Universität Flensburg

Institut für Mathematik und ihre Didaktik

Handlungsorientierte Zugänge zum

Funktionsbegriff und

Möglichkeiten zur Förderung des

funktionalen Denkens

Schriftliche Hausarbeit zur Ersten Staatsprüfung für die Laufbahn

der Realschullehrerinnen und Realschullehrer in Schleswig-Holstein

Dem Prüfungsamt vorgelegt

von: Michael Schmidt

Flensburg, den 01. Juli 2008

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1

Inhaltsübersicht:

1

Einleitung 2

2

Handlungsorientierung als Konzept zur Umsetzung eines

5

größeren Realitätsbezuges der Fachinhalte in den Unterricht

3

Funktionsbegriff und Funktionsarten

12

3.1

Der Funktionsbegriff

12

3.2

Lineare Funktionen mit fachwissenschaftlicher Analyse

16

proportionaler Funktionen

3.3

Potenzfunktionen mit dem Spezialfall der Antiproportionalität

21

3.4

Exponentialfunktionen

23

4

Chancen für instruktives Unterrichten zur Unterstützung und

25

Entwicklung des funktionalen Denkens und des

Funktionsbegriffserwerbs

4.1

Differenzierung und Verbundenheit von unterschiedlichen

25

Repräsentationen desselben Sachverhalts

4.2

Mathematik als Instrument der Physik

30

4.2.1 Proportionalität als Eigenschaft von Funktionen

32

4.2.2 Experimentelle Ermittlung proportionaler Zusammenhänge

35

4.2.3 Herausarbeitung von Potenzfunktionen

43

4.2.4 Modellierung als mathematisch-theoretisches Konstrukt eines realen

47

(Natur-) Vorgangs

4.3

Innermathematische Anwendungen von proportionalen und

54

antiproportionalen Funktionen

5

Schlussbetrachtung

59

6

Inhaltsverzeichnis

60

7

Abbildungsverzeichnis

61

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2

1

Einleitung

Mathematik wird in unserer Gesellschaft oftmals als etwas verstanden, was eher

lästig und anstrengend ist als dass sie Freude bereitet und für unser Leben nützlich

sein kann. Sie habe rein gar nichts mit dem richtigen Leben zu tun, sondern

erscheine zwecklos und diene zu gar nichts, was die Menschheit zum Leben

benötige, mögen einige Menschen in den Extremfällen sagen. Höchstens den

Aufgaben des Zählens, Rechnens und Messens, wie sie in der Form der

Grundfertigkeiten verstanden werden, würde noch Bedeutung zukommen. Und viele

Jugendliche, vielleicht die Mehrheit, werden sich während des Mathematikunterrichts

in der Schule zumindest insgeheim schon einmal gefragt haben, wozu man ,,das

Ganze" überhaupt jemals wieder brauchen wird. Wohl fast jeder Mathematiklehrer

wird diese Frage schon einmal gestellt bekommen haben. Dass Mathematik jedoch

weitaus mehr ist als das Zählen und Rechnen, leuchtet längst nicht jedem

unmittelbar ein. Sogar von einem Imageproblem der Mathematik ist die Rede, wie

kürzlich in der Zeitschrift

DAAD Letter

zu lesen war, obwohl im Alltag fast nichts mehr

ohne Mathematik funktioniere, so die Autorin des Artikels.1 Wie kommt diese

weitläufig ablehnende Haltung gegenüber dieser Wissenschaft, die einer der ältesten

überhaupt ist, zustande? Als ,,zu schwer" und ,,zu abstrakt" wird die Mathematik

bereits in den Schuljahren verurteilt. In signifikantem Maße liegt die Ursache also

bereits im Schul-

Unterricht

, beim Heranführen der Schüler an diese großartige

Disziplin ­ die Mathematik.

