Dokument Nr. K 26635 aus den Wissensarchiven des GRIN Verlags

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Maximilian Bernöcker

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Gymnasium Miesbach

Kollegstufe

Abiturjahrgang 04/06

Facharbeit

aus der Physik

Das Foucault-Pendel

Verfasser:

Max Bernöcker

Leistungskurs:

Physik

Abgabetermin:

27. Januar 2006

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Inhaltsverzeichnis

1

Historischer Hintergrund

3

1.1

Jean Bernard Léon Foucault .

3

2

Herleitung des Foucault Effekts

5

2.1

Pendel am Pol

.

5

2.2

Pendel am Breitengrad

.

6

3

Bau eines Foucault-Pendels

12

3.1

Probleme .

12

3.2

Foucaults Lösung .

12

3.3

Mein Pendel .

13

3.3.1

Der Antrieb .

13

3.3.2

Der Charronring .

14

4

Versuch

16

5

Literatur

19

5.1

Software .

20

6

Anhang

20

6.1

Abb. Charron Ring .

21

6.2

Abb. Pendel komplett .

22

6.3

Abb. Schaltplan Steuerung

.

23

---

Seite

3

Da endlich sah ich das Pendel. Die Kugel, frei schwebend am Ende eines
langen metallischen Fadens, der hoch in der Wölbung des Chores befestigt
war, beschrieb ihre weiten konstanten Schwingungen mit majestätischer
Isochronie.

-- Umberto Eco in (Eco04, S. 9)

1 Historischer Hintergrund

Nachdem Kopernikus im 16. Jahrhundert entdeckte, dass die Erde nicht der Mittelpunkt des

ganzen Universum ist, sondern dass sich die Erde um die Sonne und ihre eigene Achse dreht

und nachdem Kepler seine Gesetze der Planetenbewegungen veröffentlichte, stellte sich die

Frage, wie man das Ganze experimentell bestätigen könne.

Für den Nachweis der Eigenrotation der Erde schlug Newton vor, einen Stein in einen sehr

tiefen Brunnen zu werfen und dann die von ihm vorhergesagte östliche Abweichung zu messen.

Dieser Vorschlag scheiterte aber an den ungenauen Messgeräten und einem Brunnen, der tief

genug war.

Poisson veröffentlichte 1837 eine theoretische Abhandlung darüber, wie sich die Flugbahn

eines Geschosses durch den Einfluss der Corioliskraft (die nach einem seiner Schüler benannt ist)

ändere. Er rechnete sogar den Einfluss dieser Kraft auf ein schwingendes Pendel aus; er meinte

aber, dass der Einfluss zu gering sei, um einen bemerkbaren Effekt hervorzurufen (vgl Tob03,

S. 150). Dabei betrachtete er aber nur die Ablenkung, die entsteht, wenn das Pendel eine Periode

durchläuft und übersah, dass sich die Ablenkung, die bei einem Schwingungsdurchgang entsteht,

nicht verlorengeht, sondern sich über die Zeit aufsummiert; im Endeffekt ist sie also doch zu

sehen. Die Geschossablenkung war wie Newtons Vorschlag mit dem damaligen Messmethoden

nicht nachweisbar.

1.1 Jean Bernard Léon Foucault

Laut Louis Figuier kam Foucault auf die Idee seines Pendelexperiments als er mit einem

Dampfschiff auf rauher See von Honfleur nach Le Havre fuhr. Obwohl das Schiff durch den

hohen Wellengang hin und her geschleudert wurde, verharrte ein Querbalken des Mastens in

einer festen Position (vgl Tob03, S. 138).

Im Jahr 1851 lies er sich einen 5 kg schweren Pendelkörper anfertigen und baute sich damit

in seinem Keller ein 2 m langes Pendel. Er hatte aber mit zahlreichen Problemen zu kämpfen:

So zwangen ihn Vibrationen von Dampfmaschinen und trampelnden Fußgängern dazu, in der

Nacht zu arbeiten. Ein weiteres Problem beschrieb er in seinem Tagebuch (Tob03, S. 139):

---

Seite

4

Abb. 1:

Foucaults Pendel 1851 im Panthéon. Es ist neben der Absperrung für

die Zuschauer deutlich der kleine, sandbedeckte Tisch zu sehen, in den das

Pendel Spuren hineinritzte.

Friday, [1851 January 3] 1­2 a.m.: first trial, encouraging result; the wire breaks.

Wednesday, [1851 January 8] 2 a.m.: the pendulum turned in the direction of the

diurnal motion of the celestial sphere.

Nachdem der Versuch mit einem 11 m langen Pendel und einer überarbeiteten Aufhängung in

der Pariser Sternwarte nun deutlich besser verlief, veröffentlichte er seine Ergebnisse. Darin

bezieht er sich ausdrücklich auf Poisson und stellt auch fest, dass die Geschwindigkeit, mit

der sich die Pendelebene dreht, vom Sinus des Breitengrades abhängt. Eine genaue Erklärung

bleibt er aber dem Leser schuldig (Tob03, S. 140):

To derive the sine factor one must resort either to analysis or to considerations of
mechanics and geometry which are outside the limits of this note. . .

