Hochschule Magdeburg – Stendal
Fachbereich Bauwesen

Stahlbetonbemessung polygonal umrandeter Querschnitte
- eine Implementierung in Java -

Diplomarbeit

vorgelegt von: Lars Lichtenberg
vorgelegt am: 02.01.2003

1 Inhalt

1 Inhalt ... 3
1.1 Abbildungsverzeichnis ... 5
1.2 Tabellenverzeichnis ... 5
1.3 Literaturverzeichnis ... 6
1.4 Bezeichnungen ... 9
1.5 Übersetzungshilfen ... 10

2 Einleitung ... 11

3 Zusammenfassung ... 12

4 Grundlagen ... 14
4.1 Ablauf einer iterativen Biegebemessung ... 14
4.2 Materialeigenschaften nach DIN 1045 ... 15
4.3 Koordinatensystem und Transformation ... 17
4.4 Definition der Dehnungsebene ... 18
4.5 Querschnittswerte ... 19
4.6 Spannungsintegration ... 21
4.6.1 Integration des Parabelbereiches ... 22
4.6.2 Integration des Rechteckbereiches ... 23
4.6.3 Integration der Stahlflächen ... 24
4.7 Iteration ... 26
4.7.1 Starvektor ... 27
4.7.2 Iteration nach Lauer ... 28
4.7.3 Iteration nach Konrad ... 33
4.7.4 Konvergenz ... 39
4.8 Bemessung ... 40

5 Beispiele ... 43
5.1 Beispiel: Betonkalender ... 44
5.2 Beispiel: Fertigteil ... 48
5.3 Beispiel: Shedträger ... 49
5.4 Beispiel: einachsig belasteter Rechteckquerschnitt ... 50
5.5 Beispiel: zweiachsig belasteter Rechteckquerschnitt ... 52
5.6 Beispiel: InfoGraph ... 53
5.7 Beispiel: Ingenieurbau, Bemessung ... 56

6 Programmbeschreibung ... 58
6.1 Erläuterung der Klassen ... 58

7 Java-Quelltext ... 63
7.1 CSValues ... 64
7.2 Material_DIN1045 ... 65
7.3 MatrixIteration ... 66
7.4 MatrixMath ... 67
7.5 QBody ... 68
7.6 QFibre ... 69
7.7 QDebugGUI ... 70
7.8 geometricAlgorithms ... 71
7.9 frame_bemessGUI,j3d_TGAxis3D,j3d_panel,j3d_frame ... 72
 

2 Einleitung

Stahl und Beton sind Verbundbaustoffe mit unterschiedlichen Materialeigenschaften. Die Biegebemessung häufig verwendeter Stahlbetonquerschnitte kann mit relativ einfachen Hilfsmitteln wie Tabellen und Nomogrammen erfolgen. Weisen die Querschnitte kompliziertere Formen auf, lassen sich diese Hilfsmittel nicht mehr verwenden und eine Rechnung von Hand ist in den meisten Fällen zu aufwendig. Hier bietet es sich an, die Bemessung mit Hilfe des Computers durchzuführen. Das in dieser Arbeit entwickelte Java-Programm erfüllt die Aufgabe der Biegebemessung von Stahlbetonquerschnitten mit beliebiger Form und unter zweiachsiger Biegung. Zur Erstellung des Programms wurde im Wesentlichen auf die Arbeiten von Lauer [Lauer83], Konrad [Konrad88], Zilch [Beton01] und Fischer [Fischer90] zurückgegriffen. Dort wird beschrieben wie unter Verwendung einer geschlossenen Integration die inneren Schnittgrößen zu einer gegebenen Deformation bestimmt werden und wie in einem Iterationsprozess auch die Deformation zu gegebenen Schnittgrößen errechnet wird.

Durch die Materialeigenschaften von Stahl und Beton entsteht ein nichtlineares Festigkeitsproblem, bei dem es keine direkte Möglichkeit gibt, zu gegebenen äußeren Schnittkräften die Deformation des Querschnitts zu berechnen. Da es hierfür der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems mit mehreren Unbekannten bedarf, wird dieses Problem numerisch mit dem Newton- Iterationsverfahren gelöst. Durch die Möglichkeit, die inneren Schnittkräfte aus den Deformationen zu bestimmen, wird in einem Iterationsprozess versucht, die Deformation schrittweise so zu verändern, dass letztendlich die inneren mit den äußeren Schnittkräften übereinstimmen.
 

