TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
ZENTRUM MATHEMATIK
Hauptseminar „Ausgewählte Kapitel aus der Portfoliooptimierung“

Sample Kovarianz-/Korrelationsmatrizen
und ihre robusten Schätzer

von: Tarek Saffaf

Inhaltsverzeichnis

A EINLEITUNG 3

B PORTFOLIO OPTIMIERUNG 4

1. ROBUSTE KOVARIANZ/KORRELATIONS-SCHÄTZER 4

1.1 Klassische vs robuste Korrelationen 4
1.2 Mahalanobis-Distanz 5
1.3 Robuste Schätzer 7

1.3.1 M-Schätzer (Bsp.: Huber-Schätzer) 7
1.3.2 S-Schätzer (Bsp.: Minimum Covariance Determinant (MCD)) 8

1.4 Das IOIV-Modell 8
1.5 Paarweise robuste Schätzer 10
1.6 Algorithmus zur Berechnung einer skalierten robusten Kovarianzmatrix 10

2. SHRINKAGE-METHODE UND ALPHA-REGEL 12

2.1 Schätzung von (Shrinkage-Methode) 13
2.2 Beispiel 16
2.3 Schätzung von (Alpha-Regel) 17
2.4 Beispiel 18

3. EMPIRISCHE KORRELATIONSMATRIZEN 19

4. RISIKOEINSCHÄTZUNG 21

C SCHLUSS 23

D ANHANG 23

E LITERATURVERZEICHNIS 24

A Einleitung

Seit der bahnbrechenden Arbeit von Markowitz, ist die Portfolio Theorie aus dem Asset Ma-nagement nicht mehr wegzudenken. Wichtige Bestandteile seiner Theorie sind die erwartete Aktienrendite und das Risiko, das durch die Kovarianzmatrix ausgedrückt wird. Das Schätzen der Kovarianzmatrix kann zu größeren Problemen führen. Wenige Ausreißer reichen aus, um die Schätzer zu verzerren und somit unbrauchbar zu machen. Kapitel 1 zeigt welche Auswirkungen einzelne Ausreißer haben und wie diese durch die „bloße“ Anwendung von robusten anstatt klassischen Schätzverfahren vermieden werden können. Doch auch diese haben Nachteile; darum wurden andere Verfahren entwickelt, wie z.B. die sog. „paarweisen“ Schätzmethoden, bei der anstatt der gesamten Matrix die einzelnen Einträge der Matrix geschätzt werden. Eine weitere Schätzmethode ist das Shrinkage-Verfahren, das in Kapitel 2 , ausgehend von einem quadratischen Optimierungsproblem, gezeigt wird. Des Weiteren wird eine praktische Anleitung der Alpharegel vorgestellt, bei der ein aktiver Portfoliomanger, der von einer Benchmark abweichen will, sog. Alphaprognosen erhält, die den Input seiner Arbeit darstellen.
Kapitel 3 beschäftigt sich mit empirischen Korrelationsmatrizen und der Annahme, dass diese zufällig verteilt sind. Die Ergebnisse führten dazu, dass die Portfoliotheorie von Markowitz zunächst in Frage gestellt wurde, durch die Erkenntnisse in Kapitel 4 aber wieder verworfen werden konnte.

B Portfolio Optimierung

1. Robuste Kovarianz/Korrelations-Schätzer

Kovarianz- und Korrelations-Schätzer haben große Einsatzgebiete in der Finanzwelt. Doch in der Anwesenheit einzelner Ausreißer reagieren diese Schätzer, beispielsweise abgeleitet von der Maximum-Likelihood oder Momenten-Methode, sehr sensibel. Deshalb wurden robuste Methoden erfunden, die weniger sensibel auf Ausreißer reagieren.

1.1 Klassische vs robuste Korrelationen

Mit Hilfe der folgenden Abbildungen 1-3 soll veranschaulicht werden, wie stark Ausreißer klassische Korrelations-Schätzer verzerren können und wie diese Verzerrung durch robuste Verfahren reduziert werden kann. In Abbildung 1 sind die fünf Datensätze in einem 5-D Scatterplot wiedergegeben (V1:= US Aggregate Credit, V2:= MSCI Eur, V3:= MSCI Wor ex Eur, V4:= MSCI Jap, V5:= MSCI Em). In diesem Scatterplot bzw. in dem vorhandenen Datensatz existieren Ausreißer (liegen außerhalb der Punktwolken).

Abbildung 1: 5-D Scatterplot [Abbildung in der Downloaddatei vorhanden]

Abbildung 2 zeigt die Berechnungen der Korrelationskoeffizienten sowohl mit der klassi-schen als auch mit einer robusten Methode (MCD-Methode). Im linken unteren Dreieck sind die verschiedenen Werte aufgeführt; in der rechten oberen Hälfte werden die Werte graphisch in Form von kreis- und ellipsenförmigen Umrissen aufgezeigt. Diese repräsentieren eine biva-riate Gauß-Dichte mit Erwartungswert 0 und Varianz 1.

Abbildung 2: klassische und robuste Korrelationen [Abbildung in der Downloaddatei vorhanden]

Eine nahezu kreisförmige Ellipse visualisiert einen Korrelationskoeffizienten nahe bei 0. Ist die Ellipse in Richtung +45 (-45) Grad- Achse gestreckt, so ist der Korrelationskoeffizient positiv (negativ). Man erkennt, dass die Berechnungen der Korrelationskoeffizienten mit der robusten Methode, die auf Ausreißer nicht sehr sensibel reagieren, signifikante Unterschiede zu denen mit dem klassischen Ansatz haben. Beispielsweise liegt in V1/V3 (Lehmann US Aggregate Credit/MSCI World ex Europe) der Korrelationskoeffizient bei der klassischen Methode im negativen Bereich und wird durch die robuste Methode ins Positive umgewandelt.

1.2 Mahalanobis-Distanz

Multivariate Normalverteilung

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