RWTH Aachen

Lehrstuhl D für Mathematik

Betreuer: Prof. U. Schoenwaelder

Hausaufsatz zur Vorlesung Algebra I im WS 99/00

Thema: Die Einheitengruppe des Restklassenrings

9

/n

9

Vorgelegt von Sascha Haarkötter

2

---

Inhaltsverzeichnis

1. Gruppen, Ringe 2

1.1 AlgebraischeStruktur 2

1.2 Halbgruppe 2

1.3 Gruppe 2

1.4 Ring 2

1.4.1 Ring-m-1 2

1.4.2 Restklassen modulo n 3

1.4.3 Restklassenring 9/n9 3-4

1.5 Einheitengruppe 4

1.6 Ordnung einer Gruppe 4

1.7 Eulersche -Funktion 5

2. Der Ring-m-1-Homomorphismus : f := (a a (a + n 9

9

1

, a + n2

))

6

2.1 Ring Homomorphismus 6

2.2 Homomorphiesatz für Ringe 6

2.3 Der Ring-m-1-Homorphismus f, Surjektivität von f, Kern f 6-7

2.4 Kern von f 6

2.5 Ideal 6

3. Zyklische Gruppen 7

3.1 Charakterisierung zyklischer Gruppen, Tabelle 8-9

4. Literaturverzeichnis 10

3

---

1. Gruppen, Ringe

1.1 Definition: Algebraische Struktur

Eine

algebraische Struktur

ist eine Menge

M

zusammen mit einer Familie = ( i | i I )

von Operationen i auf

M

. Dabei ist I eine Index-Menge, wobei jedem Index eine Operation

zuordnet. Schreibweise: (

M,

)

1.2 Definition: Halbgruppe

Eine

Halbgruppe

(

G

, ()) ist eine

algebraische Struktur

vom Typ (2), d. h. ° ist eine 2-stellige

Operation mit folgender Eigenschaft.

:

G

×

G

G

, (

a, b

) a

a

b

genügt dem Assoziativgesetz,

d. h. (

a

b

)

c

=

a

(

b

c

) gilt für alle

a

,

b

G

1.3 Definition: Gruppe

Eine

Gruppe

(

G

, (, 1 , -1)) ist

eine algebraische Struktur

vom Typ (2, 0, 1), d. h. (, 1 , -1)

sind 2-, 0-, bzw. 1-stellige Operationen die den folgenden Regeln genügen.

a) :

G

×

G

G

, (

a

,

b

) a

a

b

genügt dem Assoziativgesetz, d. h. (

a

b

)

c

=

a

(

b

c

).

b) 1 : {}

G

, a 1 mit

a

1 = 1

a

=

a

für alle

a

G

[Einselement - Regel].

c) -1 :

G

G

,

a

a

a

-1 mit

a

a

-1 = 1 =

a

-1

a

für alle

a

G

[Inversen-Regel].

d) Falls auch dem Kommutativgesetz genügt, d. h. falls

a

b

=

b

a

für alle

a

,

b

G

gilt, heißt

(

G

, (, 1 , -1)) eine

kommutative

bzw.

abelsche Gruppe.

1.4 Definition: Ring

Ein

Ring

(

R

, (+, 0 , -, )) ist eine

algebraische Struktur

vom Typ (2, 0, 1, 2), so dass

(

R

, ( +, 0 )) eine

kommutative Gruppe

ist,

(

R

, ()) eine

Halbgruppe

ist und

die Distributivgesetze

a

(

b

+

c

) =

a

b

+

a

c

, (

a

+

b

)

c

= (

a

c

) + (

b

c

) für alle

a

,

b

,

c

gelten.

1.4.1 Definition: Ring-m-1

Ein

Ring-m-1

(

R

, (+, 0 , -, , 1 )) ist eine

algebraische Struktur

vom Typ (2, 0, 1, 2, 0), wobei

4

---

(

R

, (+, 0 , -, ) ein

Ring

ist und für 1 die Einselement-Regel gilt.

1.4.2 Definition: Restklassen modulo n

Im Bereich

9

der ganzen Zahlen kennen wir die Division mit Rest; d.h., zu

m

,

n

9

,

n

> 0, gibt

es eindeutig bestimmte

q

,

r

9

mit:

m

=

qn

+

r

und 0

r

<

n

. [

r

heißt der Rest.]

Zu

n

Ð

konstruiere ich eine

Relation R

9

×

9

durch (

x

,

y

)

R

genau dann, wenn

x

und

y

bei Division durch

n

den gleichen Rest haben.

R

ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation auf

9.

Anstatt (

x

,

y

)

R

schreibt man üblicherweise

x

y

(mod

n

).

