Brennweitenbestimmung nach Bessel

von Jörg Sven Rau und Alexander Schnoor

Inhaltsverzeichnis

1. Grundlagen

1.1 Herleitung der Formeln

1.1.1 Berechnung des Hauptebenabstands HH`

1.1.2 Herleitung der Formel der Brennweite f`

1.1.3 Herleitung der Formel für den Hauptebenabstand HH`

1.2 Definition paraxialer Strahlen

1.3 Brennweite und Brennpunkt bei Linsen

1.4 Hauptebene

1.5 Dispersion

1.5.1 Dispersionsformel

1.6 Abbildungsfehler

2. Aufgabenstellung

2.1 Hinweise zur Versuchsdurchführung

3. Versuchsaufbau

4. Meßwerte

4.1 Linse 1; Filter: rot

4.2 Linse 2; Filter: rot

4.3 Linse 3; Filter: rot

4.4 Linse 3; Filter: blau

4.5 Linse 4; Filter: rot

5. Fehlerrechnung

5.1 Feste Fehlerschranken

5.2 Errechnete Fehlerschranken

6. Zusammenfassung der errechneten Werte

7. Abschlußbetrachtung

1. Grundlagen

1.1 Herleitung der Formeln

1.1.1 Berechnung des Hauptebenabstands HH`

Brechzahl des Linsenmaterials:
Scheiteldicke der Linsen:

1.1.2 Herleitung der Formel der Brennweite f`

Aus den Formeln der Versuchsanleitung erhalten wir:

Mit Hilfe des TI-92 lösen wir nun zur Brennweite hin auf:

1.1.3 Herleitung der Formel für den Hauptebenabstand HH`

Wieder verwenden wir die Formel für die Differenz e:

Diese Formel wird nun mit mit Hilfe des TI-92 zum Hauptebenenabstand hin umgeformt:

1.2 Definition paraxialer Strahlen (Gaußsche Dioptik)

Paraxiale Strahlen sind achsennahe Strahlen, eine Abbildung erster Ordnung. Es existieren keine Abbildungsfehler. In diesem Bereich wird die Reihenentwicklung der Sinusfunktion,
eine Beschränkung auf das erste Glied vorgenommen, was für den Gültigkeitsbereich der Formel zu beachten ist.

1.3 Brennweite und Brennpunkt bei Linsen

Der Brennpunkt ist der Punkt, in dem sich achsenparallele Lichtstrahlen nach der Brechung durch eine Linse oder Reflexion an einem Hohlspiegel annähernd verneigen. Die entfernung des Brennpunktes vom Hauptpunkt nennt man Brennweite. Ihre Größe ist vom Krümmungsradius und bei der Linse außerdem von der Brechzahl abhängig.
Die Brennweite läßt sich wie folgt berechnen:

f : Brennweite der Linse
n : Brechzahl des Linsenmaterials
r₁ : Krümmungsradius der stark gekrümmten Seite
r₁ : Krümmungsradius der schwächer gekrümmten Seite

1.4 Hauptebene

Die Hauptebene steht senkrecht zur Feldebene. Sie enthält die Strahlenfeldachse und eine Parallele zu einer der wirksamen Kanten des Blendensystems.

1.5 Dispersion

Die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge bezeichnet man als Dispersion. Im sichtbaren Spektrum wächst die Brechzahl mit abnehmender Wellenlänge, andernfalls spricht man von anomaler Dispersion.

1.5.1 Dispersionsformel

Zur Ausgleichung und Interpolation eignet sich gut die Hartmannsche empirische
Dispersionsformel
mit vier Konstanten, von denen a meist zwischen 0,5 und 2 liegt (oft führt schon eine einfache Form mit a=1 zum Ziel).

1.6 Abbildungsfehler

Eine einzelne Linse verursacht zahlreiche Abbildungsfehler, die sich in Unschärfen, Farbsäumen und Verzerrungen äussern. In Objektiven kombiniert man daher mehrere Linsen aus unterschiedlichen Glassorten, um die Fehler möglichst weitgehend zu eliminieren. Diese Korrektur ist so weit fortgeschritten, dass heute nur wenige Leistungsschwächen in der Abbildung eindeutig einem dieser Fehler zugeordnet werden können.
Die Sphärische Abberation (Öffnungsfehler) tritt auf, weil die Linsenoberfläche eine Kugeloberfläche beschreibt. Die Bündelung parallel eintreffender Strahlen in einen Brennpunkt ist daher nur für achsennahe Strahlen gegeben. Asphärische Linsen mit parabelförmigem Querschnitt vermeiden diesen Fehler, sind aber in hoher optischer Qualität sehr teuer zu fertigen. Das scharfe Kernbild wird durch die sphärische Abberation von einem
unscharfen überlagert, was bei Weichzeichnerobjektiven, bei denen dieser Fehler absichtlich nicht korrigiert ist, ausgenutzt wird.

