MATLAB/Simulink Unwucht-Experimente

Josef Hoffmann, Robert Kessler

August 2005

---

Inhaltsverzeichnis

1

Einführung

1

2

Unwucht-Motor auf oszillierender Platte

3

2.1

Modell eines Gleichstrom-Motors .

3

2.2

Unwucht-Motor auf oszillierender Platte 10

3

Zwei Unwucht-Motoren auf Feder-Masse-System

14

3.1

Mathematisches Modell des Systems 14

3.2

Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell 15

3.3

Vorschläge für weitere Simulationsexperimente 24

3.3.1

Simulink-Modell mit Untermodellen der Hauptkomponenten . . . 24

4

Physikalisches Experiment

28

4.1

Spannungsversorgung der Motoren 29

4.2

Der Ladungsverstärker 30

4.3

Physikalisches Experiment: Gleichstrom-Motor auf oszillierender Platte . 32

Index

36

Index der Abbildungen

38

---

Kapitel 1

Einführung

In der Technik gibt es viele Anwendungen in denen die Effekte der Unwucht gewünscht

sind und ebenso viele oder mehr bei denen die Effekte der Unwucht zu vermeiden sind.

Die Unwucht wird z.B. bei Förderbändern eingesetzt, um das Material zu rütteln und

zu bewegen. Nicht erwünscht sind die Effekte der Unwucht in vielen Maschinen mit

Kreisbewegungen wie Turbinen, Pumpen etc. [1], [2], [3], [4].

Auch im alltäglichen Leben will man z.B. unerwünschte Schwingungen wegen der

Unwuchtmassen der Räder eines PKWs vermeiden, oder das Rütteln der Waschmaschi-

ne beim Schleudern so weit wie möglich unterdrücken.

Die mathematischen Modelle dieser Systeme sind alle nichtlineare Differentialglei-

chungen, die analytisch nicht lösbar sind. Bei veränderlicher Drehfrequenz des Mo-

tors mit Unwucht beim Anlauf oder Auslauf, entstehen Effekte die ebenfalls analytisch

nicht ermittelt werden können. Man kann somit solche sehr wichtige Anwendungen

nur durch Simulation untersuchen und dafür bietet sich die in der Industrie und Lehre

sehr verbreitete Softwarefamilie MATLAB/Simulink an [5].

Der vorliegende Text beschreibt Simulationen mit diesem Werkzeug für zwei Un-

wuchtsysteme, die man leicht auf konkrete Anwendungen übertragen kann. Im ersten

einführenden, didaktischen, einfachen Fall wird der Synchronisationseffekt einer oszil-

lierenden Platte auf einem Gleichstrom-Motor mit Unwuchtmasse, der auf der Platte

befestigt ist und hochgefahren (Anlaufzustand) oder runtergefahren (Auslaufzustand)

wird, untersucht. Unter bestimmten Bedingungen kann der Motor nicht die Drehzahl

erreichen, die er auf der ruhenden Platte erreichen würde und seine Drehfrequenz bleibt

bei der Frequenz der Schwingung der Platte hängen oder überschreitet diese und wird

ein Generator.

Im zweiten Fall wird ein ähnlicher Effekt untersucht, der auftreten kann, wenn auf

einem Feder-Masse-System ein Motor oder zwei Motoren mit Unwucht angebracht

sind. Zwar regen erwartungsgemäß die rotierenden Fliehkräfte das Feder-Masse-System

zu Schwingungen an, aber überaschenderweise kommt ein Motor oder beide Motoren

unter ungünstigen Bedingungen nicht über die Resonanzfrequenz des Feder-Masse-

Systems hinaus. Die Drehfrequenz synchronisiert sich mit der Schwingungsfrequenz

bei Resonanz und die Fliehkraft bewirkt riesige Schwingungsamplituden [6].

Ist die Unwucht klein genug, sind die Schwingungen genügend gedämpft oder sind

die Motoren stark genug, dann ergeben sich ebenfalls Schwingungen, die Motoren schaf-

fen es aber, über die Schwingungsfrequenz hinauszulaufen und diejenige Drehfrequen-

zen zu erreichen, die sie auch bei fest eingespannten Motoren erreichen würden.

---

2

Bei den früheren Haushalt-Wäscheschleudern trat dieser Synchronisationseffekt ei-

gentlich jedes mal auf, wenn die nasse Wäsche geschleudert werden sollte. Die Schwin-

gungsamplituden waren so groß, dass die Schleuder-Trommel an die Gehäusewand

anschlug. Erst nach Umordnen der Wäschestücke (und damit Verringerung der Un-

wucht) konnte der Motor über die Resonanzfrequenz hinaus laufen und den eigentli-

chen Schleudereffekt bewirken.

---

Kapitel 2

Unwucht-Motor auf
oszillierender Platte

In diesem Kapitel wird der erste Fall des Unwucht-Motors auf oszillierender Platte un-

tersucht. Zuerst wird das Modell des Gleichstrom-Motors ermittelt und mit einigen Si-

mulationen wird sein Verhalten erläutert [6]. Danach wird das Modell des Unwucht-

Motors auf oszillierender Platte aufgebaut und untersucht.

2.1

Modell eines Gleichstrom-Motors

In den Untersuchungen werden Gleichstrom-Motoren eingesetzt, weil sie relativ ein-

fach und verständlich zu beschreiben sind. Nach der Erfahrung mit diesen Motoren

kann man auch für andere Motortypen ähnliche Modelle bilden.

S

i(t) R

L

w(t)

Abb. 2.1: Modell eines

M (t)

u (t)

l

m

u (t)

Gleichstrom-Motors

g

w

d (t)

J dt

M (t)

a

Abb. 2.1 zeigt das Modell eines Gleichstrom-Motors, wobei durch um(t), ug(t) die

angelegte und die interne induzierte Spannung bezeichnet wird. Der Strom i(t) ist somit

durch folgende Differentialgleichung mit den Spannungen verbunden:

di(t)

um(t) = i(t)R + L

+ ug(t)

(2.1)

dt

In vielen Fällen kann man die Induktivität vernachlässigen, was im Weiteren auch

hier angenommen wird (L

= 0). Die induzierte Spannung ug(t) wegen der Kreisbewe-

gung ist durch

ug(t) = kg(t)

(2.2)

gegeben, wobei kg die Generator-Konstante ist.

---

2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors

4

Der Motor erzeugt ein aktives Drehmoment Ma(t), das proportional zum Strom i(t)

ist:

Ma(t) = kmi(t)

(2.3)

Die Motor-Konstante km ist gleich der Generator-Konstante kg und das ergibt sich aus

dem Energie- oder Leistungserhaltungssatz im stationären Zustand. Die mechanische

Energie tMa() muss gleich der elektrischen Energie tug()i() sein:

tMa()() = tkmi()() = tug()i() = tkg()i()

(2.4)

Daraus folgt die Gleichheit der Konstanten km und kg (km = kg).

Dem aktiven Drehmoment widersetzt sich das Trägheitsdrehmoment J d(t) und

dt

das Belastungsmoment Ml(t). Das letztere kann von einer gegebenen Belastung her-

vorgehen oder wie hier weiter angenommen wird, besteht es aus Reibungsmomente:

Ml(t) = rglsig((t)) + rv(t) + rt(t)abs((t))

(2.5)

Der erste Term stellt das Drehmoment wegen der Gleitreibung dar, der zweite Term

ist das Drehmoment wegen der viskose Reibung und schließlich stellt der dritte Term

das Drehmoment wegen der turbulenten Reibung dar, wie sie z.B. von einem Lüfter

hervorgeht. Das Gleichgewicht der Drehmomente führt zu folgender Differentialglei-

chung:

d(t)

J

= Ma(t) - Ml(t) = kgi(t) - [rglsig((t)) + rv(t) + rt(t)abs((t))]

(2.6)

dt

Diese Differentialgleichung zusammen mit der Differentialgleichung, die von der

elektrischen Seite hervorgeht (Gl. (2.1)), bilden das mathematische Modell des Gleich-

strom-Motors. Das Simulink-Modell (dc_motor1.mdl) ist relativ leicht aufzubauen

(Abb. 2.2). Es wird angenommen, dass die Kreisbeschleunigung d(t)/dt bekannt ist.

Durch eine Integration mit Block Integrator wird die Kreisgeschwindigkeit (t) erhal-

ten. Jetzt stehen viele Variablen zu Verfügung mit deren Hilfe die zuvor als bekannt

angenommene Kreisbeschleunigung d(t)/dt gebildet werden kann.

Mit dem Block Fcn wird das Belastungsdrehmoment Ml laut Gl. (2.5) gebildet. Wenn

die Induktivität L des Motors vernachlässigt wird, dann ergibt sich aus Gl. (2.1) der

Strom aus einer algebraischen Gleichung statt Differentialgleichung:

um(t) - ug(t)

i(t) =

(2.7)

R

Als Quelle für die Eingangsspannung des Motors um(t) wird eine konstante Span-

nung u0 angenommen, die zu einem bestimmten Zeitmoment angelegt wird und da-

nach durch öffnen des Eingangskreises mit i(t) = 0 entfernt wird. Das geschieht mit

Hilfe des Blocks Fcn1 und des Product-Blocks. Die wichtigsten Signale werden in der

Senke Out1 eingefangen und man kann sie auch auf dem Scope-Block sichten.

Die Gleitreibung, hier über das Gleitreibungsmoment rglsign((t) eigeführt, bringt

immer Schwierigkeiten in der numerischen Integration, die in den Simulink-Modellen

für den Solver benutzt wird. Abb. 2.3 zeigt die Signale der Senke Out1. Zuletzt, wenn

(t) sehr klein ist, dann entstehen die Fehler, die im Bild schwarz gezeigt sind. Hier

müsste (t) gleich null sein.

