Diplomarbeit
TU Bergakademie Freiberg

Volatilität als Asset Klasse

von Andreas Friedrich
2005

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ... 1

2 Volatilität – Definition und Betrachtung als eigenständiges Asset ... 3
2.1 Was ist Volatilität? ... 3
2.2 Historische (realisierte) Volatilität ... 4
2.3 Implizite Volatilität ... 5
2.4 Betrachtung der Volatilität als eigenständiges Asset ... 6

3 Bestimmung und Eigenschaften der Volatilität ... 9
3.1 Methoden zur Bestimmung von Optionspreisen ... 10
3.1.1 Die Black&Scholes Optionspreisformeln  ...10
3.1.2 Der Trinomialbaum ... 12
3.2 Numerische Iterationsverfahren ... 16
3.2.1 Bisektionsverfahren ... 16
3.2.2 Van Wijngaarden–Dekker–Brent Algorithmus ... 17
3.2.3 Brents Verfahren zur Minimierung ... 17
3.2.4 Konvergenzeigenschaften von ableitungsfreien Iterationsverfahren ... 18
3.3 Die Volatilitätsoberfläche ... 19
3.4 Vorhersagen der Volatilität ... 25
3.4.1 Historische Volatilität ... 25
3.4.2 Implizite Volatilität ... 26
3.4.3 ARCH und GARCH Modelle ... 27
3.4.4 Vergleich der Vorhersagegüte verschiedener Schätzer ... 31

4 Volatilitätsindizes und Instrumente zum Handeln der Volatilität ... 33
4.1 Volatilitätsindizes ... 33
4.2 Instrumente zum Handeln der Volatilität ... 37
4.2.1 Straddles ... 37
4.2.2 Volatility- und Variance-Swaps ... 38
4.3 Futures und Zertifikate auf Volatilitätsindizes ... 45

5 Investieren in Volatilität – Empirische Untersuchungen ... 46
5.1 Studien mit fiktiven Indexzertifikaten ... 46
5.2 Studien zur Risikodiversifikation mit Variance-Swaps ... 48
5.3 Studie zum systematischen Verkauf von Volatilität ... 50
5.4 Studie zum systematischen Verkauf von Variance-Swaps ... 53

6 Zusammenfassung ... 58
A Weitere Iterationsverfahren ... 62
A.1 Newton-Raphson Algorithmus ... 62
A.2 Das Sekantenverfahren ... 62
A.3 Ridders’ Algorithmus ... 63
A.4 The Worlds Best Root Finder (TWBRF) ... 64
B Beweise zur Vorhersage der Volatilität mit GARCH Modellen ... 64
B.1 Vorhersage mit einem GARCH(1,1) Modell ... 64
B.2 Vorhersage mit einem GJR-GARCH(1,1) Modell ... 65
C Kenngrößen von Optionen und Optionsportfolios ... 66
C.1 Delta ... 66
C.2 Gamma ... 67
C.3 Theta ... 67
C.4 Rho ... 67
C.5 Vega ... 67
D Hedgen von Optionsportfolios ... 68
E Ergänzung zur Replikation von Variance-Swaps ... 69

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 2 1: Vergleich der Payoff-Struktur von Volatilität und Put-Option
Abbildung 3 1: Knoten eines Trinomialbaumes
Abbildung 3 2: Nicht rekombinierender Baum bei Dividendenzahlungen
Abbildung 3 3: Trinomialbaum des Prozesses S
Abbildung 3 4: Volatility Smiles
Abbildung 3 5: Volatility Term Structure
Abbildung 3 6: Simuliertes weißes Rauschen (a) und zwei Finanzzeitreihen (b) und (c).
Abbildung 4 1: Payoff-Struktur eines Straddles
Abbildung 4 2: Payoff-Struktur von Strangle und Butterfly
Abbildung 5 1: VDAX-NEW Partizipationszertifikat vs. VDAX-NEW

Tabellenverzeichnis

Tabelle 3 1: Ergebnisse von vergleichenden Studien zur Volatilitätsvorhersage
Tabelle 5 1: Renditen einer Long-Position in Variance-Swaps
Tabelle 5 2: Renditen beim unbedingten Verkauf von Straddles
Tabelle 5 3: Renditen beim bedingten Verkauf von Straddles
Tabelle 5 4: Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit der historischen Volatilität der vorhergehenden 21 Handelstage
Tabelle 5 5: Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit der historischen Volatilität der vorhergehenden 63 Handelstage
Tabelle 5 6: Payoff der Short-Positionen bei Vorhersage mit einem GJR-Garch(1,1) Modell
Tabelle D 6 1: Wert des Portfolios am darauf folgenden Tag