3 Zusammenfassung

Bei der Erstellung des Programms wurde wert auf Erweiterungsfähigkeit gelegt, da das hier vorgestellte Java-Programm ein Teil einer Statiksoftware bilden soll. So sind z.B. alle Koordinaten für den dreidimensionalen Raum definiert, dies ermöglicht eine spätere Einbindung der Stabtheorie 2. Ordnung. Eine Bemessung von Querschnitten mit Spannstahl ließe sich dadurch realisieren, dass im Programm bereits jetzt jede Faser des Querschnitts mit einer Vordehnung versehen werden kann. Eine erwähnenswerte Erweiterung ist die Einbindung von hochfestem Normalbeton, der mit der neuen DIN 1045-1 hinzugekommen ist. Dies würde dazu führen, die Spannungs-Dehnungsfunktionen des Betons für die Spannungsintegration und der Iteration anzupassen. Fischer [Fischer90] beschreibt in seiner Diplomarbeit die Bemessung bei Verwendung eines beliebigen Materialgesetzes.
Obwohl bereits einige Betonklassen der neuen Normen implementiert sind, führt das vorliegende Java-Programm die Bemessung noch nach den 5 Dehnungsbereichen der alten DIN 1045 durch. Die neueren Normen (EC2, DIN 1045-1) weisen ein anderes Bemessungskonzept und veränderte Dehnungsgrenzen auf und sollten noch hinzugefügt werden.
Die Bemessung erfolgt nur für Stahlstäbe deren Lage vom Benutzer vorgegeben wird. Es ist denkbar, das Programm so zu erweitern, dass nach Vorgabe einiger Parameter die Verteilung der Stäbe automatisch erfolgt. Außerdem kann die Einschränkung nur Stahlstäbe zu verwenden durch hinzufügen von Stahlprofile erweitert werden, so dass sich z.B. auch Walzträger in Beton bemessen lassen, wie es in [DA415] aufgezeigt wird.
Da Java eine objektorientierte Programmiersprache ist, lässt es sich gut vorstellen auch Querschnitte zu bemessen, die nicht zwingend aus den Materialien Beton und Stahl bestehen. Man denke hier an den Faser-Kunststoff-Verbund, der z.B. in [Bem98] beschrieben wird.

Die Arbeit beginnt mit den Grundlagen und Voraussetzungen die für eine Stahlbetonbemessung benötigt werden.
Zuerst werden die nötigen Materialgesetze der DIN 1045 und DIN 1045-1 aufgeführt und gegenübergestellt. Danach wird das Koordinatensystem beschrieben und an einem Beispiel gezeigt, welchen Einfluss die Wahl des Koordinatenursprungs hat. Im nächsten Kapitel wird gezeigt, welche Berechnungsmöglichkeiten die Voraussetzung der Bernoulli-Hypothese mit sich bringt und wie sich dadurch die Dehnung einer beliebigen Faser des deformierten Querschnitts errechnen lässt. Danach wird erläutert wie die benötigten Flächenmomente von 0. bis 3. Ordnung berechnen werden.

Die 2 nächsten Kapitel bilden die Schwerpunkte dieser Arbeit und spiegeln die Überlegungen von Lauer und Konrad wieder. Das Kapitel über die Spannungsintegration zeigt, wie zu einer vorhandenen Querschnittsverformung die inneren Schnittgrößen ermittelt werden. Sowohl Lauer als auch Konrad verwenden dazu in ihren Abhandlungen die geschlossene Integration des Betonspannungskörpers. Im Kapitel über die Iteration des Deformationsvektors mit dem Newton- Verfahren gehen Lauer und Konrad verschiedene Wege um eine Iterationsvorschrift zu definieren. Während Lauer die konstitutiven Zusammenhänge der linearen Festigkeitslehre verwendet, um eine Art Sekantensteifigkeitsmatrix aufzustellen, bildet Konrad die Iterationsvorschrift für eine Tangentensteifigkeitsmatrix. Die Tangentensteifigkeitsmatrix besteht zum größten Teil aus partiellen Ableitungen der Flächenmomente und Spannungsfunktionen.
Im Kapitel über die Bemessung werden die zulässigen Dehnungsebenen der Normen DIN 1045, DIN 1045-1 und EC2 aufgezeigt und die Dehnungsbereiche kurz erläutert.
Die letzten Kapitel beschäftigen sich mit dem Java-Programm. Es werden Beispiele gerechnet, verglichen und deren Ergebnisse diskutiert. Anschließend werden die einzelnen Klassen beschrieben und beispielhaft gezeigt, wie sich Stahlbetonquerschnitte erstellen und bemessen lassen. Im letzten Kapitel ist der Java-Quelltext aufgeführt.

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