Einige Zuschauer forderten nun ein Pendel, das für die Öffentlichkeit zugänglich wäre und so ließ

sich Foucault ein Pendel anfertigen, das 67 m lang war und eine 28 kg schweren Pendelkörper

hatte. Dieses gigantische Pendel hängte er in das Panthéon und bis zum Abbau war es die

Hauptattraktion in Paris. Reisende aus aller Welt bestaunten das Muster, das das Pendel in

den Sand ritzte.

Dieser Versuch machte Foucault weltberühmt; es brach eine richtige ,,pendulum ma-

nia" (Tob03, S. 148) aus. Weltweit wurden Pendel aufgebaut, die alle eindrucksvoll die Erdrota-

---

Seite

5

tion nachwiesen.

Daraufhin wurden viele Erklärungsansätze diskutiert, warum der sog. Foucault Effekt vom

Breitengrad abhängt. Der Erste, der eine vollständige Erklärung lieferte, war Binet. Er konnte,

von Poisson angeregt, mithilfe der Corioliskraft herleiten, dass die Winkelgeschwindigkeit mit

der sich die Pendelebene dreht, direkt proportional zum Sinus des Breitengrad ist.

Danach veröffentlichte auch Foucault seine Abhandlung, die von Belfield-Lefèvre vereinfacht,

die Basis meine eigenen Herleitung ist. (vgl Tob03, S. 153)

2 Herleitung des Foucault Effekts

2.1 Pendel am Pol

Als erstes betrachten wir ein Fadenpendel, das an einem Pol der Erde aufgestellt ist. Bei schwin-

gendem Pendel wirken auf den Pendelkörper verschiedene Kräfte (Gewichtskraft, Zugkraft des

Fadens) die eine resultierende Kraft ergeben, aus der die Pendelbewegung entsteht. Diese Kräfte

liegen alle in der Schwingungsebene, die durch den Aufhängepunkt und die beiden Punkte

maximaler Elongation festgelegt ist. Um nun erklären zu können, warum sich die Schwingungs-

ebene träge verhält, also Newtons 1. Axiom genügt und somit bezogen auf einen Fixpunkt im

Universum in Ruhe ist, ersetzen wir das schwingende Pendel durch eine Hilfsvorstellung1, wie

es auch schon Foucault machte (vgl Tob03, S. 152f): Ein schwingendes Pendel ist im Prinzip

nichts anderes als ein Metallstab, der in der Mitte an einem Faden aufgehängt ist. Die Enden

des Stabes entsprechen nun den Punkten maximaler Elongation des Fadenpendels2. Auf diesen

Stab wirkt keine resultierende Kraft, da die Gewichtskraft durch die Zugkraft der Aufhängung

kompensiert wird. Nach dem 1. Axiom Newtons bleibt er also in Ruhe, wenn er in Ruhe

aufgehängt wurde.

Wenn man dieses Gebilde nun an einem Faden mit unendlich kleiner Torsionssteifigkeit am

Nordpol aufhängen würde, würde man feststellen, dass der Stab scheinbar pro Sternentag3

eine 360 Drehung im Uhrzeigersinn (vgl Sch99) um den Aufhängefaden machen würde. Der

Stab oder wenn wir die Hilfsvorstellung wieder verlassen, die Schwingungsebene eines Pendels,

verhalten sich träge und sind bezogen auf einen Fixpunkt im Universum in Ruhe während sich

die Erde darunter wegdreht. Für einen Beobachter, der sich mit der Erde mitdreht, sieht es nun

so aus, als drehe sich die Pendelebene.

1Wir brauchen ein Hilfsvorstellung, da man die Newton Axiome nur auf Körper anwenden kann und nicht auf

etwas Abstraktes wie eine Schwingungsebene.

2Der Hub, den der Pendelkörper durch die Auslenkung erfährt wird vernachlässigt. Von der Seite betrachtet

beschreibt ein schwingendes Pendel bei dieser Vereinfachung nun tatsächlich eine Gerade.

3Für eine ganze Umdrehung braucht die Erde etwas weniger als einen Tag. Ein normaler Tag, oder auch

Sonnentag, ist ,,die Zeit von einem Sonnenhöchststand bis zum nächsten Sonnenhöchststand" (Wik05a). Da

sich die Erde aber um die Sonne dreht, ist der Sterntag, also die Zeit für eine volle Umdrehung der Erde ,,um

ca. ein

1

kürzer als ein bürgerlicher Tag bzw. Sonnentag" (Wik05b).

365

---

Seite

6

Im Winter 2001 wurde tatsächlich ein Foucault-Pendel am Südpol aufgebaut.(Bak01)

2.2 Pendel am Breitengrad

B

l

C

M

r

R

2A

0

P0

Q0

O

P1

Q1

l

Abb. 2:

Erde mit Kegel an der Breite ,

Abb. 3:

Kegelmantel aus Abb. 2 ohne Be-

nach (Sch99)

achtung des Foucault-Effekts

Es stellt sich nun die Frage, wie sich ein Fadenpendel verhält, dass am Breitengrad aufgestellt

ist. Um dieses Problem zu lösen, gibt es zwei Ansätze: Im ersten legt man sein Bezugssystem

auf die Erde an den Breitengrad. Bei dieser Methode hat man aber dann das Problem, dass man

sich auf der Erde in einem beschleunigten Bezugssystem befindet und dadurch sog. Scheinkräfte

auftreten. Neben der Kraft, die aus der Bewegung der Erde um die Sonne resultiert, wirkt

auf einen Körper auf der Erdoberfläche die Fliehkraft und die Corioliskraft. Wenn nur die

letzte betrachtet wird, lässt sich eine Differentialgleichung aufstellen, aus deren Lösung man die

Drehung der Pendelebene ableiten kann (vgl Kip03). Auch Binet ging diesen Lösungsweg.

