Die vorletzten

Geheimnisse

der Vierecke, Pyramiden und

des Unendlichdimensionalen

www.wehrle-formeln.net

Beitrag

zum

Mathejahr

2008

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>>> Der HORIZONT der meisten Menschen

ist ein Kreis mit dem Radius Null,

den sie ihre Meinung nennen! <<<

A. Einstein

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Vorwort

Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich-

Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, dass

der erste Philosoph

, -

wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich

Thales

von Milet

(etwa 625 - 547 v. Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr.

richtig vorhersagte.

Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, von

der Schule her so bekannte

Pythagoras

, der eine geheime Bruderschaft

gründete;

Zenon

von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien

durch reine Überlegung schon der ,,Quantennatur der Geometrie" auf die

Schliche kam;

Platon

(427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen

eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im Höhlengleichnis

als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in Alexandria lebende

Euklid

, der schließlich das erste axiomatisch aufgebaute 13-bändige

mathematische Werk verfasste, nach dessen Geometrie noch heute alle

Schüler unterrichtet werden, - nur das Beweisen scheint heute an den

Schulen außer Mode gekommen zu sein;

Archimedes

von Syrakus (287? -

212), der nicht nur die Kreiszahl , sonder beispielsweise auch äußerst

elegant das Kugelvolumen berechnete; und die vielen anderen, wie etwa der

Erdvermesser

Eratosthenes

von Kyrene (284-202) oder Diophantos.

Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser abstrakten

Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von

Aristarchos

von Samos

(320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte, nachdem sich

die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2. Jahrhundert nach

Christus in Alexandria lebenden Claudius

Ptolemäus

, dessen geozentrisches

Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte, (- würde sich nicht jede

Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis 1543 Kopernikus und dann

ab 1605 Kepler und schließlich Galilei (der 1633 wegen der Inquisition

widerrufen musste) uns endgültig eines besseren belehren sollten.

Geometrie in allen Dimensionen

3

Jahr der Mathematik 2008

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Allerdings geriet das gesamte griechische Wissen für ein Jahrtausend in

völlige Vergessenheit und ist uns nur über den Umweg muselmanischer

Übersetzungen überhaupt erhalten geblieben. Die Mörder

HYPATIA

s1

scheinen nicht nur eine Mathematikerin, sondern mit ihr zugleich die

gesamte Mathematik ermodert zu haben! Das römische Imperium konnte

zwar nicht ohne Kriege, wohl aber ohne Mathematiker bestehen, und das

auch noch länger als jedes andere der Welt!

In unserer heutigen Zeit existiert das sog.

>>Werte-Paradoxon2<<

, was

besagen will, dass, obwohl wir alle zwar die modernste Technik z.B. für

Handies, Autos, TV und Computer benutzen, das Ansehen und der

Stellenwert der entsprechenden Wissenschaften und Techniken sich aber am

Ende der Wichtigkeitsskala ansiedelt, währen die Spitzenpositionen z.B. vom

Sport wie Fußball oder durch Filmschauspieler (die wie Reagan sogar

Präsident werden können) besetzt werden. Speziell für die Mathematik gilt

sogar, dass man sich mit deren ,,Unkenntnis" beliebt machen kann, denn

einige

Politiker erklären öffentlich, dass sie >>in Mathe nie gut
waren<<,

­ während keiner es je wagen würde, dasselbe vom Fach

Deutsch zu behaupten!

1

Hypatia von Alexandria

(etwa 370 -415), Tochter Theons, verfasste ein 13-bändiges

Werk zu der "Aritmetica" des Diophant (dem "Vater der Algebra") und eine achtbändige

Abhandlung zu den Kegelschnitten des Apollonius von Perge. Für weitere Informationen:

www.britannica.com/eb/article-9041785/Hypatia

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Theon.html

http://www.frauen-informatik-geschichte.de

2 R. Biehler, R. W Scholz, R. Straßer, B. Winkelmann

,,

Didactics of mathematics as a scientific discipline.pdf"

Mathematics Education Library, Klumer Academic Publishers,

Morgan Niss´analysis: "Paradox of relevances" auf Seite

331

Geometrie in allen Dimensionen

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Jahr der Mathematik 2008

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Das

erste Buch

des Beitrags zum

Jahr der Mathematik 2008

lieferte die

,,vorletzten" Geheimnisse des Dreiecks. Es beginnt mit einer wohl

altbekannten und doch unbekannten Formel, dass nämlich

das Produkt der

Dreiecksseiten dividiert durch dessen Summe

(auch Umfang genannt)

gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien

des In- und

Umkreises ist, was ich als Wehrle-Zahl des Dreiecks bezeichne. Im

rechtwinkligen Dreieck ist Summe der kleineren Seiten (auch Katheten

genannt) um den Inkreisdurchmesser größer als seine größte Seite (auch

Hypotenuse genannt), und

die Summe der am rechten Winkel

anliegenden Seiten ist gleich der Summe der Durchmesser vom In-
und Umkreis.

