser die ,,Dow Jones & Company" - Bergstressers Name war zu lang um in die Firmenbezeichnung aufgenommen zu werden. Zunächst schrieben die Drei handschriftliche Nachrichten über die Aktiengesellschaften. Diese Informationen wurden von Laufjungen im New Yorker Finanzviertel verteilt.
Zwei Jahre nach der Gründung veröffentlichte Mr. Dow den ,,Dow Jones Railroad Average" (DJRA), wobei Mr. Jones mit dem Index eigentlich nichts zu tun hatte. Der erste Aktienindex enthielt neben zwei Transportunternehmen neun Eisenbahnfirmen, da diese zu der Zeit die größten und wichtigsten Aktiengesellschaften waren.
Ab dem 26. Mai 1896 wird der ,,Dow Jones Industrial Average" (DJIA) berechnet, er startet mit 12 Werten bei 40,94 Zählern. 1916 wird die Anzahl der Aktiengesellschaften auf 20 erhöht und 1928 nochmals auf 30. Bei der Anzahl ist es bis heute geblieben, obwohl viele andere Indizes mehr Werte haben und somit breiter gestreut sind. Im Jahre 1928 wird auch der Dow Divisor eingeführt, so dass Aktiensplits sich nicht mehr auf den Dow Jones auswirken. Somit ist der DJIA von einem reinem Durchschnitt (,,Average") zu einem Index geworden, den alten Namen hat man jedoch beibehalten.
Im Jahre 1929 wird der dritte und bis jetzt letzte Dow Jones - Index gegründet, der
DJ Utilities Average. Dieser Index enthält Versorgungsunternehmen wie Wasser- oder Stromgesellschaften, die alle sehr kapitalintensiv sind und somit stark von den Leitzinsen abhängen.
1970 wird die bis heute letzte Änderung an der Struktur der DJ - Indizes vorgenommen, der ,,Dow Jones Railroad Average" wird in ,,Dow Jones Transportation Average" umbenannt, da Eisenbahngesellschaften ihre starke wirtschaftliche Bedeutung eingebüßt haben.

C. Die Entstehung des Deutschen Aktien Indexes ⁶

Der Deutsche Aktienindex (DAX) wird in seiner heutigen Form erst seit dem 1.7.1988 berechnet. Er hat jedoch den Hardy-Index und den Börsen-Zeitungs-Index als Vorgänger, so dass man die Entwicklung des deutschen Aktienmarktes seit 1959 recht gut nachvollziehen kann.
Der DAX wurde von der Frankfurter Wertpapierbörse, der Arbeitsgemeinschaft der Deutschen Wertpapierbörsen und der Börsenzeitung erstellt. Die Berechnung und die Festlegung der Regeln wurden der Deutschen Börse AG übertragen, die auch den Großteil des Handels mit Aktien in Deutschland durchführt.
Der Schlusskurs des Börsen-Zeitungs-Indexes von 1987 wurde als 1000 Zähler definiert. Praktisch bedeutet dies, dass jemand, der 1987/1988 in die DAX - Werte investiert hat, heute ca. viermal soviel Geld besitzt, da der aktuelle Kurs bei ca. 4000 Zählern liegt.
Der Deutsche Aktienindex und Wertpapiere im allgemeinen waren anders als in den USA hierzulande lange Zeit nur etwas für Experten. Mit der Privatisierung der Telekom und der Post wuchs jedoch das öffentliche Interesse am Aktienmarkt und somit wurden auch Neuerungen an der Börse notwendig. So wird der DAX seit 1999 automatisch im 15-Sekunden-Takt vom Computer errechnet.

4. Börsenlexikon

,,Risiko entsteht dann, wenn Anleger nicht wissen, was sie tun."³

Warren Buffet

Index / Aktienindex⁷
Ein Index (lat. Anzeiger) gibt die relative Veränderung von verschiedenen Werten (z.B. Aktien, Lebenshaltungskosten, etc.) gegenüber einem festgelegtem Zeitpunkt an. Im Börsenumfeld ist Index meistens die Kurzbezeichnung für Aktienindex, Rentenindex, etc.
Aktienindizes sind Kennziffern von einer Auswahl von Aktien. Die in Deutschland bekanntesten Aktienindizes sind der DAX und der Dow Jones mit je 30 Aktien.

Marktkapitalisierung ⁸

Die Marktkapitalisierung einer Aktiengesellschaft ist das Produkt aus Kurswert und der Anzahl der Aktien.
Die Marktkapitalisierung ist wichtig und wird häufig von Börsenneulingen übersehen, denn nicht der Kurswert einer einzelnen Aktie, sondern der Marktwert der gesamten Aktiengesellschaft (=Marktkapitalisierung) ist für den Preis eines Unternehmens entscheidend.

Aktien-gesellschaften	Kurswert einer Aktie	Anzahl der Aktien	Marktkapitalisierung
Alpha	5,00	200	1000,00
Beta	10,00	20	200,00
Gamma	20,00	10	200,00
Delta	50,00	10	500,00

An diesem Beispiel wird deutlich, dass auch vermeintlich ,,teure" Aktiengesellschaften (hier Delta) nicht zwangsläufig eine hohe Marktkapitalisierung haben.

