Alternative Rechenverfahren zu den schriftlichen

Normalverfahren der Grundrechenoperationen

Wissenschaftliche Hausarbeit zur Ersten Staatsprüfung

für das Amt des Lehrers

Katja Löscher

Berlin, den 27.08.2007

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Alternative Rechenverfahren in der Grundschule 5

2.1 Alternative

Rechenverfahren ohne Hilfsmittel 9

2.1.1 Multiplikation 9

2.1.1.1

Die Kreuzmethode

11

2.1.1.2

Die Russische Bauernmultiplikation

15

2.1.1.3

Das Verdopplungsverfahren der Multiplikation

18

2.1.2 Division 19

2.1.2.1

Das Subtraktionsverfahren

20

2.1.2.2

Das Verdopplungsverfahren der Division

21

2.1.3 Addition und Subtraktion/Computersubtraktion 23

2.2 Alternative

Rechenverfahren,

basierend auf Hilfsmitteln 25

2.2.1 Das

Schiebezettelverfahren 27

2.2.2 Die Neperschen Streifen 30

2.2.2.1

Anwendung für die Multiplikation

32

2.2.2.2

Anwendung für die Division

37

2.2.3 Der

Abakus 39

2.2.3.1

Aufbau und Darstellung von Zahlen am Abakus

43

2.2.3.2

Rechnen mit dem Abakus

46

2.2.3.3

Vor- und Nachteile des Abakusrechnens

53

2.2.4 Der

Schulabakus 55

2.2.4.1

Aufbau und Darstellung von Zahlen am Schulabakus

55

2.2.4.2

Rechnen mit dem Schulabakus

57

2.2.4.3

Vor- und Nachteile des Schulabakus

58

2.2.5 Der Minicomputer von F. Papy 60

3 Alternative Rechenverfahren im Berliner Rahmenlehrplan 63

4 Abschließende Betrachtung 68

5 Literaturverzeichnis 73

5.1 Bücher/Beiträge aus Büchern 73

5.2 Zeitschriftenaufsätze 75

5.3 Internet 76

6 Abbildungsverzeichnis 78

2

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1 Einleitung

Die alternativen Rechenverfahren lernte ich das erste Mal in einem Hauptseminar mei-

nes Lehramtsstudiums kennen. Bis dahin hatte ich sie weder in meiner Schulzeit noch

im Grundstudium wahrgenommen. Interessiert an der Alternative zu den Normalverfah-

ren beschäftigte ich mich im Verlauf meines Studiums intensiver mit den alternativen

Rechenverfahren. Mit der Examensarbeit habe ich die Möglichkeit gesehen, meine

Sachkompetenz innerhalb dieses Themas weiter zu vertiefen und zusätzlich den Bezug

zum Rahmenlehrplan zu untersuchen.

In der dritten und vierten Klasse werden im Mathematikunterricht die schriftlichen Re-

chenverfahren der Grundrechenoperationen behandelt. Die so genannten Norm- bzw.

Normalverfahren1 sind verpflichtend für alle Schüler2 und unterliegen den Vorgaben der

Kultusministerkonferenz (KMK) und des Rahmenlehrplans3 für den Mathematikunter-

richt.

Obwohl die schriftlichen Rechenverfahren im Mathematikunterricht obligatorisch sind,

wird ihre Anwendung in der Schule seit einiger Zeit von namhaften Mathematikdidakti-

kern infrage gestellt. Innerhalb dieser Diskussion wird aufgrund der medialen Entwick-

lung die Notwendigkeit der Normalverfahren hinterfragt. Des Weiteren wird das

mechanische Rechnen anhand eines Algorithmus kritisiert. Ein Lösungsvorschlag in-

nerhalb dieser Diskussion ist das Ersetzen der Normalverfahren durch digitale Rechen-

hilfen oder durch halbschriftliches Rechnen. Ein weiterer Gedanke ist die Nutzung von

alternativen Rechenverfahren, die teilweise weniger komplex sind als die Normalver-

fahren.

In dieser Arbeit werden dem Leser alternative Rechenverfahren4 zu den schriftlichen

Normalverfahren der Grundrechenoperationen vorgestellt. Es gibt zahlreiche Variatio-

nen für die Multiplikation und Division und einige Alternativen für die Subtraktion. Die

Addition bildet mit ihrem einfachen und verständlichen Algorithmus in den meisten

1 Ich beschränke mich in dieser Arbeit auf den Begriff Normalverfahren.

2 Aus Gründen der besseren Lesbarkeit verwende ich in meiner Arbeit das Maskulinum auch

stellvertretend für das Femininum.