Wissen sie, dass der Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks

die Hypotenuse in einem Punkt berührt, der diese in zwei Abschnitte teilt,

deren Produkt die Fläche des Dreiecks ist?

Wissen Sie, dass das halbe Produkt dieser zwei Seiten, - die Dreiecksfläche

also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten Teil der Wehrle-

Zahl der Differenzen ist:

A = w + ¼w*

(Dieser letztere ,,Differenzen-Wehrle" ist das Quadrat des Durchmessers des

Inkreises!).

Dann kommen wir auf die Rationalität von Dreiecken zu sprechen, d.h. dass

seine Fläche, alle Höhen, der In- und Umkreisradius sowie die Sinuswerte

aller drei Winkel durch Quotienten natürlicher Zahlen darstellbar sind, also

keine Wurzelausdrücke enthalten.

Sie kennen das kleinste, rationale rechtwinklige oder gleichschenklige

Dreieck mit natürlichen Seitenlängen, aber kennen Sie auch

das kleinste,

nicht-rechtwinklige

,

rationale Dreieck

, das

aus nur natürlichen
verschiedenen Seitenlängen

besteht?

Kennen Sie die trigonometrischen Wehrles, dessen zu den drei Winkeln

gehörendes trigonometrische Produkt durch deren trigonometrische Summe

geteilt wird: Den Sinus-Wehlre, den Cosinus-Wehrle, den Tangens- und

Cotangens-Wehrle, den Quadrat-Sinus-Wehrle oder den Halbwinkel- und

Geometrie in allen Dimensionen

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Jahr der Mathematik 2008

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Doppelwinkel-Sinus-Wehrle, oder die entsprechenden trigonometrischen

Differenzen-Wehrles? Und was stellt eigentlich

das Titelbild

dar

?

Zum Ende des ersten Kapitels kommen wir schließlich ausführlicher auf die

Kreisspiegelung und auf einen Kreis zu sprechen, dessen Radius halb so groß

ist wie der Radius des Umkreises. Es ist der Neunpunktekreis, mit dem

Karl

Feuerbach

gegehrt wird. Beim rechtwinkligen Dreieck berührt dieser sowohl

den In- und Umkreis, als auch alle drei Ankreise. Wir spiegeln dann zuerst

am Inkreis und schließlich am Feuerbachkreis selbst, der dann nicht nur alle

Spiegelbilder der Dreieckskreise und des In- und Umkreises berührt,

sondern auch noch alle drei Bilder der drei Ankreise, die ebenfalls noch die

Bildkreise der Seiten der drei Dreiecksseiten berühren!

Schließlich kommen wir auf die

zweite Eulergerade

des Dreiecks und

deren zusätzliche Punkte zu sprechen, den Spieker- und Nagelpunkt, die sich

im ,,Gravitationszentrum" S scheiden. Der Spiekerpunkt ist das

Inkreiszentrum des Mittendreiecks und halbiert die Strecke der beiden

äußersten Punkte dieser zweiten Eulergeraden: Inkreismitte und

Nagelpunkt. Wir bewundern dann die durch den zentralen, - den beiden

Eulergeraden gemeinsamen -, Schwerpunkt S gebildeten zentrischen

Streckungen, die den Höhenschnittpunkt auf die Inkreismitte, die

Umkreismitte auf den Spiekerpunkt abbilden und den Exeterpunkt auf ,,den

Nagel treffen"!

Von den besonderen Kreisen des Dreiecks gibt es einige: Die

Tuckerkreise

(wie der Cosinuskreis, der LEMOINE-Kreis und der TAYLOR-Kreis), die

Malfatti-Kreise,

die

Miquel-Kreise

und die

Brocard-Kreise.