Eine andere Beschreibung dieser Relation ist günstig. Ich bezeichne mit

n9

alle Vielfachen von

n

,

d.h die Menge

n9

läßt sich schreiben als:

n9

=

{

nm

|

m

9

}

, und zeige:

x

y

(mod

n

) genau dann, wenn

x

-

y

n9

ist.

Beweis:

Falls

x

und

y

bei Division durch

n

den gleichen Rest haben, dann ist

x

-

y

ein Vielfaches von

n

.

Andererseits gelte:

x

=

qn

+

r

und

y

=

q

′

n

+

r

′ mit 0

r

,

r

′ <

n

und

x

-

y

n9

.

Daraus folgt mit

x

-

y

= (

q

-

q

′)

n

+

r

-

r

′, daß

r

-

r

′ ein Element aus

n9

ist.

Dieses gilt wegen der Einschränkung 0

r

,

r

′ <

n

nur für

r

=

r

′, also

x

y

(mod

n

).

1.4.3 Restklassenring

9

/n

9

Es sei

x

die Äquivalenzklasse (mod

n

) von

9

, die die ganze Zahl

x

enthält, in diesem Fall

Restklasse modulo n

genannt.

Dann gilt

x

=

{

y

|

y

-

x

n9

}

=

{

x

+

nm

|

m

n9

}

=

x

+

n9

.

Die Menge der Restklassen wird mit

9n

bezeichnet. Da jede Klasse zu einem Rest

5

---

gehört,

sieht

9

n

-

n

wie folgt aus:

9n

=

{

0 , 1 ,...,

1

}

.

Die folgenden Operationen auf

9n

sind wohldefiniert:

+ : (

x

+

n9)

+ (

y

+

n9

) = (

x

+

y

) +

n9

für alle

x

,

y

9

, d.h.

x

+

y

=

x

+

y

;

0 : 0 = 0 +

n9

;

: (

x

+

n9

)

(

y

+

n9

) = (

x

y

) +

n9

für alle

x

,

y

9

, d.h.

x

y

=

x

y

;

1 : 1 = 1 +

n9

.

Sie machen

9n

zu einem

Ring-mit-1

, dem sog.

Restklassenring modulo n

.

1.5 Definition: Einheitengruppe

Ist (

R

, (+, 0 , -, _

,

1 )) ein kommutativer

Ring-mit-1

, so ist

E

(

R

) die Menge aller

x

R

,

für die es

y

R

gibt mit

x

_

y

=

y

_

x

= 1.

Ist

x

ein Element aus

E

(

R

), so heißt

x

eine

Einheit

von

R

.

E

(

R

) ist offensichtlich eine

Gruppe

,

die sog.

Einheitengruppe

.

Beispiele:

E

(

9

) =

{

1, -1

}

,

E

(Q) =

Q

\

{

0

}

Frage 1

: Welche Restklassen

a

=

a

+

n9

9n

sind (multiplikativ) invertierbar?

Behauptung:

a

9/n9

ist invertierbar genau dann, wenn

ggT

(

a

,

n

) = 1 ist.

Beweis:

Es sei

a

9n

multiplikativ invertierbar, d. h. es existiere ein

y

9n

, so dass

a

y

= 1 gilt,

d. h. (

a

+

n9

)(

y

+

n9

) =

ay

+

n9

= 1 +

n9

. Das bedeutet, dass

ay

- 1 =

nm

für ein

m

9

gilt. Also ist

a

9n

in (

9n

, (+, 0 , ,

1 )) invertierbar genau dann, wenn

y

und

m

9

existieren

6

---

mit

ay

+

mn

= 1. Das ist gleichbedeutend damit, dass

a

und

n

teilerfremd sind. Insbesondere gilt

für den Fall, daß

n

eine Primzahl

p

ist, dass jedes Element 0 in (

9p

, (+, 0 , ,

1 )) invertierbar

ist.

1.6 Definition: Ordnung einer Gruppe:

Ist

G

eine endliche

Gruppe

, so nennt man die Anzahl

G

der Elemente in

G

die

Ordnung

der

Gruppe.

1.7 Definition: Eulersche

-Funktion

Die Abbildung := (

n

a

E

(

9/n9

)):

Ð

9

heißt

Eulersche

-Funktion

. Sie gibt also die

Ordnung der Einheitengruppe des Restklassenrings

9/n9

an.

Da die Einheiten eines Ringes gerade die invertierbaren Elemente dieses Ringes sind, folgt, dass

(

n

) genau die Anzahl der zu

n

teilerfremden ganzen Zahlen zwischen 1und

n

angibt.

Frage 2:

Wieviele Elemente hat die Einheitengruppe von

9/p 9

für Primzahlpotenzen

n

=

p

?