In diesem Modell wird die Simulation mit Typ: Variable-step und Solver:ode23 (Bogacki-

Shampine) initialisiert. Eine Lösung dieses Problems ist im Modell dc_moto2.mdl ge-

zeigt (Abb. 2.4). In dem Fcn2-Funktionsblock wird ermittelt, ob die Kreisgeschwindig-

keit (t) unter den sehr kleinen Wert 1e-16 gelangt und wenn dieser Fall eintritt, wird

---

2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors

5

(u>t1)*(t2>u)

Clock

Fcn1

i(t)

um(t)

Ma(t)

domega/dt

omega

u0

kg

1

1/J

s

Constant

Product

Subtract1

Gain1

Subtract

Gain

Integrator

Ml(t)

Fcn

rgl*sgn(u)+rv*u+rt*u*abs(u)

Gain2

ug(t)

kg

1

Scope

Out1

Abb. 2.2: Simulink-Modell des Gleichstrom-Motors mit Gleitreibung

(dc_motor1.mdl, dc_motor_1.m)

sie auf null gesetzt, weil die Abfrage so gestaltet ist ((u>1e-16)*u). Abb. 2.5 zeigt jetzt

den korrekten Verlauf von (t) nachdem die Kreisgeschwindigkeit abgeklungen ist. Ei-

ne andere Lösung besteht darin, mit einem Solver mit fester Integrationsschrittweite zu

arbeiten.

Das Vorhandensein der Gleitreibung (mit allen anderen Reibungsarten auf null ge-

setzt) ist durch die lineare Abnahme von (t) bzw. der induzierten Spannung ug(t) zu

erkennen. Der Motor arbeitet jetzt als Generator im Leerlauf (i(t) = 0). So lange (t) > 0

und der Zeitursprung an dem Ausschaltmoment angenommen wird, gilt die Differen-

tialgleichung:

d(t)

J

= -rgl

(2.8)

dt

Sie hat eine einfache Lösung

rgl

(t) = (0) -

t,

(2.9)

J

die man in der Praxis zum Messen des Faktors rgl benutzen kann.

Das Modell dc_motor1 wird im Programm dc_motor_1.m initialisiert und auf-

gerufen. Das Programm ist relativ einfach gehalten, um es leichter zu verstehen. Es be-

ginnt mit der Initialisierung der Parameter des Modells t1, t2,tmax, kg, R, ...

etc. Danach wird mit der Variablen my_options festgelegt, dass nur die Variablen der

Senke Out1 und die Zeit t und nicht die Zustandsvariablen x gespeichert werden.

Der Aufruf der Simulation geschieht mit der Funktion sim. Nach der Simulation

stehen in dem Feld y die gewünschten Größen i(t), ug(t), (t) und Ml(t) und zusätz-

lich ist in der MATLAB-Umgebung (im Kommando-Fenster) die Zeit in der Variablen t

gegeben.

---

2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors

6

Strom*4 und induzierte Spannung

10

R = 5;

Strom

8

Induz. Spannung

kg = 0.01;

6

rgl = 0.002;

Strom*4

4

Induzierte Spannung

rv = 0;

2

Abb. 2.3: Strom,

rt = 0;

0

induzierte

Span-

nung,

Kreisge-

-20

5

10

15

20

25

30

schwindigkeit und

s

Belastungsdreh-

Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*2e5

moment

wegen

1000

Gleitreibung

Omega

Drehmoment Ml

(dc_motor1.mdl,

dc_motor_1.m)

500

Winkelgeschwindigkeit

0

Belatungsdrehmoment Numerische Fehler wegen

wegen der Gleitreibung

der Gleitreibung

-5000

5

10

15

20

25

30

s

(u>t1)*(t2>u)

Clock

Fcn1

i(t)

um(t)

Gain1

Ma(t)

domega/dt

omega

u0

kg

1/R

1

1/J

s

Constant

Product

Subtract1

Gain3

Subtract

Gain

Integrator

Ml(t)

Fcn2

Fcn

rgl*sgn(u)+rv*u+rt*u*abs(u)

(u>1e-16)*u

ug(t)

kg

Gain2

1

Scope

Out1

Abb. 2.4: Simulink-Modell des Gleichstrom-Motors mit Gleitreibung und Vermeidung der Feh-

ler (dc_motor2.mdl, dc_motor_2.m)

% Programm dc_motor_1 zur Initialisierung des Modells

% dc_motor1.mdl und zur Durchführung der Simulation

---

2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors

7

Strom*4 und induzierte Spannung

10

R = 5;

Strom

8

Induz. Spannung

kg = 0.01;

6

rgl = 0.002;

4

rv = 0;

Abb. 2.5: Strom,

2

rt = 0;

induzierte

Span-

0

nung,

Kreisge-

-2

schwindigkeit und

0

5

10

15

20

25

30

Belastungsdreh-

s

moment

wegen

Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*2e5

1000

Gleitreibung

Omega

(ohne

Fehler)

800

Drehmoment Ml

(dc_motor2.mdl,

600

dc_motor_2.m)

400

200

0

-2000

5

10

15

20

25

30

s

clear

;

format

compact;

% -------- Parameter des Modells

Bild = 1;

t1 = 1;

t2 = 10;

tmax = 30;

kg = 0.01;

R = 10;

rgl = 0.002;

rv = 0;

rt = 0;

u0 = 10;

J = 2.4e-5;

% -------- Aufruf der Simulation

my_options =

simset

(′OutputVariables′,′ty′);

[t,x,y] =

sim

(′dc_motor1′,[0,tmax]);

% -------- Die Variablen aus dem Feld y

% y(:,1) = i(t) Strom

% y(:,2) = ug(t) Induzierte Spannung

% y(:,3) = omega(t) Winkelgeschwindigkeit

% y(:,4) = Ml(t) Belastungsdrehmoment

figure

(Bild);

subplot

(211),

plot

(t,[y(:,1), y(:,2)]);

title

(′Strom und induzierte Spannung′);

xlabel

(′s′);

grid

;

%legend(′Strom′,′Induz. Spannung′);

subplot

(212),

plot

(t,[y(:,3), y(:,4)*2e5]);

title

(′Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment′);

xlabel

(′s′);

grid

;

%legend(′Omega′,′Drehmoment Ml′);

% ------- Parameter im Bild eintragen

---

2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors

8

SR = [′R = ′,

num2str

(R),′;

′];

% Zahlenwert von R etc

Skg = [′kg = ′,

num2str

(kg),′;

′];

Srgl = [′rgl = ′,

num2str

(rgl),′;

′];

Srv = [′rv = ′,

num2str

(rv),′;

′];

Srt = [′rt = ′,

num2str

(rt),′;

′];

gtext

({SR,′ ′, Skg,′ ′ ,Srgl,′ ′ ,Srv,′ ′ ,Srt});

% Platziert die

% Parameter im Bild mit der Maus

Über den Befehl

gtext

werden die Werte der Parameter in den graphischen Darstel-

lungen an die Stelle, die man mit dem Fadenkreuz der Maus wählt, platziert. Das Pro-

gramm wartet, dass man mit der Maus im graphischen Fenster klickt und somit die

Parameter wie in den gezeigten Abbildungen einträgt.

Das Modell dc_motor2.mdl wird aus einem ähnlichen Programm (dc_moto_2.m

initialisiert und aufgerufen.

Strom*4 und induzierte Spannung

8

Strom

R = 10;

Induz. Spannung

6

kg = 0.01;

4

rgl = 0;

rv = 5e-06;

Abb. 2.6: Strom,

2

induzierte

Span-

rt = 0;

nung,

Kreisge-

00

5

10

15

20

25

30

schwindigkeit und

s

Belastungsdreh-

Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*1e5

moment

wegen

800

Omega

viskose

Reibung

Drehmoment Ml

(dc_motor3.mdl,

600

dc_motor_3.m)

400

200

00

5

10

15

20

25

30

s

Wenn nur die viskose Reibung angenommen wird, dann erhält man die Ergebnisse

aus Abb. 2.6. Der Auslauf, eingeleitet durch das Unterbrechen des Stroms, z.B. bei t =

10 s, ist durch folgende Differentialgleichung beschrieben:

d(t)

J

= -rv(t),

(2.10)

dt

die eine Lösung der Form

(t) = (0)e-trv/J

(2.11)

ergibt. Der Zeitursprung wurde wieder an die Stelle des Abschaltens versetzt und die

Anfangskreisgeschwindigkeit mit (0) bezeichnet. Dieser Auslauf in Form einer Expo-

nentialfunktion kann für die praktische Bestimmung des Faktors rv eingesetzt werden.

Der letzte Fall der hier noch gezeigt ist, beinhaltet ein Belastungsdrehmoment wegen

turbulenter Reibung. Abb. 2.7 zeigt die Verläufe der Variablen. Beim Auslauf mit Strom

---

2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors

9

Strom*4 und induzierte Spannung

8

Strom

R = 10;

Induz. Spannung

6

kg = 0.01;

4

rgl = 0;

Abb. 2.7: Strom,

rv = 0;

induzierte

Span-

2

rt = 1e-08;

nung,

Kreisge-

0

schwindigkeit

0

5

10

15

20

25

30

und

Belastungs-

s

drehmoment

Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*2e5

800

wegen

turbu-

Omega

lenter

Reibung

Drehmoment Ml

600

(dc_motor3.mdl,

dc_motor_3.m)

400

200

00

5

10

15

20

25

30

s

Strom*4 und induzierte Spannung

5

R = 10;

Strom

4

Induz. Spannung

kg = 0.01;

3

rgl = 0.002;

2

rv = 5e-06;

1

Abb. 2.8: Strom,

rt = 1e-08;

induzierte

Span-

0

nung,

Kreisge-

-10

5

10

15

20

25

30

schwindigkeit und

s

Belastungsdreh-

Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*2e5

moment wegen alle

1500

Omega

Typen Reibungen

Belastungs-

Drehmoment Ml

drehmoment*2e5

(dc_motor3.mdl,

1000

dc_motor_3.m)

Winkelgeschwindigkeit

500

0

-5000

5

10

15

20

25

30

s

---

2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte

10

null klingt am Anfang (t) sehr stark ab und bei niedrigere Kreisgeschwindigkeit geht

der Verlauf praktisch in eine lineare Funktion über.

Die Differentialgleichung dieses Auslaufs ist:

d(t)

J

= -rt(t)abs((t))

(2.12)

dt

Sie ist eine nichtlineare Differentialgleichung, die analytisch relativ einfach zu lösen

ist. Für den Bereich (t) > 0 erhält man:

1

(t) =

,

für

t > 0

(2.13)

rt

1

t +

J

(0)

Jeder zusätzliche Term z.B. durch eine zusätzliche Reibung, erschwert erheblich die

analytische Lösung. In der Simulation gibt es keine Probleme und man kann die nor-

malen, numerischen Integrationsverfahren (wie Runge-Kutta, etc.) einsetzen.

Abb. 2.8 zeigt die Verläufe der Variablen für den Fall, dass alle Typen von Reibungen

vorhanden sind. Der Sprung in dem Belastungsdrehmoment (Abb. 2.8 unten) entsteht

wegen der Gleitreibung.

