Mathematik und Wirklichkeit -
Von den Wurzeln der Mathematik zu einer Didaktik des Sachrechnens

Wissenschaftliche Hausarbeit, als Bestandteil der Prüfung zum ersten
Staatsexamen an der Pädagogischen Hochschule Weingarten

Vorgelegt am 13.8.1998

von Jörg Dieter

Inhalt

Einleitung ... 6

Kapitel 1: Mathematik ... 9
    1.1 Streit um das Wesen der Mathematik ... 9
        1.1.1 Mathematik als Unterrichtsgegenstand ... 9
        1.1.2 Erste Erkundungen ... 10
    1.2 Die Wurzeln der Mathematik ... 12
        1.2.1 Stochern im Nebel der Zeit ... 12
        1.2.2 Zahlgefühl - Zählen - Zahl ... 12
            1.2.2.1 Das Zahlgefühl ... 12
            1.2.2.2 Paarweise Zuordnung ... 13
            1.2.2.3 Herausbildung des Zahlbegriffs ... 14
        1.2.3 Mystik - Magie - Religion ... 15
            1.2.3.1 Zahlen und das Gesetz der Berührung ... 15
            1.2.3.2 Geometrie und das Gesetz der Ähnlichkeit ... 16
            1.2.3.3 Zwei Sichtweisen ... 17
    1.3 Die Entwicklung der Mathematik ... 20
        1.3.1 Algorithmische Mathematik ... 20
            1.3.1.1 Die Entstehung der ersten Hochkulturen ... 20
            1.3.1.2 Mathematik in Ägypten ... 20
            1.3.1.3 Mathematik in Mesopotamien ... 21
            1.3.1.4 Mathematik in Indien ... 22
            1.3.1.5 Mathematik in China ... 22
            1.3.1.6 Mathematik in Süd- und Mittelamerika ... 23
        1.3.2 Axiomatische Mathematik ... 23
            1.3.2.1 Ein entscheidender Schritt ... 23
            1.3.2.2 Die ionische Periode ... 25
            1.3.2.3 Die athenische Periode ... 26
            1.3.2.4 Die hellenistisch / alexandrinische Periode ... 28
            1.3.2.5 Die Periode des Niedergangs ... 31
            1.3.2.6 Angewandte und "reine" Mathematik bei den Griechen ... 31
            1.3.2.7 Darstellung der axiomatischen Methode nach Aristoteles ... 32
        1.3.3 Mathematik im Untergrund ... 34
        1.3.4 Die Wiedergeburt der Mathematik ... 35
            1.3.4.1 Die Umstände der Geburt ... 35
            1.3.4.2 Vom Abakus zur Algebra ... 36
        1.3.5 Mathematik in Bewegung ... 38
            1.3.5.1 Gesellschaftliche Bewegung ... 38
            1.3.5.2 Naturwissenschaftliche Bewegung ... 38
            1.3.5.3 Mathematische Bewegung ... 40
        1.3.6 Grundlegende Mathematik ... 43
            1.3.6.1 Die industrielle Revolution ... 43
            1.3.6.2 Die Spaltung der Mathematik ... 43
            1.3.6.3 Grundlagenforschung in der Analysis ... 45
            1.3.6.4 Grundlagenforschung im Bereich der Zahlsysteme ... 46
            1.3.6.5 Grundlagenforschung in der Geometrie ... 46
            1.3.6.6 Grundlagenforschung in der Logik ... 47
            1.3.6.7 Die Mengenlehre ... 48
        1.3.7 Mathematik in der Krise ... 50
            1.3.7.1 Grundlagenkrise? ... 50
            1.3.7.2 Die Antinomien der Mengenlehre ... 50
            1.3.7.3 Logizismus ... 51
            1.3.7.4 Formalismus ... 52
            1.3.7.5 Die Strukturmathematik des Bourbakikreises ... 56
            1.3.7.6 Intuitionismus ... 57
            1.3.7.7 Welche Grundlagenkrise? ... 60
        1.3.8 Auf dem Weg in die Zukunft ... 60
        1.3.8.1 Computerisierung ... 60
            1.3.8.2 Die Informationsgesellschaft ... 61
            1.3.8.3 Entwicklungen in der Wissenschaft ... 62
            1.3.8.4 Entwicklungen in der Mathematik ... 65
    1.4 Mathematik und Anwendung ... 67
        1.4.1 Angewandte und "reine" Mathematik in der geschichtlichen
        Entwicklung ... 67
            1.4.1.1 Vorgeschichtliche Zeit ... 67
            1.4.1.2 Zeit der frühen Hochkulturen ... 67
            1.4.1.3 Griechische Antike ... 68
            1.4.1.4 Mittelalter und Renaissance ... 68
            1.4.1.5 Barock und Aufklärung ... 68
            1.4.1.6 Das Zeitalter der Industrialisierung ... 69
            1.4.1.7 Industriezeitalter bis heute ... 69
        1.4.2 Kampf um die Vorherrschaft ... 69
            1.4.2.1 Die Argumente der "reinen" Mathematiker ... 70
            1.4.2.2 Die Argumente der anwendungsorientierten Mathematiker ... 72
            1.4.2.3 Der ideologische Kern der Auseinandersetzung ... 74
        1.4.3 Symbiose ... 74
        1.4.4 Was für eine Wissenschaft ist die Mathematik? ... 76
    1.5 Was ist Mathematik - Ansichten im Überblick ... 77
        1.5.1 Im Dschungel philosophischer Sichtweisen ... 77
        1.5.2 Schneisen im Dschungel ... 77
            1.5.2.1 Logizismus, Formalismus, Bourbakismus und Intuitionismus ... 77
            1.5.2.2 Platonismus, Empirismus, Konventionalismus und
            Konstruktivismus ... 78
            1.5.2.3 Der Stellenwert mathematischer Wahrheit ... 79
            1.5.2.4 Entdecker und Erschaffer ... 80
        1.5.3 Schlingpflanzen ... ... 80