Kennen Sie

auch den sehr interessanten

Fuhrmannkreis

, den Umkreis des an den

Seiten gespiegelten Bogenmittendreiecks. Er geht durch den Nagel- und

Höhenschnittpunkt, die seinen Durchmesser bilden, und sein Radius ist die

Entfernung der beiden In- und Umkreiszentren. Das Zentrum des

Feuerbachkreises ist vom Zentrum des Fuhrmannkreises genau so weit

entfernt, wie der kolineare Inkreismittelpunkt, und sie ist halb so groß wie

die Entfernung des Umkreismittelpunkts zum Nagelpunkt. Die Differenz des

Geometrie in allen Dimensionen

6

Jahr der Mathematik 2008

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Umkreisradius und des Inkreisdurchmessers sagt uns, wie weit die Zentren

von Inkreis und Fuhrmannkreis voneinander entfernt sind. Auch der

Spiekerpunkt ist vom Umkreiszentrum gleich weit entfernt wie die

Feurbachsche Mitte. Auch diese drei Punkte liegen auf einer Geraden, sind

also kolinear! Und der Spiekerpunkt ist vom Feurbachzentrum halb so weit

entfernt wie der Nagelpunkt bzw. Höhenschnittpunkt vom

Furmannkreismittelpunkt, wobei beide Strecken noch dazu parallel sind und

auch parallel zur wichtigsten Verbindung, nämlich derjenigen der beiden

Zentren des Um- und Inkreises. Und zu alledem liegt auch noch der

Thebaultpunkt des Dreiecks auf dem Fuhrmannkreis.

A propos Thebaultpunkt. Von den über zweitausend merkwürdigen Punkten,

die inzwischen entdeckt wurden, betrachten wir dann nur noch einige

wichtige, nämlich die von Fermat, Gergonne, Napoleon, Kosnita, Malfatti und

noch die auf der Eulergeraden liegenden von Schiffler und Lemoine.

Kennen Sie übrigens den

Satz von CEVA

, mit dem man die Existenz vieler

solcher Schnittpunkte beweisen kann, und der

früher noch in den

höheren Lehranstalten unterrichtet

wurde, heutzutage aber vielen

unbekannt ist, obwohl die Alten Griechen schon etwa 80 n. Chr. den Satz

des Menelaos kannten!

Geometrie in allen Dimensionen

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Jahr der Mathematik 2008

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Das zweite Buch

ist dann zunächst dem

Viereck

gewidmet. Wissen Sie,

welche Vierecke außer dem Quadrat einen In- und Umkreis haben, oder

kennen Sie deren doppeltes Radienprodukt? Kennen sie rationale

Kreisvierecke, oder rationale Sehnenvierecke mit natürlichen Seitenlängen?

Kennen Sie auch die trigonometrischen Wehrles für Sehnenvierecke oder

Drachen?

Im

zweiten Kapitel

begeben wir und weg von der Ebene in den 3D-Raum.

Jeder kennt den Satz des Pythagoras, aber wie heißt der

dreidimensionale
Satz des Pythagoras?

Wissen Sie, welche rechtwinklige

Pyramide

den

Inkugelradius

r = 1

und

dabei noch natürliche Kantenlängen hat?

Und was gilt für das Radienprodukt bei der Pyramide? Wissen Sie, wie man

das Volumen und den Umkugelradius einer Pyramide

nur über die
Kantenlängen

berechnet?

Sicherlich kennen Sie auch das Radienprodukt für die In- und Umkugel für

den allgemeinen Tetraeder noch nicht, wobei zur Berechnung nur die

Kantenlängen der Pyramide verwendet werden!

Wussten Sie, dass bei einer Vieleckspyramide mit gleichen Kantenlängen l

an der Spitze und deren Abstand zur Grundfläche (auch Körperhöhe genant)

halb so groß ist wie die Seitenkanten, der Umkugelradius R gerade diese

Kantenlänge R = l ist? Und dass man für jede andere Höhen h das Quadrat

der gleichlangen Seitenkantenlänge nur durch das Doppelte dieser Höhe

teilen muss, um den Umkugelradius R zu erhalten?

Im

letzten Kapitel

machen wir den Hypersprung bis ins Unendliche.

Wollen Sie wie Einstein in höhere Dimensionen aufsteigen?

Geometrie in allen Dimensionen

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Jahr der Mathematik 2008

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Wissen Sie, dass sich der

Inhalt einer n-dimensionalen Kugel

(auch

Volumen

genannt)

zu ihrer Begrenzungs-Hyperfläche (Rand-Hyperfläche

oder ,,Oberfläche") sich wie ihr Radius zur Dimension des Raumes verhält?

Kennen Sie das Volumen einer vierdimensionalen Kugel oder, - ganz

allgemein -, das einer n-dimensionalen Sphäre? Wollen Sie verstehen,

warum diese Hypersphären im unendlich-dimensionalen Raum komplett

verschwunden

sind und was das bedeutet?

Im Anhang

finden Sie dann

Beweise

und Beiträge von Arno

Fehringer

,

dem ich besonderen Dank schulde. Ohne seine mathematischen Anregungen

wäre das Buch nicht entstanden!

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Jahr der Mathematik 2008

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