2.2

Unwucht-Motor auf oszillierender Platte

Es wird am Anfang ein einfaches Modell eines Unwuchtsystems untersucht, das aus

einem Gleichstrom-Motor mit Unwucht besteht, der auf einer oszillierenden Platte an-

gebracht ist. Abb. 2.9 zeigt eine Skizze des Unwuchtsystems.

..

m e j(t)

2

. 2

j(t)

m e j (t)

2

..

e

m x(t)

Abb. 2.9: Skizze

2

eines

einfachen

Unwuchtsystems

x(t)

Es wird angenommen, die Platte oszilliert und die relative Lage zum statischen

Gleichgewicht x(t) ist durch

x(t) = xasin(2f t)

(2.14)

gegeben, wobei f die Frequenz ist und xa stellt die Amplitude dar. Daraus resultiert die

Beschleunigung der Platte:

¨

x(t) = -4(f )2xasin(2f t)

(2.15)

Wenn die Winkelbeschleunigung ¨

(t) vernachlässigt wird, erhält man folgende Dif-

ferentialgleichung für die Drehbewegung des Motors:

d(t)

J

= kg i(t) + m2e ¨

x(t)sin((t)) - [rv(t) + rglsign((t))]

(2.16)

dt

---

2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte

11

Mit un = m2e wurde die Unwucht des Motors bezeichnet und die letzten Termen

stellen die Drehmomente wegen der viskosen und turbulenten Reibung dar.

Einfluss der Platte

-un*((2*pi*f)^2)*xa*sin(2*pi*f*u(1))*sin(u(2))

Clock

Fcn1

Integrator2

phi(t)

1

s

Gain1

i(t)

u0

domega/dt

1/R

kg

omega(t)

Ma(t)

Constant

1

Subtract1

Gain3

1/J

s

Gain

Integrator

Subtract

Ml(t)

Fcn2

Fcn

rgl*sgn(u)+rv*u

(u>1e-16)*u

Gain2

ug(t)

kg

1

Scope

Out1

Modell fuer feste Platte

i(t)

Gain4

u0

Ma(t)

domega0/dt

omega0

1/R

kg

1

Constant1

1/J

Subtract2

Ma(t)

s

Gain5

Gain6

Integrator1

Subtract3

Fcn4

Fcn3

Ml(t)

rgl*sgn(u)+rv*u

(u>1e-16)*u

Gain7

kg

Abb. 2.10: Simulink-Modell des Unwucht-Motors mit oszillierender Platte (unwucht_platte1.mdl,

unwucht_platte_1.m)

Das Simulink-Modell (Abb. 2.10) ist ähnlich, wie das Modell des einfachen Gleichstrom-

Motors aus Abb. 2.4 aufgebaut. Es kommt noch die Beeinflussung wegen der oszillieren-

den Platte hinzu, die im Fcn1-Block ganz oben nachgebildet ist und stellt den zweiten

Term auf der rechten Seite der Gl. 2.16 dar:

m2e ¨

x(t)sin((t)) = -un(2f )2xa sin(2f t)sin((t))

(2.17)

Um die Kreisgeschwindigkeit des Motors auf der oszillierenden Platte mit der Kreis-

geschwindigkeit desselben Motors, der auf einer fixen (ruhenden) Platte befestigt ist, zu

vergleichen, wird im unteren Teil das Modell des Motors auf der fixen Platte ebenfalls

aufgebaut.

---

2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte

12

Strom*4 und induzierte Spannung

2.5

R = 10;

Strom

2

Induz. Spannung

kg = 0.032;

1.5

rgl = 0.0001;

1

rv = 5e-06;

u0 = 2.5;

0.5

00

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

s

Winkelgeschwindigkeiten und Belastungsdrehmoment*2e5

100

Omega

80

Omega0

Drehmoment Ml

60

40

Drehzahl

Erreichte Drehzahl

mit fester Platte

20

00

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

s

Abb. 2.11: Strom, induzierte Spannung, ideale und erreichte Kreisgeschwindigkeit und Be-

lastungsdrehmoment für f = 10 Hz, J =1,99e-5, un = 2.5e-4

(unwucht_platte1.mdl, un-

wucht_platte_1.m)

Das Modell wird im Programm unwucht_platte_1.m initialisiert und aufgeru-

fen. Im erzeugten Bild werden einige Parameter der Simulation mit der Maus über den

Befehl

gtext

eingetragen, was man nicht vergessen soll, weil das Programm das er-

wartet.

Abb. 2.11 zeigt die Variablen, für eine relativ kleine Spannung u0 = 2, 5 V des Mo-

tors. Der Motor synchronisiert sich mit der oszillierenden Platte und erreicht nicht die

Kreisgeschwindigkeit des Motors von der fixen Platte. Mit u0 = 4 V sind die zwei Kreis-

geschwindigkeiten im Mittel gleich und die des Motors auf der oszillierenden Platte

schwankt stark.

Unter bestimmten Bedingungen (Parameter) wird der Motor beschleunigt und er-

reicht eine größere Kreisgeschwindigkeit als der Motor auf der fixen Platte. Die indu-

zierte Spannung ist größer als die angelegte Spannung und der Motor wird ein Gene-

rator. Man sieht das deutlich im Stromverlauf, der negativ wird (Abb. 2.12). Die Platte

oszilliert mit einer Frequenz f = 32 Hz, und die gewünschte Kreisgeschwindigkeit ist

0 = 150 rad/s, was einer Frequenz von f0 = 24 Hz entspricht.

Die Situation ist noch interessanter, wenn angenommen wird, dass die angelegte

Spannung des Motors langsam ansteigt, z.B. nach einer Differentialgleichung erster

Ordnung der Form

dum(t)

Tm

+ um(t) = u0,

(2.18)

dt

die leicht zu simulieren ist.

Die Gefahr einer Synchronisierung steigt wenn die Zeitkonstante Tm groß wird und

der Anlauf langsam ist.

Abb. 2.13 stellt das Simulink-Modell für die oben gezeigte Differentialgleichung dar.

Die Spannung um(t) steigt exponentiell zum Endwert u0 mit einer Zeitkonstante Tm.

---

2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte

13

Strom*4 und induzierte Spannung

10

R = 10;

Strom

8

Induz. Spannung

kg = 0.032;

6

rgl = 0.001;

4

rv = 5e-06;

Strom

2

u0 = 5;

0

-20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

s

Winkelgeschwindigkeiten und Belastungsdrehmoment*2e5

500

Omega

400

Omega0

Drehmoment Ml

Erreichte

300

Drehzahl

200

100

Gewuenschte Drehzahl

00

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

s

Abb. 2.12: Strom, induzierte Spannung, ideale und erreichte Kreisgeschwindigkeit und Be-

lastungsdrehmoment für f = 32 Hz, J =1,99e-5, un = 2.5e-4

(unwucht_platte1.mdl, un-

wucht_platte_1.m)

dum(t)/dt

Gain1

um(t)

u0

1

Abb. 2.13: Simulink-Modell

1/Tm

s

für eine Anlaufspannung

Constant

Subtract1

Integrator2

(spannung_anl.mdl)

um(t)

Es wird dem Leser überlassen die gezeigten Modelle zu erweitern und neue Experi-

mente durchzuführen. Man könnte z.B. die Spitzenwerte des Stroms begrenzen in der

Annahme, dass die Quelle für die Eingangsspannung diese Begrenzung einführt. Dafür

ist der Block Saturation aus der Simulink-Unterbibliothek Library:simulink/Discontinuities

geeignet und muss im Modell im Strompfad eingeführt werden.

Das gezeigte Modell kann einfach für den Auslaufzustand, wie im Modell für den

Gleichstrom-Motor, erweitert werden.

Die physikalische Simulation mit einem Aufbau, das im letzten Kapitel beschrieben

wird, bestätigt das gezeigte Verhalten, das über die Simulation ermittelt wurde. Die

überlagerte Schwingung mit relativ hoher Frequenz, wie sie z.B. in Abb. 2.11 zu sehen

ist, kommt von der Unwuchtkraft m2e¨

x(t)sin() aus Gl. (2.16) bzw. Gl. (2.17). Der Anteil

sin((t)) stellt eine Schwingung der Frequenz f1 dar und ¨

x(t) bildet eine Schwingung

der Frequenz f2. Das Produkt führt zu einer Schwebung der Frequenz f1 - f2 und zu

einer Schwingung der Frequenz f1+f2, die den Anteil mit relativ hoher Frequenz ergibt.

---

Kapitel 3

Zwei Unwucht-Motoren auf
Feder-Masse-System

3.1

Mathematisches Modell des Systems

Abb. 3.1 zeigt die Skizze des Feder-Masse-Systems mit zwei Unwucht-Motoren. Die

Masse m1 der Plattform kann sich nur rauf und runter bewegen und es kann somit

angenommen werden, dass nur eine äquivalente Feder mit Federkonstante D und eine

viskose Dämpfung mit Konstante r vorhanden sind.

..

j1

.

..

m e

(t)

21

1

2

m e j (t)

22

2

2

.

m e j (t)

21

1

1

m e

2

j (t)

j (t)

22

2

2

2

j (t)

1

..

m x(t)

21

..

e2

e

m x(t)

22

1

m1

x(t)

D/2

r

D/2

Abb. 3.1: Skizze der Unwucht-Motoren auf Feder-Masse-System

Für die zum Gleichgewichtzustand relative Bewegung der Plattform mit einer Ge-

samtmasse

m = m1 + m21 + m22,

(3.1)

ergibt sich eine Differentialgleichung der Form:

dx(t)

v(t) = dt

(3.2)

dv(t)

m

=Fz(t) - Dx(t) - rv(t)

dt

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

15

Mit Fz(t) = Fz1 + Fz2 wird die Fliehkraft bezeichnet, die von den zwei Unwucht-

Motoren hervorgeht und durch

Fz(t) =m21e1(1(t))2cos(1) + m22e2(2(t))2cos(2)

(3.3)

un1(1(t))2cos(1) + un2(2(t))2cos(2)

gegeben ist. Mit un1, un2 wurden die Unwuchten der Motoren bezeichnet. Wie man sieht

wurden die Winkelbeschleunigungen ¨

1(t), ¨

2(t) vernachlässigt.