Kapitel 2: Wirklichkeit ... 82
    2.1 Wirklichkeit in der Philosophie ... 82
        2.1.1 Der Wirklichkeitsbegriff ... 82
        2.1.2 Ontologische Wirklichkeitskonzeptionen ... 83
            2.1.2.1 Materialismus ... 83
            2.1.2.2 Idealismus ... 83
            2.1.2.3 Dualismus ... 83
        2.1.3 Epistemologische Wirklichkeitskonzeptionen ... 84
        2.1.4 Die konstruktivistische Alternative ... 85
            2.1.4.1 Wissen und Wirklichkeit ... 85
            2.1.4.2 Metaphysischer Realismus ... 85
            2.1.4.3 Radikaler Konstruktivismus ... 86
            2.1.4.4 Konstruierte Wirklichkeit ... 88
            2.1.4.5 Die biologische Argumentationslinie ... 90
            2.1.4.6 Verschiedene Spielarten konstruktivistischen Denkens ... 91
            2.1.4.7 Sozialer Konstruktivismus ... 92
            2.1.4.8 Konstruktivistische Ansätze in Pädagogik und Didaktik ... 93
        2.1.5 Konstruktivismus und Mathematik ... 94
    2.2 Lebenswirklichkeit ... 96
        2.2.1 Die Welt in der wir leben ... 96
        2.2.2 Der Nutzen der Mathematik ... 96
            2.2.2.1 Nutzen der Mathematik für den Einzelnen ... 97
            2.2.2.2 Nutzen der Mathematik für die Gesellschaft ... 98
            2.2.2.3 Sicherung und Weiterentwicklung der Mathematik ... 99

Kapitel 3: Didaktik ... 100
    3.1 Vergangenheit ... 100
        3.1.1 Die Weitergabe von Wissen ... 100
        3.1.2 Die "Meraner Reformbewegung" ... 101
        3.1.3 Das "traditionelle" Sachrechnen ... 102
        3.1.4 Kritik des "traditionellen" Sachrechnens ... 103
        3.1.5 Die "neue" Mathematik ... 104
        3.1.6 Kritik der "neuen" Mathematik ... 105
        3.1.7 Ausgewogener Mathematikunterricht ... 106
    3.2 Gegenwart ... 108
        3.2.1 TIMSS das Schreckgespenst ... 108
        3.2.2 Der Bildungs- und Lehrplan für die Realschulen in Baden-
        Württemberg ... 108
            3.2.2.1 Didaktische Grundsätze des Bildungsplans ... 108
            3.2.2.2 Schwerpunktsetzungen im Lehrplan Mathematik ... 110
            3.2.2.3 Der Inhalt des Lehrplans und die Probleme der
            Renaissance ... 113
    3.3 Zukunft ... 115
        3.3.1 Folgerungen aus der Untersuchung des Unterrichtsgegenstands ... 115
        3.3.2 Folgerungen aus der Untersuchung der Bedürfnisse der
        Schüler ... 117
        3.3.3 Folgerungen aus der Untersuchung des unterrichtlichen
        Kontextes ... 117
        3.3.4 Schluß ... 118

Nachwort ... 120

Anhang I: Literaturverzeichnis ... 122
Anhang II: Erklärung ... 127

„Tatsächlich beruht, ob man das nun wahrhaben will oder nicht, alle mathematische
Pädagogik ... auf einer Philosophie der Mathematik.“ ¹
Rene Thoms

