1

EINLEITUNG 3

1.1

AUFBAU DER ARBEIT 4

2

WISSENSCHAFTLICHER THEORIE- UND LITERATURTEIL 6

2.1

AKTUELLER BILDUNGSPOLITISCHER STAND 6

2.2

ÖFFNUNG VON UNTERRICHT 6

2.2.1

Drei Ebenen der Öffnung von Unterricht 6

2.2.2

Nachteile des offenen Unterrichts 7

2.3

MATHEMATIKUNTERRICHT IM WANDEL 8

2.3.1

Traditioneller Mathematikunterricht 8

2.3.2

Sachrechnen im Wandel der Zeit 8

2.3.2.1

Sachrechnen im 19. Jahrhundert 9

2.3.2.2

Sachrechnen in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts 10

2.3.2.3

Sachrechnen in der Nachkriegszeit 11

2.3.2.4

Das neue Sachrechnen 13

2.3.3

Das Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens 14

2.4

DIFFERENZIERUNG IM SCHULWESEN 16

2.4.1

Äußere und innere Differenzierung 16

2.4.2

Natürliche Differenzierung 17

2.4.3

Lernvoraussetzungen der Schüler im Mathematikunterricht 17

2.4.4

Differenzierung zum Bereich Sachrechnen 18

2.5

ÖFFNUNG VON AUFGABEN 20

2.5.1

Konzepte für Offene Aufgaben in der Fachliteratur 20

2.5.2

Typisierung von öffnenden Aufgabe 21

2.5.3

Kennzeichen offener Aufgaben 22

2.6

PROBLEMHALTIGE TEXTAUFGABEN 23

2.7

RECHENGESCHICHTEN 23

2.8

STRUKTUR DES KERNCURRICULUMS DES FACHS MATHEMATIK 24

3

AUSARBEITUNG EINER OFFENEN AUFGABENSEQUENZ 26

3.1

ZIELE DER AUFGABENSEQUENZ 26

3.2

GRUNDIDEE, THEMENFINDUNG UND DIE AUSWAHL DES THEMAS 27

3.2.1

Methodische Vorüberlegungen 27

3.2.2

Didaktische Vorüberlegungen 27

3.3

DIE AUFGABENSEQUENZ 28

1

---

3.3.1

Der Rahmen der Aufgabensequenz 28

3.3.2

Darstellung und Zuordnung der Aufgaben 1 - 3 28

3.4

INTENTION UND INHALTE DER AUFGABENSEQUENZ 30

3.4.1

Erwartungshorizont von Aufgabe 1 30

3.4.2

Erwartungshorizont von Aufgabe 2 33

3.4.3

Erwartungshorizont von Aufgabe 3 35

3.5

BEZUG DER AUFGABEN 1 - 3 ZUM KERNCURRICULUM 36

3.6

ASPEKTE ZUM ANALYSEVERFAHREN 40

4

DURCHFÜHRUNG DER AUFGABENSEQUENZ 41

4.1

AUSWAHL UND BESCHREIBUNG DER TESTKLASSE 41

4.1.1

Auswahl und Beschreibung der Testklasse 41

4.1.2

Beschreibung des Lernstandes der Testklasse 41

4.2

STUNDENVERLAUFSPLANUNG ZU DER AUFGABENSEQUENZ 43

4.2.1

Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 1 / Stunde 1 43

4.2.2

Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 1 / Stunde 2 44

4.2.3

Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 2 / Stunde 3 45

4.2.4

Stundenverlaufsplan zur Aufgabe 3 / Stunde 4 46

4.3

ÜBERPRÜFUNG DER SCHÜLERERGEBNISSE 47

4.3.1

Verfahren zur Analyse der Schülerergebnisse 47

4.4

DOKUMENTATION DER SCHÜLERERGEBNISSE 48

4.4.1

Produktorientierte Materialanalyse 48

4.4.1.1 Analyse und Interpretation von Aufgabe 1 48

4.4.1.2 Analyse und Interpretation von Aufgabe 2 54

4.4.1.3 Analyse und Interpretation von Aufgabe 3 57

4.4.2

Analyse und Interpretation der Audiotranskription 61

4.4.3

Analyse und Interpretation der Videotranskription 66

5

ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK 71

6

LITERATURVERZEICHNIS 76

7

ANHANG 79

2

---

1

Einleitung

Die vorliegende Hausarbeit wird von mir im Rahmen des ersten Staatsex-

amens für das Lehramt an Grund-, Haupt- und Realschulen angefertigt.