3 In der weiteren Arbeit mit RLP abgekürzt.

4 In der weiteren Arbeit mit a. RV. abgekürzt.

3

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Fällen die Grundlage der a. RV. Es werden ausgesuchte Verfahren für den Grundschul-

unterricht ausführlich beschrieben und auf ihre Vor- und Nachteile eingegangen.

Die vorliegende Arbeit untergliedert sich in vier Kapitel. Nach der Einleitung werden

im zweiten Kapitel die Alternativen Rechenverfahren in der Grundschule ausführlich

vorgestellt. Dies wird in zwei Abschnitten erfolgen. Im Ersten werden ,,Alternative Re-

chenverfahren ohne Hilfsmittel" beschrieben. Dies sind einfache a. RV., die in der

Grundschule angewandt werden können, ohne kostspieliges Zusatzmaterial kaufen zu

müssen. Ihre Unterteilung erfolgt auf Grundlage Ihrer Anwendung für die Multiplikati-

on, Division sowie Addition und Subtraktion. Im zweiten Abschnitt ,,Alternative Re-

chenverfahren, basierend auf Hilfsmitteln" werde ich auf fünf verschiedene

′Rechenmaschinen′ eingehen. Diese ′Rechenmaschinen′ dienen den Schülern als

Hilfsmittel und müssen für den Mathematikunterricht entweder nachgebaut oder gekauft

werden. Orientiert an der zunehmenden Komplexität der einzelnen Hilfsmittel werden

eingangs die relativ einfache Schiebezettelmethode und die Neperschen Streifen erklärt.

Anschließend findet eine umfassende Erläuterung des sehr komplexen Abakus satt.

Aufbauend auf den Ausführungen zum Abakus, der im europäischen Raum in Bezug

auf seine Handhabung eher unbekannt ist, wird die didaktische Abwandlung - der

Schulabakus vorgestellt. Dieser findet in Grundschulen bereits Anwendung und ähnelt

in seinem Aufbau sehr dem Minicomputer von Papy, der abschließend beschrieben

wird. Der mathematische Hintergrund sowie die Vor- und Nachteile der einzelnen Ver-

fahren werden kapitelweise dargelegt.

Im dritten Kapitel wird zum Einen der neue Berliner RLP dahingehend untersucht, wel-

chen Stellenwert die a. RV. einnehmen, verglichen mit dem alten RLP aus dem Jahre

1986. Zum Anderen wird beleuchtet inwieweit der Handlungsspielraum des Lehrers

erweitert wurde und an welcher Stelle der Einsatz von a. RV. gerechtfertigt wäre.

In der ,,Abschließenden Betrachtung" wird der Nutzen, den Schüler aus einer Metho-

denöffnung ziehen können, dem Aufwand des Lehrers gegenübergestellt. Inwieweit sich

für den Schüler aus der Anwendung der a. RV. Vorteile ergeben und worin sie liegen,

wird zusammengefasst und bewertet.

4

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2 Alternative Rechenverfahren in der Grundschule

Die schriftlichen Rechenverfahren sind normierte Lösungsverfahren, so genannte Algo-

rithmen. Der Mathematiker Dähn definiert Algorithmen wie folgt.

,,Ein Algorithmus dient dazu,

alle Aufgaben eines bestimmten Typs

zu lösen. Es

ist ein Verfahren, das durch

endlich viele Anweisungen

beschrieben wird. Dabei

ist jede

Anweisung eindeutig

, d.h. wenn zwei verschiedene Personen eine An-

weisung befolgen, erhalten sie stets das gleiche Ergebnis. Jeder Algorithmus ist

im Blick auf einen

Anwendungsbereich

konstruiert."5

Mit Algorithmen lassen sich bestimmte Aufgabentypen rein mechanisch lösen, ohne

dass eine Einsicht in das Verfahren notwendig ist.6 Die a. RV. werden in der einschlägi-

gen Literatur und auch in dieser Arbeit hauptsächlich als Ergänzung und nur bedingt als

Variante zu den Normalverfahren der schriftlichen Rechenverfahren vorgestellt, da die

schriftlichen Rechenverfahren im RLP obligatorisch sind. Sie werden für die schriftli-

che Multiplikation, Subtraktion und Division verwendet und basieren überwiegend auf

der schriftlichen Addition. Einige in meiner Arbeit vorgestellte Verfahren dienten einst

als Grundlage für die Entwicklung der heutigen schriftlichen Normalverfahren.