Die Chromatische Abberation (Farblängsfehler) tritt auf, weil der Linsenrand das Licht wie ein Prisma in seine spektralen Bestandteile zerlegt. Schlechte Korrektur führt im Bild zu Farbsäumen. Da das Licht, welches die Linse am Rand passiert, am meisten zur Abberation beiträgt, verringern sich diese Fehler mit dem Abblenden. Er lässt sich korrigieren, indem zwei Linsen aus unterschiedlichen Glassorten zu einer sogenannten Gruppe zusammengekittet werden. Man wählt die Glassorten so, dass der rote und der blaugrüne Spektralteil zusammenfällt. Man bezeichnet diese Konstruktionen als Achromaten, den nicht korrigierten Spektralteil als sekundäres Spektrum. Aufwendigere Konstruktionen, bei denen drei Wellenlängen zusammenfallen, bezeichnet man als Apochromaten. Der Mehraufwand lohnt sich insbesondere bei langen Brennweiten. Bei Spiegelobjektiven tritt chromatische Abberation nicht auf.

Der Farbvergrösserungsfehler (Farbquerfehler) hat ähnliche Ursachen wie die chromatische Abberation: Die roten, grünen und blauen Teilbilder werden unterschiedlich gross abgebildet. Dies hat zur Folge, dass der Fehler nicht in der Bildmitte, zum Rand und zu den Ecken hin jedoch immer stärker auftritt. Der Fehler ist unabhängig von der Blende, die Korrektur bei der Objektivkonstruktion erfolgt wie bei der chromatischen Abberation.

2. Aufgabenstellung

1. Leiten Sie zur Versuchsvorbereitung die benötigten Endformeln zur f′- bzw. HH′ - Bestimmung auf dem oben skizzierten Weg ausführlich ab. Vergessen Sie dabei nicht, auch die Formeln für die Fortpflanzung der Meßunsicherheit der primären Meßgrößen (Fehlerfortpflanzung) aufzustellen.

2. Bestimmen Sie die Brennweite f′ der Sammellinsen (L1 bis L3) für rotes Licht, wobei der benötigte Hauptebenenabstand, HH′ aus einer Messung der Scheiteldicke d über Formel (1) ermittelt wird (Brechzahl des Linsenmaterials n= 1,52).
Zur Ermittlung der Meßunsicherheit |_f`| max (maximaler absoluter Fehler) benötigen Sie mindestens 10 Positionswertepaare a1` , und a2`.
Aus diesen Daten errechnen Sie zunächst |_a1`|max und |_a2`|max; die Meßfehler _A (Ablesefehler) und _HH` (systematischer Fehler; unter Verwendung von Formel (1) zu ermitteln) schätzen Sie ab. Schließlich wird |_f′|max nach der Methode der Fehlerfortpflanzungsrechnung ermittelt.

3. Bestimmen Sie die Brennweite von einer der Sammellinsen auch mit blauem Licht und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Wert für totes Licht. Interpretieren Sie das Ergebnis.

4. Für ein Projektionsobjektiv der Fa. LEITZ mit der Brennweite f¹ = lOO mm bestimmen Sie bitte den Hauptebenenabstand HH′ für rotes Licht, ebenfalls unter Verwendung von mindestens 10 Positionswertepaaren al′ und a2′.
Die Berechnung der Meßunsicherheit |_HH′| max erfolgt analog zu Aufgabe 2; die Genauigkeit der f′ - Angabe auf dem Objektiv können Sie mit ±2% annehmen.

2.1 Hinweise zur Versuchsdurchführung:

a) Die Bearbeitung von Aufgabe 1 gehört bereits zur Versuchsvorbereitung.

b) Justieren der Beleuchtungsoptik: Der Abstand Glühlampe -Kondensorlinse ist über den axial verschiebbaren Glühlampeneinsatz einstellbar. Die Einstellung soll so erfolgen, daß das Bild des Glühwendels im Bereich der auszumessenden Linse / des Objektivs liegt und damit jeweils nur einen achsnahen (paraxialen) Bereich von ca. 3Omm Durchmesser ausleuchtet.

c) Justieren Sie bitte den gesamten Strahlengang sauber auf Parallelität zur optischen Bank (Dreikantschiene); das Bild des Fadenkreuzes muß bis zum Rand scharf und darf nicht verzeichnet sein; es darf beim Verschieben der Linse nicht seitlich auswandern.

d) Passen Sie den Abstand A der jeweils zu erwartenden Brennweite f′ an, die sich grob über die Abbildung eines weit entfernten selbstleuchtenden Objekts (Fensteröffnung, Raumleuchte) auf ein Blatt Papier (Justierschirm) ermitteln läßt: Bildebene = Brennebene der Linse. (Begründung zur Versuchsvorbereitung überlegen!)
Der Abstand A sollte auch nicht zu groß gewählt werden, damit im Fall der kleineren Bildweite das Bild des Fadenkreuzes erkennbar bleibt.