Einfacher ist es, das Bezugssystem außerhalb der Erde festzulegen. Im Folgenden wird nun

die Erde isoliert betrachtet, d. h. man stelle sich eine um sich selbst drehende Erde alleine im

Kosmos vor, auf die man von außen blickt. Meine Herleitung stützt sich auf (Sch99) und auf

(Dor05), die der von Belfield-Lefèvre (vgl Tob03, S. 153) sehr ähnlich ist.

Auch hier wird das Pendel durch die Hilfsvorstellung ersetzt. Der Stab wird in Nord-

Süd Richtung gebracht; er ist eine Tangente an die Erdoberfläche am Breitengrad . Seine

Verlängerung schneidet sich mit der Verlängerung der Erdachse in Punkt B. Dieser Linienzug

wird nun um die Erdachse rotiert; es entsteht Abb. 2; also ein Kegel, dessen Mantel die Erde

tangential im Punkt M berührt. M ist der Mittelpunkt des Stabes. Wenn dieser Kegel, bezogen

auf das Universum, in Ruhe bleibt, während sich die Erde und somit auch der Stab samt Faden

dreht, bewegt sich der Stab in dem Mantel des Kegels.

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Seite

7

Der abgewickelte Mantel des Kegels ergibt Abb. 3. Die Endpunkte des Stabes sind P0 bzw.

Q0. Kurze Zeit später sind diese Punkte durch die Erddrehung gewandert und nun P1 bzw. Q1.

M ist Mittelpunkt der Strecke P0Q0. Da der Foucault Effekt hier noch nicht berücksichtigt wird,

ist die Stabrichtung

immer

in N-S Richtung, egal zu welchem Zeitpunkt der Stab betrachtet

wird. Für einen Beobachter auf der Erde dreht sich der Stab also noch nicht.

Im Folgenden soll nun gezeigt werden, dass der Stab wie Abb. 3 dargestellt, nicht immer in der

gleichen Richtung bleiben kann, sondern sich in irgendeiner Weise gegenüber der Mantelfläche

drehen muss. Wenn sich die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit E um ihre eigene Achse

dreht, bewegt sich der Punkt M und somit der Stab P Q mit der Geschwindigkeit vM :

vM = E r

(HHH02, S.19, 7.4.5)

(1)

Im Gegensatz zum Pendel am Pol wirkt aber eine resultierende Kraft auf den Stab, da er sich

in einer Kreisbahn um die Erdachse bewegt. Diese Zentripetalkraft wirkt aber in Richtung

des Radius r und steht senkrecht auf vM . Dies ändert an ihrem Betrag nichts, sondern nur

an ihrer Richtungen. Wenn sich nun aber M , P und Q mit der gleichen Geschwindigkeit

bewegen, muss P0P1 genau so lang sein wie Q0Q1, da diese Kreisbögen in der gleichen Zeit t

zurückgelegt werden; dies ist aber nicht möglich, da sie sich zwar um den gleichen Winkel, aber

auf unterschiedlichen Radien bewegen:

0 (l - A)

P0P1 =

(BMNW03, S.30)

180

0 (l + A)

Q0Q1 =

180

= P0P1 = Q0Q1

(2)

Gesucht ist also eine Figur, bei der der noch nicht genau bestimmte Kurvenzug4 P2P3 genauso

lang wie Q2Q3 ist. Mithilfe von Abb. 4 bzw. Abb. 5 soll nun gezeigt werden, dass, wenn P3Q3

durch Parallelverschiebung von P2Q2 entsteht, die beiden Kurvenzüge gleich lang sind.

x = cos() l - A

(3)

x = cos() l + A

(4)

y = sin() l

(5)

Der Punkt P ist durch (3) und (5) festgelegt, während Q durch (4) und (5) bestimmt wird.

4Wir wissen ja (noch) nicht, ob P2 und P3 bzw. Q2 und Q3 jeweils auf einem Kreis liegen

---

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8

y

2 A

P3

Q3

P

1

2

Q2

x

1

P2

Q2

P3

Q3

l

l

Abb. 5:

Abb. 4 gedreht und vergrößert

Abb. 4:

Kegelmantel aus Abb. 2 mit Beach-

tung des Foucault-Effekts, nach (Sch99)

Durch die trigonometrische Beziehung

sin2() + cos2() = 1

(BMNW03, S.38)

sin() = ±

1 - cos2()

(6)

kann folgende Funktion für die P Punkte aufgestellt werden:

x + A

cos() =

(3*)

l

y = ±

1 - cos2() l

(6) in (5)

(7)

x + A 2

f (x) =

1 -

l

(3*) in (7)

(8)

l

x + A 2

g(x) = -

1 -

l

(9)

l

Analoges für die Q Punkte:

x - A

cos() =

(4*)

l

y = ±

1 - cos2() l

(6) in (5)

(10)

x - A 2

h(x) =

1 -

l

(4*) in (10)

(11)

l

x - A 2

i(x) = -

1 -

l

(12)

l

---

Seite

9

Diese Funktionen5 beschreiben einen Einheitskreis, der um l skaliert ist und um A nach links

oder rechts verschoben ist.

