Wirtschaftsingenieurwesen
FB Maschinenbau

Fachhochschule Trier

Generierung von Zufallszahlen und Simulation

von

Boris Herrmann

Dezember 2004
 

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis    ... II

1. Einleitung    ... 1

2. Zufallszahlen     ... 2

2.1. Generierung von Zufallszahlen     ... 2
2.2. Deterministische Zufallszahlengeneratoren    ... 4
2.3. Transformation von Zufallszahlen     ... 7
2.3.1. Normalverteilung     ... 7
2.3.2. Exponentialverteilung     ... 9

3. Simulation    ... 11

3.1. Aufbau eines Simulationsmodells    ... 11
3.2. Auswertung der Simulation     ... 14

4. Fazit    ... 15

5. Literaturverzeichnis     ... 16

Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Gleichverteilung      ... 2
Abbildung 2: Dichtefunktion der Normalverteilung      ... 8
Abbildung 3: Normalverteilung aus Zentralem Grenzwertsatz      ... 9
Abbildung 4: Dichtefunktion der Exponentialverteilung      ... 10
Abbildung 5: Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung      ... 10
Abbildung 6: Aufbau der Produktionsanlage      ... 11
Abbildung 7: Logikschaubild der Produktionsanlage     ... 12
Abbildung 8: Subsystem     ... 12
Abbildung 9: Schaubild zur Bestimmung der Ausfallzeitpunkts im Subsystem      ... 13
Abbildung 10: Zuverlässigkeitsfunktion R(t)      ... 14

1. Einleitung

Überall dort, wo Maschinen genutzt werden um Güter zu produzieren, kommt es zu Fehlern oder Ausfällen dieser Maschinen. Ausfälle können vom Zufall oder dem Verschleiß der Maschine bestimmt sein. Sind viele Maschinen in einer Produktionsanlage miteinander verknüpft, beeinflusst der Ausfall eines Elements die gesamte Fertigung. Aus Effektivitäts- und Kostengründen sind diese Ausfälle zu minimieren. Möglich ist dies zum Beispiel mittels Variation der Anordnung der Maschinen oder mit Systemredundanzen. Diese Umgestaltung der Produktionsanlage ist jedoch sehr aufwendig und teuer, und der Erfolg nur bedingt voraussehbar. Daher ist es sinnvoll, die Auswirkungen der Umgestaltungen auf das Gesamtsystem im Vorfeld zu untersuchen. Dies ist mit Hilfe von Simulationen möglich.

Die Analyse dieses Bereichs des Qualitätsmanagements an einem konkreten Beispiel ist Gegenstand der vorliegenden Ausarbeitung.

Mit Hilfe von Simulationen können komplexe mathematische Probleme gelöst werden. „Simulieren“ bedeutet vortäuschen, sich verstellen. Ziel einer Simulation ist es, ein Erscheinungsbild künstlich zu erzeugen, um damit die Effekte der Realität zu erreichen.¹

Physikalische Simulationen sind beispielsweise Versuche im Windkanal oder Crashtests. Die im Folgenden aufgezeigten Simulationen beschreiben dagegen rein mathematische Zusammenhänge und werden daher auch als mathematische Simulation bezeichnet.

Die Simulation selbst wird mit Hilfe eines Rechners und einer geeigneten Software durchgeführt. Es ist wichtig, das vorliegende Problem möglichst genau in einem mathematischen Modell abzubilden, um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten. Simulationen werden dann eingesetzt, wenn das Problem zu komplex für eine numerische Lösung ist oder eine numerische Lösung unwirtschaftlich erscheint. Im Unterschied zu den üblichen numerischen Verfahren liefern mathematische Simulationen nur wahrscheinlichkeitstheoretische Ergebnisse.² Am Beispiel der Produktionsanlage ist als Ergebnis einer Simulation die Ausfallwahrscheinlichkeit als Funktion der Betriebsdauer zu erwarten. Um solche Simulationen durchführen zu können sind Zufallszahlen notwendig. Der Rechner muss einen Ausfallzeitpunkt bestimmen. Dies geschieht mittels der Zufallszahlen. Deren Verteilung charakterisiert das Ausfallverhalten der Maschinen.

Es werden nachfolgend verschiedene Möglichkeiten zur Generierung von Zufallszahlen dargestellt und die dabei auftretenden Probleme diskutiert. Im Kapitel 3: Simulation, wird auf die Verwendung von Zufallszahlen und Simulation detailliert eingegangen. Das zu lösende Problem ist die Optimierung einer Produktionsanlage.

2. Zufallszahlen

2.1. Generierung von Zufallszahlen

Zufallszahlen sind zufällige Werte in einer Zahlenfolge die auf eine beliebige Weise erzeugt werden. Der Wert der jeweiligen Zahl und der wertmäßige Abstand zur vorhergehenden Zahl ist zufällig. Es treten also keine periodischen Wiederholungen innerhalb der Zahlenfolge auf. Das bedeutet, dass eine solche Zahlenfolge nicht mit einem arithmetischen Algorithmus beschrieben werden kann.

Sollen Zufallszahlen mit Hilfe eines Rechners generiert werden, kommt es zu folgendem Problem: Der Rechner ist nicht in der Lage zufällige Zahlenwerte zu erzeugen, da hinter jeder Rechenoperation immer ein mathematischer Zusammenhang steht. D.h. die Werte werden errechnet und sind daher nicht mehr zufällig. Dennoch ist es möglich scheinbar zufällige Zahlen mittels eines Rechners zu generieren. Diese Zahlen werden Pseudozufallszahlen genannt.³ Bis auf die Zufälligkeit erfüllen diese Pseudozufallszahlen die wichtigste Eigenschaft einer Zufallszahl: Die Zahlenwerte sind gleichverteilt, d.h. es treten keine Häufungen von Werten in einem bestimmten Intervall auf.

[...] Abbildung 1: Gleichverteilung

Der Rechner ist des Weiteren in Folge des begrenzten Speicherplatzes nicht in der Lage unendlich viele Pseudozufallszahlen zu erzeugen. Die generierte Verteilung ist also nur eine diskrete Approximation der Gleichverteilung.⁴ Ziel ist es, möglichst viele Zahlen zu erzeugen, um eine möglichst hohe Dichte im Einheitsintervall zu erreichen.⁵ Nur die Zahlen der ersten Periode sind nutzbar.

Ein Vorteil der computergenerierten Pseudozufallszahlen ist die Reproduzierbarkeit. Da die Zahlenfolge bei gleichem Startwert immer gleich ist, kann ein und dasselbe Experiment mehrmals mit denselben Zahlen durchgeführt werden. Dabei könnte dann immer ein Parameter der Simulation variiert, und so dessen Auswirkungen auf das Ergebnis untersucht werden.⁶ Programme welche Pseudozufallszahlen erzeugen werden Generatoren genannt. Die Güte der berechneten Zahlen hängen sehr stark mit der Arbeitsweise des jeweiligen Generators zusammen.

[...]

1 Exner / Schmitz, S. 1

2 Exner / Schmitz, S. 2

3 Niedereiter, S. 161

4 Exner / Schmitz, S. 6

5 Exner / Schmitz, S. 12

6 Exner / Schmitz, S. 7