Bachelorarbeit

Fachhochschule Bielefeld
University of Applied Sciences

Fachbereich Maschinenbau

Eigenfrequenzanalyse am rotierenden Kragbalken mit
Anwendung auf Dampfturbinenschaufeln

Sergej Minich

Bielefeld, den 22.07.2005

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ... 4

2 Aufgabenstellung ... 5

3 Kragbalken als Ersatzmodell einer Turbinenschaufel ... 6

3.1 Randbedienungen ... 6

3.2 Beschleunigung eines materiellen Punktes / Kinematik ... 6

3.3 Bewegungsgleichung für einen Timoschenko – Balken ... 8

3.4 Bewegungleichung für einen Bernoulli - Balken mit Fliehkrafteinfluss ... 12
3.4.1 Gleichgewicht am verformten Element ... 13
3.4.2 Gleichgewicht am geschnittenen verformten Element ... 15
3.4.3 Energie – Methode ... 16

3.5 Eigenfrequenzberechnung für einen Bernoulli – Balken – Modell ohne Fliehkrafteinflusses ... 17
3.5.1 Analytische Lösung ... 17
3.5.2 FEM – Lösung ... 19

3.6 Eigenfrequenzberechnung für einen Bernoulli– Balken– Modell mit Fliehkrafteinflusses ... 21
3.6.1 Analytische Lösung ... 21
3.6.1.1 Gegenüberstellung der Bewegungsgleichungen ... 20
3.6.1.2 Lösung mit Rayleight- Ritz- Verfahren ... 21
3.6.2 FEM - Lösung ... 35

3.7 Schlussfolgerung ... 43

4 Untersuchungen einer Dampfturbinenschaufel mit Hilfe von Solid – Elementen (FEM) ... 53

4.1. Aufbau des Volumenmodels ... 53

4.2 Allgemeine Darstellungen der Eigenformen ... 56

4.3 Darstellungen der Eigenfrequenzen (nach Zeichnung) ... 57

4.4 Darstellungen der Eigenfrequenzen mit verlängerter Schaufel ... 60

4.5 Darstellungen der Eigenfrequenzen mit verkürzter Schaufel ... 62

5 Zusammenfassung ... 64

6 Nachweise, Verzeichnisse ... 65

6.1 Literaturnachweise ... 65

6.2 Formelzeichen, Abkürzungsverzeichnis ... 66

7 Anhang ... 67

1 Einleitung

In diversen technischen Anwendungen nimmt die Schwingungsanalyse einen bedeutenden Platz ein. Insbesondere werden die Eigenfrequenzen eines technischen Systems untersucht. Eine Eigenfrequenz eines schwingfähigen Systems ist eine der Frequenzen, mit der das System nach einmaligem Anstoß schwingt. Wenn einem solchen System von außen Schwingungen aufgezwungen werden, deren Frequenz mit einer der Eigenfrequenzen übereinstimmt, reagiert das System mit besonders großen Amplituden, was als Resonanz oder, wenn zerstörende Auswirkungen auftreten, als Resonanzkatastrophe bezeichnet wird. Deswegen ist es wichtig beim Konstruieren einer technischen Anlage die Eigenfrequenzen und die möglichen Resonanzerscheinungen zu berücksichtigen. An Hand zweier Beispielen wollen wir dies erläutern. Das erste Beispiel ist aus dem Bereich der Bautechnologie, das Andere aus der technischen Anwendung einer Turbine.

1. Beispiel: Millenium –

Brücke London Im Juni 2000 wurde die Londoner Millenium– Brücke eingeweiht (sie wurde von dem Architekten Sir Norman Forster entworfen). Am Tage der Einweihung begann die Brücke unter den Füßen von tausenden Passanten bis zu 10 Zentimeter zu schwingen. Sie musste gesperrt werden. Nach einjähriger Analyse stellte sich heraus, dass die Brücke auf Schwingungen von 1 Hertz stärker als erwartet reagierte. Diese Frequenz entspricht genau dem Rhythmus von Passanten, die auf leicht seitlichen Bewegungen mit dem Seemannsgang reagieren.

2. Beispiel: Space - Shuttle - Turbine

Eine Hochdruck - Turboturbine für die Treibstoffversorgung des Haupttriebwerkes des Space – Shuttles, lief 1984 wegen Resonanzeffekte instabil. Bei dem Versuch kam sie nicht über 20.000 Umdrehungen/min, anstatt der benötigten 39.000 Umdrehungen/min. Diese Schwierigkeit führte zu einer sechsmonatigen Unterbrechung des Space - Shuttle - Programms und verursachte täglich 640000 Euro an Kosten.

