Leistungen in Mehrphasensystemen

J. Brenner, Nürnberg

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Inhaltsverzeichnis

1 Bereich und Betrag der Wirkleistung in Mehrphasensystemen 1

2 Scheinleistungen in Mehrphasensystemen 3

3 Leistungsfaktor in Mehrphasensystemen 4

4 Wirkleistung in Mehrphasensystemen 5

5 Blindleistung in Mehrphasensystemen 5

6 Scheinleistungen in speziellen Mehrphasensystemen 6

7 Beispiele 7

Literatur 8

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1

Leistungen in Mehrphasensystemen

J. Brenner, Nürnberg

1 Bereich und Betrag der Wirkleistung in Mehrphasensystemen

Im Bild 1 ist eine beliebige Schnittstelle zwischen Quelle und Verbraucher eines Mehrphasen-

systems mit n = m Außenleiter 1

+ Neutralleiter dargestellt.

Bild 1: Schnittstelle eines Mehrphasensystems mit Neutralleiter

Sind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher Perioden-

dauer T, dann können an dieser Schnittstelle u.a. die Effektivwerte

T

1

2

U

=

u dt; = 1, 2, , m 1, m

N

-

(1.1)

N

T

0

und

T

1

2

I =

i dt; = 1, 2, , m -1, m

(1.2)

T

0

sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [1]

T

m 1

P = ±

u

i dt (1.3)

N

1 T

=

0

---

2

gemessen werden. Den Zusammenhang dieser Messgrößen beschreibt die Schwarzsche

Ungleichung [2]

2

T

T

m

m

m

1

1

T

1

2

u i dt

u dt

i2dt (1.4)

N

N

1= T

1

= T

1 T

0

0

=

0

oder mit den Gleichungen (1.1), (1.2) und (1.3)

m

m

2

2

2

P U I (1.5)

N

1

=

1

=

Daraus folgt für den Bereich und den Betrag der Wirkleistung im Mehrphasensystem mit

Neutralleiter

m

m

m

m

2

2

2

- U

I P U

I (1.6)

N

2

N

1

=

1

=

1

=

1

=

und

m

m

2

P U

2I (1.7)

N

1

=

1

=

Im Bild 2 ist eine beliebige Schnittstelle zwischen Quelle und Verbraucher eines Mehrphasen-

systems mit n = m Außenleiter dargestellt.

Bild 2: Schnittstelle eines Mehrphasensystems ohne Neutralleiter

---

3

Sind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher Perioden-

dauer T, dann können an dieser Schnittstelle u.a. die Effektivwerte

T

1

2

U =

u dt; = 1, 2, , m 1, m

0

-

(1.8)

0

T 0

und

T

1

2

I =

i dt; = 1, 2, , m -1, m

(1.9)

T

0

sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [1]

T

m 1

P = ±

u

i dt (1.10)

0

1 T

=

0

gemessen werden. Den Zusammenhang dieser Messgrößen beschreibt die Schwarzsche

Ungleichung [2]

2

T

T

m

m

m

1

1

T

1

2

u i dt

u dt

i2dt (1.11)

0

0

1

= T

1

= T

1 T

0

0

=

0

oder mit den Gleichungen (1.8), (1.9) und (1.10)

m

m

2

2

2

P U I (1.12)

0

1

=

1

=

Daraus folgt für den Bereich und den Betrag der Wirkleistung im Mehrphasensystem ohne

Neutralleiter

m

m

m

m

2

2

2

- U

I P U

I (1.13)

0

2

0

1

=

1

=

1

=

1

=

und

m

m

2

P U

2I (1.14)

0

1

=

1

=

2 Scheinleistungen in Mehrphasensystemen

Mit der Definition

Die Scheinleistung ist der Betrag der größten Wirkleistung, die mit den jeweils vor-
liegenden Spannungs- und Stromeffektivwerten erreicht werden kann,

---

4

folgt aus der Betragsungleichung (1.7) für die Scheinleistung im Mehrphasensystem mit

Neutralleiter

m

m

2

S = U

2I

(2.1)

N

1

=

1

=

und aus der Betragsungleichung (1.14) für die Scheinleistung im Mehrphasensystem ohne

Neutralleiter

m

m

2

S = U

2I

(2.2)

0

1

=

1

=

Mit der Effektivwertgleichung [3]

m

m

2

2

U = m U

(2.3)

0

, 1

=

1

=

>

wird die Scheinleistungsgleichung (2.2) alternativ

m

m

1

2

S =

U 2I

(2.4)

m

, 1

=

1

=

>

3 Leistungsfaktor in Mehrphasensystemen

Mit den Scheinleistungsgleichungen (2.1) und (2.2) werden die Bereichsungleichungen (1.6)

und (1.13)

- S P S (3.1)

oder

P

- 1

1 (3.2)

S

Mit der Definition

Der Leistungsfaktor ist das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung

P

=

(3.3)

S

wird die Ungleichung (3.2)

-1 1 (3.4)

---

5

d.h. auf Grund dieser Ungleichung ist es möglich, für den Leistungsfaktor den Kosinus eines

Winkels einzuführen.

= cos ;0 (3.5)

Der Winkel ist eindeutig bestimmt, wenn er auf 0 beschränkt wird.