Einleitung
„Mathematik und Wirklichkeit. Von den Wurzeln der Mathematik zu einer Didaktik des Sachrechnens.“ - Der Titel dieser Arbeit gibt ein Thema vor, das einen weiten Bogen spannt; einen Bogen, den man im Blick behalten muß, will man sich nicht in den interessanten und reizvollen Einzelheiten verlieren, die sich entlang des Weges finden. Dieses Thema spannt aber nicht nur einen weiten Bogen, es läßt sich auch von vielen Seiten aus betrachten. Ein Mathematiker wird anders an das Thema herangehen als ein Naturwissenschaftler, ein Philosoph anders als ein Historiker. Mein eigener Zugang, als Student einer Pädagogischen Hochschule und zukünftiger Realschullehrer, wi rd nochmals ein anderer sein.

Die angewandte Mathematik übersetzt Probleme der wirklichen Welt in mathematische Probleme, löst die mathematischen Probleme und überträgt schließlich die Lösungen wieder auf die Wirklichkeit.² Das Sachrechnen bezeichnet die Umsetzung angewandter Mathematik in der Schule. Je nach didaktischer Konzeption bezieht es sich dabei nur auf einen relativ eng umgrenzten Bereich angewandter Mathematik oder auf die angewandte Mathematik ganz allgemein.³ Es spielt seit jeher eine wichtige Rolle im Mathematikunterricht.

Stärker als ein Mathematikunterricht, der sich mit Bereichen der reinen Mathematik befaßt, steht der Sachrechenunterricht in ständiger Wechselwirkung mit den gesellschaftlichen Gegebenheiten und muß sich mit der Gesellschaft ändern und weiterentwickeln. Das macht ihn besonders reizvoll und zu einer immer neuen Herausforderung für Mathematikdidaktiker und -lehrer. Das große Echo und die Diskussion, die die Veröffentlichung der TIMSS-Studie im letzten Jahr auslöste - eine breit angelegte empirischen Studie, die den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht in verschiedenen Ländern vergleicht - belegte dies eindrucksvoll. Deswegen habe ich mich entschieden, meine wissenschaftliche Hausarbeit dieser Thematik zu widmen.

Meine Verantwortung als zukünftiger Lehrer sehe ich darin, meinen Unterricht so zu gestalten, daß dadurch für die Schüler der größtmögliche Nutzen entsteht. Dadurch bin ich mit einer ganzen Reihe von Fragen konfrontiert:

Was ist wichtig für meine Schüler?

• Wie können die Inhalte des Faches Mathematik den Schülern helfen?
• Welches ist die günstige Weise, den Schülern diese Inhalte zu vermitteln?

Im Unterricht sind Objekt, Subjekt und Tat - der Unterrichtsgegenstand, die Schüler, die unterrichtet werden und die Tätigkeit des Unterrichtens selbst - eng miteinander verknüpft. Um die Fragen, die sich mir stellen, sinnvoll diskutieren zu können, sind deswegen verschiedene Informationen notwendig.

• Ich muß etwas über die Sache wissen, die ich unterrichte.
• Ich muß etwas über die Schüler und die Welt wissen, in der sie leben.
• Ich muß etwas darüber wissen, wie Mathematikunterricht normalerweise abläuft und in welchen Kontext er eingebettet ist.

Wenn ich Informationen zu diesen drei Bereichen habe, kann ich mir überlegen, was am Unterrichtsgegenstand für die Schüler vor dem Hintergrund des Unterrichtskontextes und der Welt, in der sie leben, bedeutsam ist. Ich kann also die Ziele festlegen, die ich mit meinem Unterricht verfolgen will. Schließlich muß ich mir überlegen, wie ich meinen Unterricht am besten gestalte, um diese Ziele erreichen zu können.⁴

Daraus ergibt sich die Struktur meiner Arbeit. Im ersten Kapitel will ich mich zunächst der Frage zuwenden, was Mathematik eigentlich ist. Schaut man sich an, was Mathematiker und Wissenschaftstheoretiker zu dieser Frage zu sagen haben, so stellt man fest, daß ihre Ansichten zum Teil diametral entgegengesetzt sind. Manche sehen in der Mathematik eine Kunst, die höchste Blüte des menschlichen Geistes und wollen sie allein um des ästhetischen Genusses wegen betrieben sehen. Andere gestehen ihr nur deswegen eine Daseinsberechtigung zu, weil sie auf die Wirklichkeit anwendbar ist. So schreibt der Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851): „Es ist wahr, daß Herr Fourier der Meinung war, daß das Hauptziel der Mathematik im öffentlichen Nutzen und in der Erklärung der Naturvorgänge bestünde; aber ein solcher Philosoph wie er hätte wissen müssen, daß das einzige Ziel der Wissenschaft die Ehre des menschlichen Geistes ist und daß unter diesem Gesichtspunkt ein Problem der Zahlen genauso wertvoll ist wie eine Frage nach dem Bau der Welt.“5 Um zu verdeutlichen, wie sich so unterschiedliche Standpunkte entwickeln konnten, will ich versuchen, in groben Zügen die Entwicklung der Mathematik von ihren Ursprüngen bis zur Gegenwart nachzuzeichnen. Bei dieser Darstellung soll im Vordergrund stehen, wie sich im Lauf der Geschichte der Mathematik das Spannungsverhältnis zwischen angewandter und „reiner“ Mathematik entwickelte.