Durchschnittswerte, gewichteter und ungewichteter Börsenindex ⁹

Durchschnittswerte (,,Averages") sind die einfachste Art der Berechnung von Börsenmärkten und im strengeren Sinne keine Indizes.
Ungewichtete und gewichtete Indizes haben zusätzlich zum Durchschnittswert einen Divisor (Korrekturfaktor), damit Vorgänge wie Aktiensplits, Dividendenzahlungen etc. sich nicht auf den Index auswirken. Ungewichtete Indizes nehmen den Kurswert einzelner Aktien zur Berechnung, während gewichtete von der Marktkapitalisierung ausgehen und somit den Markt besser darstellen.
Die genaue Berechnung wird in ,,6. Die Berechnung von DAX und Dow Jones dargestellt".

Chart / Linienchart ¹⁰

Charts (engl. grafische Darstellung) stellen die Entwicklung von Kursen (z.B. Aktien- oder Indexkurse) und den Börsenumsatz grafisch dar. Dies geschieht über verschieden lange Zeiträume und zum Teil mit zwei verschiedenen Kursen, um diese vergleichen zu können (siehe z.B. Deckblatt).
Der Linienchart berücksichtigt bei der Darstellung nur die Schlusskurse (der letzte Aktienkurs an einem Tag), somit werden Tagesschwankungen nicht sichtbar.
Folgende Charts zeigen den Verlauf des Monats Februar im Jahr 2004.

5. Die allgemeine Berechnung von Indizes

,,Wo viel verloren wird, ist manches zu gewinnen."⁴

Goethe

A. Verschiedene Berechnungsweisen

Bei der Wertindexformel, dem Laspeyres - Index und dem Paasche - Index wird hier nur die Berechnungsweise vorgestellt und bei ,,B. Auswirkungen der unterschiedlichen Berechnungen" ein Beispiel gegeben, da zur Berechnung Veränderungen notwendig sind.

Die Berechnung von Durchschnitten (,,Averages") ¹¹

Mit einem Durchschnitt (,,Average") von Aktien ist das arithmetische Mittel gemeint, das heißt, dass die Kurswerte der Aktien addiert werden und durch die Anzahl der Werte dividiert werden.

Aktien-gesellschaften	Kurswert einer Aktie	Anzahl der Aktien	Marktkapitalisierung
Alpha	5,00	200	1000,00
Beta	10,00	20	200,00
Gamma	20,00	10	200,00
Delta	50,00	10	500,00

Wenn man einen ungewichteten Index aus obigen Aktien bilden will, muss man also zunächst die Kurswerte der einzelnen Wertpapiere addieren

5 + 10 + 20 + 50 = 85

und durch die Anzahl der Aktiengesellschaften dividieren

85 / 4 = 21,25

Diese Durchschnittswerte sind sehr leicht zu berechnen und wurden deshalb auch benutzt, als es noch keine Computer oder andere technische Hilfsmittel gab.

D(t) =	Durchschnitt (arithmetisches Mittel) zum Zeitpunkt t
KWit =	Kurswert der Aktie i zum Zeitpunkt t
A =	Anzahl der Aktiengesellschaften

Die Berechnung von ungewichteten Indizes ¹²

Die reinen Averages haben den Nachteil, dass durch Änderungen wie Aktiensplits der Index verändert werden kann, ohne dass dies etwas am Wert der Gesellschaften oder dem Vermögen der Anleger ändern würde. Darum hat man zusätzlich einen Divisor eingeführt. Hierdurch wurde der Durchschnitt zum ungewichteten Index.
In unserem Beispiel hat Aktiengesellschaft Delta einen Aktiensplit im Verhältnis 1 : 5 durchgeführt. Das bedeutet, dass aus einer Aktie fünf geworden sind, ohne das sich etwas am Gesellschaftsvermögen und somit an der Marktkapitalisierung geändert hat.

Aktien-gesellschaften	Kurswert einer Aktie	Anzahl der Aktien	Marktkapitalisierung
Alpha	5,00	200	1000,00
Beta	10,00	20	200,00
Gamma	20,00	10	200,00
Delta	10,00	50	500,00

Berechnet man nun wieder den ungewichteten Index, stellt man fest, dass sich der Durchschnitt (von 21,25 auf 11,25) fast halbiert hat.

5 + 10 + 20 + 10 = 45
45 / 4 = 11,25

Mit Hilfe des Divisors kann man dies jedoch wieder ausgleichen. Ist der Divisor beim ersten Beispiel 1, so muss er beim zweiten ca. 0,5294 sein.

11,25 / 0,5294 = 21,25

Dieser Divisor muss bei jeder Änderung am Index neu berechnet werden, also beim Wechsel der Gesellschaften, aber auch bei Vorgängen wie Aktiensplits oder Dividendenzahlungen.
Hierdurch hat man eine bessere Kontinuität erreicht, jedoch entspricht die Gewichtung der Aktiengesellschaften im ungewichteten Aktienindex nicht ihrem wahren Wert.

UI(t) =	Ungewichteter Index zum Zeitpunkt t
KFt =	Korrekturfaktor zum Zeitpunkt t
KWit =	Kurswert der Aktie i zum Zeitpunkt t
A =	Anzahl der Aktiengesellschaften

Die Berechnung von gewichteten Indizes ¹³

Um den Markt besser darzustellen, wird im gewichteten Index der Durchschnittswert der Marktkapitalisierung gebildet.