Und hier setzt diese Arbeit an2 ­ im Mathematikunterricht. Das erfolgreiche Lernen

kann überhaupt nur dann gelingen, wenn den Schülern3 gleichzeitig die

Bedeutsamkeit und der Nutzen des Gelernten vermittelt werden. Andernfalls erfolgt

wiederum die Suche der Kinder und Jugendlichen nach dem veritablen Wert

bestimmter Themenbereiche und die Gefahr des Infragestellens und der Skepsis bis

hin zur Resignation, wie sie leider allzu oft vorhanden ist. Die Mathematik muss

keineswegs langweilig und sinnlos erscheinen. Und es wäre fatal, Kindern schon in

1 Vgl. Jung, K.: Magie der Mathematik ­ Mehr Anerkennung für ein Traditionsfach. In: DAAD Letter,

28. Jg. 2008, Heft 1, S. 10-13.

2 Die ursprünglich angesetzte Seitenzahl ist aufgrund zahlreicher Abbildungen im Text um etwa 10

Seiten überschritten. (Anm. d. Verf.)

3 Aus Gründen der besseren Lesbarkeit wird in dieser Arbeit durchgehend die männliche Form

verwendet. Natürlich sind damit auch immer beide Geschlechter gemeint. (Anm. d. Verf.)

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3

frühen Jahren mit (für sie) sinnleeren Formeln, Gesetzen und Theorien zu begegnen.

Vorgegebenen, fertigen Systematiken sollte dort Einhalt geboten werden, wo es

möglich ist. Die Erkenntnis für die Herkunft des Elementaren ginge ansonsten

verloren und damit auch das grundsätzliche Interesse an der Mathematik. Die

Gliederung sachlichen und logischen Wissens kann nur in nachvollziehbaren

Zusammenhängen erlernt werden. Eine grundlegende Chance hierfür bietet uns die

Natur. Sie gehorcht in einer ungemein großen Vielfalt gewissen mathematischen

Regeln, sodass einige Menschen gar der Meinung sind, die ganze Welt könne durch

die Mathematik

beschrieben

werden. Deshalb verwundert es nicht, dass die

Mathematik trotz ihrer Nähe zur Natur als Sprach- und nicht als Naturwissenschaft

deklariert wird. (Allein die Verbundenheit mit der Wirtschaft schließt die Vermutung

aus, die Mathematik sei eine Naturwissenschaft). Dabei spielen Modellierungen eine

tragende Rolle, denn ohne sie könnte man viele (Natur-) Vorgänge aus der Welt

schlicht und ergreifend nicht übersetzen und somit weder interpretieren noch

analysieren.

Der Begriff der Funktion ist einer der Kernbegriffe der modernen Mathematik. Kaum

ein Gebiet der Mathematik ist gänzlich frei von den Erscheinungsformen des

Funktionsbegriffs. Deshalb ist es in hohem Maße bedeutend, den Funktionsbegriff

treffend und sorgfältig in den Schulen einzuführen. Es stellt sich dabei insbesondere

die Frage, wie die Entwicklung des funktionalen Denkens am geeignetsten gefördert

und unterstützt wird und die latenten Chancen für die Herausarbeitung einer

angemessenen Vorstellung und eines sicheren Verständnisses des Funktionsbegriffs

tatsächlich wahrgenommen werden können. Dabei ist es wichtig, die Schüler auf der

einen Seite nicht zu früh mit formalen Ausdrucksweisen zu überfordern. Andererseits

ist es ja gerade das Geschick der Mathematik, Aussagen bzw. Gesetzmäßigkeiten

möglichst prägnant in ihrer eigenen Sprache wiederzugeben. Nicht zuletzt deshalb

wird oft auch von der Schönheit der Mathematik gesprochen, in der viele eine Kunst

sehen und sie als eine ästhetische Disziplin bezeichnen. Den Schülern muss sie mit

Lebendigkeit begegnen, denn schließlich besteht auch die Musik ,,nicht nur aus

Kreisen und Kreuzchen, die über die Notenlinien tanzen. Ganz entsprechend

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4

erwachen auch die mathematischen Symbole erst zum Leben [...]"4, wenn die

Schüler die Mathematik auf reale Sachverhalte übertragen und anwenden können.

