Diplomarbeit

Über Gruppen, deren irreduzible Charaktere sämtlich quasiprimitiv sind

eingereicht am Fachbereich Mathematik

der Universität Rostock

 von René Bartsch

Rostock, den 31. Januar 1996

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

2 Grundlegende Definitionen und Sätze 6
2.1 Der Begriff der quasiprimitiven Gruppe 
2.2 Einfache Gruppen
2.3 Kommutatoren, Klasse-2-nilpotente und p-Gruppen 

3 Quasiprimitivität 13

4 Modifikationen 19
4.1 Charakteristische Quasiprimitivität 
4.2 K-Quasiprimitivität
4.3 Zentralistische Gruppen

5 Nachbetrachtungen 55
5.1 Quasinilpotenz
5.2 Permutationsgruppen

Literaturverzeichnis 58

Thesen zur Diplomarbeit 62

1 Einleitung

Viele zentrale Begriffe der Gruppentheorie, wie etwa Auslösbarkeit, Nilpotenz oder Regularität, sind Verallgemeinerungen des Begriffes der Kommutativität in dem Sinne, daß jede abelsche Gruppe die jeweils definierenden Bedingungen trivial erfüllt. Ähnliches gilt für den Begriff der einfachen Gruppe, der - insbesondere für den nichtabelschen Fall - interessante Weiterungen wie charakteristische Einfachheit, vollständige Reduzibilität oder Vollkommenheit erfahren hat. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einer gemeinsamen Verallgemeinerung von Kommutativität und Einfachheit. Der Begriff der Quasiprimitivität einer Gruppe wird einleitend in naheliegender Weise charaktertheoretisch kurz motiviert und definiert. Ziel der Arbeit ist es, eine erste Einordnung der somit eingeführten Eigenschaft in die vorhandene gruppentheoretische Systematik vorzunehmen.

Zu Beginn des 3. Abschnittes wird eine äquivalente Beschreibung quasiprimitiver Gruppen ohne direkten Bezug auf Gruppencharaktere gegeben, die stattdessen eine mit " Konjugationsautonomie" salopp skizzierte Eigenschaft aller Normalteiler innerhalb einer quasiprimitiven Gruppe etabliert. Unter Verwendung dieser Beschreibung wird gezeigt, daß sich Quasiprimitivität auf Normalteiler und Faktorgruppen überträgt. In dem Bestreben, andere quasiprimitive Gruppen als abelsche und einfache zu finden, stellt sich heraus, daß eine nichtabelsche quasi- primitive Gruppe nicht einmal auflösbar sein kann. Im Zusammenhang mit den Vererbungseigenschaften der Quasiprimitivität und der grundlegenden Charakterisierung am Anfang der Arbeit führt dieser Umstand schließlich auf eine strukturelle Beschreibung quasiprimitiver Gruppen (Satz 25). Aus diesem Struktursatz folgt dann unmittelbar, daß sich Quasiprimitivität auch auf direkte Produkte überträgt. Daß diese Beschreibung alle quasiprimitiven Gruppen umfaßt, beruht wesentlich auf einem Satz über einfache Gruppen, den W.Feit und G.M.Seitz (in [6]) 1988 bewiesen, und der eine Vermutung Burnside′s von 1897, die - wie Burnside selbst schon 1911 anhand eines Beispieles zeigte - nicht allgemein gilt, immerhin für einfache Gruppen bestätigt.

Der 4. Abschnitt enthält Überlegungen zu möglichen Abschwächungen des Begriffes Quasiprimitivität und referiert im wesentlichen die zugehörigen Modifikationen der im 3. Abschnitt gewonnenen Aussagen zur vollen Quasiprimitivität. Insbesondere sind auch hier auflösbare Gruppen von Interesse, da die betrachteten Abschwächungen der Quasiprimitivität nicht unmittelbar die Kommutativität einer auflösbaren Gruppe zur Folge haben, aber z.B. Nilpotenz von kleiner Klasse erwirken. 

Alle betrachteten Gruppen sind endlich, auch wenn das im Einzelfall nicht noch einmal betont wird.

2 Grundlegende Definitionen und Sätze
2.1 Der Begriff der quasiprimitiven Gruppe

Die irreduziblen komplexen Charaktere einer Gruppe bilden bekanntlich eine Basis des Vektorraumes der komplexen Klassenfunktionen auf dieser Gruppe. Insbesondere ist also jeder Charakter der Gruppe eine Linearkombination der irreduziblen Charaktere mit eindeutig bestimmten (nichtnegativen ganzen) Koeffizienten. Umgekehrt ist jede derartige Summe ein Charakter der Gruppe. Darunter können wir diejenigen auszeichnen, die Vielfaches eines einzigen irreduziblen Charakters sind.

1. Definition

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