Aktien-gesellschaften	Kurswert einer Aktie	Anzahl der Aktien	Marktkapitalisierung
Alpha	5,00	200	1000,00
Beta	10,00	20	200,00
Gamma	20,00	10	200,00
Delta	50,00	10	500,00

1000 + 200 + 200 + 500 = 1900
1900 / 4 = 475

Auch hier wird wieder ein Divisor eingesetzt um Vergleichbarkeit zu früher herzustellen.

GI(t) =	Gewichteter Index zum Zeitpunkt t
KFt =	Korrekturfaktor zum Zeitpunkt t
MWit =	Marktwert der Aktiengesellschaft i zum Zeitpunkt t
A =	Anzahl der Aktiengesellschaften

Die Berechnung der Wertindexformel ¹⁴

Die Wertindexformel wird berechnet, indem die Summe der Marktkapitalisierungen aller Aktiengesellschaften zu dem aktuellen Zeitpunkt durch die Summe der Marktkapitalisierungen aller Aktiengesellschaften zu dem Basispunkt dividiert wird. Um einen ,,geraden" Anfangswert zu erhalten multipliziert man das Ergebnis noch mit einer Basis.
Hierdurch kann man die Veränderung der Aktien gegenüber dem Basiszeitpunkt (beliebig gewählter Zeitpunkt) bestimmen.

WI(t) =	Wertindex zum Zeitpunkt t
KWit / i0 =	Kurswert der Aktie i zum Zeitpunkt t bzw. zum Basiszeitpunkt
Ait / i0 =	Anzahl der Aktien von Aktiengesellschaft i zum Zeitpunkt t bzw. zum Basiszeitpunkt
B =	Basis

Die Berechnung der Laspeyres - Formel ¹⁵

Der Laspeyres - Index wurde nach dem Statistiker Ernst Louis Etienne Laspeyres benannt und diente ursprünglich zur Berechnung der Inflation.
Zur Berechnung wird die Summe der Produkte aus jeweiligem aktuellem Kurswert und der alten Anzahl an Aktien dieses Unternehmens durch die Summe der alten Marktkapitalisierungen dividiert.

LI(t) =	Laspeyres - Index zum Zeitpunkt t
KWit / i0 =	Kurswert der Aktie i zum Zeitpunkt t bzw. zum Basiszeitpunkt
Ai0 =	Anzahl der Aktien von Aktiengesellschaft i zum Basiszeitpunkt
B =	Basis

Die Berechnung der Paasche - Formel ¹⁶

Der Paasche - Index ist nach dem Wirtschaftswissenschaftler Hermann Paasche benannt. Dieser Index wird berechnet, indem man die Summe der aktuellen Marktkapitalisierungen durch die Summe der Produkte aus dem alten Kurswert und der aktuellen Anzahl der Aktien dividiert.

PI(t) =	Paasche - Index zum Zeitpunkt t
KWit / i0 =	Kurswert der Aktie i zum Zeitpunkt t bzw. zum Basiszeitpunkt
Ai0 =	Anzahl der Aktien von Aktiengesellschaft i zum Basiszeitpunkt
B =	Basis

B. Auswirkungen der unterschiedlichen Berechnungen

Wenn in unserem ersten Beispiel die Aktiengesellschaften Gamma und Delta je einen Aktiensplit im Verhältnis 2 : 1 vornehmen und danach die Aktien Alpha und Beta um je 10% steigen, hat dies bei unterschiedlichen Berechnungsweisen einen unterschiedlichen Einfluss auf den Index. Hierbei geht man davon aus, dass alle anderen Faktoren gleich geblieben sind.
Bei der Berechnung von Wertindexformel, Laspeyres- und Paasche - Indexformel wurde auf die Basis verzichtet, da keine Reihe von Werten (wie z.B. in einem Chart) erstellt werden soll, sondern die unterschiedlichen Auswirkungen der Berechnung gezeigt werden sollen.

Aktien-gesell-schaften	Alter Kurswert	Neuer Kurswert	Alte Anzahl der Aktien	Neue Anzahl der Aktien	Alte Markt-kapital-isierung	Neue Markt-kapital-isierung
Alpha	5,00	5,50	200	200	1000,00	1100,00
Beta	10,00	11,00	20	20	200,00	220,00
Gamma	20,00	10,00	10	20	200,00	200,00
Delta	50,00	25,00	10	20	500,00	500,00

Durchschnitt

5,50 +11,00 + 10 + 25 = 51,50
51,50 / 4 = 12,875

Die Aktiensplits und die Wertsteigerung der beiden Aktien um je 10% bedeuten einen Abfall des Durchschnitt von ca. 39,41% (von 21,25 auf 12,875).

Ungewichteter Index

Angenommen der ungewichtete Index hatte vor dem Aktiensplit
den Korrekturfaktor 1, so hat er nach dem Aktiensplit den Korrekturfaktor 0,59.

5,50 + 11,00 + 10 + 25 = 51,50
51,50 / 4 = 12,875
12,875 / 0,59 = 21,8875

Beim ungewichteten Index ergibt sich ein Anstieg um 3% (von 21,25 auf 21,8875).

Gewichteter Index

1100 + 220 + 200 + 500 = 2020
2020 / 4 = 505

Die Wertsteigerung bedeutet im gewichteten Index einen Anstieg um ca. 6,3% (von 475 auf 505).

