Die isoperimetrische
Ungleichung in der Ebene

Ina Barth

6. Dezember 2007

Bachelorarbeit im Fach Mathematik
Ruhr Universität Bochum
Fakultät für Mathematik

Seminar: Kurven und Flächen
Semester: WS 2006/07

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ... 3

2 Das isoperimetrische Problem ... 5

3 Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit dem Steinerschen Viergelenkverfahren ... 6

3.1 Biographie von Steiner ... 6

3.2 Beweis nach Steiner ... 6

4 Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Fourier-Analysis (nach Hurwitz) ... 9

4.1 Biographie von Hurwitz ... 9

4.2 Beweis nach Hurwitz ... 9

5 Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Hilfe des Satzes von Stokes (nach Knothe und Gromov) ... 19

6 Verallgemeinerung der isoperimetrischen Ungleichung ... 25

6.1 Satz: Isoperimetrische Ungleichung für beliebige Dimensionen ... 25

6.2 Beweis nach Knothe und Gromov über den Satz von Stokes ... 26

7 Schlussbetrachtung ... 28

1 Einleitung

Die vorliegende Bachelor-Arbeit beschäftigt sich mit der isoperimetrischen Ungleichung. Diese schätzt in der Ebene den Flächeninhalt einer Figur gegen ihren Umfang ab. Insbesondere wird hierbei eine Sonderstellung des Kreises deutlich, da allein beim Kreis die Gleichheit in der Ungleichung eintritt. Das Wort „isoperimetrisch“ bedeutet „von gleichem Umfang“ (griechisch: isos = gleich; peri = um, herum; metron = Maß).

Im Alltag begegnet uns die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises häufig. Beispiele hierfür sind: Fettaugen auf einer Fleischbrühe sind kreisförmig (Molekularkräfte erzwingen Figur kleinsten Umfangs) und auf der Kreisscheibe lässt sich der höchste Sandhaufen aufschütten (vgl.: [FUB]).

Das klassische isoperimetrische Problem in der Ebene wird auch Problem der Dido genannt. Dido war eine phönizische Prinzessin, die nach der Flucht vor ihrem machtgierigen Bruder an der Küste des heutigen Tunesiens landete. Dort bat sie den Häuptling um Land und dieser versprach ihr, dass sie soviel bekäme, wie mit einer Stierhaut zu umfassen ist. Daraufhin schnitt Dido die Haut in hauchdünne Streifen, knotete sie aneinander und legte so eine lange Kurve ins Land, dessen Endpunkte sich an der Küste befanden. Nicht überliefert ist, ob sie die bestmögliche Kurve - nämlich ein Stück eines Kreises - gewählt hat (vgl.: [FHF]).

Ähnlich lässt sich auch ein Optimierungsproblem in der Landwirtschaft formulieren: Ein Bauer hat eine bestimmte Länge Zaun und möchte damit die größtmögliche Kuhweide einzäunen. Die Lösung dieses Problems lautet, dass die Weide kreisförmig sein sollte. Dies werde ich in den folgenden Kapiteln mathematisch zeigen.

Die isoperimetrische Ungleichung und vor allem deren Beweis haben eine lange Vergangenheit. Diese Eigenschaft von Kreis und Kugel war bereits im Altertum bekannt. Es wurden hierfür im Laufe der Zeit viele verschiedene Beweise entwickelt (vgl.: [Sak], S.241). Im Jahr 1841 veröffentlichte Steiner eine Abhandlung, in der das sogenannte „Viergelenkverfahren“ beschrieben ist, welches die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene beweist. Dieser Beweis ist jedoch unvollständig, worauf ich in Kapitel 3 genauer eingehe. Vervollständigungen von Steiners Verfahren wurden später mehrfach durchgeführt (vgl.: [Bla], S.39). Obwohl die Ungleichung bereits so lange bekannt ist, wurde der erste vollständig korrekte Beweis für Gebiete in R2 und höher dimensionalen euklidischen Räumen erst 1884 von H.A. Schwarz aufgestellt. Einige Zeit später (1901) entwickelte Hurwitz einen weiteren Beweis des isoperimetrischen Problems in der Ebene, indem er die Fläche und den Umfang als Fourier-Reihen darstellte. E. Schmidt war der erste, der das isoperimetrische Problem für eine größere Klasse von Räumen lösen konnte (in Sphären und hyperbolischen Räumen)( vgl.: [A]). Einen weiteren sehr bekannten Beweis, welcher den Satz von Stokes nutzt, entwickelte Knothe 1957. Dieser wurde jedoch lange Zeit nicht weiter beachtet, sondern erst in den 80er Jahren von Misha Gromov verbreitet. Es gibt auch noch weitere klassische Beweise, zum Beispiel einer, welcher auf dem Brunn-Minkowski Theorem basiert. Hierauf möchte ich jedoch nicht genauer eingehen (vgl.: [Ber1], S.26ff).

An dieser Stelle möchte ich nun noch den Aufbau meiner Arbeit vorstellen: Im nächsten Kapitel werde ich das isoperimetrische Problem angeben und danach die isoperimetrische Ungleichung in der Ebene als Satz formulieren.Weiter führe ich ein kurzes Beispiel an, welches zum Verständnis der Aussage beitragen soll. Die folgenden drei Kapitel beschäftigen sich mit verschiedenen Beweisen des Satzes in der Ebene: Kapitel 3 beinhaltet eine kurze Biographie von Steiner und sein Viergelenkverfahren. In Kapitel 4 stelle ich den Lebenslauf von Hurwitz vor und zeige seinen Nachweis der Ungleichung. Anschließend folgt der Beweis von Knothe und Gromov, welcher den Satz von Stokes nutzt (Kapitel 5). Im 6. Kapitel formuliere ich zuerst einen allgemeineren Satz der isoperimetrischen Ungleichung, welcher für beliebige Dimensionen gültig ist und zeige diesen dann durch eine Verallgemeinerung von Knothe und Gromovs Beweis aus Kapitel 5. Am Ende steht eine Schlussbetrachtung, in welcher die Ergebnisse zusammengefasst und bewertet werden.

Das Ziel meiner Arbeit ist ein gutes Verständnis der isoperimetrischen Ungleichung zu vermitteln und einen Überblick über die Vielfalt der Beweise zu geben.

2 Das isoperimetrische Problem

Unter allen einfach geschlossenen, ebenen Kurven von gegebenem Umfang soll diejenige Kurve ermittelt werden, welche den größten Flächeninhalt umschließt bzw. bei vorgegebenem Flächeninhalt diejenige, welche den kleinsten Umfang hat. Der Kreis ist die einzige Lösung dieses Problems.¹

[...]

1 Hierbei meint der Umfang die Bogenlänge der Kurve und der Flächeninhalt den Inhalt der von der Kurve umrandeten Fläche.