Für die Drehbewegung der Motoren ergeben sich folgende Differentialgleichungen:

d1(t)

1(t) =

dt

d2(t)

2(t) =

dt

(3.4)

d1(t)

dv(t)

J1

= kg1i1(t) +

un1sin(1(t)) - rglsign(1(t))

dt

dt

d2(t)

dv(t)

J2

= kg2i2(t) +

un2sin(2(t)) - rglsign(2(t))

dt

dt

Die Ströme der Motoren in der Annahme, dass man ihre Induktivitäten vernachläs-

sigen kann, sind durch

i1(t) = (um(t) - kg11(t))/R1

(3.5)

i2(t) = (um(t) - kg21(t))/R2

gegeben, wobei durch um(t) die angelegte Spannung bezeichnet ist. Um einen langsa-

men Anlauf und Auslauf nachzubilden, wird angenommen, dass die angelegte Span-

nung um(t) durch eine Differentialgleichung der Form

um(t)

Tm

+ um(t) = u0

(3.6)

dt

gegeben ist, wobei über die Zeitkonstante Tm die Steilheit der Änderung der Spannung

um(t) gesteuert wird. Sie kann relativ einfach in einem physikalischen Experiment über

die Zeitkonstante der Ladung eines Kondensators realisiert werden.

3.2

Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

Die gezeigten Differentialgleichungen bilden das mathematische Modell des Systems,

das jetzt in ein Simulink-Modell zu implementieren ist. Es gibt hier mehrere Möglich-

keiten. Eine davon wäre über die Zustandsvariablen des Systems, deren Ableitungen

durch einmal Integrieren, die Variablen ergeben, die notwendig sind, um diese Ablei-

tungen zu bilden.

Eine zweite Form, die gewählt wurde, basiert auf die Beschleunigungen die als be-

kannt angenommen werden. Durch zweimal Integrieren erhält man ähnlich alle Varia-

blen, die notwendig sind um diese Beschleunigungen zu bilden.

Die Simulink-Integratoren sind Blöcke die Vektoren (Variablen in Vektoren zusam-

mengefasst) auch bearbeiten können. In diesem System erscheinen drei Beschleunigun-

gen:

d1(t)/dt, d2(t)/dt und dv(t)/dt

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

16

Man muss somit diese drei Beschleunigungen als Funktionen aller Variablen des

Systems ausdrücken:

d1(t)

dv(t)

= [kg1i1(t) +

un1sin(1(t)) - rglsign(1(t))]/J

dt

dt

dv(t)

= [kg1(um(t) - kg11(t))/R1 +

un1sin(1(t)) - rglsign(1(t))]/J]

dt

dv(t)

= F1(um(t), 1(t),

, 1(t))

dt

d2(t)

dv(t)

= [kg2i2(t) +

un2sin(2(t)) - rglsign(2(t))]/J

dt

dt

(3.7)

dv(t)

= [kg2(um(t) - kg22(t))/R2 +

un2sin(2(t)) - rglsign(2(t))]/J]

dt

dv(t)

= F2(um(t), 2(t),

, 2(t))

dt

dv(t) =[Fz(t) - Dx(t) - rv(t)]/m

dt

= F3(1(t), 1(t), 2(t), 2(t), x(t), v(t))

Die Funktionen F1(...), F2(...), F3(...) werden in Fcn-Blöcken implementiert, nach-

dem die Beschleunigungen zweimal integriert werden. Abb. 3.2 zeigt das Simulink-

Modell, das auf dieser Möglichkeit aufgebaut wurde.

Die Blöcke, die das Modell nachbilden sind mit Schatten hervorgehoben, es sind die

zwei Integratoren und die Funktionsblöcke Fcn1, Fcn2 und Fcn3. Die Eingangssignale

dieser Blöcke immer mit u(i), i=1,2,... bezeichnet, entsprechen den Variablen,

die in den Mux-Blöcken zusammengefasst sind. So z.B. ist für den Block Fcn1 die Span-

nung um(t) die Variable u(1), 1(t) ist u(2) etc. Die Funktionen der ersten zwei Funk-

tionsblöcke laut der ersten zwei Gleichungen (3.7) werden somit als

(kg1*(u(1)-kg1*u(2))/R1+u(3)*un1*

sin

(u(4))-rgl*sgn(u(2)))/J

bzw.

(kg2*(u(1)-kg2*u(2))/R2+u(3)*un2*

sin

(u(4))-rgl*sgn(u(2)))/J

geschrieben. Die Ströme wurden hier explizit laut Gl. (3.5) ausgedrückt.

Der letzte Funktionsblock (Fcn3) hat am Eingang einen Vektor mit folgenden varia-

blen: u(1) für 1(t); u(2) für 1(t); u(3) für 2(t); u(4) für 2(t); u(5) für x(t) und

schließlich u(6) für v(t). Der Ausdruck dieses Blocks lautet somit:

(un1*(u(1)^2)*

cos

(u(2))+un2*(u(3)^2)*

cos

(u(4))-...

D*u(5)-rgl*sgn(u(6))/m

Auch hier wurden die Fliehkräfte Fz(t) = Fz1(t) + Fz2(t) explizit laut Gl. (3.3) aus-

gedrückt.

Oben links im Modell ist die Differentialgleichung für die Spannung des Motors

um(t) dargestellt, die der Gl. (3.6) entspricht.

Die Signale an diversen Stellen im Modell werden in drei Senken vom Typ Outport

(Out1, Out2, Out3) eingefangen und mit den Scope-Blöcken auch laufend gesichtet.

Die Anfangswerte der Zustandsvariablen 1(0), 2(0) und v(0) können im ersten In-

tegrator des Modells eingegeben werden, während die Zustandsvariablen 1(0), 2(0) und x(0)

im zweiten Integrator eingegeben werden.

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

17

omega1

omega2

u0

uM

v

1

1/Tmot

2

s

Step

Add1

Gain

Integrator

Scope1

3

2

v

Scope4

2

-u0

domega1/dt

omega1

domega2/dt

4

omega2

uM

Step1

f(u)

dv/dt

v

phi1

phi2

Fcn1

phi1

x

phi2

4

3

1

3

1

3

f(u)

x

s

3

s

3

x

Fcn2

Scope

Integrator1

Integrator2

Zero-Order

Hold

dv/dt

6

f(u)

B-FFT

Scope2

Fcn3

Spectrum

Scope

1

omega1

3

Out1

omega2

3

2

3

v

Out2

phi1

3

2

phi2

3

Out3

x

2

f(u)

Fcn4

2

2

2

f(u)

Scope3

Fcn5

Fiehkraefte

Add2

Abb. 3.2: Simulink-Modell der Unwucht-Motoren auf Feder-Masse-System (unwucht_2.mdl, un-

wucht_ini2.m)

Die Fliehkräfte werden in den unteren Funktionsblöcken Fcn4, Fcn5 auch gebildet,

um sie in der Senke Out3 einzufangen für eine Darstellung über ein Programm. Mit

Hilfe eines Spectrum Scope wird auch die Leistungsspektraldichte der Lage der Platt-

form ermittelt und dargestellt. Man kann so die wichtigsten Frequenzen der Lage x(t)

sichten.

Das Simulink-Modell wird über das Programm unwucht_ini2.m initialisiert und

aufgerufen. Abb. 3.3 zeigt eines der Bilder (figure) die erzeugt werden. Die Parameter

der Simulationen werden ebenfalls in diesem Bild aufgelistet. Für den konkreten Satz

der Parameter aus diesem Bild, erreicht nur einer der Motoren die Endkreisgeschwin-

digkeit. Nach 5 Sekunden wird der Auslauf eingeleitet und die angelegte Spannung

um(t) klingt exponentiell ab.

In diesem Modell wird keine Gleitreibung für die Motoren angenommen und die

Simulation wird mit variablen Integrationsschritte durchgeführt. Der Aufruf der Simu-

lation geschieht über folgende Befehle:

% ------- Aufruf der Simulation

dt = 1/100;

my_options =

simset

(′OutputVariables′,′ty′,′Solver′,′ode45′);

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

18

Lage*10 und Geschwindigkeit der Masse

1

un1 = 0.00022; un2 = 0.00023

D = 500; r = 0.5

Omega-Res. = 39.5285 rad/s

0.5

f0 = 6.2912 Hz

0

m = 0.32; J = 1.9e-05

kg1 = 0.021; kg2 = 0.02

Tmot = 0.2; u0 = 1.5

-0.5

R1 = 10; R2 = 10

omega-v0 = [0 0 0]

-1

phi-x0 = [0 1.0472 0]

0

2

4

6

8

10

Zeit in s

Winkelgeschwindigkeiten der Motoren

80

60

40

20

0

-200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Zeit in s (Abschalten bei 5 s)

Abb. 3.3: Variablen und Parameter des Modells (unwucht_2.mdl, unwucht_ini2.m)

[t,x,ym] =

sim

(′unwucht_2′,[0:dt:10],my_options);

% Ergebnisse

% mit fixer Schrittweite dt

für die FFT liefern

Mit my_options werden einige Optionen für das numerische Integrationsverfah-

ren gesetzt. Als Ausgangsvariablen werden nur die Zeit t und die Variablen der Senken

Outport Out1, Out2 und Out3 im Feld y ohne die Zustandsvariablen x gespeichert.

Der Solver mit ode45 initialisiert entspricht dem Runge-Kutta-Verfahren 4,5 Ordnung

und variabler Schrittweite.

Für diesen Solver möchte man die Variablen (Ergebnisse) aber an fixen Zeitmomen-

ten (feste Schrittweite) geliefert haben, um z.B. eine spektrale Analyse mit Hilfe der FFT

durchzuführen. Das wird durch die Form der Angabe für die Simulationszeit [0:dt:10]

statt [0,10] im Befehl

sim

erzwungen.

Das bedeutet, die numerische Integration wird mit variabler Schrittweite, um die To-

leranz zu sichern, durchgeführt, die Ergebnisse werden aber für die gewünschte Schritt-

weite (durch Interpolation) geliefert.

Wenn man auch Gleitreibung für die Motoren einbringt, bleibt diese numerische In-

tegration beim Versuch den genauen Nulldurchgang der Variablen zu bestimmen, hän-

gen. Als Lösung funktioniert hier nur eine Integration mit fixer Schrittweite. Das Mo-

dell unwucht_21.mdl erlaubt auch Gleitreibung und wird über unwucht_ini21.m

initialisiert und aufgerufen.