Wertindexformel

Die Summe der neuen Marktkapitalisierungen

1100 + 220 + 200 + 500 = 2020

Die Summe der alten Marktkapitalisierungen

1000 + 200 + 200 + 500 = 1900

Division der Werte

2020 / 1900 = 1,06

Die Wertindexformel errechnet einen Anstieg um ca. 1,06 Prozent.

Laspeyres - Formel

Summe der Produkte von neuen Kurswerten und der alten Anzahl von Aktien

5,50 * 200 + 11,00 * 20 + 10,00 * 10 + 25,00 * 10 = 1670

Die Summe der alten Marktkapitalisierungen

1000 + 200 + 200 + 500 = 1900

Division der Werte

1670 / 1900 = 0,879

Durch den Aktiensplit entsteht ein Indexsprung, so dass die Werte nur bedingt miteinander vergleichbar sind.

Paasche - Formel

Die Summe der neuen Marktkapitalisierungen

1100 + 220 + 200 + 500 = 2020

Die Summe der Produkte aus alten Kurswerten und neuer Gewichtung

5,00 * 200 + 10,00 * 20 + 20,00 * 20 + 50,00 * 20 = 2600

Division der Werte

2020 / 2600 = 0,7769

Auch bei der Paasche - Formel tritt ein Kurssprung auf.

Vergleich

Bei Wertindex, Laspeyres- und Paasche - Formel gibt es keine alten und neuen Werte, da diese Indizes nur die relative Veränderung angeben. Die Werte sind je auf zwei Nachkommastellen gerundet. Wo Indexsprünge auftreten, wurde dies durch Kursivdruck kenntlich gemacht.

Berechnungsweise	Alter Wert	Neuer Wert	Prozentuale Veränderung
Durchschnitt	21,25	12,88	-39,41
ungewichteter Index	21,25	21,89	3
Gewichteter Index	475	505	6,3
Wertindex - Formel			1,06
Laspeyres - Formel			-12,11
Paasche - Formel			-22,31

Man sieht, dass die verschiedenen Berechnungsmethoden zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. In der Praxis (wie bei der Berechnung des DAX) wird bei den Formeln, bei denen Indexsprünge auftreten, zusätzlich mit einem Verkettungsfaktor gerechnet. Jedoch auch dann ist kein Index perfekt, sondern bietet immer nur eine Näherung an die tatsächliche Veränderung.

6. Die Berechnung von DAX und Dow Jones

,,Es liegt in der Natur des Kapitalismus, dass es periodisch zu Ausbrüchen des Wahnsinns kommt."⁵

John Kenneth Galbraith

A. Die Berechnung des Dow Jones Industrial Average ¹⁷

Der Dow Jones Industrial Average war früher - wie das Wort Average (engl. Durchschnitt) schon besagt - ein reiner Durchschnitt, wurde dann jedoch in einen ungewichteten Index umgewandelt (vgl. 3. Geschichte des DAX und des Dow Jones).

Die Formel zur Berechnung

Der Einfachheit halber sind die Division und der Korrekturfaktor beim Dow Jones Industrial Faktor zusammengefasst, so dass statt der allgemeinen Formel

I(t) =	Index zum Zeitpunkt t
KFt =	Korrekturfaktor zum Zeitpunkt t
KWit =	Kurswert der Aktie i zum Zeitpunkt t
A =	Anzahl der Aktiengesellschaften

folgende gilt:

DJIA(t) =	Dow Jones Industrial Average zum Zeitpunkt t
KWit =	Kurswert der Aktie i zum Zeitpunkt t
Dt =	Divisor (Korrekturfaktor) zum Zeitpunkt t

Beispielberechnung vom 4. März 2004

Zunächst müssen alle Kurswerte addiert werden.

Die Summe muss dann durch den Divisor (Korrekturfaktor) dividiert werden.

1429,41 / 0.13500289 = 10588,00

Dies war der Schlusskurs vom 4. März 2004.

B. Die Berechnung des Deutschen Aktien Indexes ¹⁸

Da der Deutsche Aktien Index (DAX) erst 92 Jahre nach dem Dow Jones Industrial Average gegründet wurde, waren technische Hilfsmittel verfügbar und somit der Weg frei für eine genauere Marktdarstellung (vgl. 3. Geschichte des DAX und des Dow Jones). Man wählte die Laspeyres - Formel zur Berechnung, fügte jedoch Korrekturfaktoren und die Beschränkung auf den Freefloat (die Aktien, die sich in Streubesitz befinden) hinzu.
Die Korrekturfaktoren bestehen aus dem vierteljährlich veränderten Verkettungsfaktor K_T und dem Korrekturfaktor c_it. Diese sorgen dafür, dass es bei Dividendenzahlungen, Aktiensplits und Veränderungen an der Zusammensetzung des DAX nicht zu Indexsprüngen kommt. Somit kann man die Entwicklung der deutschen Aktien seit der Erstellung des Deutschen Aktienindexes 1988 bis heute nachvollziehen.

