Universität Dortmund

Examensarbeit

Ein zahlentheoretischer Exkurs geometrische Zahlen 
und das pythagoräische Zahlenfeld

von

Jennifer Knuth

2004

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung ... 3

2. Ein Ausschnitt aus der Mathematikgeschichte  ... 5
2.1. Die Arithmetik und Algebra im alten Ägypten  ... 5
2.2. Die mesopotamische (babylonische) Algebra ... 8
2.3. Die geometrische Algebra der Griechen  ... 10
2.3. Pythagoras und die Pythagoräer  ... 12

3. Gerade und ungerade Zahlen  ... 14

4. Flächen- und Körperzahlen  ... 17
4.1. Quadratzahlen  ... 17
4.2. Quadratische Pyramidalzahlen  ... 20
4.3. Oktaederzahlen  ... 22
4.4. Dreieckszahlen  ... 23
4.5. Tetraederzahlen  ... 28
4.6. Pentagonalzahlen (Fünfeckzahlen)  ... 29
4.7. Hexagonalzahlen (Sechseckzahlen)  ... 30
4.8. Die vierte Dimension  ... 31
4.9. Alles ist Dreieck  ... 32
4.10. Restklassen  ... 34
4.10.1. Dreieckszahlen  ... 34
4.10.2. Quadratzahlen  ... 36
4.10.3. Fünfeckzahlen  ... 38
4.10.4. Tetraederzahlen  ... 40

5. Das Pythagoräischen Zahlenfeld  ... 42
5.1. Das Vedische Quadrat  ... 

6. Flächen- und Körperzahlen im Pythagoräischen Zahlenfeld  ... 58
6.1. Dreieckszahlen  ... 58
6.2. Sechseckzahlen  ... 61
6.3. Fünfeckzahlen  ... 62
6.4. Tetraederzahlen  ... 64
6.5. Das Vedische Quadrat  ... 65
6.5.1. Quadratzahlen  ... 66
6.5.2. Dreieckezahlen  ... 66
6.5.3. Fünfeckzahlen  ... 66
6.5.4. Tetraederzahlen  ... 67

7. Fibonacci- Zahlen  ... 68
7.1. Kaninchen-Problem  ... 73
7.2. Treppensteigen  ... 74
7.3. Phyllotaxis  ... 77

8. Weitere Beispiele für Geometrische Zahlen  ... 81
8.1. Anzahlen von Schnittpunkten  ... 81
8.2. Anzahlen von Flächen  ... 82
8.3. Gnomon- Zahlen  ... 83
8.3.1. Quadratzahlen  ... 83
8.3.2. Dreieckszahlen  ... 83
8.3.3. Fünfeckzahlen  ... 83
8.3.4. Sechseckzahlen  ... 84
8.4. Pythagoräische Zahlentripel  ... 84
8.5. Strahlenzahlen  ... 88

9. Geometrische Beweise  ... 95
9.1. Die „geometrische vollständige Induktion“  ... 95
9.2. Binomische Formeln  ... 96
9.3. Der Satz des Pythagoras  ... 100
9.4. Das Flächenzerlegungs-Paradoxon  ... 102

10. Schlusswort  ... 105

11. Literaturverzeichnis  ... 106
11.1. Abbildungsverzeichnis  ... 109

1. Einleitung

Diese Staatsarbeit ist eine fachwissenschaftliche Erarbeitung des Themas „Ein zahlentheoretischer Exkurs: - Geometrische Zahlen und das Pythagoräische Zahlenfeld -“

Das Thema ist sehr weit gefasst und bietet viel Platz für Interpretationsmöglichkeiten. Daher werde ich an dieser Stelle darauf eingehen, wie ich das gegebene Thema auffasse.

Der Begriff Geometrische Zahlen wird im Rahmen dieser Arbeit die Verknüpfung zwischen Arithmetik bzw. Algebra und der Geometrie darstellen. Der Schwerpunkt meiner Untersuchungen in Bezug auf die Geometrischen Zahlen liegt auf dem Aspekt der Anzahlen. Unter diesem Gesichtspunkt werden in dieser Arbeit die Themen gerade und ungerade Zahlen, Flächen- und Körperzahlen, Fibonacci- Zahlen, Pythagoräische Zahlentripel, Schnittpunkt- und Flächenanzahlen sowie selbst kreierte Zahlen betrachtet.

Um einen Ausblick auf weitere Geometrische Zahlen zu geben, werden in dieser Arbeit auch einzelne geometrische Beweise vorgestellt, die nicht so eng an den Aspekt der Anzahlen gebunden sind.

Das Pythagoräische Zahlenfeld wird zum einen als eigener Untersuchungspunkt vorgestellt, zum anderen werden in ihm Muster bezüglich der Flächen - und Körperzahlen gezeigt. Die weiteren Geometrischen Zahlen treten in diesem Zusammenhang nicht auf, da sie keinerlei Verbindung zum Pythagoräischen Zahlenfeld haben.

Die Arbeit beginnt mit einem kurzen geschichtlichen Überblick über die Zeit der Pythagoräer. In diesem Bereich wird die Mathematikgeschichte vor und teils kurz nach Christi Geburt in Ägypten, Babylon und Griechenland angesehen, da Pythagoras selbst all diese Länder bereiste. Pythagoras und die Pythagoräer sind in dieser Arbeit von Bedeutung, da sie nahezu alle mathematischen Erkenntnisse aus der Geometrie gewonnen haben. Das Vorgehen dieser Arbeit ist demnach ähnlich dem des Pythagoras und der Pythagoräer. Auch die Multiplikationstafeln stammen aus dieser Zeit und fanden den Weg in die Mathematik der Pythagoräer. 

Somit wird die enge Verbindung dieser Arbeit mit den Ursprüngen der Mathematik deutlich. Die Bezüge zur aktuellen Mathematik werden in dieser Arbeit aber auch nicht vernachlässigt. So wird das momentane Verständnis von Mathematik als „Wissenschaft von den Mustern“¹ verbunden mit den Erkenntnissen, die bereits die Pythagoräer gewonnen hatten.

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1 Arithmetik als Prozess: S. 9.