Da aus den Beispielen deutlich wird welche Folgen die Resonanzerscheinungen haben können, wollen wir im Folgenden die Eigenfrequenzanalyse von Dampfturbinenschaufeln mithilfe eines Modells näher untersuchen

2 Aufgabenstellung

Am Anfang steht die Entwicklung eines geeigneten Kragbalkenmodells. Mit diesem Modell werden wir analytische und numerische Analysen durchführen. Da wir möglichst genau die Eigenfrequenzen des Kragbalkens berechnen möchten, nehmen wir ein kontinuierliches System an. Dabei sind die für die Schwingungen maßgebenden physikalischen Größen, wie die Masse und die Steifigkeit, kontinuierlich verteilt. Wir können solche Systeme auch als Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden auffassen. Die Bewegung der Balkenpunkte wird mittels partieller Differentialgleichung beschrieben.

Wir werden die Bewegungsgleichungen für den Kragbalken zunächst für zwei Theorien angeben. Einmal ist es die Timoschenko Theorie und die andere ist die Euler - Bernoulli - Balkentheorie.

Dann werden wir uns auf den einfacheren Fall, den Euler – Bernoulli – Balkentheorie, konzentrieren und die verschiedenen Methoden zum Aufstellen der Bewegungsgleichung diskutieren. Der uns interessierende Fliehkrafteinfluss wird in den verschiedenen Methoden unterschiedlich berücksichtigt. Diese Unterschiede sollen im Vergleich zum Euler – Bernoulli – Balkentheorie ohne Fliehkrafteinfluss soweit möglich, auch numerisch herausgearbeitet werden. Dieser erste Weg ist mehr mathematisch, der zweite Weg ist rein numerisch, indem wir mit Hilfe eines Finite Elemente Programms einen Beambalken und Solidbalken aufbauen, um daraus die Eigenfrequenzen zu bestimmen. Wobei wir aus den vorangegangenen Schritten Informationen erwarten, in wie weit FEM, bezogen auf MSC. Nastran for Windows, den Fliehkrafteinfluss berücksichtigt

Die nächste Aufgabe besteht darin, dass wir die Dampfturbinenschaufel auf Eigenfrequenzen unter Berücksichtigung der Fliehkraft analysieren. Mit Hilfe des Finite Elemente Programms (MSC NASRAN) wird die Dampfturbinenschaufel gemäß der Zeichnung generiert und berechnet. Danach werden wir eine Parameterstudie durchführen und den Einfluss der Schaufellänge auf die Eigenfrequenzen darstellen. Alle Ergebnisse werden wir in Campbell – Diagrammen dargestellt, die für den Nutzer aussagekräftig sind.

3 Kragbalken als Ersatzmodell einer Turbinenschaufel

Mit den klassischen mechanischen Ansätzen ist es bis heute nicht möglich, komplexe Zusammenhänge in realen Systemen unmittelbar und ganzheitlich zu erfassen. Üblicherweises gehen wir dann so vor, dass wir ein Problem so vereinfachen, dass wir es auch lösen können. Deswegen diskretisieren wir die Turbinenschaufel und stellen sie als einen Kragbalken da.

3.1 Randbedienungen

Zunächst definieren wir die Randbedingungen für den Kragbalken. Aus der festen Einspannung am Punkt x = 0 resultieren folgende Randbedienungen:

• Es gibt keine Verschiebung w(0,t) = 0.
• Es gibt keine Steigung w′(0,t) = 0.

Am Punkt x = L gelten die nächsten Randbedienungen:

• Es gibt keinen Biegemoment wⁿ(L,t) = 0.
• Es gibt keine Querkraft w^m(L,t) = 0.

(Abbildung in Downloadversion enthalten)

3.2 Beschleunigung eines materiellen Punktes / Kinematik

Für die weitere Betrachtung treffen wir folgende Annahmen:

• Der materielle Punkt ist ein kleiner Teil des Kragbalkens, der dehnstarr ist.
• Die Masse des materiellen Punktes und dessen Abmessungen sind vernachlässigbar klein.
• Alle kinematischen Größen, d.h. die Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit, sind bekannt.
• Der materielle Punkt hat eine geführte Bewegung und damit zwei Freiheitsgrade.
• Bezugskörper für die kinematischen Größen ist die Erde.
• Die Luftreibung ist hierbei vernachlässigt.
• Das Koordinatesystem ist kartesisch und rotierend.

(Abbildung in Downloadversion enthalten)

Der Ortsvektor im rotierenden kartesischen Koordinaten {X Y Z } zu einem Punkt P des starren Körpers lautet:
... (1)

Da wir den Balken als dehnstarr annehmen und nur Verschiebungen in Z - Richtung betrachten, lautet der Verschiebungsvektor:

... (2)

Aus dem allgemeinen Geschwindigkeitszustand des Punktes P ergibt sich,

... (3)

wobei v⁰ die Geschwindigkeit der Balkeneinspannung bei X = R oder x = 0 ist. Der Punkt 0 (Balkeneinspannung) ist der Bezugspunkt für den Geschwindigkeitszustand. Die Relativgeschwindigkeit v^P_rel erhalten wir aus der Zeitableitung relativ zum rotierenden Koordinatensystem.

(Die Formeln sind in der Downloadversion enthalten)

[...]