Wir können nun durch diese Funktionen beschreiben, wie sich P und Q, also die Enden des

Stabes im Foucault Modell oder die Punkte maximaler Elongation im Fadenpendel auf dem

abgewickelten Kegelmantel bewegen.

Da gilt (analog für g(x) und i(x)):

x - 2A + A 2

f (x - 2A) =

1 -

l

l

x - A 2

=

1 -

l = h(x)

(13)

l

Und ebenfalls gilt:

xP = x

- 2A

y

= y

(14)

i

Qi

Pi

Qi

xP

= x

- 2A

y

= y

(15)

i+1

Qi+1

Qi+1

Qi+1

= PiPi+1 = QiQi+1

f (x) und g(x) gehen also durch Verschiebung von h(x) und i(x) nach links um 2 A hervor. Da

man aber Pi durch die gleiche Verschiebung aus Qi erhalten kann, heißt dies nichts anderes,

dass PiPi+1 genau so lang ist wie QiQi+1.

Da nun geklärt ist, dass sich die Enden des Stabes auf Kreisen auf dem Kegelmantel bewegen,

muss jetzt nur noch gezeigt werden, wie die Drehung des Stabes aussieht, wenn der Kegelmantel

wieder an die Erde gelegt wird. Hierzu betrachten wir Abb. 7. Die Strecken vom Mittelpunkt

der roten Linien zum Mittelpunkt des Kreissegments stellen ja die N-S Richtung dar. Somit ist

4 der Winkel, um den sich die Schwingungsebene an einem Sterntag gegenüber N-S Richtung

dreht. Es gilt:

4 = 360 -

(16)

Für den Umfang des Kreissegments gilt:

l (360 - )

U =

(BMNW03, S.30)

(17)

180

5Wir brauchen jeweils zwei Funktionen für einen Punkt, da eine Funktion eine eindeutige Abbildung ist, d. h.

ihr Graph darf höchstens einen Schnittpunkt mit jeder beliebigen Parallelen zur y-Achse haben.

---

Seite

10

3

2

4

l

1

Abb. 6:

Graph f (x), g(x), h(x), i(x) mit

Abb. 7:

4: Drehung des Foucault-Pendels

l = 5; A = 1, 5

an einem Tag.

Der Umfang dieses Kreissegments muss aber genau so groß wie der Umfang des Kreises mit

Radius r (vgl Abb. 2) sein, da man den Kegelmantel lückenlos an die Erde anlegen können

muss um den Kegel zu bilden. Also gilt ebenfalls:

l (360 - )

2 r =

(18)

180

Aus Abb. 2 ist folgender trigonometrischer Zusammenhang ersichtlich:

r

sin(90 - ) =

OM C in Abb. 2

R

r

cos() =

(19)

R

Man kann nun in (18) r ersetzen:

r = cos() R

(19*)

l (360 - )

2 cos() R =

(19*) in (18)

(20)

180

l (360 - )

cos() R =

(20*)

360

360 - kann durch 4 ersetzt werden:

4 = 360 -

(16)

l 4

cos() R =

(16) in (20*)

(21)

360

360 cos() R

4 =

(21*)

l

---

Seite

11

Schließlich kann durch die trigonometrische Beziehung in

OM B R und l eliminiert werden:

l

tan(90 - ) =

OM B in Abb. 2

R

l

cot() =

(22)

R

l = cot() R

(22*)

360 cos()

4 =

(22*) in (21*) gekürzt

(23)

cot()

cos()

cot() =

(BMNW03, S.36)

(24)

sin()

4 = 360 sin()

(24) in (23) gekürzt

(25)

Da nun bekannt ist, wie groß 4 ist, kann die Winkelgeschwindigkeit P , mit der sich die

Pendelebene dreht, in Abhängigkeit von E bestimmt werden:

P =

(HHH02, S.18,7.4.3)

t

4

P =

(26)

tSterntag

360 sin()

P =

(25) in (26)

(27)

tSterntag

360

E =

(28)

tSterntag

360

tSterntag =

(28*)

E

P = sin() E

(28*) in (27) gekürzt

(29)

Da wir (29) allgemeingültig hergeleitet haben, sollte sie P für alle Orte richtig beschreiben.

Wenn wir nun festlegen, dass positives P eine Drehung im Uhrzeigersinn und ein negatives P

eine Drehung gegen der Uhrzeiger bedeutet und ferner festlegen, dass für die Nordhalbkugel

positiv, für die Südhalbkugel negativ ist, dann stimmt (29) vollkommen mit den Ergebnissen

zahlreicher Foucault Versuche überein. Es wurde beobachtet, dass sich am Äquator die Schwin-

gungsebene eines Pendels überhaupt nicht ändert (sin(0) = 0) und sich die Schwingungsebene

am Südpol im Gegenuhrzeigersinn (sin(-90) = -1) dreht.

