Bewertung und Hedging von Power Optionen

von: Andreas Eberhardt

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung in die Problemstellung  1

2 Power Optionen im Überblick  3

2.1 Asymmetrische Power Optionen  3
2.2 Symmetrische Power Optionen 5

2.2.1 Auszahlungsfunktionstyp 1 2 }) 0 ; (max{ X S −  5

2.2.1.1 Darstellung 6
2.2.1.2 Bewertung 7

2.2.2 Auszahlungsfunktionstyp 2 } 0 ; max{ 2 2 X S −  8

2.2.2.1 Darstellung 9
2.2.2.2 Bewertung 10

2.2.3 Auszahlungstyp 3 } 0 ; ) max{( 2 X S −  10

2.2.3.1 Darstellung 11
2.2.3.2 Bewertung 12

3 Vergleich Standardoption – Power Option  13

3.1 Sensitivitätskennzahl Delta 13

3.1.1 Delta Calloption 14
3.1.2 Delta Power-Call  15
3.1.3 Delta Powerstraddle 16
3.1.4 Delta-Hedging Power Option  17

3.2 Sensitivitätskennzahl Gamma 19

3.2.1 Gamma Calloption 21
3.2.2 Gamma Power-Call  21
3.2.3 Gamma Powerstraddle 22
3.2.4 Gamma-Hedging Power Option  24

3.3 Sensitivitätskennzahl Vega  25

3.3.1 Vega Calloption 27
3.3.2 Vega Power-Option  27
3.3.3 Vega Powerstraddle 28
3.3.4 Vega-Hedging Power-Option 29

4 Zusammenfassung 30

A Annahmen des Black/Scholes-Modells  32
B Formelübersicht  33
C Detaillierte Lösung für Beispiele  37

Literaturverzeichnis  40
 

[Alle Symbole und Zeichen in der Downloaddatei vorhanden]

1 Einführung in die Problemstellung

In jüngster Vergangenheit sind erhöhte Preisschwankungen und ein Anstieg der Volatilität der Finanzinstrumente an den Kapitalmärkten zu beobachten. Ein Indikator für eine steigende Volatilität stellt dabei der Dax-Volatilitätsindex (V-Dax) dar, welcher im Verlauf dieses Jahres von 20% auf über 57% am 07.10.2002 angestiegen ist. Im Zuge dieser Entwicklung wuchs die Nachfrage nach alternativen Absicherungsinstrumenten. Die neuen Risiken können nur unzureichend oder sehr teuer mit herkömmlichen Strategien gehedged werden. Damit einhergehend, war ein Boom an Emissionen von so genannten „exotischen Optionen“ an Börsen und insbesondere an OTC-Märkten (over-the-counter) erkennbar. Die Idee hinter „exotischen Optionen“ ist eine präzisere Umsetzung von individuellen Markterwartungen des Investors, durch eigens für seine Bedürfnisse aufgelegte Finanzinstrumente. „Solche exotischen, strukturierten und maßgeschneiderten Optionsscheine sind oftmals lediglich komplexe Kombinationen der einfachen Grundbausteine (Calls, Puts)“ [HSBC2000, S.54].

Nach Adam-Müller, Schäfer (1998) versteht man unter dem Begriff „exotische Optionen“ alle Optionen, die nicht die vier wesentlichen Eigenschaften klassischer Optionen beinhalten. Die 4 Merkmale klassischer Optionen sind: (1) Für die Ausübung der Option ist nur der Kurs des Basisinstruments von Interesse. (2) Der Optionserwerber unterliegt bei Erhalt der Zahlung einer linearen Auszahlungsfunktion bezogen auf den Kassakurs des Basisinstruments. (3) Die Zahlung bemisst sich lediglich, nach dem Kurs des Basisinstruments im Auszahlungszeitpunkt. (4) Bis auf den Ausübungszeitpunkt existieren bei klassischen Optionen keinerlei Beschränkungen [Vgl. AdSc1998, S.559]. Ein großer Anteil am stark wachsenden außerbörslichen (OTC-) Markt für „exotische Optionen“ fällt auf Power Optionen [Vgl. ScZi2001, S.1586]. Im Vergleich zu klassischen Optionen widersprechen sie dem gerade erwähnten Merkmal (2) einer linearen Auszahlungsfunktion. Der Wert von Power Optionen berechnet sich am Fälligkeitszeitpunkt aus einer exponentiellen Funktion (engl. power function) des Basispreises, wobei sich diese Arbeit auf quadratische Auszahlungsfunktionen beschränkt. In Deutschland haben sich Power Optionen insbesondere im Devisenhandel durchgesetzt [Vgl. ScZi2001, S.1586].

Ziel dieser Arbeit ist die Schaffung von Transparenz für das Verständnis und die Bewertung von Power Optionen im Unterschied zu Standardoptionen. Basis für die Bewertung bildet dabei das klassische Black/Scholes-Modell (B&S-Modell) mit seinen Annahmen1. Die Abbildungen und Ergebnisse basieren auf ein speziell entwickeltes Excel-Sheet2 und beschränken sich auf europäische Optionsscheintypen. Die Einführung gibt bereits einen ersten Einblick in die jüngste Entwicklung an den Finanzmärkten. Darin enthalten ist eine kurze Begründung für die Emission von exotischen Finanzderivaten im Allgemeinen und von Power Optionen im Besonderen. Kapitel 2 bietet einen Überblick von Power Optionen mit unterschiedlichen Auszahlungsfunktionen, angefangen von asymmetrischen Power Optionen bis hin zu symmetrischen Power Optionen. Es werden drei Arten von symmetrischen Power Optionen im Detail vorgestellt und beschrieben.

Kapitel 3 ist der Schwerpunkt dieser Arbeit und zeigt grundlegende Unterschiede von Power Optionen zu Standardoptionen auf. Der Power-Warrant mag einen sehr aggressiven Eindruck erwecken, jedoch handelt es sich „um eine ausgesprochen vielschichtige Optionsscheinvariante, deren Risikoprofil sich zudem im Zeitablauf ändert“ [HSBC2000, S.58]. Anhand der Sensitivitätskennzahlen Delta, Gamma und Vega wird das Verhalten von Power Optionen und Standardoptionen aufgezeigt und mit Abbildungen unterlegt. Gleichzeitig werden zu jeder Kennzahl dynamische Hedging- Strategien erörtert und an einem kapitelübergreifenden Beispiel verdeutlicht. Kapitel 4 enthält schließlich eine kurze Kommentierung der wichtigsten Aussagen dieser Arbeit.

2 Power Optionen im Überblick

Wie bereits erwähnt, zeichnen sich Power Optionen im Unterschied zu Standardoptionen durch eine exponentielle Auszahlungsfunktion des unterstellten Basispreises am Fälligkeitszeitpunkt aus. Die Ergebnisse asymmetrischer Power Optionen basieren auf Peter Zhang [Vgl. Zhan1998], wohingegen für symmetrische Power Optionen Robert Tompkins [Vgl. Tomp1999] die Grundlage liefert. Dividendenzahlungen oder sonstige Zahlungen an die Investoren finden dabei generell keine Berücksichtigung.

2.1 Asymmetrische Power Optionen

[...]

1 Die Annahmen des Black/Scholes-Modells sind im Anhang A ersichtlich.

2 Das Excel-Sheet steht zum Download auf der Homepage: http://www.andreas-eberhardt.info zur Verfügung.