Das Nautische Dreieck und seine Anwendungen

Bachelorarbeit
an der Fakultät für Mathematik
der Ruhr-Universität Bochum
im Studiengang Bachelor of Arts

Gregor Gruschka
Bochum, den 04.04.2006

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ... 3

2 Sphärische Trigonometrie mit gerichteten Winkeln ... 5

2.1 Die Sätze der sphärischen Trigonometrie in Eulerschen Dreiecken ... 5
2.2 Die Sätze für Eulersche Dreiecke mit gerichtetenWinkeln ... 7
2.3 Die Sätze für beliebige Dreiecke mit gerichtetenWinkeln ... 10

3 Das Nautische Grunddreieck ... 17

3.1 Die Himmelskugel ... 17
3.2 Das äquatorsystem ... 18
3.3 Das Horizontsystem ... 19
3.4 Das Nautische Dreieck ... 20

4 Auf- und Untergang von Gestirnen ... 22

4.1 Die Bewegungsgleichungen der Fixsterne ... 22
4.2 Praktische Anwendung ... 24

5 Zusammenfassung ... 29

6 Quellenverzeichnis ... 30

7 Abbildungsverzeichnis 31

1 Einleitung

Die Geschichte der Astronomie nahm in 16. Jahrhundert in Folge der Beiträge des Astronomen Nikolaus Kopernikus (1473-1543) eine dramatische Wende. Nach seinen Studien an der Universität Krakau, die damals ein weltberühmtes Zentrum für mathematische Fächer war, ging er nach Italien und setzte in seinen Theorien anstelle der Erde die Sonne als Zentralgestirn. Diese angezweifelte Theorie, das sogenannte heliozentrische System setzte sich erst nach der Einführung der Ellipsenbahnen durch Johannes Kepler (1571-1630) durch. Weiter untermauerte der italienische Mathematiker Galileo Galilei (1564-1642) mit Hilfe des Teleskops die heliozentrische bzw. die kopernikanische Theorie, indem er anhand seiner Beobachtungen beweisen konnte, dass sich einzelne Planeten nicht um die Erde sondern um die Sonne drehen¹. Den endgültigen physikalischen Beweis für die elliptischen Planetenbahnen um die Sonne lieferte der Physiker Sir Isaac Newton (1643-1727) mit seinem sogenannten Newton’schen Gravitationsgesetz. Dies legte den Grundstein für die moderne Astronomie².

Besonders die sphärische Astronomie beschäftigt sich noch heute mit der scheinbaren Bewegung der Himmelskörper infolge der täglichen Drehung der Erde um sich und der jährlichen Bewegung der Erde um die Sonne. Dieses Phänomen liegt dieser Arbeit zu Grunde, die sich thematisch mit dem Nautischen Dreieck und seiner Anwendung beschäftigt, welches die Bestimmung der Koordinaten eines Gestirns berechenbar macht.

In der Astronomie spielt die Beobachtung von Sternen eine fundamentale Rolle. Um Sterne beobachten zu können muss man zuerst ihre genaue Himmelsposition ermitteln, ebenso wie den Zeitpunkt zu dem sie dort anzutreffen sind. Ihre genaue Position zu ermitteln ist ohne die Mathematik, genauer die Kugelgeometrie (auch sphärische Trigonometrie genannt) kaum realisierbar. Mit Hilfe der Sätze der sphärischen Trigonometrie kann man die Position eines Gestirns, unter Berücksichtigung der genauen Koordinaten des Beobachtungsortes, bestimmen. Um alle relevanten Angaben des Gestirns erhalten zu können braucht man zusätzlich noch den Greenwichen Stundenwinkel, mit dem man die ”Mittlere Greenwich-Zeit” des Gestirns bestimmen kann. Aus dieser lässt sich die genaue Ortszeit bestimmen und somit auch der zeitliche Verlauf des Gestirns an einem Tag.