Abkürzungen

ARCH autoregressive conditional heteroscedasticity
bzw. beziehungsweise
CBOE Chicago Board Options Exchange
EONIA Euro Overnight Index Average
EUREX European Exchange
usw. und so weiter
EURIBOR Euro Interbank Offered Rate
GARCH general autoregressive conditional heteroscedasticity
Kap. Kapitel
o.V. ohne Verfasser
vgl. vergleiche
z.B. zum Beispiel

1 Einleitung

Investieren in Volatilität ist derzeit ein viel diskutiertes Thema. Artikel über Vorzüge und Nachteile der Volatilität und über die Möglichkeiten in Volatilität zu investieren, sind dabei nicht nur in einschlägigen Finanzzeitschriften und -zeitungen, sondern auch in bekannten Tageszeitungen zu finden. Schon seit langem ist bekannt, dass die Volatilität der Renditen des Aktienmarktes negativ mit den Renditen selbst korreliert ist. Bei steigendem Aktienmarkt wird die Volatilität in der Regel geringer; fällt der Aktienmarkt, so steigt die Volatilität in der Regel an. Vor allem große Kurseinbrüche des Aktienmarktes führen zu einem sprunghaften Anstieg der Volatilität. Aus diesem Grund interessiert man sich schon seit langem für die Investition in Volatilität zur Diversifikation und Absicherung von Wertpapierportfolios. Bis vor wenigen Jahren war eine solche Investition in Volatilität jedoch nur mittels Optionsportfolios möglich, die zudem aufwendig und kostenintensiv gehedgt werden müssen, um sie unabhängig vom Wert des Underlyings zu machen und um ein reines Exposure gegenüber der Volatilität zu erhalten. Eine direkte Investition in Volatilität wurde mit OTC-Produkten wie Volatility- und Variance-Swaps, deren Payoff nur von der realisierten Volatilität abhängt, ermöglicht. Heutzutage werden vor allem Variance-Swaps, deren Payoff sich theoretisch perfekt durch ein Portfolio aus Optionen und Futurekontrakten auf das Underlying replizieren lässt, recht liquide gehandelt. Die neuen Berechnungsmethoden von Volatilitätsindizes wie dem VIX und dem VDAX-NEW, die auf einem Portfolio von real gehandelten Optionen beruhen, ermöglichen es die Indizes nachzubilden. Dies führte zu einem Angebot an börsennotierten Futurekontrakten und Zertifikaten auf diese Volatilitätsindizes, wodurch es einer breiten Anlegerschicht bis hin zum Privatanleger ermöglicht wird, in Volatilität zu investieren. Immer mehr Broker bieten solche Zertifikate an, was die große Resonanz in Finanzzeitschriften und -zeitungen sowie allgemeinen Ta-geszeitungen erklärt. Bedenklich ist, dass gerade in den Tageszeitungen über die Investition in Volatilität wenig kritisch berichtet wird, wodurch gerade Privatanlegern, die häufig keine Finanzzeitungen und -zeitschriften lesen, eine Investition in solche Volatilitätszertifikate schmackhaft gemacht wird. So wird etwa in dem in der WELT erschienenen Artikel „Privatanleger können jetzt vom VDAX profitieren“ von Nando Sommerfeldt¹ angegeben, dass es mehrere Studien gibt die belegen, dass eine kombinierte Anlage in den DAX und VDAX im Verhältnis 90:10 von 1992 bis 2003 eine um 2,2% höhere Rendite erzielt hätte als eine reine Investition in den DAX und das bei deutlich reduziertem Risiko. Des Weiteren wird durch ein Zitat des Leiters des Indexgeschäfts der Deutschen Börse der Eindruck erweckt mit den neuen Zertifikaten wäre eine 1:1 Partizipation am VDAX-NEW möglich:
„Anders als bislang können auf den VDAX-NEW Produkte aufgelegt werden, die sich direkt am Index orientieren. Bisher konnte dessen Entwicklung nicht eins zu eins nachgebildet werden.“
Vermutlich bezieht sich Sommerfeldt in seinem Artikel unter anderem auf eine Studie von Merrill Lynch,² in der davon ausgegangen wurde, man könne 1:1 am VDAX partizipieren. In dieser Studie wird mit einem 90:10 Mischportfolio aus DAX und VDAX eine 2,13% höhere Rendite bei gleichzeitig deutlich reduziertem Risiko erzielt. Allerdings wird in dieser Studie darauf hingewiesen, dass die angenommene 1:1 Partizipation am VDAX nicht möglich ist. Das Problem besteht darin, dass in VDAX-NEW Zertifikaten die erwartete Entwicklung der Volatilität bereits eingepreist ist. Ein Anleger profitiert also nicht durch jeden Anstieg des VDAX-NEW, sondern erst dann, wenn der Anstieg höher ausfällt als vom Markt erwartet wurde. Ein in der FAZ erschienener Artikel „Investieren in Volatilität“ von Sigrid Müller und Carmen Weber³ ist nur wenig kritischer. Es muss eingeräumt werden, dass beide Artikel bereits vor der Emission der Zertifikate erschienen sind. Mittlerweile finden sich in der Presse auch kritischere Töne. So weist Ralf Andreß⁴ in dem in der WELT erschienenen Artikel „Spekulation auf VDAX hat Tücken“ darauf hin, dass mit den VDAX Zertifikaten keine 1:1 Partizipation am VDAX möglich ist – wie sonst bei Index Zertifikaten üblich – und führt weiter aus, dass eine Investition in die angebotenen VDAX Zertifikate bisher trotz steigendem VDAX zu Verlusten führte.
Zudem gibt es Studien, die belegen, dass eine Investition in Volatilität mit Variance-Swaps oder Straddles zur Diversifikation nicht lohnend ist, sondern es vielmehr lukrativ ist die Volatilität zu verkaufen, indem man Short-Positionen in Straddles oder Variance-Swaps einnimmt. Dennoch zeigen unter anderem die Studien von Merrill Lynch, dass in der Volatilität großes Diversifikationspotential steckt. Gut möglich, dass künftige Volatilitätsprodukte mit günstigeren Eigenschaften als die derzeit emittierten Zertifikate erscheinen, welche dann eine Diversifikation mit Volatilität lukrativer machen. Überdies scheint es profitabel zu sein, Short-Positionen in Volatilität einzunehmen. Es gibt daher genügend Gründe sich eingehender mit der Thematik zu befassen.
In dieser Arbeit werden die unterschiedlichen Volatilitätsbegriffe erläutert, verschiedene Verfahren zu ihrer Berechnung vorgestellt, wird illustriert, warum Volatilität als Assetklasse interessant ist und auf Chancen und Risiken bei der Investition in Volatilität hingewiesen. Hierzu werden zunächst im zweiten Kapitel die Begriffe historische und implizite Volatilität definiert. Anschließend wird erörtert, inwiefern man Volatilität als Assetklasse betrachten kann und welche Eigenschaften der Volatilität diese als Assetklasse interessant machen. Im dritten Kapitel wird auf die Berechnung und die Eigenschaften der Volatilität eingegangen. Es werden Verfahren zur Berechnung der impliziten Volatilität beschrieben und besondere Eigenschaften der impliziten Volatilität erläutert. Des Weiteren werden verschiedene Schätzverfahren zur Vorhersage der Volatilität vorgestellt und deren Vorhersagegüte diskutiert. Volatilitätsindizes, die zum einen ein beliebtes Maß für die erwartete Entwicklung der Volatilität darstellen, zum anderen Basis für zahlreiche neue Volatilitätsprodukte sind, werden im vierten Kapitel beschrieben. Darüber hinaus werden die populärsten Instrumente zum Handeln von Volatilität erläutert. Den Inhalt des fünften Kapitels bilden empirische Studien zum Handeln von Volatilität. Im sechsten Kapitel schließlich werden die wesentlichen Punkte noch einmal zusammengefasst.