Es gibt viele schriftliche Rechenverfahren. In der Schule werden bisher lediglich die

durch den KMK-Beschluss vorgeschriebenen Normalverfahren gelehrt. Trotz der

KMK-Beschlüsse und der länderübergreifenden Zusammenarbeit gibt es in der Praxis

gelegentlich Abweichungen hinsichtlich der Notation sowie Unterschiede in der Durch-

führung bei der schriftlichen Subtraktion.7 ,,Es kommt hinzu, dass heute in nahezu jeder

Grundschulklasse zahlreiche Aussiedler- oder Ausländerkinder sitzen, deren Eltern ganz

andere Verfahren gelernt haben als unsere Normalverfahren."8 Zwangsläufig kommt es

zu Konflikten zwischen den schulischen Verfahren und der ′gut gemeinten′ Hilfestel-

lung durch die Eltern. Diese kulturelle Vielfalt kann bei allen Beteiligten zu Verwirrung

5 Deutsches Institut für Fernstudien Abteilung Mathematik ­ Freiburg/Dähn, G., Mellin, E., Strehl, R.,

Walter, F.-R., Wissler, G.: Mathematik für Grundschullehrer. Ein Fernstudiengang. E11 Algorithmen,

schriftliche Rechenverfahren. Weinheim: Beltz Verlag, 1974, S. 12.

6 Vgl. Krauthausen, Günter: Kopfrechnen, halbschriftliches Rechnen, schriftliche Normalverfahren,

Taschenrechner: Für eine Neubestimmung des Stellenwertes der vier Rechenmethoden. In: Journal für

Mathematik - Didaktik, 14/1993, Heft 3/4, S. 191.

7 Es gibt das Abzieh- oder Ergänzungsverfahren.

8 Schipper, Wilhelm: Schriftliches Rechnen ­ Ein Fossil mit Zukunft. In: Die Grundschulzeitschrift,

119/1998, S. 14.

5

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führen. Sie bietet aber auch Ansatzpunkte für die a. RV. und stellt eine Bereicherung für

den Unterricht dar.9

Beispiele für die Standardverfahren sind in Abbildung 1 zu sehen.

45

78

4;3

+78

- 45

45 · 78

7 6 : 4 = 19

1

_33 3150

4

123

360

3 6

____1__

3 6

3510

0

Abbildung 1: schriftliche Rechenverfahren der Grundrechenoperationen

,,Die Entwicklung des schriftlichen Rechnens ist ein wesentlicher Teilbereich unserer

über Jahrtausende gewachsenen mathematischen Kultur [...] ."10 Es wurde entwickelt,

um die wachsenden Anforderungen an das Gedächtnis beim Kopfrechnen, vor allem mit

großen Zahlen, zu minimieren. Im Mittelalter unterrichteten die Rechenmeister die Ver-

fahren mit einer einzigen Methode, in der kein Wert auf das Verstehen der Rechnung,

sondern lediglich auf das korrekte Ausführen der Rechen- und Notationsvorschriften

gelegt wurde. Der Rechenunterricht war bis ca. 1830 durch Vor- und Nachmachen ge-

prägt. Erst danach fand allmählich ein Wandel statt. Das Verständnis der Schüler und

das Nachdenken wurden gefördert. Trotz dieser Entwicklung wurden 1958 mit dem

Beschluss der Kultusministerkonferenz feste Regeln für die Normalverfahren festge-

legt.11

Die Normalverfahren werden oftmals als

die

Rechenverfahren angesehen, und das be-

ständige Üben dieser führt dazu, dass selbst einfache Aufgaben mit diesem Verfahren

durchgeführt werden. Dieser ′Missbrauch′ der schriftlichen Rechenverfahren ist unter

Mathematiklehrern und Didaktikern bekannt.12 Schüler, die die Normalverfahren als

eine effektive und schnelle Art des Rechnens kennen lernen, neigen dazu, ihnen einen

übersteigerten Wert zuzusprechen. Sie deklarieren sie als die beste Methode des Rech-

9 Vgl. Schipper 119/1998, S. 14.

10 Schipper 119/1998, S. 11.

11 Vgl. Schipper 119/1998, S. 11 f.

12 Vgl. Plunkett, Stuart: Wie weit müssen Schüler heute noch die schriftlichen Rechenverfahren

beherrschen? In: mathematik lehren, 21/1987, S. 43.