Bei der Einführung des Nautischen Dreiecks tritt jedoch ein mathematisches Problem auf, welches in vielen Büchern und selbst im Buch von H.-G. Bigalke, welches die Grundlage meiner Arbeit darstellt, ignoriert wird: Bei den üblicherweise in der sphärischen Trigonometrie betrachteten Eulerschen Dreiecken sind nur ungerichtete Winkel, also Winkel die kleiner als π sind, zugelassen. Azimut und Stundenwinkel im Nautischen Dreieck sind jedoch gerichtete Winkel, also Winkel die kleiner als 2π sind. Somit müssen die Formeln der sphärischen Geometrie für die gerichteten Winkel hergeleitet werden.

Der Schwerpunkt meiner Arbeit liegt im mathematischen Beweis und der Herleitung der Sätze der sphärischen Trigonometrie für Dreiecke mit gerichteten Winkeln, wobei das Nautische Dreieck ein solches Dreieck ist und der Beweis eine Notwendigkeit darstellt, mit diesem speziellen Dreieck arbeiten zu können.

Im weiteren Verlauf wird das Nautische Dreieck eingeführt und die, in diesem Zusammenhang relevanten mathematischen Sätze hergeleitet. Mit dem Einführen der Sätze lassen sich nun die Bewegungsgleichungen der Sterne aufstellen, die die genaue Bewegung der Sterne am Himmel vollständig beschreiben. Zum Schluss wird die oben genannte Theorie an einem Beispiel, der Sirius über Bochum, praktisch verdeutlicht.

5 Zusammenfassung

In dieser Arbeit wurden die Sätze der sphärischen Trigonometrie für das Eulersche Dreieck mit gerichteten Winkeln und darüber hinaus auch für beliebige Dreiecke mit gerichteten Winkeln (kleiner als 2π) hergeleitet. Die Herleitung war notwendig um die Formeln der sphärischen Trigonometrie für das Nautische Dreieck anwendbar zu machen. Im astronomischen Grunddreieck sind nämlich Azimut A und Stundenwinkel t gerichtete Winkel von 0o bis 360o. Durch den Beweis der Gültigkeit der Sätze für das, für die sphärische Astronomie bedeutende Dreieck, ist die Bestimmung von Fixstern-Koordinaten möglich.

Mit der Definition der Himmelskugel, der Definition der Koordinatensysteme auf dieser Kugel und schließlich der Herleitung des Nautischen Dreiecks konnten die Bewegungsgleichungen der Fixsterne aufgestellt werden. Mit den Bewegungsgleichungen war die Berechnung der Koordinaten eines Fixsterns von einem bestimmten Beobachtungsort aus möglich. Die praktische Anwendung für den Sirius über Bochum am 24.11.2005 sollte den Ablauf einer solchen Fixsternbestimmung exemplarisch verdeutlichen.

Zusammenfassend lässt sich behaupten, dass die Mathematik, hier die Kugelgeometrie, wichtige Vorgänge der menschlichen Wirklichkeit im Stande ist zu beschreiben. Die sphärische Astronomie könnte ohne die Formeln des Nautischen Dreiecks keine Fixstern-Koordinaten bestimmen. Dies ist jedoch möglich, da die Formeln für Eulersche Dreiecke auch für Dreiecke mit gerichteten Winkeln, kleiner als 2π, gelten.

Im Haupteil meiner Arbeit habe ich die Gültigkeit der Sätze für beliebige Dreiecke mit gerichteten Winkeln bewiesen. Aus mathematischer Sicht besteht somit die Möglichkeit, durch die Anwendung des Nautischen Dreiecks und der dafür geltenden Sätze der sphärischen Trigonometrie, die Koordinaten eines beliebigen Gestirns von einem beliebigen Ort aus zu bestimmen.

[...]

1 Liebold et al., 1988, S. 236ff

2 Liebold et al., 1988, S. 487f