Wenngleich die Behandlung von Funktionen im Mathematikunterricht, oder genauer

der Funktionsbegriffserwerb und dessen Festigung, der Kern dieser Arbeit ist, ist es

zunächst sinnvoll, das handlungsorientierte Unterrichten allgemein durch ihre

Eigenschaften zu bestimmen, da dieses Unterrichtskonzept hierbei eine bedeutende

Rolle spielt. Das Thema

Funktionen

wird dabei zwischendurch immer wieder explizit

mit einbezogen. Anschließend wird noch etwas zum Funktionsbegriff und einigen

grundlegenden Funktionsarten, so wie sie in der Sekundarstufe 1 vorkommen,

gesagt. Dabei wird der Fokus insbesondere auf die Begriffe

Proportionalität

und

Antiproportionalität

gelegt und einige Eigenschaften unter einem

fachwissenschaftlichen Aspekt betrachtet. In dem umfangreichen Kapitel 4 geht es

um den Mathematikunterricht. Darin werden viele Möglichkeiten und Beispiele

genannt, die Lehrern und vor allem den Schülern von Nutzen sein können, da sie

Nachhaltigkeit beim Verständnis des Funktionsbegriffs zu versprechen vermögen.

Das fächerübergreifende Unterrichten (mit der Physik), d.h. die Behandlung

außermathematischer Problemstellungen, wird ebenso Inhalt sein wie

innermathematische Sachverhalte im Umgang mit Funktionen. Allerdings hat es sich

während des Verfassens der Arbeit aufgrund des umfassenden Themas als sinnvoll

erwiesen, das Augenmerk hauptsächlich auf die Proportionalität bzw.

Antiproportionalität gerichtet zu lassen. Die Arbeit hätte bei Einbeziehung mehrerer

Funktionsarten (inkl. Beispiele) ansonsten beliebig weit fortgeführt werden können

oder massive Einschränkungen inhaltlicher Art nach sich ziehen müssen. Der Titel

dieser Arbeit macht schließlich schon deutlich, dass die

Zugänge

zu diesem Thema

und in die Unterstützung für ein altersgerechtes

Entwickeln

des Funktionsbegriffs den

Kern bilden. Die ersten Einblicke in dieses Gebiet finden nun einmal primär mit den

genannten Funktionseigenschaften (nach den einfachsten Zuordnungen) statt und

bilden somit ein gewisses Fundament des Funktionsverständnisses ­ die Grundlage

alles Aufbauendem also.

4 Du Sautoy, M.: The Music of the Primes ­ Why an Unsolved Problem in Mathematics Matters.

London 2003. Aus dem Englischen übersetzt von Thomas Filk: Die Musik der Primzahlen ­ Auf

den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. München 32007, S. 102.

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5

2

Handlungsorientierung als Konzept zur Umsetzung eines größeren
Realitätsbezuges der Fachinhalte in den Unterricht

Der handlungsorientierte Unterricht findet auf der Basis schüleraktiver Form statt. Die

Schüler sind demnach aktiv am Unterrichtsgeschehen beteiligt und erfahren somit

einen anderen Zugang zu einem inhaltlichen Stoff als es der Frontalunterricht

beispielsweise vorgibt. Diese Form ist in einigen Fächern beliebter als in anderen, da

entweder die Voraussetzungen günstiger erscheinen oder sich auf der anderen Seite

die Haltung durchsetzt, den darlegenden (frontalen) Unterricht der Bequemlichkeit

wegen ,,standardmäßig" durchzuführen. Nichtsdestoweniger ist der Frontalunterricht

hin und wieder vonnöten und soll insgesamt nicht abgewertet werden. Allerdings ist

dringend auf eine ausgewogene Handhabung mit den verschiedenen

Unterrichtsformen- bzw. Konzepten zu achten. Nach Hilbert Meyer ist der

handlungsorientierte Unterricht ,,ein ganzheitlicher und schüleraktiver Unterricht, in

