Maja Irene Susanne Gl¨

uck

Die Benford-Verteilung

Anwendung auf reale Daten der Marktforschung

---

---

Inhaltsangabe

Die vorliegende Arbeit handelt von Benfords Gesetz ¨

uber die Verteilung signifikanter

Ziffern von realen Zahlen und dessen Anwendung in der Marktforschung. Benfords Ge-

setz besagt kurzgefasst, dass die Anfangsziffern bestimmter Datenmengen nicht gleich-

verteilt sind, sondern einer logarithmischen Verteilung folgen.

Es werden ein Wahrscheinlichkeitsraum f¨

ur Benfords Gesetz und Formeln f¨

ur die Vertei-

lung der ersten, zweiten und n-ten Ziffer sowie die gemeinsame Verteilung der ersten n

Ziffern eingef¨

uhrt. Ferner werden die besonderen Eigenschaften der Benford-Verteilung

wie die Skalen- und die Baseninvarianz betrachtet. Als Hauptresultat wird ein Grenz-

wertsatz f¨

ur signifikante Ziffern angegeben und bewiesen.

Als besondere Anwendungsm¨

oglichkeit wird die Aufdeckung von F¨

alschungen bei In-

terviews in der Marktforschung betrachtet. Dazu werden die Prozesse der Datenerhe-

bung beleuchtet und Ergebnisse bisheriger Studien vorgestellt. Die verschiedenen in

der Marktforschung auftauchenden Datentypen werden analysiert und ihre Eignung

als Pr¨

ufgr¨

oßen untersucht. Darauf aufbauend wird ein Programm zum Test auf die

Benford-Verteilung vorgestellt und eine m¨

ogliche Testfrage auf Tauglichkeit untersucht.

Danksagung

Die vorliegende Diplomarbeit entstand an der Technischen Universit¨

at Dresden in der

Fachrichtung Mathematik am Institut f¨

ur Mathematische Stochastik unter der Betreu-

ung von Prof. Dr. rer. nat. habil. Volker Nollau und Dr. rer. nat. Hans-Otfried M¨

uller.

Sie wurde am 14. Februar 2007 eingereicht.

Ich danke allen, die mich bei der Arbeit, ihrer Betreuung, dem Korrekturlesen und ¨

uber

das ganze Studium hinweg unterst¨

utzt haben.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Nollau und Herrn Dr. M¨

uller, die diese

Arbeit fachlich betreut haben. Ferner danke ich Iris Keller, Dr. Hariet K¨

ostner und Uwe

Rennschmied vom Marktforschungsinstitut ForschungsWerk GmbH in N¨

urnberg, die

mir wertvolle Einblicke in die praktische Arbeit der Marktforschung gew¨

ahrt haben.

iii

---

Inhaltsverzeichnis

1

Einf¨

uhrung

1

1.1

Geschichtlicher Abriss zu Benfords Gesetz .

1

1.2

Erkl¨

arungen f¨

ur Benfords Gesetz

.

2

1.3

Aufbau der Arbeit

.

3

1.4

Mathematische Grundlagen

.

3

2

Benfords Gesetz

6

2.1

Mantissen und signifikante Ziffern .

6

2.2

Wahrscheinlichkeitsraum .

9

2.2.1

Grundraum .

9

2.2.2

Mantissen--Algebra Mb .

9

2.2.3

Wahrscheinlichkeitsmaß ~

P .

12

2.3

Spezialf¨

alle von Benfords Gesetz

.

16

2.3.1

Gesetz der ersten Ziffern .

16

2.3.2

Gesetz der n-ten Ziffern

.

17

2.4

Allgemeine Eigenschaften der Benford-Verteilung

.

19

2.4.1

Konvergenz der Benford-Verteilung .

19

2.4.2

Abh¨

angigkeit der Ziffern .

22

2.5

Strukturelle Eigenschaften der Benford-Verteilung .

24

2.5.1

Skaleninvarianz .

24

2.5.2

Baseninvarianz .

27

2.6

Grenzwertsatz f¨

ur signifikante Ziffern .

33

2.7

Beispiele f¨

ur benford-verteilte Datenmengen .

43

2.7.1

Endpreise von Ebay-Auktionen .

43

2.7.2

Fibonacci-Zahlen .

43

2.7.3

Lucas-Zahlen .

44

2.7.4

Hills Datenmengen .

44

3

Anwendung von Benfords Gesetz in der Marktforschung

46

3.1

Verschiedene Anwendungsm¨

oglichkeiten .

46

3.1.1

Computeroptimierung

.