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nens. Nach Plunkett ,,spielen Konformismus und Verzicht auf eigenes Denken [...] eine

große Rolle"13.

Dieser Verzicht auf das eigene Denken und im Gegensatz dazu die Forderung nach Fle-

xibilität im Mathematikunterricht sind Aspekte, die ein Umdenken in der Mathematik-

didaktik verursachten. Schon Ende der 80er Jahre begannen Diskussionen zur

Abschaffung der schriftlichen Rechenverfahren. In einigen Artikeln zur Mathematikdi-

daktik14 wird die Frage erörtert, ob es im heutigen Computerzeitalter überhaupt noch

nötig ist, schriftliche Rechenverfahren zu lehren bzw. zu lernen. Plunkett zum Beispiel

fordert, statt der Einführung der Normalverfahren den Schwerpunkt des Rechenunter-

richts auf das Kopfrechnen, die halbschriftlichen Rechenverfahren und den Taschen-

rechner zu legen. Er teilt in seinem Artikel ,,Wie weit müssen Schüler heute noch die

schriftlichen Rechenverfahren beherrschen?" die Rechenaufgaben nach Schwierigkeits-

graden ein und vertritt die Meinung, dass die schwierigen Aufgaben, sofern sie nicht mit

den ersten genannten Verfahren zu lösen sind, mit dem Taschenrechner gelöst werden

können.15 Damit nimmt er Bezug auf den immer stärkeren Einfluss von digitalen Re-

chenmaschinen.

Auch Schipper vertritt in seinem Artikel ,,Schriftliches Rechnen ­ ein Fossil mit Zu-

kunft" die Meinung, dass das Normalverfahren im Mathematikunterricht nicht mehr

einen so hohen Stellenwert einnehmen muss. Das schriftliche Rechnen ist nach Schip-

per zwar ein Kulturgut, das es zu erhalten gilt, allerdings im Rahmen eines Unterrichts,

in dem die Diskussion des Rechenwegs und die Herausstellung von besonders prakti-

schen Verfahren thematisiert werden.16 ,,In einem solchen Unterricht wird die Vermitt-

lung der Kulturtechnik ,,schriftliches Rechnen" durch die Thematisierung des

Kulturgutes ,,Rechenverfahren" abgelöst."17

Selter hat in einer Untersuchung festgestellt, dass viele Schüler selbst bei einfachen Re-

chenvorgängen die schriftlichen den halbschriftlichen Rechenverfahren oder dem Kopf-

rechnen vorziehen. Schüler favorisieren mechanisches Rechnen gegenüber dem

13 Plunkett 21/1987, S. 44.

14Vgl. u. a. Plunkett 21/1987; Schipper 119/1998; Selter, Christoph: Flexibilität oder AutoMathik? In:

Grundschulunterricht, 10/2002.

15 Vgl. Plunkett 21/1987, S. 45.

16 Vgl. Schipper 119/1998, S, 13.

17 Schipper 119/1998, S. 13.

7

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flexiblen Rechnen, da es ihnen scheinbar mehr Sicherheit gibt.18 Diese Untersuchung

bekräftigt die Forderungen von Plunkett und Schipper, dass die schriftlichen Rechenver-

fahren nicht als ′Höhepunkt′ im Arithmetikunterricht angesehen werden sollten und aus

diesem Grunde von den Schülern immer bevorzugt werden.

Krauthausen fordert in seinem Buch ,,Einführung in die Mathematikdidaktik" und in

veröffentlichten Artikeln19, den Schwerpunkt auf die halbschriftlichen Verfahren zu

verlagern.20 Er zählt zu den vehementen Verfechtern des flexiblen Rechnens, das seiner

Meinung nach die halbschriftlichen Rechenverfahren ermöglicht.21

Der RLP von 1986 wurde zum Jahre 2004 hin überarbeitet und greift Punkte dieser

Diskussion auf. Die Vorgaben der KMK wurden zwar offiziell nicht außer Kraft gesetzt,

aber in der Praxis findet schon seit einiger Zeit eine Öffnung der Verfahren statt. Seit

1996 ist es den Lehrkräften im Bundesland Nordrhein-Westfahlen freigestellt, ob sie

das Abzieh- oder Ergänzungsverfahren lehren.22 Mit dem neuen RLP wurde das auch in

Berlin erreicht.23 Diese Öffnung im Unterricht und die Vorgabe des neuen RLP von

Berlin, dass ,,die Lehrerinnen und Lehrer [...] die Schülerinnen und Schüler an der Ges-

taltung der Lernprozesse (beteiligen), indem sie [...] sich und die Schülerinnen und

Schüler nicht auf nur einen bestimmten Weg zur Lösung fokussieren [und] [...] mit

ihnen Varianten der Darstellung des Lösungsweges erörtern"24, geben den Lehrern die

Möglichkeit, a. RV. in ihren Unterricht mit aufzunehmen.