Die Formel zur Berechnung ¹⁹

KT =	Verkettungsfaktor gültig ab dem Zeitpunkt T
t	Berechnungszeitpunkt des Index
pit	Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t
qit	Anzahl zugrunde liegender Aktien der Gattung i zum Zeitpunkt der letzten Verkettung
ffit	Freefloat - Faktor der Gattung i zum Zeitpunkt der letzten Verkettung
cit	Korrekturfaktor der Gattung i zum Zeitpunkt der letzten Verkettung
pio	Eröffnungskurs der Aktie i zum Basiszeitpunkt
qio	Anzahl der Aktien der Gattung i zum Basiszeitpunkt

Beispielberechnung vom 20. Februar 2004

Zunächst wird berechnet.

		Pit	Ffit	Qit	Ci	pit*ffit*qit*ci
1	adidas-Salomon AG	92.51	1.0000	45,453,750	1.000000	4204926413
2	Allianz AG	104.78	0.8780	384,718,750	1.000000	35392909289
3	Altana AG	47.39	0.4990	140,400,000	1.000000	3320124444
4	BASF AG	41.92	1.0000	570,316,410	1.000000	23907663907
5	Bayer AG	18.70	0.6928	521,735,101	1.000000	6759266058
6	Hypo- und Vereinsbank AG	33.62	0.5340	622,227,918	1.000000	11170907590
7	BMW AG	22.83	0.9382	730,341,920	1.000000	15643271001
8	Commerzbank AG	15.77	0.8142	597,858,005	1.000000	7676457326
9	Continental AG	32.84	1.0000	135,012,531	1.000000	4433811518
10	DaimlerChrysler AG	36.00	0.8090	1,012,803,493	1.000000	29496888930
11	Deutsche Bank AG	70.80	1.0000	581,854,246	1.000000	41195280617
12	Deutsche Börse AG	48.59	1.0000	111,802,880	1.000000	5432501939
13	Deutsche Lufthansa AG	19.09	0.3740	1,112,800,000	1.000000	7945013648
14	Deutsche Post AG	16.36	0.5723	4,197,752,425	1.000000	39302833942
15	Deutsche Telekom AG	52.49	0.9427	692,000,000	1.000000	34241767516
16	E.ON AG	54.32	0.4924	70,000,000	1.000000	1872301760
17	Fresenius Med. Care AG	68.15	1.0000	59,387,625	1.000000	4047266644
18	Henkel KGaA Vz	11.52	0.6029	720,880,604	1.000000	5006809914
19	Infineon Tec. AG	42.45	0.6770	119,262,134	1.000000	3427432727
20	Linde AG	14.79	0.8995	381,600,000	1.000000	5076655668
21	MAN AG	28.58	0.7178	140,974,350	1.000000	2892049881
22	Metro AG	35.81	0.4430	324,109,563	1.000000	5141619009
23	Mü. Rück.-Gesellschaft AG	94.00	0.7430	229,580,233	1.000000	16034342633
24	RWE AG	33.30	0.7706	523,405,000	1.000000	13431085237
25	SAP AG	133.02	0.6533	315,128,560	1.000000	27385291407
26	Schering AG	39.40	0.8942	196,500,000	1.000000	6922985820
27	Siemens AG	64.73	0.9350	890,866,301	1.016472	54805629310
28	ThyssenKrupp AG	16.00	0.8000	514,489,044	1.029343	6778696909
29	TUI AG	19.00	0.6863	178,038,299	1.000000	2321566007
30	Volkswagen AG	38.93	0.6851	320,289,940	1.000000	8542434733
					Summe	433809791796.37

Danach wird berechnet.

		Pio	Qio	pio*qio
1	adidas-Salomon AG	37.94	45,349,200	1720548648
2	Allianz AG	584.92	15,000,000	8773800000
3	Altana AG	155.94	2,638,400	411432096
4	BASF AG	130.64	55,483,587	7248375806
5	Bayer AG	161.57	9,860,676	1593189421
6	Hypo- und Vereinsbank AG	228.55	15,000,000	3428250000
7	BMW AG	134.88	62,426,957	8420147960
8	Commerzbank AG	109.42	20,799,181	2275846385
9	Continental AG	104.92	8,048,629	844462154.7
10	DaimlerChrysler AG	293.99	42,313,132	12439637677
11	Deutsche Bank AG	198.38	35,452,626	7033091946
12	Deutsche Börse AG	357.00	9,886,000	3529302000
13	Deutsche Lufthansa AG	21.40	556,399,974	11906959444
14	Deutsche Post AG	16.97	1,000,000,000	16970000000
15	Deutsche Telekom AG	132.99	39,636,097	5271204540
16	E.ON AG	65.45	34,790,000	2277005500
17	Fresenius Med. Care AG	248.49	3,500,000	869715000
18	Henkel KGaA Vz	70.20	616,700,000	43292340000
19	Infineon Tec. AG	266.89	4,759,456	1270251212
20	Linde AG	69.28	24,000,000	1662720000
21	MAN AG	71.07	13,490,970	958803237.9
22	Metro AG	213.31	7,784,679	1660549877
23	Mü. Rück.-Gesellschaft AG	577.76	6,050,000	3495448000
24	RWE AG	107.12	44,265,890	4741762137
25	SAP AG	654.45	1,500,000	981675000
26	Schering AG	180.49	5,660,011	1021575385
27	Siemens AG	183.55	47,584,393	8734115335
28	ThyssenKrupp AG	53.43	31,300,000	1672359000
29	TUI AG	57.52	8,032,904	462052638.1
30	Volkswagen AG	114.79	30,000,000	3443700000
			Summe	168410320399.70

Mit Hilfe der Konstanten K_T = 1.5813241 kann nun der DAX - Wert berechnet werden.