dem die zwischen Lehrer und den Schülern vereinbarten Handlungsprodukte die

Organisation des Unterrichtsprozesses leiten, so daß Kopf- und Handarbeit der

Schüler in ein ausgewogenes Verhältnis zueinander werden können."5 Das Ganze ist

aber nur durch eine komplexe unterrichtliche Gestaltung zu erreichen, was viele

Lehrer womöglich davon abschreckt, diesen Weg zu gehen. Da die Mathematik eng

mit formalen Attributen zusammenhängt, diese Wissenschaft also durch ihre

formalen Systeme, den abstrakten Strukturen und logischen Schlussfolgerungen

überhaupt erst ,,lebt", sind leider immer noch viele Lehrer der konventionellen

Auffassung, dass sich der Mathematikunterricht kaum handlungsorientiert

durchführen lässt. Doch das ist nicht der Fall, wie in dieser Arbeit am Beispiel zur

Behandlung von Zuordnungen und Funktionen im Folgenden gezeigt werden soll.

Bei diesem Thema wäre es fatal, die Chance des schülerorientierten Unterrichts nicht

zu nutzen. Hier kann ich als Lehrer beweisen, dass ,,Mathematik [...] kein

Zuschauersport"6 ist, sondern durchaus von Aktivitäten lebt und dass es sie ,,nicht

nur in den Hirnen der Mathematiker gibt"7, sondern dass sie wirklich existiert.

Das Prinzip des exemplarischen und genetischen

Lernens nach Martin Wagenschein8 und das entdeckende Lernen nach Bruner9

5 Meyer, H.: Unterrichtsmethoden I: Theorieband. Berlin 112006, S. 214.

6 Zeitler, H.: Zur Einführung. In: Der Mathematikunterricht, 47. Jg. 2001, Heft 2, S. 3.

7 Ebd., S. 3.

8 Vgl.: Wagenschein, M.: Verstehen lehren. Weinheim und Basel 52005, S. 27-114.

9 Vgl.: Bruner, Jerome S.: Studien zur kognitiven Entwicklung. Stuttgart 11971, S. 21-44.

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6

gehören zum Konzept der Handlungsorientierung. Wenn Kinder aufgrund eines

Phänomens jeglicher Art oder speziell eines mathematischen Problems oder gar

eines funktionellen Zusammenhangs fragen: ,,Warum?", dann wollen sie keinen

großartigen fachwissenschaftlichen Vortrag hören. Sie wollen vielmehr wissen, unter

welchen Umständen dies oder jenes passiert. Die Kinder suchen sich die

Erklärungen zu den Problemen / Phänomenen selbst. (Allein die Suche danach hat

einen hohen Wert!). Als Beispiel dient hier etwa der funktionale Zusammenhang

einer Flüssigkeitsmenge zu der Füllhöhe bei unterschiedlichen Gefäßen. Dies wird

aber noch in Kapitel 4.1 eingehender beschrieben.

Das lernpsychologische Modell der Äquilibration10 von Piaget kommt bei solchen

handlungsorientierten Zugängen sehr zum Tragen. Denn nach dem

Äquilibrationsprinzip hat jeder Lernende eine kognitive Struktur, die sich im Laufe

seines Lebens durch individuelle Erfahrungen in der Umwelt gebildet hat. Wenn

jemand also beispielsweise sportlich aktiv ist, wird er gewisse funktionale

Abhängigkeiten, bewusst oder unbewusst, ständig erfahren: Parabel beim

Hochsprung, Kugelstoßen oder beim Speerwerfen; Geschwindigkeitsveränderungen

oder -konstanz bei diversen Bewegungen (100m-Lauf, 400m-Lauf, Radfahren bei

unterschiedlichen Steigungen/Strecken usw.). Dabei haben diese Kenntnisse zwar

nicht immer unbedingt quantitativen, aber doch zumindest qualitativen Charakter.

Genauso können aber auch Erfahrungen anderer Art zum Teil vorhanden sein.