Der Aufruf geschieht über folgende Programmsequenz:

% ------- Aufruf der Simulation

dt = 1/1000;

% Schrittweite für fixed-step Solver

my_options =

simset

(′OutputVariables′,′ty′,′FixedStep′,dt,...

′Solver′,′ode3);

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

19

Lage*10 und Geschwindigkeit der Masse

0.4

un1 = 0.00022; un2 = 0.00023

D = 500; r = 0.5

Omega-Res. = 39.5285 rad/s

0.2

f0 = 6.2912 Hz

0

m = 0.32; J = 1.9e-05

kg1 = 0.021; kg2 = 0.02

Tmot = 0.2; u0 = 2

-0.2

R1 = 10; R2 = 10.2

omega-v0 = [0 0 0]

-0.4

phi-x0 = [0 1.0472 0]

0

2

4

6

8

10

Zeit in s

Winkelgeschwindigkeiten der Motoren

100

80

60

40

20

0

-200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Zeit in s (Abschalten bei 5 s)

Abb. 3.4: Variablen und Parameter des Modells mit Gleitreibung (unwucht_21.mdl, un-

wucht_ini21.m)

[t,x,ym] = sim(′unwucht_21′,[0,10],my_options);

% Ergebnisse mit

% fixer Schrittweite dt geliefert

Die Ergebnisse werden mit der fixen Schrittweite dt geliefert, die jetzt viel kleiner als

vorher gewählt wurde.

Wenn Gleitreibung vorhanden ist, dann ist die ideale zu erreichende Kreisgeschwin-

digkeit, z.B. für den ersten Motor, aus der Gl. (3.7) mit d1(t)/dt = 0, dvt/dt = 0 zu

erhalten. Aus

kg1i1() - rgl = 0

(3.8)

ergibt sich der stationäre Wert 1():

kg1u0 - rglR1

1() =

(3.9)

k2g1

und ähnlich auch für 2(). Ohne Gleitreibung (rgl = 0) ist die ideale, erreichbare

Kreisgeschwindigkeit einfach durch

u0

1() =

(3.10)

kg1

gegeben. Für die Parameter des Falls, der in Abb. 3.3 gezeigt ist, ohne Gleitreibung sind

die zwei Grenzwerte:

1() = u0/kgg1 = 1, 5/0, 021

= 71 rad/s

2() = u0/kgg2 = 1, 5/0, 02

= 75 rad/s

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

20

Der zweite Motor erreicht nur

= 40 rad/s, was in der Nähe der Resonanzfrequenz

des Feder-Masse-Systems liegt, die man aus

D

500

res =

=

= 39, 52 rad/s

(3.11)

m

0, 32

erhält. Der zweite Motor ist mit dem Feder-Masse-System synchronisiert und kann den

gezeigten Grenzwert nicht erreichen.

Lage*10 und Geschwindigkeit der Masse

1

un1 = 0.00022; un2 = 0.00023

D = 500; r = 0.5

Omega-Res. = 39.5285 rad/s

0.5

f0 = 6.2912 Hz

0

m = 0.32; J = 1.9e-05

kg1 = 0.021; kg2 = 0.02

Tmot = 0.8; u0 = 2

-0.5

R1 = 10; R2 = 10.2

omega-v0 = [0 0 0]

-1

phi-x0 = [0 1.0472 0]

0

2

4

6

8

10

Zeit in s

Winkelgeschwindigkeiten der Motoren

50

40

30

20

10

00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Zeit in s (Abschalten bei 5 s)

Abb. 3.5: Variablen und Parameter des Modells ohne Gleitreibung und mit langsamen Anlauf

(unwucht_21.mdl, unwucht_ini21.m)

Abb. 3.4 zeigt die Ergebnisse bei einer Gleitreibung mit rgl = 0, 0001. Beide Motoren

erreichen die Grenzkreisgeschwindigkeit laut Gl. (3.9) von

= 92, 9 rad/s. Ohne Gleitrei-

bung mit gleichen, restlichen Parametern, außer Tm der größer gewählt wird, synchro-

nisieren sich die Motoren mit der Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz) des Feder-Masse-

Systems (Abb. 3.5) und bleiben bei einem Wert von

= 40 rad/s hängen. Mit steilerem

Anlauf, bedingt durch Tm = 0, 2, erreichen die Motoren wieder die idealen Endwerte

der Kreisgeschwindigkeiten.

Der Vergleich des Verlaufs der Lage x(t) des Feder-Masse-Systems aus Abb. 3.4 und

Abb. 3.5 zeigt, dass im Falle der Synchronisierung das System mit relativ großer Ampli-

tude schwingt.

In den Modellen (z.B. aus Abb. 3.2) sind auch Spectrum Scope-Blöcke am Signal x(t),

das die Lage des Feder-Masse-Systems darstellt, angeschlossen. Dieses Signal ist nur

für einen relativen, kurzen Zeitintervall im stationären Zustand, so dass es schwer ist,

zu sagen, welche Leistungsspektraldichte angezeigt wird.

Auch in den entsprechenden Programmen (unwucht_ini2.m, unwucht_ini21.m)

wird aus dem Signal x(t) die Leistungspektraldichte mit der Funktion

pwelch

berech-

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

21

net und dargestellt. Als Beispiel wird die Programmsequenz aus unwucht_ini21.m

gezeigt:

% ------- Spektrum der Lage

ysp = ym(1:10:

end

,6);

% Dezimierung Faktor 10

% von dt = 1/1000 auf dtsp = 1/100=fs

fs = 100;

[Pxx,f] =

pwelch

(ysp,[],[0],[256],fs);

%[Pxx,f] = pwelch(ysp(:,3),[],[],[],fs); % default

figure

(3);

clf

;

plot

(f, 10*

log10

(Pxx));

xlabel

(′Hz′);

grid

;

ylabel

(′dB′);

title

(′Leistungsdichte der Lage x′);

La =

axis

;

if

La(4) < 0

posy = 1.2*La(4);

elseif

La(4) == 0

posy = -10;

else

posy = La(4)*0.8;

end

;

text

(20, posy, [′fres = ′,

num2str

(f0), ′ Hz′]);

frot1 = (kg1*u0-rgl*R1)/(2*

pi

*kg1^2);

% Ideale Drehfrequenz

text

(20, posy - 10, [′frot1 = ′,

num2str

(frot1), ′ Hz′]);

Leistungsdichte der Lage x

0

-10

fres = 6.2912 Hz

-20

frot1 = 15.1215 Hz

-30

-40

dB

-50

-60

-70

-800

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Hz

Abb. 3.6: Leistungsspektraldichte der Lage bei synchronisierten Motoren (unwucht_21.mdl, un-

wucht_ini21.m)

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

22

Da hier die Simulation mit einer sehr kleinen fixen Schrittweite von dt = 1/1000 (we-

gen der Gleitreibung) durchgeführt wird, werden die Daten mit Faktor 10 dezimiert, so

dass man eine Abtastfrequenz von fs = 100 Hz erhält. Für einen verlängerten statio-

nären Zustand (z.B. bis 10 s und eine Gesamtzeit von 15 Sekunden) ist die berechnete

Leistungsspektraldichte stabil und zeigt für den Fall, dass die Motoren sich mit der Ei-

genfrequenz des Feder-Masse-Systems synchronisieren, diese Frequenz (Abb. 3.6). Sie

ist 6,2912 Hz und die ideale Drehfrequenz, die nicht erreicht wurde ist 15,1215 Hz.

50

-40

45

-60

40

fres = 6.2912 Hz

35

-80

30

frot1 = 22.2348 Hz

25

-100

20

Frequency (Hz)

15

-120

10

-140

5

0

2

4

6

8

10

12

14

Time

Abb. 3.7: Spektrogramm der Lage wenn die Motoren hochfahren können (unwucht_22.mdl, un-

wucht_ini22.m)

Das nicht stationäre Verhalten während des An- und Auslaufs könnte man mit ei-

nem Spektrogramm [7], das für kurze Abschnitte des Signals die FFT ermittelt, um die

so genannte Short-Time-Fourier-Transfomation anzunähern. Im Programm unwucht_ini22.m

wird das Modell unwucht_22.mdl initialisiert und aufgerufen, um aus den Lagewer-

ten x(t) das Spektrogramm zu ermitteln und darzustellen. Die entsprechende Sequenz

des Programms ist:

figure

(3);

clf

;

spectrogram

(ysp,128,64,256,fs,′yaxis′);

colorbar

;

posy = 40;

% Textposition in y-Richting

text

(2, posy, [′fres = ′,

num2str

(f0), ′ Hz′]);

frot1 = (kg1*u0-rgl*R1)/(2*

pi

*kg1^2);

text

(2, posy - 10, [′frot1 = ′,

num2str

(frot1), ′ Hz′]);

Abb. 3.7 zeigt das Spektrogramm für die Simulation mit Parametern, die zum Ver-

halten geführt haben, das in Abb. 3.8 gezeigt ist. Die Motoren synchronisieren sich am

Anfang mit der Eigenfrequenz der Plattform und danach erreichen sie die ideale Dreh-

frequenz. Im Spektrogramm ist die Eigenfrequenz von 6,2912 Hz praktisch durchge-

hend erkennbar mit höheren Werten am Anfang. Danach sieht man kleinere Anteile der

idealen Drehfrequenz, in diesem Fall von 22,2348 Hz. Die Motoren synchronisieren sich

---

3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell

23

Winkelgeschwindigkeiten der Motoren

150

un1 = 0.00022; un2 = 0.00023

D = 500; r = 0.5

Omega-Res. = 39.5285 rad/s

100

f0 = 6.2912 Hz

50

m = 0.32; J = 1.9e-05

kg1 = 0.021; kg2 = 0.02

Tmot = 1.8; u0 = 3.41

0

R1 = 10; R2 = 10.2

omega-v0 = [0 0 0]

-50

phi-x0 = [0 1.0472 0]

0

5

10

15

Zeit in s (Abschalten bei 5 s)

Lage*10 und Geschwindigkeit der Masse

1

0.5

0

-0.5

-10

5

10

15

Zeit in s

Abb. 3.8: Winkelgeschwindigkeiten der Motoren und Lage bzw. Geschwindigkeit des Feder-

Masse-Systems (unwucht_22.mdl, unwucht_ini22.m)

Fliehkraefte

5

0

Abb.