Für Miesbach ergibt sich für P :

2

1

P = sin(47,8)

= 5,40 10-5

8,616 104 s

s

---

Seite

12

3 Bau eines Foucault-Pendels

3.1 Probleme

Bei dem Bau eins Foucault-Pendels ergeben sich im allgemeinen drei größere Probleme:

1. Um den Foucault Effekt beobachten zu können, muss man das Pendel über eine längere

Zeitspanne beobachten können. Da die Schwingung des Pendels gedämpft ist, ist meist

ein Antrieb nötig, der, ohne den Foucault Effekt zu beeinflussen, die Pendelbewegung

aufrecht erhält.

2. Durch Asymmetrien des Pendelkörpers, der Aufhängung oder des Fadens kommt es durch

den Luftwiderstand zu kleinen Kräften, die senkrecht zur Schwingungsebene wirken.

Diese Kräfte bewirken, dass sich der Pendelkörper, von oben betrachtet, nicht mehr auf

einer Stecke hin und her bewegt, sondern eine Ellipse beschreibt. Die Schwingungsebene

eines Pendels, dessen Pendelkörper sich auf einer Ellipse mit der Hauptachse a und

der Nebenachse b bewegt, dreht sich aber von sich aus, ohne den Foucault Effekt, mit

der Winkelgeschwindigkeit f = 3 A (Cra81, S. 1004), wobei A die Fläche der Ellipse

4 l2 T

(A = a b (BMNW03, S. 42)), l die Fadenlänge und T die Schwingungsdauer ist (vgl

Cra81, S. 1004). f ist bei einem Pendel mit l = 3 m, T = 3,5 s und a = 30 cm bei einer

seitlichen Ablenkung des Pendelkörpers im Ruhepunkt von b = 2,4 mm bereits so groß

wie P von Miesbach.

3. Ein nicht zu unterschätzendes Problem stellt die Aufhängung des Fadens dar. Zunächst soll

sie möglichst reibungsarm gegenüber der Pendelschwingung sein. Da man aber meistens

einen Antrieb braucht (siehe 1.) ist dies nicht die Hauptsorge. Die viel schwerer zu

erfüllende Anforderung ist, dass sie in

jede

Richtung die gleiche Reibung haben muss, da

sich ja die Schwingungsebene bezogen auf die Aufhängung dreht.

3.2 Foucaults Lösung

Nun stellt sich in Anbetracht dieser Probleme erst einmal die Frage, warum der Urversuch von

Foucault im Panthéon 1851 überhaupt so überzeugend funktionierte, da dieses Pendel nur ein

langes Metallseil mit einem bleigefüllten Pendelkörper war, das in einer ziemlich primitiven

Aufhängung6 an der Decke befestigt war.

Foucaults Rettung war das sehr lange Seil (67 m). Da für Auslenkwinkel, die im Bereich

der Kleinwinkelnäherung liegen, T

l (Tob03, S. 307) gilt, bewegte sich Foucaults Pendel

relativ langsam und hatte dadurch einen geringen Luftwiderstand. Dennoch musste das Pendel

6Es war eine horizontal an der Decke befestigte Metallscheibe, die in der Mitte ein Loch für das Pendelseil

hatte und am äußeren Rand eine Schraube, um das Seil festzuklemmen (vgl Tob03, S. 140)

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Seite

13

mehrmals am Tag angehalten und von Neuem gestartet werden. Eine große Fadenlänge und ein

schwerer Pendelkörper verringern zusätzlich noch den Fehler, der sich durch die elliptische Bahn

ergibt, da zu einem die Nebenachse wegen der großen Masse des Pendelkörpers meist geringer

ist als bei einem kleinerer Masse und zum anderen f mit der 5 Potenz von l abnimmt. Dieser

2

Fehler wurde zusätzlich noch verringert, weil durch das wiederholte Neustarten des Pendels sich

b nicht auf große Werte aufschaukeln konnte. Da Foucault sein Pendel dadurch startete, dass

er den Pendelkörper mit einem Faden auslenkte, den er dann, wenn das Pendel vollkommen

in Ruhe war, durchbrannte (vgl Str58, S. 116), wurde das Pendel mit der kleinstmöglichen

seitlichen Ablenkung in Bewegung gesetzt.

Die simple Aufhängung von Foucault garantierte zwar eine nahezu gleiche Reibung in

alle Richtungen (die Reibung ist umso homogener, je mehr Einzeldrähte der Pendelfaden hat

und je feiner diese sind). Die große Gefahr dieser Aufhängung ist aber ein Ermüdungsbruch

des Pendelseils an der Stelle, an der es die Aufhängung verlässt. Foucault war sich dieser

Gefahr durchaus bewusst (bei seinem ersten Pendel in seinem Keller brach das Seil nach

kürzester Zeit) und deswegen war der Boden des Panthéon mit einer dicken Erdschicht vor dem

herunterfallenden Pendelkörper geschützt. Auch für die Zuschauer wurde sicherheitshalber eine

Absperrung gebaut.

