Seite 1 von 1 Nils van den Boom 28.07.00

Das Vektorprodukt

Hier die Erklärungen:

Das Verktorprodukt brechnet einen

Vektor,

der

senkrecht auf zwei Vektoren

steht!

r r r

r

r

r

r

u

×

v

=

s

==>

u

s

v

s

Die Vektoren u und v stehen also beide senkrecht auf s!

Bsp.: r

u

r

s

r

v

Der wesentliche Unterschied zwischen Skalarprodukt und Vektorprodukt, ist das beim

Vektorprodukt wieder ein

Vektor

herauskommt!

Der Betrag des Vektorproduktes ist geometrisch gesehen der

Flächeninhalt

, des von den

beiden Vektoren aufgespannten

Parallelogramms

!

Das Vektorprodukt ist die Verbindung aus zwei Skalarprodukten. Hier die Herleitung:

r

r

Wir haben zwei linear unabhängige Vektoren

a

und

b

und wollen einen zu diesen Vektoren

orthogonalen Vektor bilden!

r

r

Bildung des ersten Skalarproduktes: (

a

x

)

a

x

x

a

è

a x

+

a y

+

a z

= 0

y

y

= 0

x

y

z

az

z

r

r

Bildung des zweiten Skalarproduktes: (

b

x

)

b

x

x

b

è

b x

+

b y

+

b z

= 0

y

y

= 0

x

y

z

bz

z

---

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Also muss (damit beide Gleichungen erfüllt werden) folgendes Gleichungssystem gelöst

werden:

a x

+

a y

+

a z

= 0

x

y

z

b x

+

b y

+

b z

= 0

x

y

z

Auflösen nach

x

:

a x

+

a y

+

a z

= 0

x

y

z

b

a b x

+

a b y

+

a b z

= 0

y

x y

y

y

z

y

}+

b x

+

b y

+

b z

= 0 (-

a

)

x

y

z

y

(-

a

)

b x

+ (-

a

)

b y

+ (-

a

)

b z

= 0

y

x

y

y

y

z

a b

-

a b

x

(

a b

-

a b

) +

z

(

a b

-

a b

) = 0

x

y z

z

y

=

z

x

y

y x

z

y

y z

a b

-

a b

x

y

y x

Auf gleiche Weise löst Du das Gleichungssystem

nach y

auf!

Das Ergebnis lautet jetzt hier:

a b

-

a b

y

z

x

x

z

=

z

a b

-

a b

x

y

y

x

(

Voraussetzung ist, dass der Nenner nicht 0 wird. Doch da die Vektoren linear unabhängig
sind ist das ausgeschlossen. Der Beweis warum das jetzt so ist, würde zu lange dauern.

)

r

Nun wählst Du

z

=

a b

-

a b

und Du erhälst für den Vektor

x

folgende

x

y

y

x

Koordinaten.

a b

-

a b

y

z

z

y

r

r

r

x

=

a b

-

a b

Dieser Vektor steht jetzt senkrecht auf

a

und

b

!

z x

x

z

a b

-

a b

x

y

y

x

Um das Ganze etwas klarer zu machen, habe ich ein Beispiel angefügt. Hierbei soll auch

erklärt werden wie man am günstigsten beim Rechnen vorgeht:

---

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Ein Beispiel:

1

2

r

r

Berechne den Vektor, der auf

a

= 2 und

b

= 0 senkrecht steht.

3

4

2 4 - 3 0 8

r

x

= 3 2 -1 4 = 2

1 0 - 2 2 - 4

Vorgehen zum Berechnen:

1

2

2 0 diese zwei Glieder werden multipliziert. Vorzeichen:

+

3

4

1

2

2 0 diese zwei Glieder werden multipliziert. Vorzeichen:

-

3

4

Beim

Spatprodukt

benötigt man sowohl das Vektorprodukt, als auch das Skalarprodukt!

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