1,5813241 * (433.809.791.796,37 / 168.410.320.399,70 ) * 1000 = 4.073,35

Dies war der Schlusskurs vom 20. Februar 2004.

C. Die langfristige Entwicklung der Indizes

7. Vor- und Nachteile der Berechnung des DAX und Dow Jones ^{20, 21}

,,Ein Mann kann zwischen mehreren Methoden wählen, sein Vermögen loszuwerden: Am schnellsten geht es am Roulette-Tisch, am angenehmsten mit schönen Frauen und am dümmsten an der Börse."⁶

André Kostolany

Als der Dow Jones zum ersten Mal berechnet wurde, stellte sich die Frage nach gewichteten oder ungewichteten Indizes kaum, da es keine technischen Hilfsmittel zur Berechnung gab. Dass von den heutigen, entscheidenden Indizes außer dem Dow Jones nur noch der japanische Nikkei 225 ein ungewichteter Aktienindex ist, zeigt jedoch, dass diese Art der Berechnung auch beachtliche Nachteile hat.
Gewichtete Indizes wie der DAX stellen die wirkliche Marktsituation wesentlich besser (im Sinne von genauer) dar, weil sie die Marktkapitalisierung, Aktiensplits und Dividendenausschüttungen berücksichtigen. Die Marktkapitalisierung ist von Bedeutung, da z.B. beim DAX ein Anstieg der Siemensaktien um ein Prozent absolut einen höheren Anstieg bedeutet, als wenn eine kleine Gesellschaft wie Adidas - Salomon um den gleichen Prozentsatz zulegt. Aktiensplits und Dividendenzahlungen können die Performance eines Indizes beeinflussen, obwohl sie für den Anleger keine Rolle spielen: Beim Aktiensplit wird zwar der Nominalwert (der auf der Aktie aufgedruckte Wert) geändert, am Vermögen des Anlegers ändert sich jedoch nichts. Aktiensplits werden im Dow Jones durch den sogenannten ,,Dow Divisor" berücksichtigt, Dividenden jedoch nur im extra berechneten ,,Dow Jones Performance Index", so dass Dividendenzahlungen, die in der Regel den Aktienkurs um die ausgezahlten Beträge verringen, sich im DJ negativ auswirken, obwohl dies für den Anleger keinen Unterschied macht.
Ein Nachteil von gewichteten Indizes ist, dass einzelne Werte einen sehr hohen Einfluss auf den Index haben können. Das wohl extremste Beispiel hierfür ist der finnische HEX-Index, in dem Nokia mehr als drei Viertel des Indexes ausmachte und beim Fall der Aktie den ganzen Index mit runterzog. Als Konsequenz haben einige Indizes deshalb neuerdings Obergrenzen für die Gewichtung einzelner Aktiengesellschaften eingeführt, wodurch jedoch auch die wahre Marktsituation verzerrt dargestellt wird.
Für eine gute Darstellung des Aktienmarktes ist jedoch nicht nur die Berechnung wichtig, sondern auch die Anzahl und die Auswahlkriterien der Aktien. Im Dow Jones und DAX sind jeweils nur dreißig Gesellschaften gelistet, obwohl allein an der deutschen Börse über 800 verschiedene Aktien gehandelt werden. Andere Indizes wie S&P 500 (S&P steht für Standard & Poor′s, die Zahl für die Anzahl der Aktiengesellschaften) sind wesentlich breiter gestreut und decken so auch einen größeren Teil des Marktes ab. Ebenfalls sehr unterschiedlich sind die Auswahlkriterien: Während beim Dow Jones Redakteure des Wall Street Journals die Aktiengesellschaften ohne feste Regeln bestimmen, gibt es beim DAX genaue Vorschriften. Vereinfacht gesagt entscheiden Marktkapitalisierung und Handelsvolumen über die Mitgliedschaft im DAX.
Auch wenn der Dow Jones Industrial Average viele veraltete Methoden benutzt und es sicherlich Indizes gibt, die den Markt besser darstellen, liegt es nicht nur an der Tradition des Dow Jones, dass er heute immer noch der wichtigste Index der Welt ist, sondern auch an seiner trotz der schlichten Berechnungsweise insgesamt beachtlich guten Marktdarstellung in seiner über hundertjährigen Geschichte.
,,Der Oktober ist einer der besonders gefährlichen Monate, um mit Wertpapieren zu spekulieren. - Die anderen sind Juli, Januar, September, April, November, Mai, März, Juni, Dezember, August und Februar."⁷