3.3 Mein Pendel

Bei meinem eigenen Pendel konnte ich die Probleme nicht durch einen langen Faden lösen,

da ich auf eine Gesamtlänge von ca 3,10 m (Höhe eines Raumes im Altbau des Gymnasium

Miesbach) festgelegt war. So muss mein Pendel sowohl einen Antrieb haben als auch eine

Einrichtung, die die Ellipsenbahn des Pendelkörpers soweit wie möglich einschränkt.

3.3.1 Der Antrieb

Bei der Suche nach einem geeigneten Antrieb bin ich auf das Pendel der Bergischen Universität

Wuppertal gestoßen (Kin00): Auch hier musste ein ziemlich kurzes Pendel (l ca. 2,5 m) mit

einer ähnlich schweren Metallkugel als Pendelkörper für ,,immer" am Laufen gehalten werden.

Da die meisten Pendelkörper aus Stahl sind, liegt eine magnetische Anregung nahe. So

ist auch bei meinem Pendel kozentrisch unter der Ruhelage ein Ringmagnet angeordnet, in

dessen Mitte sich ein Infrarotdetektor befindet. In der Metallkugel ist eine Infrarotdiode, die

über den metallenen Faden und über einen Kupferlackdraht mit der Stromquelle verbunden

ist. Der Mikrocontroller (Schaltplan siehe S. 23) misst nun nach dem Einschalten durch die

Lichtschranke die Zeit vom ersten Durchlaufen der Ruhestellung des Pendels bis zum zweiten

Durchgang. Aus dieser Zeitmessung ( T ) kann er nun den Zeitpunkt bestimmen, an den das

2

Pendel maximal ausgelenkt ist. Wenn es soweit ist, schaltet der Mikrocontroller den Magneten

---

Seite

14

Abb. 8:

Magnetspule

Abb. 9:

Ansteuerung für die Magnetspule, µ-Controller

ein; beim Durchlaufen der Ruhestellung schaltet er ihn wieder aus. Durch dieses zyklische

Ein und Ausschalten des Magneten wird dem Pendel die Energie zugeführt, die es durch die

Luftreibung verliert. Wenn der Magnet exakt kozentrisch unter der Ruhelage platziert ist,

kommt es durch diese Art von Antrieb zu keiner Verfälschung des Foucault-Effekts. Durch das

Anziehen des Pendelkörpers zur Ruhelage hin wird außerdem die elliptische Bahn ein wenig

eingeschränkt. Bei einem sehr kurzen Pendel (l ca. 70cm) reicht das Anziehen des Magneten

bereits aus, um Problem 2 vollständig zu eliminieren. Allerdings muss hier in dem Pendelkörper

ein starker Dauermagnet sein und auch der Elektromagnet muss entsprechend dimensioniert

sein (vgl Cra81, S. 1005). Bei einem längeren Pendel muss eine weitere Vorkehrung getroffen

werden.

3.3.2 Der Charronring

Im Jahr 1931 fand F. Charron eine elegante Lösung, um die elliptische Bahn des Pendels

einzuschränken (vgl Tob03, S. 308): Ein exakt kozentrisch unter der Aufhängung positionierter

Ring, an dem der Pendelfaden nahe des Umkehrpunkte jedesmal anschlägt. Wenn nun der

Pendelkörper eine Ellipse beschreibt, trifft der Faden nicht mehr mittig auf den Ring, sondern

schleift an der Krümmung der Rings entlang. Dadurch wird die Energie der seitlichen Bewegung

­ bezogen auf die Schwingungsebene ­ in Wärme umgesetzt und somit unschädlich gemacht. Man

kann auch sagen, dass der Pendelkörper das Pendel bei jeder Berührung mit dem Charronring

neu startet. Allerdings verfälscht der Charronring den Foucaulteffekt in geringer Weise, denn

für die Zeit, an der der Pendelfaden am Charronring anliegt, wird die Erddrehung auf das

Pendel übertragen. Bei meinem Pendel ist die Aufhängung zu einer Hülse nach unten verlängert;

der Charronring ist also direkter Bestandteil der Aufhängung. Die eigentliche Befestigung des

Pendelfadens unterscheidet sich nicht sonderlich von der Foucaultschen. Der einzige Unterschied

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15

Abb. 11:

Ansteuerung für die Magnetspule, Leistungs-

Abb. 10:

Charronring mit Reduzierhülse

elektronik

ist, dass der Draht nicht durch ein zylindrisches Loch in die Aufhängung läuft, sondern in eines,

deren Radius nach unten hin immer größer wird. Dies soll den Ermüdungsbruch des Fadens

verhindern, da hier der Faden nun nicht mehr an einer einzigen Stelle geknickt wird, sondern

sich der Bereich auf eine größere Fadenlänge verteilt.

Diese Aufhängung ist mit drei Schrauben über drei Federn mit einer weiteren Scheibe

verbunden, die an der Decke befestigt ist. Mit jeweils einer Mutter an diesen drei Schrauben

kann man nun die Hülse exakt vertikal ausrichten (vgl S. 21). Wenn dies der Fall ist, ist das

untere Ende der Hülse, das ja den Charronring darstellt, automatisch kozentrisch bezüglich des

Fadens in der Ruhestellung des Pendels. Der restliche mechanische Aufbau ist den Abbildungen

auf S. 21 und S. 22 zu entnehmen.