Meine Entscheidung, die Arbeit im Fach Mathematik zu schreiben, ent-

stand aufgrund meiner mehrjährigen Mitarbeit am Projekt ,,Prozessbeglei-

tende Diagnostik und Förderung mathematisch potentiell begabter Dritt-

und Viertklässler1". Dieses Projekt wurde vom Leiter des Instituts für Di-

daktik der Mathematik und Elementarmathematik Prof. Dr. F. Käpnick ins

Leben gerufen. Seit 2004 wird es unter dem Namen ,,Mathematische

Lernwerkstatt für Kinder: Hochbegabung bei mathematischer Konzeptbil-

dung ­ Praxisseminar" unter der Leitung von Dipl. Math. Frank Förster und

Wolfgang Grohmann geführt.

Im Rahmen des Projektes kommen potentiell hochbegabte Schüler der

Jahrgangsstufen 3 bis 62 aus unterschiedlichen Braunschweiger Schulen

im 2-Wochen-Rhythmus zu sogenannten ,,Förderstunden", um mathemati-

sche Knobelaufgaben in der Lernwerkstatt zu lösen. Diese Schüler sollen

durch Aufgaben mit einem höheren Anforderungsprofil gefördert und ge-

fordert werden. Dabei wird gezielt auf Spaß am Umgang mit Zahlen, For-

men und Strukturen geachtet. Die Freude am problemlösenden Denken

soll gefördert und intellektuelle Neugier geweckt werden.

Das Thema dieser Arbeit

,,Öffnen von Aufgaben zur natürlichen Differenzierung im Mathematikun-

terricht der Grundschule"

war für mich aus folgenden Gründen besonders motivierend:

1 In dieser Arbeit wird in den meisten Fällen auf männliche Bezeichnungen zurückgegriffen, um

ein flüssigeres Lesen zu gewährleisten. Die weiblichen Bezeichnungen sind hierbei natürlich inbe-

griffen.

2 unter der Leitung von Prof. Käpnick wurden die Förderstunden für die 3. und 4. Jahrgangsstufen

durchgeführt

3

---

Bei Durchführung der Unterrichtseinheiten in der Lernwerkstatt konnte ich

viele gute Erkenntnisse im Bereich der natürlichen Differenzierung mit die-

ser besonderen Schülerklientel gewinnen. Da ich perspektivisch in Klas-

sen mit heterogenem Leistungsprofil arbeiten werde, ist es für mich be-

sonders interessant zu beobachten, wie die natürliche Differenzierung mit

diesen Schulkindern umgesetzt werden kann. Besonders spannend war

für mich die zusätzliche Möglichkeit der Öffnung von Aufgaben. Zu diesem

Themenkomplex konnte ich vorher nur wenige Erfahrungen sammeln.

Hilfreich bei der Durchführung der Aufgabensequenz waren auch meine

Vorerfahrungen, die ich während der Tätigkeit in der Lernwerkstatt bei der

Durchführung von Videoaufnahmen und bei der Verarbeitung des Daten-

materials erwerben konnte.

1.1 Aufbau der Arbeit

Im 2. Kapitel findet eine wissenschaftliche Aufarbeitung des Themas unter

Berücksichtigung der Begriffe ,,offene Aufgabe" und ,,natürliche Differen-

zierung" statt. Dazu wird das nötige Hintergrundwissen der aktuellen Dis-

kussion um diese Begriffe aufgeschlüsselt und erklärt.

Im 3. Kapitel wird die entwickelte Aufgabensequenz vorgestellt und Ziele

sowie die Grundidee im Detail erörtert. Der Erwartungshorizont und die

Vorgehensweise zur Durchführung der Aufgabensequenz wird unter Be-

rücksichtigung des Kerncurriculums des Faches Mathematik an Grund-

schulen in Niedersachsen aufgezeigt.

Im 4. Kapitel erfolgt die Beschreibung der ausgewählten Testklasse und

die Planung zur Durchführung. Hiernach findet die Umsetzung der Aufga-

bensequenz in der Grundschule mit einer umfangreichen Analyse und In-

terpretation der Ergebnisse statt.

4

---

Im 5. Kapitel werden die Ergebnisse der durchgeführten Aufgabense-

quenz zusammengefasst und interpretiert. Der Ausblick umfasst die kriti-

sche Reflexion der entwickelten Unterrichtseinheit.

5

---

2

Wissenschaftlicher Theorie- und Literaturteil

2.1 Aktueller Bildungspolitischer Stand

Nachdem internationale Vergleichsstudien (z.B. PISA, TIMSS und IGLU)

gezeigt haben, dass es dringenden Handlungsbedarf zur Verbesserung

der Unterrichtsqualität in Deutschland gibt, wird kontrovers diskutiert, wie

eine solche Qualitätssteigerung im Unterricht vollzogen werden kann. Leh-

rer sollen dabei im Unterricht versuchen die Schüler nach ihren individuel-

len Bedürfnissen zu fördern, aber auch notwendige Leistungen zu fordern.