Mark Twain

8. Schlussbemerkung
Der Aufbau der Facharbeit weicht zum Teil von den Aufgabenstellungen ab. So habe ich beim Geschichtskapitel der Aufgabenstellung die Betrachtung des DAX hinzugefügt, mich jedoch auf den Dow Jones konzentriert. Zum einen, da dieser als erster gegründet wurde, und zum anderen, da meiner Meinung nach die Geschichte des Dow Jones auch spannender ist als die des recht ,,technokratischen" DAX, der von verschiedenen Organisationen gegründet wurde.
Beim Börsenlexikon stellte sich die Frage, welche Begriffe man erläutern sollte und wie ausführlich dies geschehen sollte. Denn zum einen ist es sicherlich vorteilhaft, die wichtigsten Begriffe zu erläutern, andererseits gibt es sowohl in Buchform als auch im Internet schon sehr viele Börsenlexika, auf die man zurückgreifen kann. Da das Lexikon notwendigerweise nur einige Begriffe enthält und um die Lesbarkeit zu erhöhen, habe ich keine Verweise auf die Einträge gesetzt.
Da es neben dem DAX und Dow Jones noch viele weitere ähnliche Indizes gibt, hielt ich es für sinnvoll, die allgemeine Berechnung von den Beispielen zu trennen. Hierzu habe ich die Berechnungsvorschriften, anders als in der Aufgabe vorgesehen, nicht im Börsenlexikon, sondern unter ,,5. Die allgemeine Berechnung von Indizes" geklärt.
Mehr als die vier Liniencharts zu erstellen, hielt ich für nicht notwendig, da mit dem Jahreschart auf dem Deckblatt, den Monatscharts im Lexikon und dem langfristigen Chart bereits deutlich wird, dass Charts Indizes über längere Zeiträume gut darstellen können.
Bei der vierten Aufgabe über die Vor- und Nachteile der Berechnung von DAX und Dow Jones kann es, wie zum Teil auch bei den Aufgaben zuvor, zu Wiederholungen kommen, zum einen, da sich die Themen logischerweise überschneiden und zum anderen, um den Inhalt jedes einzelnen Kapitels für sich genommen nachvollziehbar zu machen.
Aufgrund des großen Feldes der Indizes habe ich keinen Schwerpunkt gesetzt, sondern versucht alle Bereiche wie Geschichte, Berechnung eines Indexes, Charts, etc. gleich ausführlich zu behandeln.
Auf die genaue Erstellung des Divisors (Korrekturfaktor) habe ich verzichtet, da sie nicht direkt zur Berechnung der Indizes gehört und den Umfang dieser Facharbeit noch weiter erhöhen würde.
Bei den Internetadressen habe ich zum Teil die Startseite und die folgenden Links angegeben, da die wirkliche URL mehrere Zeilen lang, und somit schwierig abrufbar war.
Bei den Zitaten der ,,Börsengurus" am Anfang der Kapitel habe ich deren Fundstellen im Internet nur im Literaturverzeichnis angegeben. Auf Verweise im laufenden Text habe ich verzichtet, da diese Zitate keine direkte wissenschaftliche Bedeutung für die Facharbeit haben.
Insgesamt hoffe ich mit dieser Facharbeit eine kleine Übersicht über Geschichte, Berechnung und Funktion der aus deutscher Sicht wichtigsten Börsenindizes DAX und Dow Jones gegeben zu haben.

9. Literatur- und Abbildungsverzeichnis

Als Literatur kamen verschiedene Bücher und Zeitschriften (A), Informationsmaterialen der Banken und der Deutschen Börse (B) sowie Internetseiten (C) in Frage. Die Quellen der ,,Börsenguru" - Zitate sind ebenfalls Internetseiten (D). Die Abbildungen (E) sind selbst erstellt.

A. Bücher und Zeitschriften

Hielscher, Udo, Singer, Jürgen, Grampp, Michael: Börsenlexikon, 2. Auflage, S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main, 2002

Büschgen, Hans E.: Das kleine Börsenlexikon, 22. erw. Auflage, Verlag Wirtschaft und Finanzen, Düsseldorf, 2001

Grün, Willi H.: Top-Gewinne mit Aktien, 1. Auflage, Goldmann Verlag, München, 1997

Schätzle, Rainer und Morgen, Heinrich: Handbuch Börse, 1. Auflage, Wilhelm Heyne Verlag, München, 2001

Jungblut, Michael (Hrsg.): WISO-Börsen-Buch, 3. erw. Auflage, Wirtschaftsverlag Carl Ueberreuter, Wien/Frankfurt, 2001

Möhring, Sibylle, et. al.: Börsenkursus, 1. Auflage, Südwest Verlag, München, 2001

Dr. Henn, Hans-Wolfgang: DAX und Dow Jones in mathematik lehren, Heft 74, 1996, Friedrich Verlag, Velber, S. 59 - 63

Husmann, Nele: Würden Sie 613636,36€ für eine Tulpenzwiebel zahlen? in Peter Moosleitners Magazin, August 2003, Gruner + Jahr, Hamburg, S. 88 - 94

B. Informationsmaterialen der Banken und der Deutschen Börse

Hrsg. v. Deutsche Börse: Leitfäden zu den Aktienindizes der Deutschen Börse, Version 5.3, Deutsche Börse Group, Frankfurt am Main, 2003

Hrsg. v. Deutsche Börse: Die Indizes der Deutschen Börse AG, 1. Auflage, Deutsche Börse Group, Frankfurt am Main, 2003

Dipl.-Kfm. Harter, Winfried, Dr. Franke, Jörg, Dipl.-Kfm. Hogrefe, Jürgen, Dipl.-Kfm. Seger, Rolf: Fachbegriffe Börsen und Wertpapiere, 7. Auflage, Deutscher Sparkassen Verlag, Stuttgart, 1999/2000

Jobst, Peter: 1x1 des Börsenerfolgs, 1. Auflage, Deutscher Sparkassen Verlag, Stuttgart, 2001