3.9:

Die

-50

5

10

15

zwei

Fliehkräfte

Zeit in s

und ihre Summe

Summe der Fliehkraefte

(unwucht_22.mdl,

6

unwucht_ini22.m)

4

2

0

-2

-4

-60

5

10

15

Zeit in s

jetzt auf diese Drehfrequenz und bilden Fliehkräfte die entgegengesetzt wirken und die

Plattform des Feder-Masse-Systems nur wenig rütteln. Das ist deutlich in Abb. 3.8 unten

im Intervall t > 5 zu erkennen. Der Auslauf beginnt hier bei t = 10 Sekunden.

Abb. 3.9 zeigt oben die zwei Fliehkräfte und unten deren Summe. Am Anfang ist

die Summe relativ groß, weil die Motoren unterschiedliche Anfangswinkel für die Un-

wuchten besitzen (1 = 0, 2 = /3 = 1, 0472 rad).

---

3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente

24

Leider ist das Spektrogramm hier nicht in Farbe dargestellt und die hohen und tiefen

Werte erhalte gleiche dunkle Grauwerte.

3.3

Vorschläge für weitere Simulationsexperimente

Die gezeigten Modelle können im Hinblick auf konkrete Anwendungen für weitere Ex-

perimente erweitert werden.

So z.B. kann das Modell der zwei Unwuchtmotoren auf Feder-Masse-System für

den Fall eines einzigen Motors leicht umgewandelt werden. Mit geschickt gewählten

Parametern kann das Modell direkt diesen Fall nachbilden. Wenn der Widerstand R2

des zweiten Motors sehr groß gewählt wird (R2 = 10000) erhält er praktisch keinen

Strom und wird sich nicht bewegen und am Verhalten des Systems nicht beteiligen.

Eine andere interessante Untersuchung wäre den Auslauf nicht mit unterbrochenen

Eingangskreis einzuleiten, sondern durch das Kurzschliessen der Motorklemmen oder

das Schließen eines Wiederstandes. Der Motor wird Generator und ihm ist sehr schnell

die akkumulierte, kinetische Energie entzogen.

Eine realistische Annahme, dass der Strom begrenzt ist, kann auch relativ leicht

nachgebildet werden. Man müsste allerdings das Modell neu aufbauen, so dass der

Strom der Motoren zugänglich ist. Mit ein bisschen Mühe, können alle Teile separat

modelliert werden, was zu zusätzliche Erweiterungsmöglichkeiten führen kann.

uM

Feder-Masse-System (m,D,rv) mit 2 Unwucht-Motoren

i1

i1

uM

uM1

fralf1

fralf1

Spannungs-

Fz1

Fz1

t

Versorgung

dv/dt

w1

w1

Motor 1

Fz1

x

x

i2

i2

Fz2

dv/dtl

uM

fralf2

fralf2

Feder-Masse-

Fz2

System

dv/dt

w2

w2

Fz2

Datei syn30.mdl

Motor 2

Abb. 3.10: Simulink-Modell aus getrennten Teilen aufgebaut (unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)

3.3.1

Simulink-Modell mit Untermodellen der Hauptkomponenten

Abb. 3.10 zeigt das Simulink-Modell, in dem mit vier Untermodellen das System auf-

gebaut ist. Sie sind in den Blöcken, die mit Schatten hervorgehoben sind, enthalte. Das

erste ganz links oben enthält das Modell für die Erzeugung der Motorspannung, wie in

Abb. 2.13 gezeigt.

In zwei zusammengefassten Modellen werden die Motore simuliert. Wenn man mit

der Maus drauf klickt erhält man z.B. für den Motor 1 das Modell aus Abb. 3.11. Als

---

3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente

25

Eingänge sind hier die Spannung uM1 und die Beschleunigung dv/dt vorgesehen. Das

Untermodell liefert als Ausgänge die Variablen fralf1, w1 und Fz1. Die erste von

diesen stellt den Winkel 1(t) vom Ausgang des zweiten Integrators (Winkel des Motors

1) in Form von Modulo(1) dar. Mit w1 wird die Kreisgeschwindigkeit 1(t) bezeichnet

und Fz1 stellt die Fliehkraft des Motors 1 dar. In den Funktionsblöcken sieht man die

nachgebildeten Beziehungen, wobei u(1),u(2) die Eingänge dieser Blöcke sind, die

über Mux-Blöcke zusammengefasst wurden.

Für den Motor 2 gilt ein ähnliches Modell, das hier nicht mehr gezeigt wird.

Motor 1

1

1

uM1

Formel für Strom i1und Diffgln. für w1 und Winkel alf1 :

i1

i1= (uM-kg1*w1)/R1

1/R1

kg1

J1* dw1/dt = kg1* i1 - rGL1*sign(w1) +dv/dt * un1 * sin(alf1)

dalf1/dt = w1

kg1

Fliehkraft Fz1:

Fz1= un1* w1* w1 * cos(alf1)

1

1

1/J1

u /(2*pi) - floor (u /(2*pi) )

2

s

s

fralf1

w1st

rGL1*sgn(u)

4

w1

un1* sin( u[1] )* u[2]

un1 * u[2] *u[2] * cos (u[1] )

3

Fz1

Mux

2

dv/dt

Abb. 3.11: Modell des Motors 1 (unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)

Fz2

Feder-Masse-System

2

dv/dt

v

1

1

Diffgln:

1

1/m

s

s

m*dv/dt = Fz1 + Fz2 - D*x - rv*v

Fz1

dx/dt = v

rv

rvH

(u > tH)* ( tH+dtH > u)

2

dv/dtl

0

D

1

x

Abb. 3.12: Modell des Feder-Masse-Systems (unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)

Das letzte Untermodell aus Abb. 3.10 ganz rechts ist das Feder-Masse-System,

das die Dynamik des Feder-Masse-Systems mit dem Modell aus Abb. 3.12 nachbildet.

Als Eingangsvariablen sind hier die Fliehkräfte der Motoren und als Ausgangsvariablen

werden die Beschleunigung dv/dt (unten links) und die Lage x geliefert.

---

3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente

26

Hier wird auch mit einem kleinen Trick die Möglichkeit simuliert, zu einem be-

stimmten Zeitmoment die Plattform des Feder-Masse-Systems nahezu zu blockieren

und somit die Schwingungen zu stoppen bzw. so den Motoren die Möglichkeit hochzu-

fahren einräumen.

Winkelgeschwindigkeiten der Motoren

100

un1 = 0.00022; un2 = 0.00023

D = 500; rv = 0.5

Omega-Res. = 39.5285 rad/s

50

f0 = 6.2912 Hz

Motoren

m = 0.32; J = 1.9e-05

hochgefahren

kg1 = 0.021; kg2 = 0.02

0

Tmot = 1.8; u0 = 2

Motoren

R1 = 10; R2 = 10.2

hängen

-500

5

10

15

Zeit in s (Grosse Reibung bei 8 bis 13 s)

Lage der Masse

0.4

0.2

0

-0.2

-0.40

5

10

15

Zeit in s

Abb. 3.13: Winkelgeschwindigkeiten der Motoren und Lage des Feder-Masse-Systems (un-

wucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)

Strom des Motors 1

0.2

0.15

0.1

0.05

00

5

10

15

Zeit in s

Modulo(1) des Winkels fuer Motor 1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

00

5

10

15

Zeit in s

Abb. 3.14: Strom und Modulo(1) des Winkels für Motor 1 (unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)

Die Zeit, geliefert durch den Clock-Block (ganz rechts), dient der Bildung des Signals

zum Umschalten auf eine sehr große viskose Reibung rvH im Zeitintervall definiert

durch tH bis tH+dtH, die als Parameter definiert sein müssen.

---

3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente

27

Abb. 3.13 zeigt oben die Winkelgeschwindigkeiten der Motoren, die am Anfang sich

mit der Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems synchronisieren und nicht ihre korrek-

te Drehzahl erreichen. Zum Zeitpunkt tH hier bei 8 Sekunden wird die große Reibung

zugeschaltet und die Plattform bleibt praktisch stehen, sie schwingt nicht mehr, wie

man aus der Darstellung der Lage der Masse feststellen kann. Die Motoren, von der

Synchronisation befreit, können beschleunigen und erreichen die ideale Drehgeschwin-

digkeit.

Die große Reibung dauert dtH 5 Sekunden und danach wird die Plattform sozu-

sagen freigelassen. Die Motoren sind jetzt so synchronisiert, dass die annähernd glei-

che Unwuchten entgegengesetzte Fliehkräfte bilden und die Plattform weiterhin ruhig

bleibt.

Diese Form des Modells hat den Vorteil, dass alle Variablen explizit verfügbar sind

und es ist sehr einfach z.B. eine Strombegrenzung im Modell einzubauen. Auch für die

Darstellungen sind alle Variablen i1(t), i2(t), 1(t), 2(t), 1(t) = d1(t)/dt, . . . etc. und

die Zeit t verfügbar, weil sie in To Workspace-Senken eingefangen wurden. Das sind die

viereckigen Blöcke, die den Namen der entsprechenden Variablen enthalten. Abb. 3.14

ist z.B. einfach mit folgender Programmsequenz erzeugt:

figure

(3);

clf

;

subplot

(211),

plot

(t, i1);

title

(′Strom des Motors 1′);

xlabel

(′Zeit in s′);

grid

subplot

(212),

plot

(t, fralf1);

title

(′Modulo(1) des Winkels fuer Motor 1′);

xlabel

(′Zeit in s′);

grid

Interessant zu bemerken ist, dass im Zustand der Synchronisation mit der Eigen-

frequenz der Strom relativ hohe Werte einnimmt, weil die induzierte Spannung wegen

der Begrenzung der Drehgeschwindigkeit relativ klein ist. Nacher im hochgefahrenen

Zustand ist die induzierte Spannung größer (t > 10 s) und der Strom ist wesentlich

kleiner.

---

Kapitel 4

Physikalisches Experiment

Die Sachverhalte, die im Kapitel 3 mit Hilfe von mathematischen Modellen untersucht

wurden, können auch relativ einfach experimentell mit physikalischen Aufbau über-

prüft werden.

Abb. 4.1 zeigt die Anordnung mit der experimentiert wird. Das Feder-Masse-System

besteht aus zwei Blattfedern (Parallel-Feder-System) mit einer gesamten Federkonstan-

te D. Diese zwei Federn erlauben eine Bewegung nur in einer Richtung, ohne dass eine

Führung notwendig ist. Die Dämpfung des Systems wird mit einem Dämpfungsbügel

aus Teppichbodenbelag erzeugt.