Behauptung:

( p ) = p (1 - 1

/

p)

.

Beweis: Wir wissen, daß (

p

) die Anzahl der zu

p

teilerfremden ganzen Zahlen im

Restklassenring

R

:=

9/p 9

angibt. Um (

p

) für eine Potenz der Primzahl

p

zu bestimmen,

gehe ich wie folgt vor: (

p

) ist gleich der Anzahl derjenigen Elemente der Reihe 1, 2, ...,

p

, die

zu

p

oder, was auf dasselbe herauskommt, zu

p

teilerfremd sind.

Um diese (

p

) Zahlen zu erhalten, streiche ich aus dieser Reihe diejenigen Zahlen, die durch

p

-

teilbar sind. Dies sind offensichtlich genau die Zahlen

px

mit 1

x

p

1

.

-

Streicht man diese Zahlen, so bleiben

p

-

p 1

=

p

(

1 - 1

/

p

) = (

p

). Hieraus folgt, dass die

Einheitengruppe

E

(

9/p 9

) genau

p

(

1 - 1

/

p

) Elemente hat.

7

---

2. Der Ring-m-1-Homomorphismus f

f :

=

(a

a

(a + n

9

9

1

, a + n2

) für a

9

):

9

9

n1

×

9

n2

2.1 Definition: Ringhomomorphismus

Es seien

R1

und

R2

Ringe

.

Eine Abbildung :

R

1

R2

heißt ein

Ringhomomorphismus

, wenn gilt:

a) (

x

+

y

) = (

x

) + (

y

) für alle

x

,

y

R1

.

b) (

xy

) = (

x

)(

y

) für alle

x

,

y

R1

.

c) Für gilt stets: (0) = 0 und (-

x

) = -(

x

).

Sind

R1

und

R2 Ringe-m-1

und gilt außerdem:

d) (1) = 1, so ist ein

Ring-m-1- Homomorphismus

.

2.2 Definition: Homomorphiesatz für Ringe

Ist

:

R

1

R2

ein

Ringhomomorphismus

, dann gilt:

R1/Kern f

(

R

) [=

Bild

(

)].

2.3 Der Ring-m-1-Homomorphismus f

Ist

n

=

n1n2

mit teilerfremden

n1

und

n2

, so ist der

R-m-1-Homomorphismus f

mit

f

:= (

a

a (

a

+

n 9

9

1

,

a

+

n2

) für

a

9

):

9

9n1

×

9n2

surjektiv.

Beweis:

Zunächst berechne ich den

Kern

von

f

.

2.4 Definition: Kern von f

Kern f

:= {

x

9

f

(

x

) = 0}

8

---

2.5 Definition: Ideal

Für einen

Ring

(

R

, (+, 0 , -, )) ist eine Teilmenge

I

R

genau dann ein

Ideal

, wenn gilt:

a)

I

ist eine Untergruppe von (

R

,

(+, 0 , -)) und

b)

ir

I

und

ri

I

für alle

i

I

,

r

R

, d. h.

I

ist invariant unter allen Rechts- und Links-

Multipliaktionen.

Nun berechne ich den

Kern

von

f

.

Dazu sei

x

Kern f

, dann gilt

f

(

x

) = (0 +

n 9

9

9

9

1

, 0 +

n2

) = (

x

+

n1

,

x

+

n2

).

Hieraus folgt, dass

x

n 9

9

1

und

x

n2

ist, also sind

n1

und

n2

Teiler von

x

. Da wir

Teilerfremdheit der Elemente

n1

und

n2

voraussetzen, folgt, dass auch

n1n2

ein Teiler von

x

ist.

Aus

n

9

9

9

1n2

x

folgt dann sofort, dass

x

n1n2

ist. Also ist

Kern

f

n1n2

. Dass

n1n2

eine

Teilmenge von

Kern

f

ist, gilt ebenfalls, woraus schließlich die Gleichheit von

Kern

f

und

n

9

1n2

,

also

Kern

f

=

n

9

1n2

folgt.

Hieraus folgt mit dem Homomorphiesatz:

9/n

9

9

9

1n2

Bild ( f )

9/n1

×

9/n2

.

Wegen

9/n

9

1n2

=

n1n2

=

9n1

×

9 n2

folgt

Bild

(

f

) =

9n1

×

9 n2

.

Nun habe ich gezeigt, dass

9/n

9

1n2

isomorph zu

9n1

×

9n2

ist.

Da der

Ring-m-1-Homomorphismus

mit

:= (

a

a (

a

+

n 9

9

1n2

) für

a

9

):

9

9/n1n2

offensichtlich surjektiv ist, folgt sofort, dass

auch

f

surjektiv ist.

