Die Einheitengruppe im Restklassering Z n

zur Vorlesung Algebra I

Daniela Dossing
Wintersemester 1999 / 2000

Inhaltsverzeichnis:

I. Der Restklassenring Zn 1

II. Die Einheitengruppe 4

III. Die Einheiten von Zn 7

IV. Die Eulersche j-Funktion 9

IV.1 Eigenschaften der Eulerschen j-Funktion 9

IV.2 Berechnung der Eulerschen j-Funktion 12

IV.3 Die Struktur der Einheitengruppe E(Zn) 17

V. Zusammenfassung 22

I. Der Restklassenring Zn

Definition I.1:

Ein Ring-mit-1 besteht aus einer Menge R von Elementen zusammen mit zwei Verknüpfungen + und *, die je zwei Elementen x, y aus R wieder ein Element x + y bzw. x * y von R zuordnen. Damit eine solche Struktur Ring genannt wird, müssen die folgenden drei Gruppen von Gesetzen für alle Elemente x, y, z ` R erfüllt sein:

1. Gesetze der Addition
· Assoziativität:
(x + y) + z = x + (y + z)

· Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes: Es gibt genau ein Element
0 von R, für das gilt:
0 + x = x

· Existenz und Eindeutigkeit inverser Elemente: Zu jedem Element x aus R gibt es
genau ein Element –x aus R, für das gilt:
x + (-x) = 0

· Kommutativität:
x + y = y + x

2. Gesetze der Multiplikation
· Assoziativität:
x * (y * z) = (x * y) * z

· Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes: Es gibt genau ein Element
1 von R, für das gilt:
1 * x = x = x * 1

3. Distributivgesetze
x * (y + z) = x * y + x * z
(x + y) * z = x * z + y * z

Die Menge Z der ganzen Zahlen ist zusammen mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring-mit-1. Ausgehend von den ganzen Zahlen kann man nun zu einer natürlichen Zahl n die Restklassen in Z bilden.

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