Auf der oberen Platte (Plattform) ist links und rechts je ein Unwucht-Gleichstrom-

Motor angebracht. In der Ruhelage sind die Blattfedern vertikal ausgerichtet. Gezeich-

net ist eine um die Strecke (Lage) x(t) ausgelenkte obere Platte. Die schwingende Masse

m besteht aus der oberen Platte und den Motoren. Die Unwuchten der Motoren werden

mit Hilfe der Mutterschraube eingestellt.

Die Auslenkung x(t) der Schwingenden Masse wird mit der links gezeigten Piezo-

Elektronik gemessen. Die Auslenkung krümmt die Blattfeder und damit auch die auf-

geklebte Piezoscheibe. Bei dieser Krümmung erzeugt die Piezoscheibe eine elektrische

Ladung, die proportional der Auslenkung x(t) ist. Mit Hilfe eines Operationsverstär-

kers mit FET1-Eingangsstufe (TL081), der als Ladungsverstärker geschaltet ist, wird die

Ladung in eine Spannung (ux(t)) umgewandelt, die gemessen wird.

Die Motoren haben je eine mitrotierende Scheibe mit einem Schlitz. Der Schlitz hat

die gleiche Winkellage wie die Unwuchtschraube. Mit einer aus Leuchtdiode und Fo-

totransistor bestehenden Gabellichtschranke wird die Winkelposition des Schlitzes und

damit die Winkellage der Unwucht detektiert.

Der Aufbau, der in Abb. 4.1 unten gezeigt ist, enthält nicht den Dämpfungsbügel,

der aber leicht angebracht werden kann. Derselbe Aufbau kann auch für andere Expe-

rimente eingesetzt werden und von diesem ist die mittlere Säule mit einer Spule übrig

geblieben. Die Spule zusammen mit einem Permanentmagnet-Stab dient der forcierten

Anregung des Feder-Masse-Systems. Wenn die Spule über ein Leistungsverstärker si-

nusförmig angeregt wird, kann man das Experiment aus 2.2 simulieren.

1Field-Effect-Transistor

---

4.1 Spannungsversorgung der Motoren

29

Sraube als

rotierende Unwucht

Lichtschranke

mit Schlitz

bei Unwucht

Taster

Dämpfungsbügel

aus

Teppichboden

Motor mit vertikaler

Welle

C

-

Piezo-

Blattfeder,

Scheibe

gesamte

uX

Federkonstante D

+

FET-OP

(TL 081)

Auslenkung x(t)

Feste Unterlage

Abb. 4.1: Skizze und Aufbau des physikalischen Experiments zur Unwuchtsynchronisation

4.1

Spannungsversorgung der Motoren

In Abb. 4.2 ist die Skizze der Spannungsversorgung für die Motoren gezeigt. Mit ei-

nem Kippschalter wird der Kondensator CT (angenommen entladen) an die Spannung

u0 über den Widerstand RT angeschlossen. Die Spannung am Kondensator steigt nach

einer Exponentialfunktion mit der zeitkonstante RT CT bis zur konstanten Eingangs-

spannung.

Wenn der Schalter in Position 2 gebracht wird, entlädt sich der Kondensator eben-

falls exponentiell mit der gleichen Zeitkonstante und es wird der Auslauf durchgeführt.

---

4.2 Der Ladungsverstärker

30

R

u (t)

R

T

m

1

1

2

u0

Spannungs-

folger

k

w (t)

g1

1

C

Motor 1

T

R2

Kippschalter

k

w (t)

g2

2

Motor 2

Abb. 4.2: Skizze der Spannungsversorgung der Motoren

Die Spannung am Kondensator wird über eine Leistungsstufe, die als Spannungsfolger

geschaltet ist, den Motoren zugeführt.

Über den Widerstand RT wird die Zeitkonstante des Motors geändert und somit die

Geschwindigkeit mit der sich die An- und Auslaufspannung ändert.

4.2

Der Ladungsverstärker

Abb. 4.3 zeigt die Ersatzschaltung der Piezo-Scheibe, die auf der Blattfeder geklebt ist,

und von dieser verformt wird, zusammen mit dem Ladungsverstärker [5], [6]. Dieser

wird mit Hilfe eines Operationsverstärkers, der eine Eingangsstufe mit FET-Transistoren

besitzt, realisiert.

Die Ladung, die sich auf der Scheibe bildet, ist zur Verformung proportional:

q(t) = kqx(t)

(4.1)

Wobei mit kq die Proportionalitätskonstante bezeichnet wird.

C

Abb. 4.3: Ladungsverstär-

-

ker mit OP für die Piezo-

u (t)

+

a

i (t)

Scheibe

q

Ladungs-

verstärker

Ci

Aus Abb. 4.3 ist zu entnehmen, dass die Piezo-Scheibe durch einen Stromgenera-

tor ersetzt wird, der eine Kapazität in parallel geschaltet hat. Diese ist die Kapazität,

die zwischen den Elektroden der Scheibe entsteht zu der eventuell die Kapazität des

Verbindungskabels noch hinzuaddiert werden muss.

---

4.2 Der Ladungsverstärker

31

Da diese Kapazitäten durch die virtuelle Masse des Eingangs des OPs kurzgeschlos-

sen sind und der OP keinen Eingangsstrom benötigt, wird der ganze Strom der Piezo-

Scheibe dem Kondensator C zugeführt. Die Spannung am Ausgang des OPs ist somit:

1

t

ua(t) = -

iq(t)dt + ua(0)

(4.2)

C

0

Da der Strom der Piezo-Scheibe gleich der zeitlichen Ableitung der Ladung ist (iq(t) =

dq(t)/dt), ergibt sich schließlich eine Ausgangsspannung des OPs der Form:

q(t)

kqx(t)

ua(t) = -

+ ua(0) = -

+ ua(0)

(4.3)

C

C

Mit dem Schalter, der parallel zum Kondensator angebracht ist, kann man am An-

fang den Kondensator entladen (ua(0) = 0). Die sehr kleinen Leckströme der mit FET-

Transistoren bestückte Eingangsstufe des OPs führen über einige Minuten hinaus zu

einem sehr kleinen Drift dieser Referenzspannung.

Wenn man den Kondensator durch einen Widerstand ersetzt, ist die Ausgangsspan-

nung des OPs zur Geschwindigkeit der Verformung und somit der Auslenkung pro-

portional:

dq(t)

dx(t)

ua(t) = -iq(t)R = -R

= -Rkq

(4.4)

dt

dt

R

C

-

Abb. 4.4: Angenäherter La-

dungsverstärker mit OP

u (t)

+

a

i (t)

q

Ladungs-

verstärker

Ci

Im Ladungsverstärker kann der Kondensator mit einem großen Widerstand parallel

geschaltet werden, um den Drift zu vermeiden oder zu unterdrücken (Abb.4.4). Oh-

ne Widerstand ist die Übertragungsfunktion zwischen Iq(j) als komplexer Eingangs-

strom und Ua(j) als komplexe Ausgangsspannung durch

Ua(j)

1

= -

(4.5)

Iq(j)

jC

gegeben. Mit dem zusätzlichen Widerstand R ändert sich diese Übertragungsfunktion

und wird:

Ua(j)

R

= -

(4.6)

Iq(j)

jRC + 1

Wenn die Zeitkonstante RC so gewählt wird, dass im Frequenzbereich des Ein-

gangssignals RC >> 1 ist, verhält sich diese Übertragungsfunktion, wie die aus Gl.

(4.5). Als Beispiel, bei einem Frequenzbereich mit der minimalen Frequenz von 0.1

Hz muss die Zeitkonstante RC >> 1/(2fmin)

= 1, 6 s sein. Für C = 1µF müsste

R >> 1, 6M sein, eine Bedingung die relativ einfach einzuhalten ist.

---

4.3 Physikalisches Experiment: Gleichstrom-Motor auf oszillierender Platte

32

4.3

Physikalisches Experiment: Gleichstrom-Motor auf os-
zillierender Platte

Es wird mit einem physikalischen Experiment das Verhalten des Gleichstrom-Motors

auf oszillierender Platte untersucht, um zu zeigen, dass die Ergebnisse der Simulation

korrekt sind und in der Realität reproduzierbar sind.

Abb. 4.5 zeigt die Skizze der eingesetzten Anordnung. Sie entspricht der Anordnung

aus Abb. 4.1 mit kleinen Unterschieden. Es wird nur ein Motor benutzt, der auch ein

Wechselstrom-Tachogenerator beinhaltet. Jede Drehung ergibt 6 Perioden einer Wech-

selspannung, deren Amplitude zur Drehgeschwindigkeit proportional ist.

N

S

Supper-

Spule

permanentmagnet

Tacho-

generator

Eisenstab

Auslenkung x(t)

Feste Unterlage

Abb. 4.5: Skizze des Experiments "Gleichstrom-Motor auf oszillierender Platte"

Die Platte kann zum Schwingen (Oszillieren) über eine Spule und einen Eisenstab,

der von einem sehr starken Supper-Permanentmagnet angezogen ist, angeregt werden.

Abb. 4.6 zeigt den Verlauf des magnetischen Flusses (x) entlang des Eisenstabs und

den Verlauf des Radialflusses r(x), die durch den Permanentmagnet entstehen, wobei

der erste annähernd linear abfällt und der zweite annähernd konstant bleibt.

Der Radialfluss, der senkrecht aus den Stab austritt, und annähernd konstant ent-

lang des Stabes bleibt ergibt in einer sich bewegenden Spule eine induzierte Spannung.

Wenn ein Strom durch die Spule fliesst erhält man eine Kraft, die bei fixer Spule auf

dem Eisenstab einwirkt.

Daraus folgt, dass man die Spule und den Eisenstab "Tauchspulsystem") als Sensor

benutzen kann [6], und eine Bewegung des Stabs zu einer induzierten Spannung ug(t)

der Form

dx(t)

ug(t) = kg

= kgv(t)

(4.7)

dt

führt. Sie ist proportional zur Geschwindigkeit des Stabes v(t).