2 Volatilität – Definition und Betrachtung als eigenständiges Asset

2.1 Was ist Volatilität?

Der Begriff Volatilität ist aus dem Lateinischen abgeleitet: lateinisch volare – fliegen bzw. volaticus – fliegend, flatterhaft, unbeständig. Im Börsenlexikon der ARD⁵ findet sich folgende Definition:
„Die Volatilität ist ein Risikomaß und zeigt die Schwankungsintensität des Preises eines Basiswertes innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Je höher die Volatilität, um so stärker schlägt der Kurs nach oben und unten aus und desto riskanter aber auch chancenreicher ist eine Investition in das Basisobjekt. Es werden historische und implizite Volatilität unterschieden.“
Die Volatilität ist folglich ein Maß für die Größe der Schwankungen des Preises eines bestimmten Basiswertes – z.B. Zinsen, Aktienrenditen, Rohstoffpreise oder Wechselkurse. Die Volatilität ist jedoch kein ideales Risikomaß, da sie nur Auskunft über die Schwankungsbreite des Basiswertes und keine weitere Information über den Verlauf der Verteilungsfunktion der Kursausschläge gibt.⁶ So bleibt zum Beispiel völlig unklar, ob große Kursveränderungen nach unten wahrscheinlicher sind als große Kursveränderungen nach oben. In den beiden nächsten Abschnitten werden die zu unterscheidenden Begriffe historische und implizite Volatilität näher erläutert.

[...]

1 Siehe Sommerfeldt (2005).
2 Siehe Reiss/Amanti/Schneider/Maras (2004).
3 Siehe Müller/Weber (2005).
4 Siehe Andreß (2005).
5 ARD o.V. (2005).
6 Poon (2005) Kap. 1.