Im zweiten Kapitel werde ich mich mit dem Begriff der Wirklichkeit beschäftigen und versuchen aufzuzeigen, in welcher Beziehung er zur Mathematik steht. Dabei möchte ich auch auf die Bedeutung der Mathematik für die Lebenswirklichkeit der Schüler heute eingehen und die Frage erörtern, welche mathematischen Fähigkeiten sie benötigen, um in der heutigen Gesellschaft zu bestehen und welche Fähigkeiten die Gesellschaft den Schülern abverlangen muß, um ihre eigene Existenz zu sichern.

Im dritten Kapitel untersuche ich auf welche Weise Mathematik in diesem Jahrhundert in Deutschland unterrichtet wurde, in welcher Weise man dabei die angewandte Mathematik in den Unterricht integrierte und welche Probleme dabei auftraten. Ausgehend von den Informationen die ich im Verlauf meiner Arbeit über die Mathematik, die Schüler mit ihren Bedürfnissen und den Mathematikunterricht gesammelt habe, werde ich schließlich Vorschläge zur Verbesserung der im Bildungs- und Lehrplan für die Realschulen in Baden- Württemberg fixierten Konzeption von Mathematikunterricht machen.

Ich hoffe, es ist mir mit meiner Arbeit gelungen, einen Überblick über Material zu geben, das sich normalerweise über viele Bücher verteilt findet: Bücher über Mathematikdidaktik, Mathematikgeschichte, Philosophie der Mathematik, Wissenschaftstheorie, Soziologie und so fort. - Material, das in Büchern über die Didaktik und Methodik des Sachrechnens häufig auf wenigen Seiten abgehandelt oder gar nicht erwähnt wird, das mir aber dennoch für die Planung von Sachrechenunterricht relevant zu sein scheint. Möge diese Arbeit den Leser erfreuen und ihm, so er Lehrer ist, bei der Gestaltung seines Unterrichts von Nutzen sein.

[...]

1 Thoms, Rene. In: Howson, A.G. (Hg.): Developments in Mathematical Education. Cambridge 1973. S. 204. Z.n. Otte 1974: S. 5

2 vgl. z.B. Winter 1994: S. 31f

3 vgl. Glatfeld 1983 S. 40ff und den Abschnitt „3.1.3 Das ‘traditionelle’ Sachrechnen“ meiner Arbeit.

4 Ich beziehe mich hier auf Überlegungen, die Jakob Ossner in seinem Aufsatz „Praktische Wissenschaft“ anstellt. Dort heißt es auf S. 192 über die Fachdidaktik Deutsch: „Es geht um die Bewältigung der Aufgabe, ein Können im Gegenstandsfeld Sprache [...] auszubilden. In dieser nicht weiter spezifizierten Beschreibung ist die Aufgabe immer dieselbe, inhaltlich aber ändert sie sich mit den Subjekten, die in die Zielformulierung eingehen. Es geht ja nicht um ein allgemeines Können, sondern um das Können von jemand zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort. Daher ist es Aufgabe einer praktischen Wissenschaft Fachdidaktik, die Frage zu beantworten, wie dieses Können jeweils erreicht werden kann.“ Auf S. 197 heißt es weiter: „Eine Praktische Wissenschaft kann lehren: - Wissen im Handlungsfeld, also das didaktische Brauchtum; - Wissen über die Schüler auf der Basis einer gegenstandsorientierten psychologischen und soziologischen Forschung; - Wissen über das Gegenstandsfeld, also Funktion und genetische Struktur des Gegenstandsfeldes.“ Genauere Hintergründe zu diesen Überlegungen, die sich nicht nur auf die Fachdidaktik Deutsch, sondern auf die Fachdidaktik allgemein beziehen, können ebd. nachgelesen werden.

5 C. G. J. Jacobi: Werke Bd. I, S. 454f. (Brief an Legendre vom 2.7.1830). Z. n. Volk 1980: S. 31. Dort z. n. Struik, D.: Abriß der Geschichte der Mathematik. Berlin 1967.