Im Falle dass die Spule und der Eisenstab als Aktuator benutzt werden [6], führt ein

Strom i(t) durch die fixe Spule zu einer auf den Stab einwirkende Kraft der Größe:

F (t) = kmi(t)

(4.8)

---

4.3 Physikalisches Experiment: Gleichstrom-Motor auf oszillierender Platte

33

f (x)

r

N

S

Spule

f(x)

x

Supper-

permanentmagnet

f (x)

r

Eisenstab

f(x)

Abb. 4.6: Verlauf des ma-

Annähernd

gnetischen Flusses entlang

linear

des Eisenstabs

0

x

Annähernd

f (x)

konstant

r

0

x

Der Energieerhaltungssatz, der auch beim Gleichstrom-Motor angewandt wurde,

führt dazu, dass die zwei Konstanten kg und km gleich sind.

Kreisgeschwindigkeit des Motors

100

80

60

40

20

0

-200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Abb. 4.7: Hochfahren

Zeit in s

des Motors auf Feder-

Geschwindigkeit der Masse

Masse-System

50

0

-500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Zeit in s

Ein sinusförmiger Strom durch die Spule wird dann die Platte im stationären Zu-

stand zu einer sinusförmigen Bewegung anregen. Man muss allerdings die Resonanz-

frequenz anregen, um mit einer kleinen Leistung diese Bewegung zu erhalten.

Die Kreisgeschwindigkeit des Motors wird mit Hilfe des Tachogenerators gemes-

sen. Dafür wird dessen Wechselspannung mit einer OP-Präzisionsgleichrichtung und

Filterung in eine zur Kreisgeschwindigkeit propotionalen kontinuierlichen Spannung

umgewandelt.

---

4.3 Physikalisches Experiment: Gleichstrom-Motor auf oszillierender Platte

34

Im ersten Versuch wird einfach der Motor eingeschaltet, um ihn dadurch hochzu-

fahren, Abb. 4.7. Die Unwucht des Motors wird die Platte in Resonanz zum Schwingen

bringen und zu einer Synchronisierung des Motors führen. Der Motor kann nicht die

Endkreisgeschwindigkeit erreichen. Nach 5 Sekunden wird die Platte des Feder-Masse-

Systems mit der Hand kurz festgehalten und der Motor beschleunigt bis zur Endkreis-

geschwindigkeit. Die Platte beruhigt sich und zeigt eine relativ kleine Schwebung, die

die Eigenfrequenz moduliert (Abb. 4.7 unten).

Kreisgeschwindigkeit des Motors

80

60

40

20

0

-200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Abb. 4.8: Hochfahren

Zeit in s

des Motors auf Feder-

Geschwindigkeit der Masse

Masse-System

100

50

0

-50

-1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Zeit in s

Kreisgeschwindigkeit des Motors

100

80

60

40

20

Abb. 4.9: Hochfahren

00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

des Motors auf Feder-

Zeit in s

Masse-System mit kur-

Geschwindigkeit der Masse

zem Anhalten der Plat- 100

te nach 5 Sekunden

50

0

-50

-1000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Zeit in s

Mit einem stabilen Frequenzgenerator über einen Leistungsverstärker kann man die

Platte bei Resonanz zum Schwingen bringen. Da die Dämpfung sehr klein ist und somit

---

4.3 Physikalisches Experiment: Gleichstrom-Motor auf oszillierender Platte

35

die Güte des Feder-Masse-Systems sehr groß ist, muss man die Einstellung der Anre-

gungsfrequenz sehr fein abstimmen.

Im nächsten Experiment wird zuerst die Platte zum Schwingen gebracht und dann

wird der Motor eingeschaltet. Abb. 4.8 oben zeigt klar, dass der Motor sich mit der

Bewegung der Platte synchronisiert und nicht die Endkreisgeschwindigkeit erreicht,

die bei einer ruhenden Platte vorkommt. Im selben Bild unten ist die Geschwindigkeit

der forcierten Schwingung der Platte dargestellt. Wie man sieht beeinflusst der Motor

mit seiner Unwucht die Amplitude der Schwingungen.

Wenn jetzt ebenfalls nach 5 Sekunden die Platte kurz festgehalten wird, steigt die

Kreisgeschwindigkeit des Motors bis zu ihrem Endwert, Abb. 4.9. Die zusätzlichen

Schwingungen der Kreisgeschwindigkeit des Motors aus diesem Experiment bei dem

synchronisierten Wert von ca. 60 und beim Endwert 80 sind auch in den Simulationen

aufgetreten (siehe Abbildungen 2.11, 2.12, 3.3).

Kreisgeschwindigkeit des Motors

85

80

75

70

650

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Abb. 4.10: Stationärer

Zeit in s

Zustand

nach

dem

Geschwindigkeit der Masse

Hochfahren

100

50

0

-50

-1000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Zeit in s

Im stationären Zustand mit oszillierender Platte, nachdem der Motor hochgefahren

ist (Abb. 4.10), schwingt die Kreisgeschwindigkeit des Motors um den Endwert und

zeigt somit, dass auch in diesem Zustand die Platte den Motor beeinflusst.

Ähnlich kann auch der Fall der zwei Unwucht-Motoren auf Feder-Masse-System

untersucht werden. Die Ergebnisse, die man erhält, sind den Ergebnissen der Simula-

tionen ähnlich und zeigen, dass man den Simulationen vertrauen kann und mit deren

Hilfe wichtige Erkenntnisse gewinnt, die mit analytischen und theoretischen Mitteln

nicht zu erhalten sind.

Die Messungen wurden mit einem zweikanal digitalen Oszilloskop (HAMEG) durch-

geführt, der über eine RS 232-Schnittstelle mit einem PC verbunden ist. Die Daten wer-

den mit 8 Bit Auflösung erfasst.

---

Literaturverzeichnis

[1] S. Rao Singiresu. Mechanical Vibrations (Fourth Edition). Pearson, Prentice Hall, 2004.

[2] A. P. Filippow. E. G. Goloskokow. Instationäre Schwingungen mechanischer Systeme.

Akademie-Verlag Berlin, 1971.

[3] H. Christ. Stationärer und instationärer Betrieb eines federnd gelagerten unwuchtigen

Motors. Dissertation der technischen Hochschule Karlsruhe, 1966.

[4] Daniel J. Inman. Engineering Vibrations (2nd ed.). Prentice Hall International, 2001.

[5] J. Hoffmann. MATLAB und SIMULINK Beispielorientierte Einführung in die Simulation

dynamischer Systeme. Addison-Wesley, 2000.

[6] Robert Kessler. www.home.fh-karlsruhe.de/ kero0001/. Hochschule Karlsruhe- Technik

und Wirtschaft.

[7] J. Hoffmann. MATLAB und Simulink in Signalverarbeitung und Kommunikationstech-

nik. Addison-Wesley, 1999.

---

Index

Belastungsdrehmoment . . 4, 8, 10, 12, 13

Feder-Masse-System 1, 14, 20, 22­28

Generator-Konstante 3

Gleichstrom-Motor1, 3, 10, 11, 13, 28, 32

Gleitreibung 4­6, 10, 17­20, 22

Gleitreibungsmoment 4

Kreisgeschwindigkeit 11

Ladungsverstärker 30

Leistungserhaltungssatz 4

OP-Präzisionsgleichrichtung 33

Oszillierende Platte 10

RS 232-Schnittstelle 35

Synchronisation 27

Synchronisationseffekt 1, 2, 12

Synchronisierung 12, 20, 22, 27

Tachogenerator 33

Tauchspulsystem 32

Trägheitsdrehmoment 4

Turbulente Reibung 4, 8

Unwucht 1

Unwucht-Motor 3, 10, 14, 15

Viskose Reibung 4, 8, 26

Wechselstrom-Tachogenerator 32

---

Index der Abbildungen

Angenäherter Ladungsverstärker mit OP

Skizze und Aufbau des physikalischen

31

Experiments zur Unwuchtsyn-

chronisation 29

Die zwei Fliehkräfte und ihre Summe23

Spektrogramm der Lage wenn die Mo-

toren hochfahren können . . 22

Hochfahren des Motors auf Feder-Masse-

Stationärer Zustand nach dem Hochfah-

System 33,

ren 35

34

Strom und Modulo(1) des Winkels für

Hochfahren des Motors auf Feder-Masse-

Motor 1 26

System mit kurzem Anhalten

Strom, induzierte Spannung, ideale und

der Platte nach 5 Sekunden 34

erreichte Kreisgeschwindigkeit

und Belastungsdrehmoment12,

Ladungsverstärker mit OP für die Piezo-

13

Scheibe 30

Strom, induzierte Spannung, Kreisgeschwin-

Leistungsspektraldichte der Lage bei syn-

digkeit und Belastungsdrehmo-

chronisierten Motoren 21

ment wegen alle Typen Reibun-

Modell des Feder-Masse-Systems . . . 25

gen 9

Modell des Motors 1 25

Strom, induzierte Spannung, Kreisgeschwin-

Modell eines Gleichstrom-Motors 3

digkeit und Belastungsdrehmo-

ment wegen Gleitreibung . . . 6

Simulink-Modell aus getrennten Teilen

Strom, induzierte Spannung, Kreisgeschwin-

aufgebaut 24

digkeit und Belastungsdrehmo-

Simulink-Modell der Unwucht-Motoren

ment wegen Gleitreibung (oh-

auf Feder-Masse-System . . . 17

ne Fehler) 7

Simulink-Modell des Gleichstrom-Motors

Strom, induzierte Spannung, Kreisgeschwin-

mit Gleitreibung 5

digkeit und Belastungsdrehmo-

Simulink-Modell des Gleichstrom-Motors

ment wegen turbulenter Reibung

mit Gleitreibung und Vermei-

9

dung der Fehler 6

Strom, induzierte Spannung, Kreisgeschwin-

Simulink-Modell des Unwucht-Motors

digkeit und Belastungsdrehmo-

mit oszillierender Platte 11

ment wegen viskose Reibung8

Simulink-Modell für eine Anlaufspan-

nung 13

Variablen und Parameter des Modells18

Skizze der Spannungsversorgung der Mo-

Variablen und Parameter des Modells mit

toren 30

Gleitreibung 19

Skizze der Unwucht-Motoren auf Feder-

Variablen und Parameter des Modells oh-

Masse-System 14

ne Gleitreibung und mit lang-

Skizze eines einfachen Unwuchtsystems

samen Anlauf 20

10

Verlauf des magnetischen Flusses ent-

lang des Eisenstabs 33

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INDEX DER ABBILDUNGEN

39

Winkelgeschwindigkeiten der Motoren

und Lage bzw. Geschwindig-

keit des Feder-Masse-Systems

23

Winkelgeschwindigkeiten der Motoren

und Lage des Feder-Masse-Systems

26

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