---

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16

Passing from theory to practice, the physicist must expect disappoint-
ments; and, in the present case, he must think himself very happy if
with a real pendulum he is able to obtain an unequivocal deviation in
the expected direction.

-- Foucault in Journal des Débats 1851, aus (Tob03, S. 155)

4 Versuch

80

70

60

50

in

40

30

20

Messwert

10

Gg1

Theoriewert

0

0

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

t in s

Abb. 12:

Auswertung des 1. Versuchs

Für den 1. Versuch war der Charronring noch unverändert wie er auf der Abb. auf S. 21 zu

sehen ist.

Das Pendel wird zum Schwingen gebracht, indem der Pendelkörper soweit ausgelenkt wird,

dass der Pendelfaden den Charronring kurze Zeit vor seinem Umkehrpunkt berührt und es

wird der Winkel gemessen, um den sich die Schwingungsebene gegenüber der Ausgangslage

verdreht. In Abb. 12 sind diese Winkel gegenüber der Zeit aufgetragen. Für die Ausgleichsgerade

Gg durch diese Messwerte ergibt sich folgende Gleichung:

1

g1(t) = m1 t = 3,9052 10-3

t

(30)

s

---

Seite

17

was für P ergibt:

1

P =

(31)

1

180 t

m1

P =

(30) in (31)

(32)

1

180

1

P = 6,82 10-5

1

s

Dies ist ein prozentualer Fehler von:

|P - P |

|6,82 10-5 1 - 5,40 10-5 1 |

f

1

s

s

p

=

100 % =

100 % = 26,3 %

1

P

5,40 10-5 1s

Da die gemessene Winkelgeschwindigkeit P größer ist als

1

P lässt sich dieser hohe Fehler nur

dadurch erklären, dass sich der Pendelkörper immer noch auf einer Ellipsenbahn bewegt. Die

daraus resultierende Winkelgeschwindigkeit f addiert sich zu der, die durch den Foucault

1

Effekt entsteht.

f könnte natürlich auch ein negatives Vorzeichen haben (die Ellipse wird dann vom

1

Pendelkörper in der anderen Richtung durchlaufen) und in diesem Fall könnte man nicht mehr

genau sagen, ob der Fehler nun durch eine Ellipsenbahn verursacht wird oder durch Reibung, die

die Drehung der Pendelebene abbremst. Auch der Fehler, den der Charronring selbst verursacht,

indem die Erddrehung auf das Pendel übertragen werden kann, wenn der Pendelfaden ihn

berührt, führt zu einer Verlangsamung der Drehgeschwindigkeit der Schwingungsebene.

Die wirkungsvollste Gegenmaßnahme, um f zu verringern ist, wie in 3.2 dargestellt, die

Fadenlänge l zu vergrößern, da dies mit der 5 Potenz in

2

f eingeht. Da dies aber ausscheidet,

bleibt als letzte Möglichkeit nur noch die Amplitude zu verringern, da dann, bei gleicher setlicher

Ablenkung, die Ellipsenfläche kleiner wird. Im Gegensatz zur Fadenverlängerung wirkt sich die

Amplitudenverkleinerung aber nur noch mit der 1. Potenz auf f aus.

Wenn aber die Amplitude verkleinert wird, muss auch der Charronring verkleinert werden,

da sonst der Faden nicht mehr anschlagen würde. Wie in Abb. 10 zu sehen ist, habe ich den

Charronring mit einer Kunststoffhülse auf den Durchmesser von 20 mm reduziert. Nun muss

das Pendel weniger weit ausgelenkt werden, damit der Pendelfaden den Charronring berührt.

Für die Ausgleichsgerade Gg durch die Messwerte ergibt sich:

2

g2(t) = m2 t = 3,23136 10-3

t

s

P ist somit:

2

1

P = 5,64 10-5

2

s

---

Seite

18

250

200

150

in

100

50

Messwert

Gg2

Theoriewert

0

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

t in s

Abb. 13:

Auswertung des 2. Versuchs

Dies ist ein prozentualer Fehler von:

|5,64 10-5 1 - 5,40 10-5 1 |

f

s

s

p

=

100 % = 4,44 %

2

5,40 10-5 1s

Der Fehler konnte also deutlich reduziert werden.

Um nun ein aussagekräftiges Messergebnis zu erhalten, müsste das Pendel über einen längeren

Zeitraum (im Bereich von Tagen) beobachtet werden. Dies stellt bei meinem Pendel aber noch

ein Problem dar, da nach ca. einem halben Tag die ersten Drähte im Pendelseil brechen.

Der Pendelkörper ist dann zwar noch lange davon entfernt herunterzufallen, die gebrochenen

Drahtenden spleißen aber auf und wickeln sich durch die Drehung der Schwingungsebene kurz

unter der Aufhängung um den Faden. Dies hat nun zur Folge, dass es nun mehrere Positionen

gibt, an denen die Schwingungsebene ,,hängen" bleibt.