Das Beschreiten von neuen Wegen, die Öffnung von Unterricht, sowie

eine natürliche Differenzierung vom Kinde aus, sollte dabei vorrangig in

Betracht gezogen werden (vgl. Bobrowski/ Grassmann, Grundschule

5/2007, S.28).

2.2 Öffnung von Unterricht

2.2.1 Drei Ebenen der Öffnung von Unterricht

- Die inhaltliche und institutionelle Ebene soll den Schülern ermögli-

chen, ihre Schul- und Klassensituation als offene Lebenswelt zu

sehen und neu zu erfahren. Sie stellt damit einen Teilaspekt des

Lebensbezugs zum Unterricht dar. Die Schule kann bei projektori-

entiertem Arbeiten auch verlassen werden (vgl.

www.wikipedia.org/wiki/ Stichwort: Handlungsorientierter Unterricht/

Öffnung des Unterrichts). Mit einer inhaltlichen Öffnung ist aber

auch gemeint, dass weniger Routine- und mehr beziehungshaltige

Frage- und Aufgabenstellungen in den Unterricht einfließen und der

zeitliche Rahmen aufgebrochen werden soll.

6

---

- Die curriculare und methodische Öffnung ist gekennzeichnet durch

eigene Lernwege, das eigenverantwortliche Entdecken von Zu-

sammenhängen innerhalb eines Problemlöseprozesses und den

produktiven Umgang mit Fehlern (vgl. Grassmann, Grundschule

5/2005, S. 33). Schüler sollen selbst entscheiden, wie sie ihre Ar-

beit und Zeit einteilen bis hin zur Aufstellung von Wochenplänen.

Methodisch wird diese Öffnung durch Projekte, Freiarbeit und das

Lernen an Stationen in den Unterricht integriert (vgl.

www.wikipedia.org/wiki/ Stichwort: Handlungsorientierter Unterricht/

Öffnung des Unterrichts).

- Die sozial-interaktive Öffnung fördert den kommunikativen Aspekt

zwischen Schülern und dem Lehrer (als Partner). Für eine soziale

Interaktion sollen heterogene Gruppen gebildet werden, die ge-

meinsam ein Problem bearbeiten, damit leistungsstarke Schüler

nicht nur untereinander die ,,Experten" sind, sondern im Team von-

einander profitieren (vgl. Grassmann, Grundschule 5/2005, S. 33).

2.2.2 Nachteile des offenen Unterrichts

Bei offenen Arbeitsformen, wie zum Beispiel Lernen an Stationen, kann

eine Überbetonung auch Schwierigkeiten hervorrufen. Besonders bei ei-

ner großen Anzahl an Stationen und nicht festgelegter Reihenfolge des

Ablaufs, kann es für den Lehrer schwer sein, die Übersicht über die Ge-

samtsituation zu bewahren. Die entstehende Hektik unter den Schülern,

die beim Wechsel der Stationen auftritt, kann dazu führen, dass das Ziel -

alle Schüler sollen alle vorbereiteten Aufgabenblätter möglichst vollständig

bearbeiten - aus den Augen verloren wird. Da es dem Lehrkörper nicht

möglich ist, alle Schülergruppen gleichzeitig zu beobachten, kann es dazu

kommen, dass Schüler voneinander abschreiben, ohne mitzudenken und

die Inhalte zu verstehen. Auch der erhöhte Lärmpegel kann sich nachtei-

lig auf die Lernsituation auswirken. Die unterschiedlichen Lebensbedin-

gungen wie z.B. Herkunft, Familienverhältnisse und sozialer Stand

7

---

erschweren ebenso das Lernen in diesen Arbeitsformen (vgl. Müller-

Philipp, Grundschule 5/2007, S. 49).

Eine gelenkte Unterrichtsführung durch den Lehrer bleibt deshalb in eini-

gen Situationen sinnvoll und notwendig. Der Lehrer setzt Impulse, stellt

eigene Arbeitsmaterialien vor und hat eine Zielvorstellung vom geplanten

Unterrichtsverlauf, während die Schüler Ideen einbringen. Die Zusammen-

fassung dieser Ideen und z.B. außergewöhnlich gute Schülerideen sollten

im Plenum besprochen und gesichert werden, damit jeder Schüler ein mit-

nehmbares Resultat aus dem Unterricht bekommt (vgl. S. Müller-Philipp,

Grundschule 5/2007, S. 50).

2.3 Mathematikunterricht im Wandel

2.3.1 Traditioneller Mathematikunterricht

Das traditionelle Rechnen ist im Unterricht bis in die 1960iger Jahre vor-

herrschend. Es ist gekennzeichnet durch Mathematikferne, reduktionisti-

sches Sachrechnen und eine behavioristische Auffassung vom Lernen.