Aus der Isomorphie von

9/n

9

1n2

und

9n1

×

9n2

folgt die Isomorphie der zugehörigen

Einheitengruppen, d.h.

E

(

9/n

9

1n2

)

E

(

9n1

×

9n2

) =

E

(

9n1

) ×

E

(

9n2

).

Es folgt

E

(

9/n

9

1n2

)=

E

(

9n1

)

E

(

9n2

) .

Für die

Eulersche

-Funktion

gilt also für teilerfremde

n

1

und

n2

:

(

n1n2

) = (

n1

) (

n2

).

Frage 4: Ist E(

9

n) zyklisch?

3. Definition: Zyklische Gruppe

Eine

Gruppe G

heißt zyklisch, wenn sie von einem ihrer Elemente erzeugt wird, d.h. wenn es ein

g

G

gibt mit

G

=

g

, wobei

g

:= {

gn

n

9

}

gesetzt ist.

9

---

3.1 Charakterisierung zyklischer Gruppen:

a) Es sei

G

eine endliche zyklische

Gruppe

der Ordnung

m

und

d

Ð \ {0}

ein Teiler von

m

.

Dann gibt es

(d)

Elemente der Ordnung

d

in

G

.

b) Es sei

G

eine beliebige

Gruppe

der Ordnung

m

und

a

G

ein Element der Ordnung

m

m

Ð \ {0}.

Für jedes n

9

gilt dann:

an

=

.

ggT

( ,

m

)

n

c) Es sei

G

eine endliche

Gruppe

mit dem neutralem Element

e

und

a

G

.

Dann ist

a

ein Teiler von

G

und es gilt :

a

G

=

e

.

d) Es sei

G

eine endliche

Gruppe

der Ordnung

m

. Gibt es zu jedem Teiler

d

Ð \ {0}

von m

höchstens eine

Untergruppe

der Ordnung

d

in

G

, so ist

G

zyklisch.

e) Es sei

G

eine endliche

Gruppe

mit dem neutralem Element

e

. Gibt es zu jedem Teiler

d

Ð \ {0}

von

G

höchstens

d

Elemente

x

G

mit

xd

=

e

, so ist

G

zyklisch.

Behauptung: Für eine Primzahl

p

ist die

Einheitengruppe

E(9/p9)

zyklisch.

Beweis:

Da im

Restklassenring 9/p9

für jedes

n

Ð \{0}

höchstens

n

Elemente

x

9/p9

mit

xn

= 1

existieren, ist

E(9/p9)

zyklisch.

Für teilerfremde

n1

,

n2

und

n

=

n1n2

ist

E

(

9n

)

E

(

9n1

) ×

E

(

9n2

). Wenn

E

(

9n

) zyklisch ist,

folgt, dass auch

E

(

9n

1) und

E

(

9n2

) zyklisch sind, da jede

Untergruppe

einer zyklischen

Gruppe

ebenfalls zyklisch ist. Aus der Tabelle auf Seite 9 ist zu ersehen, dass der Umkehrschluss dieser

Behauptung nicht notwendigerweise gilt, da z.B. für

n1

= 3 und

n2

= 5

E

(

93

) und

E

(

95

) zyklisch

sind,

E

(

915

) jedoch nicht zyklisch ist. Für Primzahlpotenzen

p

gilt:

( p ) = p (1 - 1

/

p)

.

10

---

In der folgenden Tabelle sind die zyklischen bzw. nicht zyklischen Einheitengruppen für

2

n

20 aufgelistet.

zyklisch nicht zyklisch

E

(

92

) ×

E

(

93

) ×

E

(

94

) ×

E

(

95

) ×

E

(

96

) ×

E

(

97

) ×

E

(

98

)

×

E

(

99

) ×

E

(

910

) ×

E

(

911

) ×

E

(

912

)

×

E

(

913

) ×

E

(

914

) ×

E

(

915

)

×

E

(

916

)

×

E

(

917

) ×

E

(

918

) ×

E

(

919

) ×

E

(

920

)

×

11

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4. Verwendete Literatur

Lothar Gerritzen: Grundbegriffe der Algebra: Eine Einführung unter Berücksichtigung

funktorieller Aspekte, Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 1994.

R. Pöschel, K. Rosenbaum: Angewandte Algebra: Für Mathematiker und Informatiker, Vieweg

Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 1988.

K. Meyberg: Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, München/Wien, 1980.

Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch , 4. Auflage, 1999.

H. Lüneburg: Gruppen, Ringe, Körper. Die grundlegenden Strukturen der Algebra, R.

Oldenbourg Verlag, München/Wien, 1999.

G. Scheja, U. Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1, 2. Auflage, Verlag B. G. Teubner Stuttgart

1994.

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