46

3.1.2

Plausibilit¨

atstest bei mathematischen Modellen .

46

iv

---

Inhaltsverzeichnis

3.1.3

Steuerfahndung .

47

3.1.4

Marktforschung .

48

3.2

Datenerhebung in der Marktforschung

.

48

3.2.1

Stichprobe .

49

3.2.2

Pretest .

49

3.2.3

Ablauf des Interviews .

49

3.2.4

Durchf¨

uhrungsobjektivit¨

at .

50

3.2.5

Dispositions .

50

3.2.6

Kontaktphase .

51

3.2.7

Filterfragen und unfertige Interviews .

51

3.2.8

Abh¨

oren und Monitoring .

51

3.2.9

Interviewdauer

.

52

3.2.10 Ausreißer-Pr¨

ufung

.

52

3.2.11 Telefonische Nachkontrollen .

52

3.2.12 Falsche Angaben der Befragten .

52

3.3

Datentypen in der Marktforschung

.

53

3.3.1

Nominal- und Ordinalskalen .

53

3.3.2

Intervallskalen .

54

3.4

Tests auf die Benford-Verteilung .

55

3.4.1

Verschiedene in der Literatur erw¨

ahnte Tests .

55

3.4.2

Invarianz-Testverfahren .

56

3.4.3

2-Anpassungstest .

58

3.4.4

Programm zum Test auf die Benford-Verteilung .

59

3.4.5

Testbeispiele .

60

3.4.6

Interpretation von Tests .

61

3.5

Ergebnisse bisheriger Studien

.

62

3.5.1

Judge und Schechter .

62

3.5.2

Swanson, Cho und Eltinge .

63

3.5.3

Schr¨

apler und Wagner .

64

3.6

Tests bei Umfragedaten

.

65

3.6.1

Daten aus der Literatur

.

65

3.6.2

Reale Daten .

67

4

Zusammenfassung und Ausblick

71

A Programm zur Ermittlung der Ziffernh¨

aufigkeiten

73

B Teilstichproben aus Datensatz 3

79

Literaturverzeichnis

84

v

---

---

Kapitel 1

Einf¨

uhrung

1.1 Geschichtlicher Abriss zu Benfords Gesetz

Der Astronom Simon Newcomb ver¨

offentlichte 1881 einen Artikel mit dem Titel No-

"

te on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers" [Newcomb

1881]. In diesem Beitrag erl¨

auterte er seine Beobachtung, dass die ersten Seiten von

Logarithmen-Tafeln wesentlich schneller abgenutzt sind als die letzten. Er schloss dar-

aus, dass die 1 als erste Ziffer h¨

aufiger vorkomme als die 2, die 2 h¨

aufiger als die 3 und

so fort. F¨

ur seine Beobachtung gab er folgende Beschreibung an:

1

P(erste signifikante Ziffer = d) = log10 1 +

, wobei d = 1, 2, ..., 9 ist

d

und

9

P(zweite signifikante Ziffer = d) =

log10(1+(10k +d)-1), wobei d = 0, 1, 2, ..., 9.

k=1

Diese Entdeckung widerspricht der allgemeinen Ansicht, dass jede Ziffer mit der glei-

chen Wahrscheinlichkeit - beispielsweise 1 f¨

ur die erste Ziffer bei den Dezimalzahlen

9

- vorkommen sollte. Lange Zeit besch¨

aftigte sich niemand mit diesem Thema. Be-

kannt wurde es erst, als der Physiker Frank Benford dieselbe Beobachtung in den

Logarithmen-Tafeln machte und 1938 fundiert durch eigenes Datenmaterial in dem

Artikel The law of anomalous numbers" ver¨

offentlichte [

"

Benford 1938].

Das Gesetz ist heutzutage unter dem Namen Benfords Gesetz" (Benford′s Law) be-

"

kannt. Einige Autoren nennen es auch Newcomb-Benford-Gesetz" (Newcomb-Benford-

"

Law), Gesetz der ersten Ziffern" (First Digit Law), Gesetz der signifikanten Ziffern"

"

"

1

---

Kapitel 1 Einf¨

uhrung

(Significant Digit Law) oder logarithmisches Gesetz" (Logarithmic Law).

"

Anl¨

asslich des 125. Jahrestages von Newcombs Artikel im Jahr 2006 hat Werner H¨

ur-

limann eine Bibliographie akademischer Arbeiten erstellt, die sich mit Benfords Gesetz

besch¨

aftigen [H¨

urlimann 2006]. Allein in dieser nicht ganz vollst¨

andigen Auflistung

finden sich ¨

uber 300 Artikel zum Thema.

