Das durch joulesche Wärme entstehende Temperaturfeld

einer Eisenkugel im homogenen elektrischen Feld

mit Wasser als Dielektrikum

Vergleich von Ergebnissen aus Comsol mit analytischen Berechnungen aus den

Annalen der Physik von 1935

Thomas Plehn

Department of Engineering and Mathematics

University of Applied Sciences Bielefeld

Inhaltsverzeichnis

1Abstract 1

2Einleitung 2

3Theorie/Modellbildung 2

3.1Das Temperaturfeld bei Abwesenheit der Kugel 2

3.2Das elektrische Potential bei Anwesenheit der Kugel 3

3.3Das Temperaturfeld bei Anwesenheit der Kugel 4

4Umsetzung in Comsol 5

4.1Ideenfindung und Irrwege 5

4.2Ausführung der selbst definierten Kopplung 5

5Ergebnisse 7

5.1Ergebnisse bei niedrigen Frequenzen 7

5.2Ergebnisse im Ghz-Bereich 8

6Diskussion 9

7Zusammenfassung 11

8Literatur 11

1 Abstract

Diese Arbeit ist von dem Interesse geleitet, Ergebnisse, die durch ein FEM-Tool wie Comsol ge-

wonnen wurden, in einem einfachen Fall, der noch analytisch berechenbar ist, mit den analytischen

Betrachtungen zu vergleichen. Bei den analytischen Betrachtungen stützen wir uns auf Krasny-Er-

gen, Wilhelm, der bereits 1935 in den Annalen der Physik Berechnungen zum Temperaturfeld einer

Kugel im homogenen elektrischen Feld veröffentlichte. Um einen möglichst intuitiven Vergleich zu

ermöglichen, werden die Ergebnisse von Krasny-Ergen mithilfe von Matlab numerisch ausgewertet.

This Paper is guided by the interest to compare some results achieved by the fem-tool comsol in a

1

simple case, which can be treated analytically, with the analytic results. The analytic treatment is

based on Krasny-Ergen, Wilhelm, who already published his calculations on the temperature field

of a sphere in a homogeneous electric field in 1935 in the annals of physics. To achieve a comparis-

on as intuitive as possible, the results of Krasny-Ergen are evaluated numerically by matlab.

2 Einleitung

Der Effekt als solches lässt sich durch die Oberflächenladungen auf beiden Seiten der Kugel erklä-

ren, die durch die geladenen Kondensatorplatten durch Influenz entstehen. Da die Kugel infolge des

Wechselfeldes pro Sekunde viele male umgeladen wird, müssen die Ladungen durch die Kugel flie-

ßen und erzeugen dort mehrmals pro Sekunde joulesche Wärme.

Bei der hier vorliegenden Betrachtung handelt es sich um eine stationäre Analyse, die auf zwei we-

sentlichen Annahmen basiert: Erstens hat die Kugel im Vergleich zum Abstand der Kondensator-

platten einen vernachlässigbaren Radius und zweitens ist die Wellenlänge des Feldes noch immer

groß in Bezug auf die Geometrie. Wir werden sehen, dass beides in der Geometrie von comsol nur

teilweise erfüllt ist.

Um überhaupt ein stationäres Temperaturfeld erhalten zu können, werden die beiden Kondenstor-

platten ständig auf eine bestimmte Temperatur heruntergkühlt. Die Berechnung erfolgt mithilfe der

Laplaceschen Differentialgleichung für das elektrische Potential,

(2.1)

der Gleichung für die joulesche Wärme,

(2.2)

und der Wärmeleitungsgleichung,

(2.3)

wobei in Polarkoordinaten mit Ursprung des Koordinatensystems im Mittelpunkt der Kugel gerech-

net wird. Dabei kommen geeignete Nebenbedingungen, wie der Übergang des elektrischen Feldes

in das homogene Feld bei Abwesenheit der Kugel für r gegen Unendlich, der Übergang des Tempe-

raturfeldes in das Temperaturfeld, das sich ebenfalls bei Abwesenheit der Kugel ergibt, ebenfalls im

Limes für r gegen Unendlich. Zusätzlich ist an der Kugeloberfläche noch die Stetigkeit der elektri-

schen Stromes und des Wärmestroms zu gewährleisten.

Die für das Verständnis notwendigen Rechnungen werden im Rahmen der Theorie/Modellbildung

im folgenden grob umrissen. Anschließend werden wir darlegen, wie sich diese Geometrie in Com-

sol implementieren lässt. Die Ergebnisse werden nachfolgend mit den theoretischen Resultaten ver-

glichen. Schließlich kommen wir zu einer Diskussion der Ergebnisse.

3 Theorie/Modellbildung

3.1 Das Temperaturfeld bei Abwesenheit der Kugel

Folgt man der Darstellung in (Krasny-Ergen, 1935, S. 278f), so erkennt man, dass bei Abwesenheit

der Kugel die joulesche Wärmequelle q überall im Gebiet gleich ist, nämlich

(3.1)

2

denn die Feldstärke ist überall die des homogenen Feldes und es herrscht überall die Leitfähigkeit

des Dielektrikums. Außerdem gilt überall die im Gebiet die Wärmeleitungsgleichung

(3.2)

wobei q die Wärmequelle aus der jouleschen Wärme ist und lambda die Wärmeleitfähigkeit des Di-

elektrikums. Aufgrund der beiden Kühlplatten ergeben sich noch die beiden Randbedingungen

(3.3)

Da T von x und y nicht abhängt handelt es sich hier um ein eindimensionales Wärmeleitungspro-

blem in z Richtung. Damit ergibt sich:

(3.4)

Diese Gleichung lässt sich nun problemlos nach z integrieren und man erhält die allgemeine Lösung

der Differentialgleichung:

(3.5)

Wir können nun a und b aus den Randbedingungen (3.3) bestimmen, denn wir haben zwei Glei-

chungen für zwei Unbekannte, und erhalten zusammen mit dem Wert von q aus (3.1) das folgende

Temperaturfeld:

(3.6)

Dieses Temperaturfeld ist später wichtig, weil das Temperaturfeld der Kugel im Unendlichen in die-

ses Temperaturfeld übergehen muss.

3.2 Das elektrische Potential bei Anwesenheit der Kugel

Wir folgen nun wieder der Darstellung in (Krasny-Ergen, 1935, S. 279f) um das Potential bei An-

wesenheit der Kugel herzuleiten. Da es sich um ein Potential handelt, muss folglich überall die La-

placesche Gleichung

(3.7)

gelten, diese erhält jedoch einige Randbedingungen: Zum einen muss das Potential in großer Entfer-

nung zur Kugel in das Potential des homogenen Feldes übergehen, was bedeutet

(3.8)

außerdem muss das Potential beim Durchgang durch die Kugeloberfläche stetig bleiben, was bedeu-

tet:

(3.9)

3