Die a. RV. bieten den Schülern die Möglichkeit, auf unterschiedlichen Wegen zu einem

Ergebnis zu gelangen. Lehrer, die a. RV. in ihrem Unterricht anwenden möchten, soll-

ten ihre Sachkompetenz zu diesem Thema theoretisch, aber vor allem praktisch erwei-

tern. Die Alternativen selbst zu erproben, ist lohnend, da durch die Anwendung erst ein

Durchbrechen der festgefahrenen Rechenwege möglich ist. Der Anwender erhält einen

neuen Blick auf diese Thematik.

18 Vgl. Selter 10/2002, S. 20.

19 Siehe Literaturliste 5.2.

20 Vgl. Krauthausen, Günther/Scherer, Petra: Einführung in die Mathematikdidaktik. 2. Auflage. Heidel-

berg; Berlin: Spektrum Akad. Verlag, 2003, S. 44 ff.

21 Vgl. Krauthausen 14/1993, S. 202.

22 Vgl. Schipper 19/1998, S. 15.

23 Vgl. Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (Hrsg.): Rahmenlehrplan Grundschule.

Mathematik. Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag, 2004, S. 29.

24 RLP 2004, S. 26.

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Die vorgestellten a. RV sind eine Auswahl aus zahlreichen Rechenverfahren. Ihre Zu-

sammenstellung richtete sich nach der einschlägigen Literatur und wurde mit dem

betreuenden Professor abgestimmt. Viele der vorgestellten alternativen Verfahren sind

bereits sehr alt und im Laufe der Zeit offensichtlich in Vergessenheit geraten. Vielleicht

ist auch die Tendenz, ′Altes′ zu verwerfen und als unpraktisch oder altmodisch zu de-

klarieren, ein weiterer Grund dafür, dass diese Verfahren abgelehnt werden. Die Forde-

rung nach einheitlichen Normalverfahren trug ihren Teil dazu bei.

2.1 Alternative Rechenverfahren ohne Hilfsmittel

Die in diesem Kapitel ausführlich erläuterten Rechenverfahren sind in der Grundschule

ohne Zusatzmaterial, außer Papier und Stift, anwendbar. Anhand der einschlägigen Lite-

ratur konnten für die Multiplikation erheblich mehr a. RV. als für die Division oder gar

Subtraktion herausgearbeitet werden. Für die Addition ließen sich lediglich Abwand-

lungen in der Notation, aber keine echten Alternativen finden. Sie bildet in vielen Fäl-

len, mit ihrem einfachen Algorithmus, die Grundlage für a. RV.

2.1.1 Multiplikation

Das Normalverfahren der schriftlichen Multiplikation wird seit den 50er Jahren durch

den Beschluss des Kultusministeriums an den deutschen Schulen gelehrt. Es handelt

sich um ein standardisiertes Verfahren, das einem bestimmten Algorithmus in der Nota-

tion und dem Wortlaut folgt. Seine komplexe Notationsform führt dazu, dass Schüler

mitunter den Hintergrund dieses Verfahrens nicht verstehen, sondern lediglich den Al-

gorithmus auswendig lernen und anwenden.25

Dass Fehler aufgrund des fehlenden Verständnisses von Schülern nicht gleich wahrge-

nommen werden, ist unter einigen Mathematikpädagogen ein bekanntes Problem und

ein Grund für die Diskussionen zur Abschaffung der Normalverfahren.26 Gorski und

Müller-Philipp, Padberg, Müller und Wittmann u. a. weisen in ihren Büchern daher

25 Vgl. Gorski, Hans-Joachim/Müller-Philipp, Susanne: Leitfaden Arithmetik. 2., überarbeitete Auflage.

Wiesbaden: Vieweg, 2004, S. 146.

26 Vgl. u. a. Plunkett 21/1987; Schipper 19/1998.

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