1.2 Erkl¨

arungen f¨

ur Benfords Gesetz

Manche Datenmengen erf¨

ullen Benfords Gesetz, manche nicht. Selbst bei den von Ben-

ford aufgef¨

uhrten Datenmengen gen¨

ugen laut Scott und Fasli [Scott und Fasli 2001]

nur etwa die H¨

alfte tats¨

achlich seinem Gesetz. Es gibt eine Reihe von Erkl¨

arungsver-

suchen, warum und wann Benfords Gesetz gilt.

Eine recht philosophische Hypothese ist, dass die Menge aller Zahlen selbst Benfords

Gesetz folgt, da es eine eingebaute Charakteristik unseres Zahlensystems" sei [

"

Wea-

ver 1963]. Die empirisch beobachteten ¨

Ubereinstimmungen ergeben sich also aus der

Tatsache, dass die untersuchten Zahlenmengen Repr¨

asentanten derselben zugrunde lie-

genden mystischen Menge aller Zahlen sind. Auch Benford vertrat diese Ansicht.

Raimi [Raimi 1976] gibt eine ¨

Ubersicht ¨

uber verschiedene andere Erkl¨

arungsversuche,

doch Hill [Hill 1995b] kritisiert all diese. Bei den meisten Theorien werden n¨amlich

keine geeigneten Wahrscheinlichkeitsr¨

aume definiert oder es wurden andere falsche An-

nahmen getroffen.

In Kapitel 2.2 wird deshalb ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum eingef¨

uhrt, der eine

korrekte Darstellung der Benford-H¨

aufigkeiten gestattet. In Kapitel 2.6 wird dann ein

Grenzwertsatz angegeben, der besagt, dass eine Mischung aus Datenmengen mit ver-

schiedenen Verteilungen unter bestimmten Voraussetzungen gegen die Benford-Verteilung

konvergiert.

2

---

1.3 Aufbau der Arbeit

1.3 Aufbau der Arbeit

Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert: Der erste Teil (Kap. 2) besch¨

aftigt sich mit

der Theorie rund um Benfords Gesetz, der zweite (Kap. 3) bezieht sich auf die An-

wendungsm¨

oglichkeiten in der Marktforschung, insbesondere auf die Aufdeckung von

F¨

alschungen bei Interviews.

In Kapitel 2.2 wird ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum eingef¨

uhrt. Darauf aufbau-

end werden S¨

atze ¨

uber die gemeinsame Verteilung der ersten n Ziffern (Kap. 2.2.3)

sowie f¨

ur die Verteilung der ersten (Kap. 2.3.1), zweiten und n-ten Ziffern (Kap. 2.3.2)

angegeben. Zu den besonderen Eigenschaften der Benford-Verteilung geh¨

oren die Ab-

h¨

angigkeit der Ziffern (Kap. 2.4.2), die Konvergenz der Benford-Verteilung gegen die

Gleichverteilung (Kap. 2.4.1), die Skalen- und die Baseninvarianz (Kap. 2.5.1 und 2.5.2).

In Kapitel 2.6 wird ein Satz hergeleitet, der dem Zentralen Grenzwertsatz ¨

ahnelt. Die-

ser trifft eine Aussage, unter welchen Bedingungen eine Mischung von Datenmengen

benford-verteilt ist. Beispiele f¨

ur benford-verteilte Datenmengen werden in Kapitel 2.7

gegeben.

In Kapitel 3.1 werden verschiedene Anwendungsm¨

oglichkeiten von Benfords Gesetz

vorgestellt, wobei n¨

aher auf die Anwendung in der Marktforschung eingegangen wird.

Dazu werden zun¨

achst in Kapitel 3.2 die Prozesse bei der Erhebung von Umfragedaten

beschrieben und in Kapitel 3.3 die verschiedenen Datentypen vorgestellt. In Kapitel

3.4 werden verschiedene Tests auf die Benford-Verteilung bewertet und ein Programm

zum Test auf Benford-Verteilung eingef¨

uhrt (Kap. 3.4.4). Ergebnisse bisheriger Studien

zum Thema werden in Kapitel 3.5 pr¨

asentiert. Die Auswertung eigener Tests erfolgt in

Kapitel 3.6.

1.4 Mathematische Grundlagen

Folgende Definitionen werden als Grundlagen f¨

ur die eigentliche Arbeit ben¨

otigt.

Definition 1 (R+)

Die Menge der positiven reellen Zahlen ohne Null wird mit R+ bezeichnet.

Definition 2 (-Algebra auf )

Eine Familie F von Teilmengen einer Menge mit

3

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