Hrsg. v. Sparkassen - Finanzgruppe: Basisinformationen über die Vermögensanlage in Aktien, Genußscheinen und Indexzertifikaten, 2. erw. Auflage, Deutscher Sparkassen Verlag, Stuttgart, 1999

Vogel, Heinz-Wilhelm: Die Börse - Basiswissen für Einsteiger, 1. Auflage, Deutscher Sparkassen Verlag, Stuttgart, 2002

Hrsg. v. Deutsche Bank: Basisinformationen über Vermögensanlagen in Wertpapieren,
1. Auflage, Deutsche Bank Privat- und Geschäftskunden AG, Frankfurt am Main, 2002

Hrsg. v. Commerzbank: Basisinformationen für Wertpapier - Vermögensanlagen,
1. Auflage, Bank - Verlag, Köln, 2001

Hrsg. v. DZ Bank: Aktien für Einsteiger, 1. Auflage, Deutsche Zentral - Genossenschaftsbank, Frankfurt am Main, 2002

C. Internetseiten
Lexika

http://boersen.manager-magazin.de/mmo/news.htm?sektion=lexikon
http://www.politikerscreen.de/t-news2003/lexikon_detail.asp?ID=410
http://boerse.ard.de/lexikon.jsp
http://www.wissen.de/ -> ,,DAX"
http://boersenlexikon.faz.net/

Offizielle Internetseiten

http://www.djindexes.com/jsp/avgOverview.jsp?averageSelection=I
http://www.djindexes.com/jsp/avgFaq.jsp

Sonstige Internetseiten

http://www.cftech.com/BrainBank/FINANCE/DowJonesAvgsHist.html
http://www.fmi.uni-passau.de/~zimmerth/aktienindizes/
http://www.antizyklik.de/?menuid=wissen&articleid=433
http://www.dax.de, "Leitfaden - Aktienindizes der Deutschen Börse"
Information Services > Indizes + Indexlizenzen > Leitfäden > Kurzinformationen > Leitfaden - Aktienindizes der Deutschen Börse

D. Quellen der Zitate

1. (Vorwort) http://www.boersensprueche.de/
2. (Geschichte) http://www.boersensprueche.de/
3. (Börsenlexikon) http://www.goldseiten.de/sprueche.htm
4. (Die allgemeine Berechnung) http://www.boersensprueche.de/
5. (Die Berechnung von DAX und DJIA) http://www.derivatecheck.de/webservice/Default.asp?sub=1&Spruch=806
6. (Vor- und Nachteile der Berechnung von DAX und Dow Jones)
http://www.wu-wien.ac.at/usr/h98b/h9850165/seminar/UntitledFrame-5.htm
7. (Fazit) http://www.buecherzirkel.de/texte/twain-zitate.htm

E. Abbildungsverzeichnis

Die Abbildungen wurden alle mit Excel erstellt.

1. (Titelblatt) Die Entwicklung von DAX und Dow Jones Industrial Average im Jahr 2003.
2. (Börsenlexikon - Chart / Linienchart) Deutscher Aktien Index (oben) und Dow Jones Industrial Average (unten) je im Februar 2003.
Anmerkung: An den Tagen ohne Werte waren die Börsen geschlossen.
3. (Die Berechnung von DAX und Dow Jones - Langfristige Entwicklung)
DAX und DJIA seit der Erstellung des DAX im Jahr 1988.

Quellen der Börsenwerte
Dow Jones: http://www.djindexes.com/ -> DJIA -> Components
DAX (bei 1. und 2.): http://www.wiwo.de/ -> DAX -> Historisch
DAX (bei 3.): http://www.bankenverband.de/index.asp?channel=111010&art=1067&ttyp=1

---

1 Vgl. dowjones.com, FAQ

2 Vgl. cftech.com

3 Vgl. politikerscreen.de

4 Vgl. wissen.de

5 Vgl. cftech.com; djindexes.com, FAQ

6 Vgl. politikerscreen.de; wissen.de

7 Hielscher, Börsenlexikon, S.21; Büschgen, Das kleine Börsenlexikon, S.36f; boerse.ard.de

8 Hielscher, Börsenlexikon, S.303; Büschgen, Das kleine Börsenlexikon, S.993; http://boersenlexikon.faz.net/

9 Hielscher, Börsenlexikon, S.226ff; Büschgen, Das kleine Börsenlexikon, S.755; boersen.manager-magazin.de

10 Hielscher, Börsenlexikon, S.103; Büschgen, Das kleine Börsenlexikon, S.281; boersen.manager-magazin.de

11 Vgl. djindexes.com, FAQ

12 Vgl. djindexes.com, FAQ

13 Vgl. fmi.uni-passau.de/~zimmerth/

14 Vgl. fmi.uni-passau.de/~zimmerth/

15 Vgl. fmi.uni-passau.de/~zimmerth/

16 Vgl. fmi.uni-passau.de/~zimmerth/

17 djindexes.com, FAQ

18 Hrsg. V. Deutsche Börse, "Leitfaden - Aktienindizes der Deutschen Börse"

19 Hrsg. V. Deutsche Börse, "Leitfaden - Aktienindizes der Deutschen Börse", S. 25

20 Vgl. fmi.uni-passau.de/~zimmerth/

21 Vgl. antizyklik.de