3. Versuchsaufbau

4. Meßwerte

Linse 1 Filter: rot

Linse 2 Filter: rot

Linse 3 Filter: rot

Linse 3 Filter: blau

Linse 4 Filter: rot

5. Fehlerrechnung

5.1 Feste Fehlerschranken

Für die Meßunsicherheit der direkt abgelesenen Werte wurde von uns das kleinste ablesbare Intervall der Skalierung der Anzeige gewählt. Daraus ergab sich...
...für die Werte auf der optischen Bank (Dreikantschiene):
...für die Messung der Scheiteldicke d mit einem Meßschieber:

5.2 Errechnete Fehlerschranken

für die Abstände und bei n = 10 Messungen gilt:
,,mittlerer Meßwert":
Standardabweichung:
S = ± 3,52%

für die Differenz gilt:
·

für die Brennweite für dünne Linsen

  gilt:

·

für den Hauptebenenabstand gilt:

·

Aufgabe 2:

Linse 1; Filter: rot

9,07 _ 0,05	47 _ 0,1	35,258 _ 0,1	21,825 _ 0,1	13,433 _ 0,2

Linse 2; Filter: rot

8,3 _ 0,05	55 _ 0,1	39,935 _ 0,2		24,05 _ 0,1	15,93 _ 0,3

Linse 3; Filter: rot

10,88 _ 0,05	80 _ 0,1	58,08 _ 0,1	32,8 _ 0,01	25,28 _ 0,1

Aufgabe 3:

Linse 3; Filter: blau

10,88 _ 0,05	80 _ 0,1	58,37 _ 0,2	32,57 _ 0,01	25,8 _ 0,2

Wir vergleichen: Brennweite für rotes Licht:
Brennweite für blaues Licht:

Die Brechzahl gibt das Verhältnis von Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur Geschwindigkeit von Licht im Medium (hier: Linse) an. Es gilt für das konkrete Beispiel:

Für die Geschwindigkeit von Wellen (Schall, Licht) gilt außerdem:

Die Wellenlänge _ für sichtbares Licht im Vakuum liegt im Bereich von 380nm(Übergang Infarot) bis 780nm (Übergang Ultraviolett), die Frequenz f von bis . Mit Hilfe der oben stehenden Formel kann man über Aufgabe 2 auf die Frequenz des roten Lichtes schließen, denn Geschwindigkeit und Wellenlänge sind gegeben. Es gilt:

Da der Ablenkwinkel vom Brechungsindex abhängt, wird langwelliges Licht bei normaler Dispersion stärker gebrochen als kurzwelliges Licht, d.h. daß die Brennweite f′ von blauem Licht kleiner ist als die von rotem Licht.

Aufgabe 4:

20 _ 0,4	97 _ 0,1	64,38 _ 0,1	38,555 _ 0,1	25,825 _ 0,2

Dieses Ergebnis läßt zwei Möglichkeiten offen:

1. H liegt vor H` (kleines Ergebnis)
2. H und H′ liegen sehr weit auseinander (großes Ergebnis)

Da man sich das Leitz-Objektiv als ein System von mehreren Linsen vorstellen kann, kann man auch nach der Zusammenlegung aller Hauptebenen von einem Verhalten einer dicken Linse sprechen. In der Realität wäre jedoch eine so dicke Linse (bzw. großes Linsensystem) mit einem Hauptebenenabstand von zu aufwendig, zu groß und zu teuer. Angesichts der größe des vorliegenden Objektivs vermuten wir daher, daß das richtige Ergebnis ist.

6. Zusammenfassung

Aufgabe 2: rotes Licht

L₁:
L₂:
L₃:

Aufgabe 3: blaues Licht

L₂:

Die Brennweite f′ für blaues Licht ist geringfügig kleiner als die für rotes Licht, weil langwellige Lichtstrahlen stärker durch die Linse gebrochen werden als kurzwellige.

Aufgabe 4: rotes Licht

L_Leitz:

7. Abschlußbetrachtung

Wenn man einen kurzen Blick auf die gemessenen Werte und deren Fehlerschranken wirft, so kann man feststellen, daß sie doch recht genau sind. Das klingt vielleicht verwunderlich, doch muß man bedenken, daß das Meßverfahren der Scheiteldicke dmehr als ungenau war. Das Hauptproblem dabei war, daß die kleinste Berührung ausreichte, um den Meßschieber wieder zu verstellen. Des weiteren war es sehr schwierig, das Bild mit dem Abstand a₁′ scharf einzustellen. Das lag vor allem daran, daß das Bild stark verkleinert auf dem Schirm wiedergegeben wurde.
Weniger problematisch war für uns die Vorbereitung, obwohl wir den Stoff noch nicht in der Vorlesung behandelt hatten. Allerdings hätte das Vorbereiten der gesuchten Formeln ohne den TI-92 eine ganze Weile länger gedauert.
Der Versuchsablauf selber war sehr gut. Wir teilten uns die Arbeit von Ablesen und Aufschreiben der Werte, so daß Jörg Rau die lfd.-nr. 1-5, Alexander Schnoor die lfd.-nr.6-10 von der Dreikantschiene ablaß. Wesentlich zeitaufwendiger war dagegen das Auswerten der Meßreihen, die ja nicht weniger als Meßwerte von Abständen beinhalten, sondern auch das Einsetzen und Ausrechen in den vorher mühsam ermittelten Formeln.