4 Wirkleistung in Mehrphasensystemen

Mit Gleichung (3.5) folgt aus Gleichung (3.3) für die Wirkleistung

P = Scos ;0 (4.1)

Dabei gehören zu 0 < / 2 positive P- Werte (Wirkleistungsbezug) und zu / 2 <

negative P- Werte (Wirkleistungsabgabe). Zu = / 2 gehört der Wert P = .

0

5 Blindleistung in Mehrphasensystemen

Mit der Definition

Der Betrag der Wirkleistung und die Blindleistung sind die beiden orthogonalen Kom-
ponenten der Scheinleistung

lassen sich diese nur positiv definierten drei Leistungsgrößen nach Bild 3 als rechtwinkliges

Dreieck darstellen.

Bild 3: Orthogonale Komponenten der Scheinleistung

Folglich gilt

2

2

2

S = P + Q

oder

2

2

2

S = P + Q

(5.1)

Für die Blindleistung folgt daraus

2

2

Q = S - P

(5.2)

---

6

Mit Gleichung (4.1) wird diese Gleichung

Q =

2

S - 2

2

S cos = S 1 -

2

cos

oder

Q = Ssin ;0

(5.3)

6 Scheinleistungen in speziellen Mehrphasensystemen

Die Scheinleistung im Einphasen-Zweileitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m = 1

S = U I

1N 1

oder mit U

= U

I

und

= I

1N

1

S = U I

(6.1)

Die Scheinleistung im Zweiphasen-Zweileitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit

m = 2

1

2

2

2

2

2

2

2

S = U + U

I + I =

U

I + I

10

20

1

2

12

1

2

2

oder mit U = U = U /

I

und

2

= I = I

10

20

12

1

2

S = U I

(6.2)

12

Die Scheinleistung im Zweiphasen-Dreileitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m = 2

2

2

2

2

S = U

+ U

I + I

(6.3)

1N

2N

1

2

Die Scheinleistung im Dreiphasen-Dreileitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit

m = 3

1

2

2

2

2

2

2

S = U + U + U

I + I + I =

U + U + U

I + I + I

6.4)

10

20

30

1

2

3

( 2

2

2

12

13

23 )

2

2

2

1

2

3

3

Die Scheinleistung im Dreiphasen-Vierleitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m = 3

2

2

2

2

2

2

S = U

+ U

+ U

I + I + I

(6.5)

1N

2N

3N

1

2

3

Die Scheinleistung im Sechsphasen-Sechsleitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3)

mit m = 6

---

7

S = U I

(6.6)

6 6

wobei

2

2

2

2

2

2

U = U + U + U + U + U + U

6

10

20

30

40

50

60

(6.7)

1

=

( 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

U + U + U + U + U + U + U + U + U + U + U + U + U + U + U

12

13

14

15

16

23

24

25

26

34

35

36

45

46

56 )

6

2

2

2

2

2

2

I = I + I + I + I + I + I

(6.8)

6

1

2

3

4

5

6

Im symmetrischen Dreiphasen-Dreileitersystem ist U = U = U , U = U = U und

10

20

30

12

13

23

I = I = I . Folglich wird die Scheinleistung nach Gleichung (6.4) in diesem System

1

2

3

S = U

3

I =

U

3

I

(6.9)

10 1

12 1

Im symmetrischen Dreiphasen-Vierleitersystem ist U

= U = U und I = I = I . Folg-

1N

2N

3N

1

2

3

lich wird die Scheinleistung nach Gleichung (6.5) in diesem System

S = U

3

I

(6.10)

1N 1

7 Beispiele

Mit den Messwerten im Einphasen- Zweileitersystem

U = 100[V];I = 5[A];P = 460[W]

berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung

S = U I = 1005 = 500[W]

cos = P / S = 460 / 500 = 0,92

= arccos P / S = arccos 0,92 = 23,1

Q = Ssin = 500sin 23,1 = 196[W]

Mit den Messwerten im Dreiphasen- Dreileitersystem

U = 59 V ; U = 58 V ; U = 60 V

10

[ ] 20

[ ] 30

[ ]

I = 4 A ;I = 5 A ; I = 6 A

1

[ ] 2 [ ] 3 [ ]

P = 650[W]

---

8

berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

S = U + U + U

I + I + I = 59 + 58 + 60

4 + 5 + 6 = 896,8 W

10

20

30

1

2

3

[ ]

cos = P / S = 650 / 896,8 = 0, 725

= arccos P / S = arccos 0,725 = 43,6

Q = Ssin = 896,8sin 43,6 = 617,9[W]

Mit den Messwerten im Dreiphasen- Vierleitersystem

U = 220 V ; U

= 219 V ; U = 222 V

1N

[ ] 2N

[ ] 3N

[ ]

I = 10 A ;I = 9 A ;I = 11 A

1

[ ] 2 [ ] 3

[ ]

P = 5

- 200[W]

berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

S = U + U + U

I + I + I = 220 + 219 + 222 10 + 9 +11 = 6632 W

1N

2N

3N

1

2

3

[ ]

cos = P / S = -5200 / 6632 = -0, 784

= arccos P / S = arccos( 0

- ,784) =141,6

Q = Ssin = 6632sin141,6 = 4116[W]

Literatur

[1] J. Brenner: Wirkleistungen in Mehrphasensystemen

[2] J. Brenner: Schwarzsche Ungleichungen

[3] J. Brenner: Spannungen in Mehrphasensystemen

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