Die Schüler werden in den vier Grundrechenarten unterrichtet, die münd-

lich und schriftlich beherrscht werden sollen. Vorrangig finden natürliche

Zahlen Anwendung und nur teilweise werden eingekleidete Aufgaben als

Sachaufgaben präsentiert. Diese haben zum Ziel Rechenverfahren durch-

zuführen, mathematische Begriffe zu festigen und Zahlenbeziehungen zu

erfassen. Der Sachkontext ist dabei unwichtig und beliebig austauschbar.

Insgesamt wird der Lernstoff kleinschrittig und nach systematischem Auf-

bau vermittelt. Problematische Sachverhalte werden isoliert behandelt

(vgl. Winter,1994, S. 8f).

2.3.2 Sachrechnen im Wandel der Zeit

,,Der Grundgedanke des Sachrechnens ist die Modellierung einer Sachsi-

tuation in ein mathematisches Modell und nach dem Rechnen das Inter-

8

---

pretieren der mathematischen Ergebnisse in der jeweiligen Sachsituation."

(Franke, 2003, S. 1)

Es soll nun die Entwicklung des

Sachrechnens

über 4 temporäre Statio-

nen kurz skizziert werden. Die zum Teil fortschrittlich anmutenden Gedan-

ken, sollen dabei nicht über den vorherrschenden Rechenunterricht (s.

Abschnitt 2.3.1) hinwegtäuschen. Sie machen jedoch deutlich, dass Über-

legungen zur Nachhaltigkeit des Mathematikunterrichts eine lange Traditi-

on haben. Die erste Station zeigt das Sachrechnen im 19. Jahrhundert,

die zweite Phase schildert die reformpädagogische Bewegung in der ers-

ten Hälfte des 20. Jahrhunderts, es folgt der Zeitabschnitt der Nachkriegs-

zeit und die letzte Phase bildet das ,,neue Sachrechnen", was sich in den

80er Jahre entwickelte und bis heute andauert.

2.3.2.1

Sachrechnen im 19. Jahrhundert

Im 19. Jahrhundert wird der Begriff ,,eingekleidete Aufgabe" für eine Um-

schreibung des Begriffes ,,Sachrechnen" verwendet. Diese traditionelle

Variante des Sachunterrichts wird als Einkleidung und Anwendung arith-

metischer Inhalte gesehen. Das Sachrechnen kann zu dieser in drei Rich-

tungen eingeteilt werden (vgl. Franke, 2003, S. 7f).

(1) Praktische Gesichtspunkte bilden den Rahmen für die Rechnung.

Die enthaltenen Themengebiete sind das Schulleben, die Schular-

beit, die Wohnung, Ernährung, Bekleidung, Heizung, Beleuchtung

u. v. a..

(2) Die Einteilung geschieht nach Sachgebieten in Bezug auf Natur,

Geschichte und Erdkunde. Diese Themengebiete sind zum Teil

nochmals untergliedert.

(3) Die zu dieser Zeit am häufigsten verbreitete Einkleidung orientiert

sich am aktuellen arithmetischen Inhalt. Die Rechenoperationen,

Zahlen und Größen werden in einen sinnstiftenden Kontext einge-

bunden. Die Sachrechenaufgaben dienen nicht zum Strukturieren

9

---

des Unterrichts, sondern als Anwendung und zum Wecken vom In-

teresse an der Arbeit mit Zahlen.

Die Integration des Sachrechnens in den Mathematikunterricht wurde

nach folgenden Gesichtspunkten durchgeführt:

o dient als Ausgangspunkt zur Anwendung von Mathematik

o Aufgaben werden an die Kompetenzen der Schüler gekop-

pelt

o Sachgebiete sollen sich an die Erfahrungswelt der Schüler

anlehnen

o Interesse der Schüler soll durch die Wahl der Sachgebiete

geweckt werden

2.3.2.2

Sachrechnen in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts

Schon in dieser Periode kann eine reformpädagogische Bewegung ,,vom

Kinde aus" gefunden werden. Die Konzepte der pädagogischen Vertreter

basieren auf psychologischen Erkenntnissen, wie zum Beispiel aus der

Assoziationspsychologie und auch der Gestalts- und Entwicklungspsycho-

logie. JOHANNES KÜHNEL fordert einen kompletten ,,Neubau des Re-

chenunterrichts" und stellt zwei Prinzipien in den Mittelpunkt:

1. unser Rechenunterricht muss sachlich werden

2. unser Sachunterricht muss sich rechnerisch gestalten (vgl. Franke,

2003, S. 9).

Damit spricht er von einer Rechenmethodik, bei der sich die Kinder in die

Sachlage einarbeiten, vertiefende Erkenntnisse gewinnen, das Ziel der

Aufgabe erkennen und selbstständig nach einem Lösungsweg suchen

sollen.

10

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