Ich habe nun mit unterschiedlichen Materialien (Kunststoff, Naturfaser) und auch unter-

schiedlichen Fadendicken experimentiert, aber die besten Ergebnisse ergab dennoch das feine

Stahlseil. Um den Ermüdungsbruch zu verhindern, müsste nun der Auslenkwinkel des Pendels

verringert werden. Dies geschieht wieder am effektivsten dadurch, indem man die Pendellänge

vergrößern würde.

Alles in allem betrachtet, wäre der nächste logische Schritt, ein sehr viel längeres Foucault-

Pendel zu bauen.

---

Seite

19

5 Literatur

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South Pole Foucault Pendulum

. Version: Winter 2001. http://www.

phys-astro.sonoma.edu/people/students/baker/SouthPoleFoucault.html. ­

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Mathematische Formeln

und Definitionen

. 7. Auflage. München : Bayrischer Schulbuchverlag, J. Lindauer

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[Cra81] Crane, H.: Short Foucault pendulum: A way to eliminate the precession due

to ellipticity. In:

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Zur Funktonsweise

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de/foucault/Texte/Funktion.htm. ­ Online­Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

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Das Foucaultsche Pendel -- Roman

. 16. Auflage. München : Deutscher

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Physikalische Formeln und Tabellen

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8. Auflage. München : J. Lindauer Verlag, 2002

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Version: Okt. 2000.

http://www.delphi.uni-wuppertal.de/~kind/fcwupmec.

html. ­ Online­Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

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Theoretische Herleitung des Foucault-Effekts

. Version: Mai 2003. http://www.

kip.uni-heidelberg.de/OeffWiss/Pendel-Internetauftritt/theorie.pdf. ­

Online­Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

[Sch99] Schnack, J.:

Das Foucault-Pendel am Breitenkreis

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Version: Februar

1999. http://obelix.physik.uni-osnabrueck.de/~schnack/foucault/node3.

html. ­ Online­Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

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the earth. In:

The Amateur Scientist

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[Tob03] Tobin, W.:

The Life and Science of Léon Foucault -- The Man who Proved the

Earth Rotates

. 1. Edition. Cambridge UK : Cambridge University Press, 2003

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. Version: Dez. 2005. http://de.wikipedia.org/wiki/

Sonnentag. ­ Online­Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

[Wik05b] Wikipedia:

Sterntag

. Version: Dez. 2005. http://de.wikipedia.org/wiki/

Sterntag. ­ Online­Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

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Seite

20

5.1 Software

· Textsatz: LATEX 2, BibTEX mit AucTEX auf GNU Emacs

· Illustration: METAPOST

· Platinenlayout: Eagle

· Compiler: GCC-MSP430

· CAD: CATIA V5

· Versuchsauswertung: Gnuplot

6 Anhang

---

---

---

10/03/2005 19:07:45 /home/max/Entwicklung/TeX/ph_facharbeit/PH FA Foucault-Pendel STRG.sch (Sheet: 1/1)

X5

D2

BYW80

12V - 20V

X6

L1

GND

9V

Q3

R6

10k

Q2

BUZ22

X4

X3

bcw60

R4

GND

1k

R5

10k

R7

10k

X10

X2

C6

OUT

IN

C2

C3

OUT

IN

C4

GND

GND

GND

10µF 44AC

10µF

10µF LM 7805

10µF

GND

IC2GND GND

GND

IC3GND

GND

R8

IC1

30

18

D07

+VCC

3,0V 47

2

21

29

DS1

1A

IR Sender in Kugel

VCC

P1.0/TACLK

D06

C1

C5

22

28

D3 OP233

P1.1/TA0

D05

LCD 4 Zeilen HD4478

R1

D4

4

23

27

191S

VSS

P1.2/TA1

D04

VLCD

10µF 100nF

24

20

10k

P1.3/TA2

GND

GND

JTAG

RS

R2

100k

R9

15k

GND GND

GND

7

25

22

1E

NMI/RST

P1.4/SMCLK/TCK

E

OPL810

1

Q1

32768Hz

1

26

21

X1

3

TEST

P1.5/TA0/TMS

D00

D01

D02

D03

D-A

D-C

GND

R/W

GND

2

6

27

X11

GND

2

IR-Detektor 2

XIN

P1.6/TA1/TDI/TCLK

OUT

3

5

28

X12

GND

1

XOUT

P1.7/TA2/TDO/TDI

VCC

4

23

24

25

26

31

32

17

5

8

XR2

P2.0/ACLK

6

9

P2.1/INCLK

GND

7

10

P2.2/CAOUT/TA0

OPL810

8

GND

19

X8

3

P2.3/CA0/TA1

GND

9

20

X7

2

IR Detektor in MAG Spule

P2.4/CA1/TA2

OUT

10

3

X9

GND

1

P2.5/ROSC

VCC

11

12

11

XR1

P3.0/STE0

13

12

P3.1/SIMO0

R3

14

13

P3.2/SOMI0

14

P3.3/UCLK0

15

D1

3,0V

15k

P3.4/UTXD0

16

P3.5/URXD0

17

P3.6

GND

18

P3.7

MSP430F123PW

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Seite

24

Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturver-

zeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

, den

Ort

Datum

Unterschrift des Schülers

---