RWTH Aachen – W S 2 0 0 1 / 2 0 0 2
L e h r s t u h l   A   f ü r M a t h e m a t i k
„Zahlen im Mathematikunterricht“

D i e   r e e l l e n   Z a h l e n

Daniela Dossing
17.12.2001

1 Einleitung  1

2 Weierstraß: Aggregate  1

3 Fundamentalfolgen  4

4 Dedekind: Schnitte  5

4 Hilbert: Die axiomatische Methode  6

5 Literatur  8

1 Einleitung

Heute fassen wir die reellen Zahlen als Elemente eines vollständig geordneten Körpers auf. Bis zum 5. vorchristlichen Jahrhundert noch beherrschte die Vorstellung, daß alle Dinge in ganzen Zahlen ausgedrückt werden können, das Weltbild. Dieses wurde von den Pythagoreern, einer einflußreichen mathematis chen Schule, geprägt. Allerdings war es auch ein Pythagoreer, nämlich Hippasus von Metapont1, welcher durch die Entdeckung inkommensurabler Streckenverhältnisse dieses Weltbild zerstörte und sich dafür die Strafe der Götter einhandelte. Er hat am Pentagramm, dem Ordenssymbol der Pythagoreer, festgestellt, daß hier zwei Strecken nicht kommensurabel sind, d.h. nicht in derselben Maßeinheit angegeben werden können. Wagt man nun den Sprung ins 19.Jahrhundert, so muß man feststellen, daß in dieser Zeit nun zahlreiche Versuche zur Präzisierung des Begriffs der reellen Zahlen unternommen worden sind. Einige dieser Präzisierungsversuche sollen nun in den folgenden Abschnitten näher besprochen werden.

2 Weierstraß: Aggregate

Cauchy formulierte 1821 das nach ihm benannte Konvergenzkriterium und setzte es mit den bekannten Rechengesetzen als evidente Eigenschaft der reellen Zahlen voraus. Ein Beweis dieses Konvergenzkriteriums, wie er zu einer strengen Begründung der Analysis gehört, ist aber nur mit Hilfe einer exakten Definition der reellen Zahlen zu führen. Mit K. Weierstraß (1815 – 1897) wurden die Überlegungen zur Begründung der reellen Zahlen in die mathematischen Grundvorlesungen aufgenommen. Leider sind uns heute davon nur zum Teil kritisch beurteilte Schülerschriften überliefert.

Ich möchte die nähere Untersuchung Weierstraß’ Theorie mit seinem Zitat Weierstraß’ beginnen: „Die Arithmetik basiert nur auf dem Begriff der Zahl und bedarf weder des Postulats noch irgendwelcher Grundsätze.“

Dieses Zitat macht deutlich, daß mit der Definition des Begriffs „Zahl“ alle Regeln der Arithmetik herleitbar sein müssen. Dies macht dann ein Axiomensystem der Arithmetik überflüssig. Den Begriff „Zahl“ versucht Weierstraß dabei durch die Tätigkeit des Zählens zu verdeutlichen und schließlich zu definieren.

(2.1) Definition. Zählen ist eine Zusammenfassung von Einheiten.

(2.2) Beispiel. Für die Gültigkeit folgender Regeln

a + b = b + a,
(a + b) + c = a + (b + c)

hat Weierstraß nur das Argument zur Verfügung, daß in beiden Summen dasselbe Quantum von Einheiten vorhanden ist.

Weierstraß geht mit seiner Definition des Zählens sogar noch weiter, indem er zuläßt, daß auch unendlich viele Einheiten in einer Zahl zusammengefaßt werden können. Man erhält somit folgende Erweiterung obiger Definition:

(2.3) Definition. Zählen besteht aus dem Herausgreifen gleichartiger Dinge bestimmter Beschaffenheit aus einem Aggregat ungleichartiger, die dann in der Vorstellung als bestimmte Vielheit zusammengefaßt werden. Eine vollständige Anschauung des gesamten Aggregates erhält man, indem man diese Operation auf alle verschiedenen Arten von Dingen anwendet, die das Aggregat enthält. Weierstraß geht aber noch von einem weiteren zentralen Begriff aus:

(2.4) Definition. Unter einer Zahlgröße versteht man eine Zusammenfassung aller bestimmter Vielheiten unter sich gleichartiger Dinge, aus denen das Aggregat besteht. Treten mehrere Einheiten auf, so heißt die Zahlgröße komplex.

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1 ca. 500 – 450/ 440 v. Chr.