Das Thema "Maßstab" in den Klassen 3 und 4

von: Marc Häfner

Inhaltsverzeichnis

• Maßstab

• Verdrehte Maßstäbe

• Mathematisch-didaktische Bemerkungen

• Vergrößern und Verkleinern

• Maßstabsgerechtes Zeichnen

• Maßstabsgerechtes Bauen

• Rechnen mit Maßstäben

• Lernziele

• Ideen und Anregungen für den Unterricht:

1. Unterrichtseinstiege
2. Verschiedene Aufgabenstellungen (Schulbücher)
3. Ideen für Stationenarbeit
4. Spiele / Materialien
5. Sammlung guter Internetseiten

Seminararbeit: Tagespraktikum Mathematik
Geometrieunterricht Klasse 3/4 (Thema: Maßstab)

• Maßstab
Große Objekte (z.B. Gebäude, Landschaften) müssen verkleinert werden und sehr kleine Objekte (z.B. Insekten) müssen vergrößert werden, damit man sie zeichnerisch darstellen kann. Damit Proportionen und Formen im Bild erhalten bleiben, ist ein geeigneter Maßstab zu wählen. Maßstabsgerechte Vergrößerungen und Verkleinerungen entsprechen einer zentrischen Streckung. Der Maßstab gibt dabei das Verhältnis von den Längen des Bildes zu den Längen der Wirklichkeit an. Bei einem Maßstab von 2:1 werden alle Strecken verdoppelt, die Fläche jedoch vervierfacht.

• Verdrehte Maßstäbe
Wir haben gelernt, Größenverhältnisse aus Bildern abzulesen. Dabei verlassen wir uns auf die Maßstabstreue und stellen sie nicht mehr in Frage. Unter verdrehten Maßstäben versteht man Abbildungen, bei denen die Größenverhältnisse nicht stimmen. Bekanntes Beispiel sind die beliebten Helden aus der „Sendung mit der Maus“. Beide Tiere passen, gemessen an der Realität, in der Größe nicht zueinander, denn die Maus ist größer als der Elefant. Aber hier geht es nicht um die mathematische Größe, sondern um die „innere Größe“.

• Mathematisch-didaktische Bemerkungen

Sachanalyse

Um große Objekte (z.B. Häuser, Fahrzeuge, Landschaften...) oder sehr kleine Objekte (z.B. Insekten, Mikroorganismen,...) zeichnerisch darstellen zu können, müssen diese verkleinert bzw. vergrößert werden.
Damit die realen Formen und Proportionen im Bild erhalten bleiben, bedarf es eines geeigneten Maßstabes, nach welchem alle Längen bei der Verkleinerung / Vergrößerung, im gleichen Verhältnis verändert werden. Der Maßstab drückt das Verhältnis zwischen den Längen der realen Objekte und den Längen in den bildlichen Darstellungen aus. Er wird mathematisch in Form einer Proportion oder eines Bruches ausgedrückt, wobei sich die erste Zahl auf das Bild und die zweite Zahl auf das Original bezieht:
Maßstab a:b = Maßstab Bild : Original
Der Maßstab 1:4 beispielsweise gibt an, dass eine Längeneinheit im Bild vier Längeneinheiten in der Wirklichkeit/im Original entspricht. Die Längen des Bildes sind folglich nur ¼ mal so lang wie im Original.
Handelt es sich um einen großen Bruch, so spricht man von einem großen Maßstab, handelt es sich um einen kleinen Bruch, spricht man von einem kleinen Maßstab.
Zentrische Streckung
Maßstabsgerechte Vergrößerungen und Verkleinerungen bezeichnet man als zentrische Streckungen:
Die zentrische Streckung an Z mit dem Steckfaktor k ordnet jedem Punkt P der Ebene einen Bildpunkt (P) = P‘ zu. Hierbei werden alle Längen mit dem selben Streckfaktor abgebildet.
Eine solche Abbildung bezeichnet man als Streckung im Zentrum Z, wobei k der Streckfaktor ist.
Diese Abbildung hat folgende Eigenschaften:
Sie ist bijektiv, ihre Umkehrabbildung ist eine Streckung mit Zentrum Z und Sreckfaktor 1/k.
Sie ist geradentreu.
Sie führt jede Gerade in eine zu ihr parallele Gerade über.
Ist k  0, so ist das Streckzentrum Z einziger Fixpunkt der Abbildung .
Jede Gerade durch das Streckzentrum Z ist Fixgerade von , d.h. sie stimmt mit ihrer Bildgeraden überein.
Eine Strecke [AB] wird somit auf das Bild [A’B‘] abgebildet. Mit anderen Worten: die Strecke [A’B‘] ist das Bild der Strecke [AB]. Das Verhältnis ihrer Längen entspricht dem Streckfaktor k.
Handelt es sich in der Abbildung um eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k=2, so werden alle Längen im Original um den Faktor 2 gestreckt. Folglich sind die Längen des Bildes doppelt so groß wie die Längen im Original. Da der Maßstab das Verhältnis der Längen des Bildes zu den Längen im Original angibt, bedeutet die für das Beispiel, dass das Original im Maßstab 2:1 vergrößert wurde.
Will man bei dem gegebenen Maßstab 2:1 von den Längen des Originals auf die Längen des Bildes schließen, müssen die Längen mit dem Faktor 2 multipliziert werden, will man von den Längen des Bildes auf die Längen des Originals schließen, müssen diese durch den Faktor 2 dividiert werden.

Anwendungsbereiche

Es lassen sich grundsätzlich zwei maßstabsgerechte Abbildungen unterscheiden:
Die Vergrößerung, bei welcher die erste Zahl der Maßstabsangabe größer als die zweite ist. Diese finden ihre Anwendung:
in der Biologie oder Medizin (Darstellung von Insekten, Mikroorganismen...)
in der Technik ( Detailzeichnungen in Konstruktionspläne von Maschinenteilen)
Die Verkleinerung, bei welcher die erste Zahl der Maßstabsangabe eins ist und die zweite größer ist. Diese sind anzutreffen bei:
Möbelzeichnungen (1:10)
im Modellbau (1:87)
in Stadtplänen (1:12 500)
auf Landkarten (1:10 000)

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