Insbesondere viele Proportionalitäten (als Eigenschaft von Funktionen, aber ohne

zwingendes Wissen

über

Funktionen) werden im Alltagsleben ,,automatisch"

erfahren. Auch im Mathematikunterricht kann sich diese so genannte kognitive

Struktur weiter ausbilden ­ nämlich durch Handlungsorientierung. Ein Kind muss

sehen

, wie verschiedene Größen voneinander abhängen. Es genügt nicht, jede

funktionale Abhängigkeit rein mündlich und schriftlich zu besprechen. Sondern sie

müssen sich für Kinder und Jugendliche anhand eines Versuchs aufwerfen und in

der Auswertung entweder bestätigen oder zum Staunen bringen. Im ersten Fall,

wenn also eine sicher geglaubte Vermutung bestätigt wird, spricht man von einer

Assimilation11. Die neue Information bzw. das Ergebnis passt zu der bereits

vorhandenen kognitiven Struktur, sodass diese nun verstärkt wird. Im zweiten Fall

dagegen, wenn also ein Experiment oder irgendeine andere gemachte Erfahrung ein

10 Vgl.: Buggle, F.: Die Entwicklungspsychologie Jean Piagets. 2., überarbeitete Auflage, Stuttgart

[u.a]. 1993, S. 36-40.

11 Ebd., S. 25.

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7

anderes Ergebnis liefert als es der vorherigen Vermutung entspricht, spricht man von

einer Akkomodation12. Zunächst herrscht dadurch ein kognitives Ungleichgewicht.

Die vorhandene Struktur muss korrigiert und angepasst werden, sodass sich die

neue kognitive Struktur ausbilden kann. Akkomodation kann aber meist nur da

erfolgen, wo man handelnd tätig ist. Sie kann jedenfalls dann viel besser erfolgen.

Erst dann kann mithilfe des Erfahrungsfeldes der Sinne ein Staunen und daraus ein

Nachdenken resultieren, um schließlich neue Erkenntnisse zu gewinnen. Im Beispiel

der bereits oben genannten Zuordnung ,,Füllhöhe in Abhängigkeit von der

Füllmenge" bei unterschiedlichen Gefäßformen ist bei Schülern oft zu beobachten,

dass sie bei einem Gefäß wie z. B. in der Form eines (oben offenen)

Kreiskegelstumpfes eine Proportionalität vermuten. Meistens lautet ihre

Argumentation: ,,Das Wasser steigt gleichmäßig, weil ja die Seitenkanten des

Behälters gerade verlaufen." (Sie meinen damit aber nicht ,,orthogonal zur

Grundfläche", sondern lediglich ,,nicht gewölbt"). Selbst wenn erkannt wird, dass das

Wasser nicht

in gleichem Maße

ansteigt, haben viele Schüler die falsche Vorstellung,

dass ein entsprechender Funktionsgraph linear ansteigen müsse. Hier bietet sich die

Chance, sie durch praktisches Tun von ihrer Fehleinschätzung zu überzeugen.

Die handelnde Auseinandersetzung mit den Dingen ist demnach eine

vor-

formale

Phase, die gerade in der Schule beim Thema Funktionen eine wichtige Rolle spielt.

Erst dadurch kann eine vernünftige Grundlage für den Funktionsbegriff und die

Behandlung von weiteren Funktionsarten geschaffen werden. Die Übersetzung in die

Sprache der Mathematik (Funktionsgraphen, Symbolik usw.) erfolgt entweder parallel

oder nach der aktiven Auseinandersetzung; sie sollte aber niemals davor oder gar

nicht stattfinden. Bei anderen Themengebieten der Mathematik mag das zum Teil

schwieriger sein; man denke zum Beispiel an die Zahlentheorie. Im Endeffekt ist die

Mathematik nun mal abstrakt, doch sie kann in vielen Bereichen lebendig und somit

für Kinder und Jugendliche besser zugänglich gemacht werden.

Wichtig bei der Auseinandersetzung mit mathematischen Problemen ist es, die

Mathematik in der Schule nicht als Lernpensum zu verstehen. Sture

Anwendungsschemata, die lediglich für die Lösung eines Problems von Nutzen sind,

machen keinen Sinn, wenn nicht das Fundamentalste dieses Problems sorgfältig

12 Ebd., S. 25.

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